廣東省佛山市2024-2025學年高二年級上冊階段測試一（10月） 數(shù)學試題（含答案）

2024-2025學年度第一學期高二年級數(shù)學科

階段測試一（概率+空間向量與立體幾何）考試題

（全卷共4頁，供全級使用）成績：

一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題列出的選項中，選出符合題

目的一項）

1.下列事件：①拋擲一枚硬幣，落下后正面朝上；②從某三角形的三個頂點各畫一條高線，這三條高線交

于一點；③實數(shù)a,b都不為0,但/+〃=°；④某地區(qū)明年7月的降雨量高于今年7月的降雨量.其中

為隨機事件的是（）

A.①④B.①②③C.②③④D.②④

【答案】A

【解析】

【分析】利用隨機事件的定義逐一分析給定的各個事件即可判斷作答.

拋擲一枚硬幣，是正面朝上，還是反面朝上，落下前不可確定，①是隨機事件；

三角形三條高線一定交于一點，②是必然事件；

實數(shù)°,6都不為0,則③是不可能事件；

某地區(qū)明年7月的降雨量是一種預(yù)測，不能確定它比今年7月的降雨量高還是低，④是隨機事件，

所以在給定的4個事件中，①④是隨機事件.

故選:A

2.拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子一次，事件1表示“骰子向上的點數(shù)為奇數(shù)”，事件2表示“骰子向上的點數(shù)為

偶數(shù)”，事件3表示“骰子向上的點數(shù)大于3”，事件4表示“骰子向上的點數(shù)小于3”則（）

A.事件1與事件3互斥B.事件1與事件2互為對立事件

C.事件2與事件3互斥D.事件3與事件4互為對立事件

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)互斥事件、對立事件定義判斷求解.

由題可知，事件1可表示為：底{I*},事件2可表示為：8={2,4,6},

事件3可表示為：H§⑹，事件4可表示為：八{L2},

因為/00={5},所以事件1與事件3不互斥，人錯誤；

因為Zc8為不可能事件，4U8為必然事件,

所以事件1與事件2互為對立事件，B正確；

因為'0。={4,6},所以事件2與事件3不互斥，c錯誤;

因為CCD為不可能事件，CD。不為必然事件,

所以事件3與事件4不互為對立事件，D錯誤;

故選：B.

3.已知空間向量0=（1'。2）,l=（1，-2,1）,則向量3在向量入的投影向量是（）

B.(I/)

C（6，6,3）D.lU)

【答案】C

【解析】

【分析】本題運用投影向量的定義即可解題.

因為5=0,T2），2,1）,

貝/石=1x1+（—1）x（—2）+2x1=5

同=Jl+1+4=V6

b-aa5_55

-------X—CL—?I

故向量B在向量G上的投影向量是同H61663

故選：C.

4.如圖，甲站在水庫底面上的點。處，乙站在水壩斜面上的點C處，已知庫底與水壩斜面所成的二面角

為120°,測得從。，C到庫底與水壩斜面的交線的距離分別為'=30m,CB=40m,若

C.90mD90Gm

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)向量的運算得到=++然后利用平方法即可求出答案.

由于反=刀+方+前，

所以|就『=(次+方+而)2=|方『+|^|2+|5C|2+2——+——+

=302+(20揚2+4()2+2*(o+0+30X40XCOS60。)=4900

|DC|=70

所以II，故甲，乙兩人相距70m.

故選：A.

5.已知向量方=(一1，3,_2)石=(2,_1,3)?=(4,3即),若伊，反丹不能構(gòu)成空間的一個基底，則實數(shù)比

的值為().

37

A.-1。B.0C.5D,7

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)題意得到存在使得，=布+〃*，從而得到方程組，得到答案.

因為伍3]｝不能構(gòu)成空間的一個基底，

所以3=(-1,3,-2),B=(2,—1,3),己=(4,3,加)共面,

故存在使得D+力，

即〃一1,3,-2)+〃(2,-1,3)=(4,3,掰)，

—A+2〃=44=2

<3/1—〃=3*〃二3

、一22+3〃=加，解得m=5

故

故選：C

6.已知一個古典概型的樣本空間。和事件/,B,滿足“(),(),()1

〃('U8)=8,則下列說法正確的是()

A.事件工與事件8互斥B.叫

尸（4ff）〉尸G5）

C.D.事件/與事件3相互獨立

【答案】D

【解析】

P（A\=-,P（B}=-P（^5）=-

【分析】利用古典概型計算公式可得23,利用概率的加法公式可得6,再由

互斥事件和對立事件定義可判斷AB錯誤，由尸（”）+尸（⑹=尸⑷可知c錯誤，利用事件獨立性定

義可判斷D正確.

/、1[0

P（^）="7oA=?P（B）=—P（A＜JB）=-

易知〃（。）2,同理可得3,3.

2111

由尸（入8）=尸⑷+尸⑻—尸（O可得-尸（”），即尸（0=%,

P（AB）=-^0

對于A,因為6,所以事件/與事件8不互斥，可得A錯誤；

尸伊）二1—尸（3）二—

對于B,顯然''3,即B錯誤；

對于c,由尸（硝+尸畫）=尸⑷可得＜+尸（噸4,即尸（@4

所以尸（向＜尸豳），即C錯誤；

P（A）P（B）=-x-=P（AB）=-

對于D,易知236,滿足獨立性定義，即D正確.

故選：D

7.尸是被長為1的正方體48co—4班淪的底面上一點，則尸N?尸G的取值范圍是（）

r_iolLiolri_i

A,'4」B.L2,JC,L4,JD.112」

【答案】B

【解析】

【分析】建立空間直角坐標系，寫出各點坐標，同時設(shè)點尸的坐標為卜/"）,用坐標運算計算出

PAPC\,配方后可得其最大值和最小值，即得其取值范圍.

如圖，以點D為坐標原點，所在直線分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標系,

則4(1,0,0),G(°，l，l),設(shè)0o<x<l,0<y<l；z=l,

:.PA=(l-x,-y,-l)PQ=(-x,l-y,0)

，，

..PAPC=-x(l-x)-y(l-y)=x2-x+y2-y=

l2

當"'5時，尸小尸G取得最小值2,

當x=0或1,>=°或1時，尸取得最大值0,

所以尸的取值范圍是L2

故選：B.

8.甲、乙二人下圍棋，若甲先著子，則甲勝的概率為0.6,若乙先著子，則乙勝的概率為0.5,若采取三局

兩勝制(無平局情況)，第一局通過擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣確定誰先著子，以后每局由上一局負者先著子，

則最終甲勝的概率為()

A.0.5B.0.6C.0.57D.0.575

【答案】D

【解析】

【分析】最終甲勝分三種情況，一二局甲勝，一三局甲勝，二三局甲勝，而每種情況又分甲先著子和乙先

著子，結(jié)合獨立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式，即可求解.

由題意知，

—x0.6x0.5+—x0.5x0.5=0.275

一二局甲勝的概率為：22,

—x0.6x0,5x0.6+—x0.5x0.5x0.6=0.165

一三局甲勝的概率為：22

—x0.4x0,6x0.5+—x0.5x0,6x0.5=0.135

二三局甲勝的概率為：22,

因此最終甲勝的概率為0?275+0.165+0.135=0.575,

故選：D.

二、多選題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.以下命題正確的是（）

A,兩個不同平面a,6的法向量分別為〃1=（2廠1，°）,〃2=（-420）,則a//￡

B,若直線/的方向向量N=（°，2,T）,平面a的一個法向量"=（2，1，2）,則/,a

,3

C.已知1=（T/，2）,b=（0,2,3）,若版+B與2G—B垂直，貝快數(shù)4

—■2—?1—-2—?

,廠OP=-OA+-OB+-OC口口「

D.已知48D，C三點不共線，對于空間任意一點。若555，則匕A四點共面

【答案】ACD

【解析】

【分析】根據(jù)空間向量判定線面、面面關(guān)系可判定AB,根據(jù)空間向量數(shù)量積的坐標表示可判定C,根據(jù)

四點共面的充要條件可判定D.

—*1—*

=----〃2HQ

對于A,由題意知2一，所以a〃夕，故A正確；

對于B,由題意知。,"=0,所以或，ua,故B錯誤；

-（ka+l）^2a-b\=Ika+（2-k、a》-言=12左+8（2—左）一13=0

對于C,由題意知1人J'JV7

k=--

解之得4,故c正確；

而=|刀+1礪+|反=而—灰=|@_灰＞!@_雙）

對于D,由

CP=lcA+lcB

即55，所以P，48,C四點共面，故D正確.

故選：ACD

10.連續(xù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，用數(shù)字X表示第一次拋擲骰子的點數(shù)，數(shù)字歹表示第二次拋擲骰

子的點數(shù)，用（%?。┍硎疽淮卧囼灥慕Y(jié)果.記事件Z="x+y=7”，事件B="X<3，，，事件C="

孫=2"&N*）,,,則。

P（C）=-

A.4B.A與5相互獨立

C.A與C為對立事件D.3與0相互獨立

【答案】AB

【解析】

【分析】用列舉法列出所有可能結(jié)果，再結(jié)合互斥事件、對立事件、相互獨立事件及古典概型的概率公式

計算可得.

依題意依次拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，基本事件總數(shù)為6x6=36個；

其中事件”="苫+'=7,,包含的樣本點有：

（1,6）,（2,5）,（3,4）,（4,3）,（5,2）,（6,1）共6個；

事件C="盯=2I/GN）,,,包含的樣本點有：

（1,1）,（3,3）,（5,5）,（1,3）,（1,5）,（3,1）,（3,5）,（5,1）,（5,3）共9個，

事件3=“xW3",包含的樣本點有：（1/），0,2）,。,3）,（1,4）,（1,5）,（1,6）,

（2,1）（2,2）（2,3）（2,4）（2,5）（2,6）

，，，，，，

（3,1）（3,2）（3,3）（3,4）（3,5）（3,6）

,,,,,八I，18

p（c）=—=-

對于A,364,故A正確；

對于B,事件48包含的樣本點有M）,（26）,GM）共3個,

P（^）=—=-,P（5）=—=-,P（^）=—=—

所以366-362'73612,

所以。⑷尸3）=尸（/8）,所以A與8相互獨立，故B正確；

對于C,NUC包含的樣本點個數(shù)滿足6+9=15<36,

所以A與C不為對立事件，故C錯誤；

對于D,事件5c包含的樣本點有：°」），O'"0,5）,（3』），（3,3）,（3,5），共6個,

而尸?1,尸⑶=1回討￡

6,

P（5C）=^P（5）P（C）=1

從而60,

所以2與C不相互獨立，故D錯誤.

故選：AB.

11.（多選）在直三棱柱初c-48c中，〃8。=90。,。8=1。=2,必=五/是CG的中點,

則o

AM-BA.=-1

AA.1

M_2NA\MN\=V5

B.若*貝江?

C.在"4上存在一點G,使得GG//平面8Mz

D.若B1E=-2BE,AXF=-2AF,則平面BMA與平面QEF不平行

【答案】CD

【解析】

【分析】以8為原點，建立空間直角坐標系，利用空間向量數(shù)量積的坐標表示公式、空間向量共線向量坐

標表示公式、空間向量模公式，結(jié)合平面向量的法向量逐一判斷即可.

以8為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，

Jio逅］

則G0,0,遍)A^o,V6)4(O,AV6)52J5(0,0,0)z?),G,o)所以

____r_

AM=1,-A—,54=(0,V3,V6l—.—.

I2)，所以2"?四=0,A錯誤；

N0---y[6]“NJ138

v，。

若B、N=2NAu3\MN\=-------

則l（所以??6B錯誤;

當G為Z4中點時，GG〃z/，GG<Z平面8初4幺/u平面氏憶4

所以C]G//平面8K4,c正確;

一一「一E[O,O陷,小0,6―

若B1E=_2BE,A.F=-2AF；則（3J（3J

QE=f-i,o,-^W=f-i,A-^

3

所以I3JI）.

設(shè)平面C"的法向量方=（*'必'4）,

平面BMA的法向量加=（%，%，Z2）,

/、__（r\__

n=1,0,BM=1,0,—，旗=1,G,0）

令玉=1則（又I2J

y

BM-m=0

BA-m=0

所以應(yīng)與力不平行，D正確.

故選：CD

三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）

12.已知某運動員每次投籃命中的概率都為40%,現(xiàn)采用隨機模擬的方法估計該運動員三次投籃恰有兩

次命中的概率：先由計算器產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機數(shù)，指定1,2,3,4表示命中；

5,6,7,8,9,0表示不命中，再以每三個隨機數(shù)為一組.代表三次投籃的結(jié)果.經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了如下20

組隨機數(shù)：

137996191925271932812458569683

431257393027556488730113537989

據(jù)此估計，該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率

【答案】0-3

【解析】

【分析】根據(jù)在這20組隨機數(shù)中，表示該運動員三次投籃恰有兩次命中的有6組，即可得出結(jié)論.

這20組隨機數(shù)中，表示該運動員三次投籃恰有兩次命中的有：

137、191、271、932、812、393共6組,

—=0.3

故該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率為：20,

故答案為：0,3.

1

a,a,l

13.小剛參加一種答題游戲，需要解答48C三道題，已知他答對這三道題的概率分別為2,且各題

￡

答對與否互不影響，若他恰好能答對兩道題的概率為4,則他三道題都答錯的概率為.

￡

【答案】4##0.25

【解析】

【分析】記小剛解答48,C三道題正確分別為事件0,￡,口，且°，瓦口相互獨立，根據(jù)題意，結(jié)合獨立

事件的概率乘法公式，合理計算，即可求解.

解：記小剛解答48,c三道題正確分別為事件°，￡，/，且。，耳廠相互獨立，

P(D)=P(E)=a,P(F)==

且2,

1

因為他恰好能答對兩道題的概率為4,

可得P(DEF+DEF+DEF)=P(DE包+P(DEF)+P①EF)

=GXGX(1)+6ZX(1—a)X1-(1—67)X(7X——=_(1—Cl)=——

2224,整理得2,

-----___ii

P(DEF)=P(D)P(E)P(F)=(1-a)2(l——)=-

所以他三道題都答錯的概率為24.

￡

故答案為：4.

14.已知梯形CE尸。如圖1所示，其中勿=8,。￡=6,/為線段正￡)的中點，四邊形48C。為正方形,

現(xiàn)沿4B進行折疊，使得平面R48E1平面/3C。，得到如圖2所示的幾何體.已知當點尸滿足

4F=X48(O<X<1)時，平面DEE,平面尸CE,則力的值為.

3

【答案】5##0.6

【解析】

【分析】應(yīng)用空間向量法計算已知面面垂直即法向量垂直即可求參.

如圖，以N為坐標原點，

/民/。,“尸所在直線分別為x軸、V軸、z軸建立空間直角坐標系,

C(4,4,0),。(0,4,0),E(4,0,2),尸(0,0,4),E(4%0,0),

則PE=(4,0,-2),PC=(4,4,-4),EF=(4(2-1),0,-2),DE=(4,-4,2)

若掰=(x/,z)是平面DEF的一個法向量,

4(A-l)x-2z=0,

則4x-4y+2z=0,

士工2

m=

可得

若是平面PCE的一個法向量,

4a-2c=0,

貝ij、44+4/7-40=0,可得力=(1/,2),

由平面QE尸，平面尸CE,得心?”=o,

1

H——-——1-4=0

即4-1A-1

解得5

3

故答案為：5

四、解答題（本大題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

15,已知向量六（2，T加），5=0,4，1）,^alb

（1）求:+24的值;

（2）求向量1+2B與5—B夾角的余弦值.

_也

【答案】（1）9；（2）3

【解析】

【分析】（1）根據(jù)nB,可得相=2,從而可得"+2'=（4,7,4）,再根據(jù)向量模的坐標求法計算即可;

（2）結(jié)合⑴可得力

=0,YD,23,再由夾角公式求解即可.

【小問1詳解】

解：因為。=（2，T，機）石=（1,4,1）口，3

所以彳.3=2-4+帆=0,解得加=2

所以萬=(2,T，2),3=(1,4,1),

則萬+23=(2,-1,2)+20,4,1)=(4,7,4),

|a+2Kl=V42+72+42=9

所以??；

【小問2詳解】

w：3-6=(2,-1,2)-(1,4,1)=(1,-5,1)

\a-b\=712+(-5)2+12=373

G+2B)@-B)=4xl+7x(—5)+4xl=—27

設(shè)向量5+2B與G—B夾角為e,

(a+2by(a-b^_276

\a2b\.\a-b\9x3百3

所以1+Hl,

所以向量1+2B與1一B夾角的余弦值為3.

16.由數(shù)字1,2,3,4構(gòu)成的兩位數(shù)中抽取一個，求：

(1)所抽到數(shù)為偶數(shù)的概率；

(2)所抽到數(shù)為3的倍數(shù)的概率；

(3)所抽到數(shù)的個位和十位不相同的概率.

]_

【答案】(1)2；

5

(2)16；

3

(3)4.

【解析】

分析】運用列舉法，結(jié)合古典概型計算公式進行求解(1)(2)(3)即可.

【小問1詳解】

數(shù)字1,2,3,4構(gòu)成的兩位數(shù)有1112,13142。22,23,24313233,34414243,44共16個，其中偶數(shù)有

12,1422,24323442,44共&個,

所以所抽到數(shù)為偶數(shù)的概率162.

【小問2詳解】

數(shù)字1,2,3,4構(gòu)成的兩位數(shù)有UJ2,13142122,23,24313233,34414243,44共16個,其中3的倍

數(shù)有12,21,243342共5個

5

所以抽到數(shù)為3的倍數(shù)的概率16；

【小問3詳解】

數(shù)字1,2,3,4構(gòu)成的兩位數(shù)有1112,13142。22,23,24313233,34414243,44共16個，其中個位和

十位相同的數(shù)有11，223344共4個，所以個位和十位不相同的數(shù)有12個，

12_3

所以抽到數(shù)為3的倍數(shù)的概率164.

17.如圖，在正四棱錐P-NBCZ)中，各棱長均為血，/為側(cè)棱尸。上的點，N是PC中點.

(1)若河是尸。中點，求直線8N與平面M4c所成角的正弦值;

PM

(2)是否存在點使得8N//平面M4C?若存在，求出PD的值；若不存在，說明理由.

V3

【答案】⑴6

2

(2)存在，3

【解析】

【分析】(1)設(shè)NCn8Q=°,以°為坐標原點，建立空間直角坐標系，得到。尸=1,求得向量

—■11

BN=-

’2’2和平面的法向量〃=(2,0,2),結(jié)合向量的夾角公式，即可求解；

一2

---?—??加=(]0___)

⑵設(shè)兩=2而，得到/四=/尸+尸舊=(-九1』-㈤，求得平面4cM的法向量為'T"

根據(jù)8N//平面/C”,利用機?8N=0,列出方程，求得幾的值，即可求解.

【小問1詳解】

解：如圖所示，設(shè)"口5。=0,

以點°為坐標原點，以。民0cop所在的直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系,

在正方形ZBCZ)中，由BC=CD=亞,可得BD=」BC2+CD2=2,

又因為PB=PD=C,所以PB'PD2=BD)所以尸8，尸￡),可得。尸=1,

則4(0,—1,0),5(l,0,0),C(0,l,0),D(-l,0,0),尸(0,0,1),

MNPDPC”(-J，0，J)，N(0，U

因為分別為中點，可得2222,

—?11—?11—?

BN=(―1,不彳),=(一不1=),4C=(0,2,0)

可得2222

n-AM=—x+y+—z=0

<22

設(shè)平面M4c的法向量為〃=("*),則［方ZC=2y=0

令x=2,可得y=0,z=2,所以〃=(2,0,2),

設(shè)直線8N與平面1所成角為°,

smd…小。上，立

可得Y2,

出

所以直線8N與平面M4c所成角的正弦值6.

【小問2詳解】

^4(0,-1,0),5(1,0,0),C(O,1,O),Z)(-1,O,O),尸(0,0,1),N(0,：,g)

解：因為22,

W=[-I4，^,^C=(O,2,O),PD=(-I,O,-I)

可得I2,

設(shè)由=加,可得—=—+而=(0,U)+4(T0,-l)=(T,l,lT)

m-AM=—Axl+%+(1-X)Z]=0

設(shè)平面/CM的法向量為m=（西，％/1）,則、m-AC=2%=0

—^―m=(1,0,

1%=°，Z]=

令x=l,可得1—4，所以J了

若8N//平面NOW,可得m1BNt

m-BN=-1+---=02=-

即可得2(1-㈤，解得3,所以

PM2

即存在點使得8N//平面MZC,此時尸。的值為

18.在空間直角坐標系中，平行四邊形4sC。的三個頂點為'（°'T1）'8（O，1，2）,C（3,1,3）,

（1）求。的坐標

（2）cosZBAD

【答案】⑴。（3，-1，2）

V2

⑵而

【解析】

【分析】（1）設(shè)根據(jù)/c和2。的中點相同，利用中點坐標公式求解；

⑵由⑴得到48=（0,2」），幺。=（3,0」），再利用向量的夾角公式求解.

【小問1詳解】

解：設(shè)因為/c和8。的中點相同，

Z—（0,1,2）,C（3,1,3）

x+03+0y+1_-1+1z+2_3+1

所以222222

所以x=3,y=—l,z=2,

所以。（3T2