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河北省邯鄲市部分校2025屆高三上學(xué)期月考(二)數(shù)學(xué)試卷
一、單選題:本題共8小題,每小題5分,共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求
的。
1.已知集合4={3,5={3,m+2},若AnB=B,則實(shí)數(shù)zn=()
A.-3B.-1C.2D.3或一2或一1
2.已知復(fù)數(shù)z=—々其中i是虛數(shù)單位),貝收在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是()
A.(1,1)B.(1,-1)C.(—1,1)D.(-1,-1)
3.已知n個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為a,中位數(shù)為6,方差為c.若將這n個(gè)數(shù)據(jù)均增加2得到一組新數(shù)據(jù),則下列關(guān)于
這組新數(shù)據(jù)與原來(lái)的數(shù)據(jù)不變的是()
A.平均數(shù)B.中位數(shù)C.第80百分位數(shù)D.方差
4.已知角a的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合,始邊與久軸的非負(fù)半軸重合,角a終邊上有一點(diǎn)(1,2),0為銳角,且sin
B=三,貝Man(a-/?)=()
A.B.——C.D.
5.記max{x,y}=以之,設(shè)心加為平面內(nèi)的非零向量,則下列選項(xiàng)正確的是()
A.max{|a+b\,\a-b\]=max{|a|,|fo|}
B.max{|a+b\2,\a-b\2]>a+b^
>—?>>>>
C.max{|a+b\,\a-b\]<max[|a|Jb|}
D.max{|a+b\2,\a-b\2}VJ+『
6.已知拋物線C:y2=2p%(p>0)的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為,,點(diǎn)P在C上,PQ垂直/于點(diǎn)Q,直線QF與C相交于M、
N兩點(diǎn).若M為靠近點(diǎn)尸的QF的三等分點(diǎn),則需=()
A.1B.乎C.乎D.鄧
7.如圖,在直四棱柱4BCD-公名的小中,底面2BCD為矩形,4B==4,點(diǎn)M在線段BC上,且
AM1MD,則當(dāng)三棱錐4―的體積最小時(shí),線段BC的長(zhǎng)度為()
A.3"B.乎
C.2D.A/3
第1頁(yè),共9頁(yè)
8.如圖,在AABC所在平面內(nèi),分別以ZB、BC為邊向外作等腰直角三角形和等腰直角三角形BCE.記
△4BC的內(nèi)角/、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,△ABC的面積S=(,asinA+csinC=4asinCsinB,則
o
DE=()
A*
;1E
二、多選題:本題共3小題,共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求。
9.已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù),/(1-%)=/(1+%),且當(dāng)xe[OH時(shí),9。)=/+久,則下列說(shuō)法正
確的是()
A.八久)是以4為周期的周期函數(shù)
B./(2021)+/(2024)=2
C.函數(shù)y=/取久的圖象與函數(shù)/'(久)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)
D.當(dāng)%G[3,4]時(shí),/(x)=-x2+9x-20
10.已知函數(shù)/(X)=C0S(3X-及(3>0)在[-兀,與上單調(diào)遞增,且〃久)的圖象關(guān)于直線x=萼對(duì)稱(chēng),則下列
選項(xiàng)正確的是()
AJ(x)的最小正周期為8兀
B.喑)=/(半)
C.將f(久)的圖象向右平移學(xué)個(gè)單位長(zhǎng)度后對(duì)應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù)
D.函數(shù)y=5/(x)+4在[冶,4兀]上沒(méi)有零點(diǎn)
11.已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足a、=l,a2=l,an+1+an=2n,nEN*,則下列選項(xiàng)正確的是()
A.Cl]+<22,(13+a4ia5+&6,…是公差為2的等差數(shù)列
B.&2-。1,(14一(13,。6-。5,…是常數(shù)數(shù)列
C.。272=4九—3
D,若數(shù)列也}滿(mǎn)足6n=(T)n-an,則數(shù)列也}的前101項(xiàng)和為-101
三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分。
第2頁(yè),共9頁(yè)
12.已知橢圓:+噲=l(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為%、F2,過(guò)點(diǎn)尸2的直線交橢圓于4B兩點(diǎn),若
AB1FiF.sinzFiXB=今則該橢圓的離心率為.
13.在三棱錐4—BCD中,AB=AC=BD=CD=BC=2避,平面a經(jīng)過(guò)點(diǎn)4并且與BC垂直,當(dāng)a截此三
棱錐所得的截面面積最大時(shí),此時(shí)三棱錐4-BCD的外接球的表面積為.
14.已知實(shí)數(shù)%、y滿(mǎn)足e'lny=xey(x>e,y>e),貝Uy_x.(在">"、"<"中選一個(gè)填在橫線處
四、解答題:本題共5小題,共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟。
15.(本小題13分)
已知函數(shù)/(X)=Inx+mx+-(m<0).
(1)若曲線y=/0)在(孫,/(刈)))(0<物<26)處的切線過(guò)點(diǎn)(0,2),求實(shí)數(shù)X。的值:
(2)若f(x)在(0,4e)內(nèi)有兩個(gè)不同極值點(diǎn)應(yīng)、x2,求實(shí)數(shù)小的取值范圍.
16.(本小題15分)
某地元宵節(jié)舉行了燈展活動(dòng),為了解觀眾對(duì)該活動(dòng)的觀感情況(“一般”或“激動(dòng)”),現(xiàn)從該活動(dòng)現(xiàn)場(chǎng)的
觀眾中隨機(jī)抽取100名,得到下表:
一般激動(dòng)合計(jì)
男性4560
女性
(1)補(bǔ)全上面的2X2列聯(lián)表,并依據(jù)小概率值a=0.1的獨(dú)立性檢驗(yàn),能否認(rèn)為觀眾對(duì)該活動(dòng)的觀感程度與
性別有關(guān)?
(2)該活動(dòng)現(xiàn)場(chǎng)還舉行了有獎(jiǎng)促銷(xiāo)活動(dòng),凡當(dāng)天消費(fèi)每滿(mǎn)100元,可抽獎(jiǎng)一次.抽獎(jiǎng)方案是:從裝有3個(gè)紅
球、3個(gè)白球和4個(gè)黑球(形狀、大小、質(zhì)地完全相同)的抽獎(jiǎng)箱里一次性摸出2個(gè)球,若摸出2個(gè)紅球,則可
獲得100元現(xiàn)金的返現(xiàn);若摸出1個(gè)紅球,則可獲得50元現(xiàn)金的返現(xiàn);若沒(méi)摸出紅球,則不能獲得任何現(xiàn)金
返現(xiàn).若某觀眾當(dāng)天消費(fèi)200元,記該觀眾參加抽獎(jiǎng)獲得的返現(xiàn)金額為X,求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期
望.
nQad-bc}2
附::其中幾=a+b+c+d.
Z(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'
10.828
第3頁(yè),共9頁(yè)
17.(本小題15分)
如圖,三棱柱力BC—AiBiQ中,AB_L平面力AiCiC,AA^=AB=AC=2,^AC=60°.過(guò)側(cè)棱AAi的平面
交線段當(dāng)小于點(diǎn)E(不與端點(diǎn)重合),交線段BC于點(diǎn)F.
(1)求證:AXE=AF;A\Ci
(2)若BF=2FC,求直線41cl與平面AFCi所成角的正弦值.
18.(本小題17分)y
已知雙曲線C:新a=l(a>0,b>0)的左、右頂點(diǎn)分別為4(-2,0*(2,0),鴛心率為學(xué)迎點(diǎn)(4,0)的直線/
與C的右支交于M、N兩點(diǎn),設(shè)直線力的斜率分別為k逆2,七.
(1)若的=|>求:fc3;
(2)證明:的(七+&)為定值.
19.(本小題17分)
規(guī)定:對(duì)于任意實(shí)數(shù)4若存在數(shù)列{的J和實(shí)數(shù)x(x府0),使2=%++…+斯印t,則稱(chēng)力可
以表示成X進(jìn)制形式,簡(jiǎn)記為:a=X?(的)(。2)93>“(即_1)(口?);如:A=2?(-1)(3)(—2)(1),表示4
是一個(gè)2進(jìn)制形式的數(shù),且2=—1+3x2+(—2)x22+1x23=5.
(1)已知m=(1+x)(l-2x2)(xW0),試將TH表示成%進(jìn)制的簡(jiǎn)記形式;
(2)若常數(shù)t滿(mǎn)足t>—1且t力0,d'=t?(或)(黑)(鬃)…(邛T)(4),求去;
1_____________________9
(3)若數(shù)列{冊(cè)}滿(mǎn)足的=2,a1=,(k6N*)%=2?(口1)缶2)(口3)…?3?)何eN*),求證:b=--
k+1'u/cna
x8n+|.
第4頁(yè),共9頁(yè)
參考答案
1.D
2.B
3.0
4.C
5.B
6.D
7.C
8.A
9.ABD
XQ.ACD
11.BD
12.卓豌平
13.2071
14.<
15.⑴
1P
由題意得,/'(%)=(+血-9,且定義域?yàn)?0,+8).
則"%)在CWOo))處的切線方程為y=(++m-3(%-%0)+ln%0+m%0+親
則一無(wú)()(。+m—與)+lnx0+mx0+旨=2,即In%。+=—3=0.
\配%§/“°光。
Qp1Qpy_
設(shè)g(x)=lnx+三一3(久>0),則g'(x)=[—豆
當(dāng)%e(0,2e)時(shí),g,(x)<O,g(x)單調(diào)遞減;
當(dāng)xG(2e,+8)時(shí),g'(x)>O,g(x)單調(diào)遞增.
所以g(x)min=g(2e)=ln2-l<0,
又g(e)=0,且g(x)在(0,2e)上單調(diào)遞減,所以為)=e.
(2)
由(1)知,廣。)=二廠.
令+%—e=o,得血=[j(ov%<4e)有兩個(gè)不同的解.
第5頁(yè),共9頁(yè)
令t~x,所以7n-e2t2-t(t>蚩),
即函數(shù)y=根的圖象與函數(shù)y=et2-t(t>京)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn).
因?yàn)?去時(shí),y=et2T最小,且為一之,
1R
且t=元時(shí),y=et2—t=-9,
1Q
所以一丁<m<-yr-.
4e16e
16.⑴
補(bǔ)全的2x2列聯(lián)表如下:
一般激動(dòng)合計(jì)
男性154560
女性122840
合計(jì)2773100
零假設(shè)為Ho:觀眾對(duì)該活動(dòng)的觀感程度與性別沒(méi)有關(guān)系.
根據(jù)表中數(shù)據(jù),計(jì)算得到公=一黑/告?妾)葭0.304<2.706.
根據(jù)小概率值a=0.1的獨(dú)立性檢驗(yàn),沒(méi)有充分證據(jù)推斷Ho不成立.
因此我們可以認(rèn)為Ho成立,即認(rèn)為觀眾對(duì)該活動(dòng)的觀感程度與性別無(wú)關(guān).
(2)
設(shè)一次摸球摸出2個(gè)紅球的事件為4摸出1個(gè)紅球的事件為B,沒(méi)摸出紅球的事件為C,
則P⑷=口=白。⑸=警=卷P(C)=鬲=卷
由題意,X可取200,150,100,50,0.
14
P(X=200)=表義2=短P(X=150)=2x^x^=
225,
「代=1。。)=焉'看+2>表x^=震,P(X=50)=2x《xV=98
2259
7749
P(X=0)=X=
1515225,
所以X的分布列為:
X200150100500
114639849
P
225225225225225
第6頁(yè),共9頁(yè)
E(X)=200x嬴1+150x蒜14+100x黑63+50x崇98+0x蕓49=60.
乙乙。乙乙。乙乙。乙乙。乙乙。
17.⑴
在三棱柱480-4道心中,u平面BBiCiC/a"u平面BBCC,
所以A4i〃平面BB1C1C.
又平面AAiEFn平面8B1C1C=EF,AA\c^^AA^EF,所以7L41//EF.
而平面ABC〃平面平面A&EFC平面ABC=AF,平面44正尸C平面4/忑1=&E,
所以4E//2F.
所以四邊形441EF為平行四邊形.所以&E=4F.
(2)
在平面44道道內(nèi)過(guò)點(diǎn)4作Az1AC,
因?yàn)锳BJ.平面441。修,AC,Azu平面44停修,所以481AC,AB1Az.
以點(diǎn)力為坐標(biāo)原點(diǎn),AB,AC所在直線分別為久軸、y軸,
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系4-%yz.
所以4(0,0,0),8(2,0,0),。(0,2,0)/1(0,1,8),蠢(0,3,避),
AB=(2,0,0),石=(0,3,A/3),CB=(2,-2,0),尼=(0,2,0).
因?yàn)锽F=2FC,
所以4F=AB+BF=AB+jBC=AB+^AC-AB)=余IB+各以
萬(wàn)=觀+軟=(|生。).
設(shè)平面4FQ的一個(gè)法向量為京=(Xi,%/。,
n筋,宿=3yl+避zi=0
貝喉.萬(wàn)=|久i+1i=0,
第7頁(yè),共9頁(yè)
令yi=l,得%i=—2,Z1=一逆,
所以蔡=(一2,1,一姆)為平面4尸射的一個(gè)法向量.
而凡高=(0,2,0),設(shè)直線&Ci與平面AFCi所成角為仇
干旱得sin9-IcosnTT^I—麻,瓦得,|(-2)x°+1x2+(一?
于7G得sin。-|cos%/Ci|—-卜_2>+12+(_4)2x所
所以直線41cl與平面力FC1所成角的正弦值為*.
18.⑴
設(shè)雙曲線的焦距為2c,由題意得,a=2^=孝,所以c=".
因?yàn)閏2=a2+62,所以6=避,所以c的標(biāo)準(zhǔn)方程為[一(=i.
qD
史^
-
4-31,,
直線4M:y=*x+2),由-1
y-消去y化簡(jiǎn)并整理得好-2久-8=0,
.2十乙
解得x=4或x=-2(舍),所以M(4,3).
又直線MN過(guò)點(diǎn)(4,0),所以直線MN的方程為x=4,所以N(4,—3),&=苧9=一*
⑵
設(shè)“01,月)'則七=告/2=算,.
因?yàn)閷W(xué)4一13=1,所以H,矽=%xi:-I-z2?%iz4=式5Xi—J4=*4
里一加=1
設(shè)直線MN:x=my+4,由43一'消去乂化簡(jiǎn)并整理得(362一4)丫2+24my+36=0.
x=my+4,
/3m2—4豐0
A=144(m2+4)>0
—24m
設(shè)N(*2,y2),則+丫2=
3針j
【月及二痂』
故卜2-七=含丫2y/2__y/2
%2-2—(myi+2)(my2+2)-m2yly2+2m(yi+yi)+4
36
=_________、二9
一72?烏_+?(二弊)+4—4-
3nlz—4v3mz-47
所以憶2(好+七)=k#2+k2k3=7+7)=為定值.
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