函數(shù)的圖象（6題型分類）-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（解析版）

專題08函數(shù)的圖象6題型分類

彩題如工總

彩先祗寶庫(kù)

一、掌握基本初等函數(shù)的圖像

（1）一次函數(shù)；（2）二次函數(shù)；（3）反比例函數(shù)；（4）指數(shù)函數(shù)；（5）對(duì)數(shù)函數(shù)；（6）三角函數(shù).

二、函數(shù)圖像作法

1、直接畫

①確定定義域；②化簡(jiǎn)解析式；③考察性質(zhì)：奇偶性（或其他對(duì)稱性）、單調(diào)性、周期性、凹凸性；④特

殊點(diǎn)、極值點(diǎn)、與橫/縱坐標(biāo)交點(diǎn)；⑤特殊線（對(duì)稱軸、漸近線等）.

2、圖像的變換

（1）平移變換

①函數(shù)V="X+。）（。＞0）的圖像是把函數(shù)y=/（%）的圖像沿x軸向左平移a個(gè)單位得到的；

②函數(shù)＞=/（x-。）（。＞。）的圖像是把函數(shù)y=/（x）的圖像沿x軸向右平移。個(gè)單位得到的；

③函數(shù)＞=/?+a（a＞0）的圖像是把函數(shù)y=/（x）的圖像沿J軸向上平移a個(gè)單位得到的；

④函數(shù)y=/（X）+。（。＞0）的圖像是把函數(shù)y=/（x）的圖像沿y軸向下平移。個(gè)單位得到的；

（2）對(duì)稱變換

①函數(shù)y=〃尤）與函數(shù)y=AT）的圖像關(guān)于＞軸對(duì)稱；

函數(shù)＞=/（元）與函數(shù)的圖像關(guān)于x軸對(duì)稱；

函數(shù)y=〃尤）與函數(shù)y=--（-尤）的圖像關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)（0,0）對(duì)稱；

②若函數(shù)八刈的圖像關(guān)于直線x=。對(duì)稱，則對(duì)定義域內(nèi)的任意x都有

/（0-》）=/（°+*）或/5）=/（2。-X）（實(shí)質(zhì)上是圖像上關(guān)于直線尤對(duì)稱的兩點(diǎn)連線的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為。，

即正丁U為常數(shù)）;

若函數(shù)fM的圖像關(guān)于點(diǎn)（4切對(duì)稱，則對(duì)定義域內(nèi)的任意工都有

f（x）=2b-f（2a-x）或“a-x）=2b-f（a+x）

③y=『（x）|的圖像是將函數(shù)/a）的圖像保留x軸上方的部分不變，將x軸下方的部分關(guān)于x軸對(duì)稱翻折上

來(lái)得到的（如圖（〃）和圖（。））所示

④y=/（M）的圖像是將函數(shù)/a）的圖像只保留y軸右邊的部分不變，并將右邊的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱得到函

數(shù)y=/（W）左邊的圖像即函數(shù)y=/（W）是一個(gè)偶函數(shù)（如圖（c）所示）.

注：|了（刈的圖像先保留了a）原來(lái)在x軸上方的圖像，做出x軸下方的圖像關(guān)于無(wú)軸對(duì)稱圖形，然后擦去無(wú)軸

下方的圖像得到；而/（|由的圖像是先保留人幻在y軸右方的圖像，擦去y軸左方的圖像，然后做出y軸右

方的圖像關(guān)于y軸的對(duì)稱圖形得到.這兩變換又叫翻折變換.

⑤函數(shù)y=廣（尤）與y=/（x）的圖像關(guān)于y=x對(duì)稱.

（3）伸縮變換

①y=Af（x）（A>0）的圖像，可將y=的圖像上的每一點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)（A>1）或縮短（0<A<l）到原來(lái)的

A倍得到.

②y=/（姓）（。>0）的圖像，可將y=/（x）的圖像上的每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)（0<?<l）或縮短（。>1）到原來(lái)

的,倍得到.

CD

彩得瓢祕(mì)籍（

由解析式選圖（識(shí)圖）

1-2.（2024高二下,云南保山,期末）函數(shù)y=sin『ln的圖象可能是（）.

【答案】A

【分析】利用排除法，結(jié)合函數(shù)的奇偶性以及函數(shù)值的符號(hào)分析判斷.

【詳解】因?yàn)閥=〃x）=sinxJnW^定義域?yàn)椋鹸|xw。｝,

(-X)2+2工

且2+2_/X

f(-x)=sin(-x>.,2---sinx-ln~~x^-=一于(1)，

-x

一+2

所以y=sin/ln土3為奇函數(shù)，函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故B,D都不正確;

%

2.r\r\

對(duì)于C,xe(O,7i)時(shí)，sinx>0,二^=1+彳>1,

22

所以lnY=+^2>0,所以y=sin『lnrF+=2>0,故C不正確;

對(duì)于選項(xiàng)A,符合函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，也符合%?。,兀）時(shí)，y=sinx.In'；＞＞（）,故A正確.

故選：A.

1-3.（2024高二下?湖北?期末）函數(shù)y=（2，-2T）cosx在區(qū)間［-2,2］上的圖象大致為（）

【答案】C

【分析】根據(jù)奇偶性排除D,再取特值無(wú)=l,x=2排除AB.

【詳解】因?yàn)闊o(wú)目-2,2],關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

/(-x)=(2-*-2")cos(-x)=_(2*-2-工)cosx=-/(x),

所以函數(shù)”X）為奇函數(shù)，故D錯(cuò)誤;

因?yàn)?<1<],所以cosl>0,所以/(1)=(2-2一)cosl=；cosl>0,故A錯(cuò)誤;

因?yàn)椋荩?＜兀，所以cos2＜0,所以/（2）=（4-2-2）cos2=/cos2＜0,故B錯(cuò)誤;

故選：C.

14（2。24全國(guó)）己知函數(shù)/（正—二則尸爪）的圖像大致為（）

【詳解】試題分析：設(shè)g（x）=ln（l+x）-x,貝九/（尤）=-忘，回g（?在（-1,0）上為增函數(shù)，在（0,+。）上為減函

數(shù)，回g（x）＜g（0）=0/（x）=急＜。，得"?；騎C＜O均有小）＜。排除選項(xiàng)4—=目金

x+1＞0

中,叱+1）-X/。,得》＞一1且田，故排除D.綜上，符合的只有選項(xiàng)B.故選B.

考點(diǎn)：1、函數(shù)圖象；2、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì).

1-5.（2024高三下?河南?階段練習(xí)）函數(shù)〃x）=（f+l卜in|x|的圖象大致為（）

【答案】B

【分析】根據(jù)函數(shù)的特殊值、奇偶性、單調(diào)性排除可得.

【詳解】當(dāng)x=0時(shí)，/（司=0,排除A選項(xiàng)；

因?yàn)椤?x）="x），xeR,所以為偶函數(shù)，排除C；

當(dāng)天>0時(shí)，（x）=2xsinx+（x2+1）cosx,

時(shí)，/,（%）=2xsinx+（x2+l）cosx>0,所以在區(qū)間［。均單調(diào)遞增;

因?yàn)閺Vg）>oj'（#<o’所以存在“45,便得廣（祖）=0,

故/（X）在（0,祖）上單調(diào)遞增，在W，兀）上單調(diào)遞誠(chéng)，排除D.

故選：B

逢他題秘籍（.）

由圖象選表達(dá)式

1、從定義域值域判斷圖像位置；

2、從奇偶性判斷對(duì)稱性；

3、從周期性判斷循環(huán)往復(fù)；

4、從單調(diào)性判斷變化趨勢(shì)；

5、從特征點(diǎn)排除錯(cuò)誤選項(xiàng).

題型2:由圖象選表達(dá)式

f)X-JrJr

2-1.(2024高三上?湖北襄陽(yáng)?期中)己知函數(shù)/(x)=cos無(wú)，g(x)=-一，若函數(shù)在[-彳，二]上的大致

x+122

圖象如圖所示，則以幻的解析式可能是()

A.h{x)=f(x)+g(x)B./i(x)=f(x)-g(x)

C.依尤)=/畀D.h(x)=/(x)g(x)

gO)

【答案】D

【分析】根據(jù)圖象判斷函數(shù)的奇偶性，結(jié)合特殊值，可得答案.

【詳解】易知〃X)=COSX為偶函數(shù)，由gO=([1)2]]==_g⑺,則g(x)為奇函數(shù)，

由圖象可知，該函數(shù)是奇函數(shù)，因?yàn)椤癤)是偶函數(shù)，g(x)是奇函數(shù)，所以/(x)±g(x)是非奇非偶函數(shù)，A,B

不符合題意.

因?yàn)楫?dāng)x=0時(shí)，＞=倏無(wú)意義，所以C不符合題意.

g(x)

故選：D.

2-2.(2024?貴州畢節(jié)?模擬預(yù)測(cè))如圖，這是函數(shù)/(尤)的部分圖象，則它的解析式可能是()

B./(x)=ln|x|-ex+e'

C./(x)=(e%-e-jr)ln|x|/、Inlxl

D?=-x

【答案】D

【分析】觀察函數(shù)，(尤)的圖象可得函數(shù)/'(X)是奇函數(shù)，由此排除AB；再由函數(shù)單調(diào)性定義推理并排除C

作答.

【詳解】觀察函數(shù)的圖象知，函數(shù)的定義域?yàn)?-8,0)U?+8),是奇函數(shù)，

而函數(shù)，=ln|x|是偶函數(shù)，函數(shù)y=e*-eT是奇函數(shù)，

則〃x)=l巾|+e'—1與/'(x)=l中卜e'er是非奇非偶函數(shù)，AB不可能；

對(duì)于C,f(x)是奇函數(shù)，且當(dāng)x>l時(shí)，函數(shù)y=ln|x^y=e'_er都是增函數(shù)，

x,-x%2-%2

任取1<%<工2，0<e-e1<e-e,0<In|^|<In|x21,

因此/(占)</(%),即函數(shù)“X)在(l,y)上單調(diào)遞增，C不可能；

對(duì)于D,/(x)是奇函數(shù)，當(dāng)x>0且無(wú)限增大時(shí)，的值無(wú)限趨近于e，，且趨近于無(wú)窮大，

Inx的值無(wú)限趨近于無(wú)窮大，但e*增大的速度遠(yuǎn)大于Inx增大的速度，則無(wú)限趨近于0,

e'-e-x

當(dāng)xf0時(shí)，選項(xiàng)D符合.

故選：D

2-3.(2024?陜西西安?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)f(x)在區(qū)間［-2,2］上的大致圖象如圖所示，則了(刈的解析式可以

是()

A.y(x)=(e"-月卜B./(尤)=(e*-efsinx

C./(x)=(e*-efcosxD./(x)=—e-Y)x2

【答案】C

【分析】利用排除法，根據(jù)函數(shù)的奇偶性和符號(hào)分析判斷.

【詳解】因?yàn)?e，-b)+(b一6')=0,所以y=e-eT為奇函數(shù)，

對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)閥=x為奇函數(shù)，則/(x)=(e「ef卜為偶函數(shù)，不合題意，故A錯(cuò)誤;

對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)閥=sinx為奇函數(shù)，則/（尤）=3-6一下近》為偶函數(shù)，不合題意，故B錯(cuò)誤;

對(duì)于選項(xiàng)D：當(dāng)尤>0時(shí)，e*>1,片*=-!-<1,尤2>0,可得e'-eT=e'—!>0,

exe%

則（e-er）x2>0,

所以當(dāng)尤>0時(shí)，/'（》）=（d一F，）尤2>0恒成立，不合題意，故D錯(cuò)誤；

故選：C.

24（2024?天津）己知函數(shù)〃x）的部分圖象如下圖所示，則的解析式可能為（）

5sin尤

B.

%2+1

5e'+5eT5cosx

D.

'%2+2x2+l

【答案】D

【分析】由圖知函數(shù)為偶函數(shù)，應(yīng)用排除，先判斷B中函數(shù)的奇偶性，再判斷A、C中函數(shù)在（0,+8）上的函

數(shù)符號(hào)排除選項(xiàng)，即得答案.

【詳解】由圖知：函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，其為偶函數(shù)，且/（-2）=/（2）<0,

由浮身=一型］且定義域?yàn)樨兰碆中函數(shù)為奇函數(shù)，排除；

（T）+1X+1

當(dāng)x>0時(shí)任二￡2>0、5（?）>0,即人、c中（0,+◎上函數(shù)值為正，排除;

X2+2X2+2

故選：D

彩他題被籍

表達(dá)式含參數(shù)的圖象問題

根據(jù)函數(shù)的解析式識(shí)別函數(shù)的圖象，其中解答中熟記指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì)，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，以及復(fù)

合函數(shù)的單調(diào)性的判定方法是解答的關(guān)鍵，著重考查分析問題和解答問題的能力，以及分類討論思想的應(yīng)

用.

題型3:表達(dá)式含參數(shù)的圖象問題

3-1.（2024高一下?黑龍江齊齊哈爾?開學(xué)考試）函數(shù)〃力=優(yōu)-。（a>0,且。片1）的圖象可能是（）.

【答案】C

【分析】利用指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)以及圖象的平移變換進(jìn)行判斷.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，（力=4一。（4>0,且"1）,

當(dāng)時(shí)，丁=優(yōu)是增函數(shù)，并且恒過(guò)定點(diǎn)（0,1）,

又因?yàn)?（力=優(yōu)-。的圖象在>=優(yōu)的基礎(chǔ)上向下平移超過(guò)1個(gè)單位長(zhǎng)度，故D錯(cuò)誤，C正確；

當(dāng)0<“<1時(shí)，y=優(yōu)是減函數(shù)，并且恒過(guò)定點(diǎn)（0,1）,

又〃力=優(yōu)一°的圖象在>的基礎(chǔ)上向下平移了不到1個(gè)單位長(zhǎng)度，故A,B錯(cuò)誤.

故選：C.

3-2.（2024?浙江紹興?模擬預(yù)測(cè)）在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y=log0（-X）,〉=二工（。>0）,且。片1的圖象

可能是（）

【答案】c

【分析】由函數(shù)y=Iog“(-X)的圖象與函數(shù)y=log“X的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)及反

比例函數(shù)的單調(diào)性即可求解.

【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)y=log/r)的圖象與函數(shù)》=1嗚%的圖象關(guān)于，軸對(duì)稱，

所以函數(shù)y=iog.(-x)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)(T,。)，故選項(xiàng)A、B錯(cuò)誤；

當(dāng)0>i時(shí)，函數(shù)y=log0%在(0,+8)上單調(diào)遞增，所以函數(shù)y=log“(-x)在(-8,0)上單調(diào)遞減，

又〉=￡zl(a>l)在(—8,0)和(0,+“)上單調(diào)遞減，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤，選項(xiàng)c正確.

X

故選：C.

3-3.(2024高三?四川?對(duì)口高考)已知函數(shù)y=log”(x+Z?)(〃，匕為常數(shù),其中〃>0且awl)的圖象如圖所

A.a=0.5，b=2B.a=2,b=2

C.a=0.5，b=0.5D.a=2,b=0.5

【答案】D

【分析】由函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，可得。＞1,排除A,C；代入(050),得6=0.5,從而得答案.

【詳解】解：由圖象可得函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，

所以。＞1,排除A,C；

又因?yàn)楹瘮?shù)過(guò)點(diǎn)(050),

所以6+0.5=1,解得6=0.5.

故選：D

3-4.(2024?浙江)在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y=5,y=logjx+；卜。＞。且awl)的圖象可能是

【答案】D

【解析】本題通過(guò)討論。的不同取值情況，分別討論本題指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和，結(jié)合選項(xiàng)，判斷得

出正確結(jié)論.題目不難，注重重要知識(shí)、基礎(chǔ)知識(shí)、邏輯推理能力的考查.

【詳解】當(dāng)0＜〃＜1時(shí)，函數(shù)＞=優(yōu)過(guò)定點(diǎn)(0,1)且單調(diào)遞減，則函數(shù)y=4過(guò)定點(diǎn)(0,1)且單調(diào)遞增，函數(shù)

a

、=1。8〃，+￡|過(guò)定點(diǎn)§,0)且單調(diào)遞減，D選項(xiàng)符合；當(dāng)“＞1時(shí)，函數(shù)y="過(guò)定點(diǎn)(0,1)且單調(diào)遞增，則

函數(shù)y=：過(guò)定點(diǎn)(°，D且單調(diào)遞減，函數(shù)＞=bg“過(guò)定點(diǎn)(；，。)且單調(diào)遞增，各選項(xiàng)均不符合.綜上,

選D.

【點(diǎn)睛】易出現(xiàn)的錯(cuò)誤有，一是指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)掌握不熟，導(dǎo)致判斷失誤；二是不能通

過(guò)討論。的不同取值范圍，認(rèn)識(shí)函數(shù)的單調(diào)性.

彩他題秘籍

—（四）

函數(shù)圖象應(yīng)用題

在解決這類問題時(shí)，需要理解題目中的實(shí)際背景，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，并運(yùn)用函數(shù)的知識(shí)進(jìn)行分

析和求解。

題型4:函數(shù)圖象應(yīng)用題

4-1.（2024?四川南充,三模）血藥濃度是指藥物吸收后在血漿內(nèi)的總濃度，當(dāng)血藥濃度介于最低有效濃度和

最低中毒濃度之間時(shí)藥物發(fā)揮作用.某種藥物服用工單位后，體內(nèi)血藥濃度變化情況如圖所示（服用藥物

時(shí)間對(duì)應(yīng)f時(shí)），則下列說(shuō)法中不正確的是（）

A.首次服藥1單位后30分鐘時(shí)，藥物已經(jīng)在發(fā)揮療效

B.若每次服藥1單位，首次服藥1小時(shí)藥物濃度達(dá)到峰值

C.若首次服藥1單位，3小時(shí)后再次服藥1單位，一定不會(huì)發(fā)生藥物中毒

D.每間隔5.5小時(shí)服用該藥物1單位，可使藥物持續(xù)發(fā)揮治療作用

【答案】C

【分析】根據(jù)所給圖象及最低有效濃度、最低中毒濃度，逐項(xiàng)判斷即可得解.

【詳解】由圖象知，當(dāng)服藥半小時(shí)后，血藥濃度大于最低有效濃度，故藥物已發(fā)揮療效，故A正確；

由圖象可知，首次服藥1小時(shí)藥物濃度達(dá)到峰值，故B正確；

首次服藥1單位，3小時(shí)后再次服藥1單位，經(jīng)過(guò)1小時(shí)后，血藥濃度超過(guò)3a+6a=9”，會(huì)發(fā)生藥物中毒,

故C錯(cuò)誤;

服用該藥物5..5小時(shí)后血藥濃度達(dá)到最低有效濃度，再次服藥可使血藥濃度超過(guò)最低有效濃度且不超過(guò)最低

中毒濃度，藥!物持續(xù)發(fā)揮治療作用，故D正確.

故選：C

4-2.(2024?四川樂山?二模)數(shù)學(xué)與音樂有著緊密的關(guān)聯(lián)，我們平時(shí)聽到的樂音一般來(lái)說(shuō)并不是純音，而是

由多種波疊加「而成的復(fù)合音.如圖為某段樂音的圖像，則該段樂音對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式可以為()

K

丁、

OX

A.y=sinx+—sin2x+—sin3xB.y=sinx--sin2x--sin3x

2323

1cle1cle

C.y=sinx+—cos2x+—cos3xD.y=cosx+—cos2x+—cos3x

2323

【答案】A

【分析】由圖，像可知，該函數(shù)為奇函數(shù)，根據(jù)奇偶函數(shù)的定義，得出A,B為奇函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)圖像中

/(^)>0,判1斷出A對(duì)，B錯(cuò)；由圖像得/(。)=。，判斷出C,D錯(cuò)誤，即可得出答案.

函數(shù)

【詳解】對(duì)于A,y=/(x)=sinx+gsin2x+gsin3x,

因?yàn)?(-尤)=--sinx-sin2x-sin3x=-/(x),所以函數(shù)為奇函數(shù)，

又怎考+'交」+迪〉0,故A正確；

2623

y=/(x)=sinx—sin2%—；sin3x,

對(duì)于B,函數(shù):

-sinx+；sin2x+gsin3x=一,所以函數(shù)為奇函數(shù)，

因?yàn)閥(-x)=-

又編考1逝逝11.51八痂口碎、口

263232

=/(x)=sinx+^cos2x+；cos3x,

對(duì)于C,函數(shù):

因?yàn)?(0)=g4=7*°'故C錯(cuò)誤；

3o

y=/(尤)=cosx+gcos2x+；cos3x,

對(duì)于D,函數(shù)

/⑼=1+J?=?片0,故D錯(cuò)誤，

36

故選：A.

4-3.（2024高三上?北京大興?期中）如圖為某無(wú)人機(jī)飛行時(shí)，從某時(shí)刻開始15分鐘內(nèi)的速度V（x）（單位：

米/分鐘）與時(shí)間無(wú)（單位：分鐘）的關(guān)系.若定義"速度差函數(shù)〃v（x）為無(wú)人機(jī)在時(shí)間段[0,目?jī)?nèi)的最大速度

與最小速度的差，則v（尤）的圖像為（）

【分析】根據(jù)速度差函數(shù)的定義，分為€[0,6],彳€[6,10],尤注10,12],尤以12,15]四種情況，分別求得函數(shù)解析

式，從而得到函數(shù)圖像.

4040

【詳解】由題意可得，當(dāng)xe[0,6]時(shí)，無(wú)人機(jī)做勻加速運(yùn)動(dòng)，V（x^60+—x,"速度差函數(shù)"（無(wú)）=可小

當(dāng)xe[6,10]時(shí)，無(wú)人機(jī)做勻速運(yùn)動(dòng)，V（x）=140,"速度差函數(shù)"v（x）=80；

當(dāng)xe[10,12]時(shí)，無(wú)人機(jī)做勻加速運(yùn)動(dòng),V（x）=40+10x,“速度差函數(shù)〃心）=-20+10彳；

當(dāng)尤e[12,15]時(shí)，無(wú)人機(jī)做勻減速運(yùn)動(dòng)，"速度差函數(shù)"v（無(wú)）=100,結(jié)合選項(xiàng)C滿足"速度差函數(shù)"解析式，

故選：C.

4-4.（2024高三上?山西忻州?階段練習(xí)）青花瓷，又稱白地青花瓷，常簡(jiǎn)稱青花，是中國(guó)瓷器的主流品種之

一.如圖，這是景德鎮(zhèn)青花瓷，現(xiàn)往該青花瓷中勻速注水，則水的高度y與時(shí)間x的函數(shù)圖像大致是（）

【分析】根據(jù)瓷器的形狀：中間粗，上下細(xì)來(lái)分析水的增高速度.

【詳解】由圖可知該青花瓷上、下細(xì)，中間粗，則在勻速注水的過(guò)程中，水的高度先一直增高，且開始時(shí)水

的高度增高的速度越來(lái)越慢，到達(dá)瓷瓶最粗處之后，水的高度增高的速度越來(lái)越快，直到注滿水，結(jié)合選

項(xiàng)所給圖像，只有先慢后快的趨勢(shì)的c選項(xiàng)符合.

故選：c

彩做題淞籍一

（五）

函數(shù)圖象的變換

熟悉函數(shù)三種變換：（1）平移變換；（2）對(duì)稱變換；（3）伸縮變換.

題型5:函數(shù)圖象的變換

5-1.（2024高三?北京?學(xué)業(yè)考試）將函數(shù)y=log2X的圖象向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)y="X）的圖象,

則/（*）=（）

A.log2（x+l）B.l+log2%

C.log2（x-l）D.-l+log2x

【答案】B

【分析】根據(jù)函數(shù)平移變換進(jìn)行求解即可.

【詳解】將函數(shù)y=iog2尤的圖象向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)y=i+iog2尤.

故選：B.

5-2.（2024高三?全國(guó)?對(duì)口高考）把函數(shù)＞=log3（尤T）的圖象向右平移g個(gè)單位，再把橫坐標(biāo)縮小為原來(lái)的

所得圖象的函數(shù)解析式是.

【答案】y=loghx-^\

【分析】根據(jù)函數(shù)圖象變換規(guī)律可得答案.

【詳解】把函數(shù)＞=1鳴5-1）的圖象向右平移9個(gè)單位，得函數(shù)y=log3（x-Ll）=log3（x-j）,再把橫坐

標(biāo)縮小為原來(lái)的;，得到函數(shù)y=logg-）的圖象.

故答案為：y=log3^2x-1^

5-3.（2024?北京豐臺(tái)?二模）為了得到函數(shù)y=bg2（2x-2）的圖象，只需把函數(shù)y=log?x的圖象上的所有點(diǎn)

（）

A.向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度

B.向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度

C.向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度

D.向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度

【答案】D

【分析】按照左加右減，上加下減，結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算，得到答案.

【詳解】A選項(xiàng)，向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，得到

y=log2（x+2）+2=log24（x+2）=log24x+8,錯(cuò)誤；

Y-

B選項(xiàng)，向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到y(tǒng)=log?(x-2)-2=log?十D，錯(cuò)誤;

C選項(xiàng)，向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到

y=log2(x+l)+l=log2(j：+l)+log22=log22(J:+1)=log2(2x+2),錯(cuò)誤;

D選項(xiàng)，向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到

y=log2(x-l)+l=log2(x-l)+log22=log22(x-1)=log2(2x-2),正確.

故選：D

5-4.(2024高三?全國(guó)?專題練習(xí))函數(shù))>=旭(天+1)］的圖像是()

【分析】由函數(shù)y=igx的圖象與x軸的交點(diǎn)是(L0)結(jié)合函數(shù)的平移變換得函數(shù)y=|ig(x+D|的圖象與％軸的

公共點(diǎn)是(0,0),即可求解.

【詳解】由于函數(shù)y=ig(無(wú)+D的圖象可由函數(shù)y=igx的圖象左移一個(gè)單位而得到，函數(shù)y=igx的圖象與x

軸的交點(diǎn)是(1,0),

故函數(shù)y=lg(x+l)的圖象與X軸的交點(diǎn)是(0,0),即函數(shù)y=|lg(x+l)|的圖象與尤軸的公共點(diǎn)是(0,0),顯然四

個(gè)選項(xiàng)只有A選項(xiàng)滿足.

故選：A.

他題秘籍一

(K)

函數(shù)圖像的綜合應(yīng)用

1、利用函數(shù)圖像判斷方程解的個(gè)數(shù).由題設(shè)條件作出所研究對(duì)象的圖像，利用圖像的直觀性得到方程解的

由/(x)+x-a=O得/(x)=-x+a,

所以函數(shù)y=/(x)的圖象與〉=-x+a的圖象恰有一個(gè)交點(diǎn).

作出函數(shù)/(元)的圖象，如圖所示.

2,

拋物線的頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x=-兩刁=1，縱坐標(biāo)為-1+2+1=2,所以A(l,2).

當(dāng)丈=2時(shí)，log2X=log22=l,-/+2x+l=l,所以點(diǎn)8(2,1)是拋物線和對(duì)數(shù)函數(shù)圖象的交點(diǎn).

37

設(shè)拋物線的切點(diǎn)C坐標(biāo)為(%,%),h'(x)=-2x+2,:.h，5)=一2尤0+2=-l,.\x0=-,y0=-.

377313

所以切點(diǎn)C坐標(biāo)為(彳,二)，所以:=-彳+。,，。=T.

24424

13

所以當(dāng)。〉工時(shí)，函數(shù)>=/(尤)的圖象與y=-x+。的圖象恰有一個(gè)交點(diǎn).

4

由題得直線A8的斜率為=-L

1-2

當(dāng)％=0時(shí)，,(0)=1,所以1=-0+〃,「.a=l.

當(dāng)％=1,y=2時(shí)，2=—1+a,/.a=3.

所以當(dāng)Iva<3時(shí)，函數(shù)>=/(尤)的圖象與丁=-無(wú)+。的圖象恰有一個(gè)交點(diǎn).

13

綜上，當(dāng)1<〃<3或〃〉二時(shí)，函數(shù)>=/(%)的圖象與y=-x+〃的圖象恰有一個(gè)交點(diǎn).

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題有兩個(gè)關(guān)鍵，其一，是作出函數(shù)〃元)的圖象；其二，是要通過(guò)數(shù)形結(jié)合分析得到

參數(shù)的取值范圍.

64(2024?甘肅?二模)已知函數(shù)y=/(尤)滿足：當(dāng)—2WxW2時(shí)，f(x)=-^x2+l,且/(x)=/(x+4)對(duì)任

意xeR都成立，則方程167(^)=4|x|+l的實(shí)根個(gè)數(shù)是.

【答案】4

【分析】根據(jù)給定條件，探討函數(shù)y=/(x)的性質(zhì)，變形給定方程，轉(zhuǎn)化成求兩個(gè)函數(shù)圖象的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)作

答

【詳解】依題意，函數(shù)y=/(x)是以4為周期的偶函數(shù)，當(dāng)-2<x42時(shí)，f(x)=-^x2+l,

則當(dāng)2WxW6時(shí)，/(x)=—(無(wú)一4)一+1=—x2+2,x—3,

44

方程16f(x)=4|x|+lof(x)=」|x|+4,

416

因此原方程的實(shí)根就是函數(shù)y=/(x)與函數(shù)y=：|x|+4的圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，

416

y=--x2+2x-3\x=-

當(dāng)2K6時(shí)，由J，J4得;2，即當(dāng)2<x<6時(shí)，兩函數(shù)圖象只有一個(gè)公共點(diǎn)，

y=—x+——y=——

〔416I16

于是當(dāng)X20時(shí)，函數(shù)y=/(x)與y=g|x|+4的圖象有2個(gè)公共點(diǎn)，

416

又函數(shù)y=〃尤)與y=!|x|+J均為偶函數(shù)，則當(dāng)x<o時(shí)，兩個(gè)函數(shù)圖象有2個(gè)公共點(diǎn)，

416

所以函數(shù)y=/(x)與y=的圖象有4個(gè)公共點(diǎn)，即原方程有4個(gè)根.

416

故答案為：4

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷方法：⑴直接法：直接求出f(x)=0的解；(2)圖象法：作出函數(shù)f(x)

的圖象，觀察與x軸公共點(diǎn)個(gè)數(shù)或者將函數(shù)變形為易于作圖的兩個(gè)函數(shù)，作出這兩個(gè)函數(shù)的圖象，觀察它們

的公共點(diǎn)個(gè)數(shù).

6-5.(2024高三上?湖南長(zhǎng)沙?階段練習(xí))已知定義在R上的偶函數(shù)“X)滿足：/(x+4)=/(x)+/(2),且

當(dāng)xe［0,2］時(shí)，y=單調(diào)遞減，給出以下四個(gè)命題：①/?⑵=0；②尤=4是函數(shù)y=/(x)圖像的一條對(duì)

稱軸；③函數(shù)y=〃x)在區(qū)間［6,8］上單調(diào)遞增；④若方程〃力=0.在區(qū)間［-2,2］上有兩根為花，%,貝I］

芯+%=。以上命題正確的是.(填序號(hào))

【答案】①②③④

【分析】由已知條件分析函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)圖像，判斷各命題是否正確.

【詳解】①因?yàn)椤坝?是定義在R上的偶函數(shù)，所以〃r)=〃x),可得"-2)=〃2),

在〃x+4)=〃x)+〃2)中，令x=-2,得〃2)=〃-2)+/(2),所以八一2)=八2)=0,

所以〃x+4)=〃x),所以函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)；

結(jié)合函數(shù)的奇偶性和指定區(qū)間的單調(diào)性，畫出函數(shù)/>(X)的簡(jiǎn)圖，如圖所示.

②x=4為函數(shù)y=圖像的一條對(duì)稱軸；

③函數(shù)y="X)在［6,8］單調(diào)遞增；

④若方程/(x)=o在［-2,2］上的兩根為公，X［,則西+X2=0,故①②③④均正確.

故答案為：①②③④.

煉習(xí)與桎升

一、單選題

1.(2024?山東煙臺(tái)?二模)函數(shù)y=N(sinx-sin2x)的部分圖象大致為()

【答案】C

【分析】

判斷函數(shù)的奇偶性，再用賦值法，排除ABD,即可.

【詳解】由_y=/(x)=x(sinx-sin2x),

得/(—x)=—x[sin(—x)—sin(—2尤)]=-x(—sinx+sin2x)=/(x),

所以〃x）為偶函數(shù)，故排除BD.

71兀/?兀.\兀?

當(dāng)時(shí)，y^f=-(sin--sinit)=—>0,排除AA.

故選：C.

2.（2024?重慶?模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)＞=g（x-2）21nx2的圖像是（）

【分析】根據(jù)題意，令y=o,可以排除AD,然后求導(dǎo)得了，即可排除C.

【詳解】因?yàn)閥=；(x-2)21nf,令y=0,則g(x-2)21nx2=o,

即(％-2)2=0,解得尤=2,或ln%2=0,解得％=±1,

所以當(dāng)無(wú)＜0時(shí)，函數(shù)有1個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn),

所以排除AD；

1199

當(dāng)%>0時(shí)，y=—(x—2)2Inx2=—(x—2)x21nx=(x—2)Inx,

則y=2(x—2)ln%+@_,當(dāng)x>2時(shí),y'>0,

所以當(dāng)X￡(2,y)時(shí)，y>0,函數(shù)單調(diào)遞增，所以B正確；

故選：B.

3.（2024?安徽安慶?二模）函數(shù)/（x）

【分析】代入特殊點(diǎn)及結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)分析即可.

【詳解】由解析式可得XX土g,/（0）=-1<0,排除A；

觀察C、D選項(xiàng)，其圖象關(guān)于縱軸對(duì)稱，而3y-sin2xw/（x）,

說(shuō)明/'（*）不是偶函數(shù)，即其函數(shù)圖象不關(guān)于縱軸對(duì)稱，排除C、D；顯然選項(xiàng)B符合題意.

故選：B

4.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)〃x）=3尤2°；產(chǎn)的大致圖像為（）

C

【分析】根據(jù)題意，由函數(shù)的奇偶性可排除AD,再由〃2)<0可排除C,即可得到結(jié)果.

【詳解】因?yàn)椤ㄓ绕涠x域?yàn)镽,所以==

所以〃x)為偶函數(shù)，排除選項(xiàng)A,D,

又因?yàn)椤?)=超詈=3cos4,因?yàn)?e(兀所以cos4<0,所以/'(2)<0,排除選項(xiàng)C.

故選：B.

5.(2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)"X)在[-2,2]上的圖像如圖所示，則/⑴的解析式可能是()

A./(X)=2-e2-xB./(x)=x2-|x|-2

C./(x)=2x2-ewD./(x)=In(x2-21x|+2)-1

【答案】C

【分析】根據(jù)圖像知函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，并且在y軸右側(cè)先減后增，且X=2時(shí)函數(shù)值大于0,然后根據(jù)這些

特點(diǎn)對(duì)每個(gè)選項(xiàng)中的函數(shù)逐一判斷即可.

【詳解】由題圖，知函數(shù)/(X)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，所以函數(shù)/(X)是偶函數(shù)，故排除A；

對(duì)于B,/(x)=F：一無(wú)一2'北°,雖然函數(shù)/(X)為偶函數(shù)且在屋]上單調(diào)遞減，在2,21上單調(diào)遞增，但

[X2+X-2,X<0I2；^2)

/(2)=0,與圖像不吻合，排除B；

對(duì)于D,因?yàn)?(x)=ln[(|x|-l)2+：l]-l=F(-x),所以函數(shù)/(x)是偶函數(shù)，但/(2)=ln2-l<0,與圖像不

吻合，排除D；

對(duì)于C,函數(shù)〃尤)為偶函數(shù)，圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，下面只分析y軸右側(cè)部分.當(dāng)工￡(。,2)時(shí)，/(x)=2x2-e\

f'(x)=4x-ex,

令0(x)=4x—e",求導(dǎo)，得e'(x)=4-el當(dāng)xw(0,ln4)時(shí)，/(%)單調(diào)遞增，

當(dāng)尤s(ln4,2)時(shí)，夕(%)<0,7'(%)單調(diào)遞減，所以/'(%)在x=ln4處取得最大值.

又因?yàn)?(。)<0,r(ln4)>0,尸⑵>0,所以居e(0,ln4),使得((%)=0,

當(dāng)xe(O,x0)時(shí)，/(x)<0,F(x)單調(diào)遞減，當(dāng)無(wú)?%,2)時(shí)，/(%)>0,一。)單調(diào)遞增，"2)=8-/>0與

圖像吻合.

故選：C.

6.(2024.河北?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)“X)的部分圖象如圖所示，則〃尤)的解析式可能為()

A./（X）=XCOS7T（X+1）B./（X）=（X-1）COS7CV

C./（x）=（x-l）sin7txD./（x）=-2x2+x-l

【答案】B

【分析】由圖象得了(O)片0故排除AC選項(xiàng)；對(duì)D選項(xiàng)根據(jù)極值點(diǎn)個(gè)數(shù)排除；分析B項(xiàng)滿足.

【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，"0)=0,A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于C選項(xiàng)，/(O)=O,C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于D選項(xiàng)，廣(力=3尤2一4x+l,/'(x)=0有兩個(gè)不等的實(shí)根，故〃尤)有兩個(gè)極值點(diǎn)，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

對(duì)于B選項(xiàng)，y(x)=(x-l)cos7tx,/(0)<0;

當(dāng)xe左eZ時(shí)，cosiuc>0,x-l<0,此時(shí)/(x)<0,

當(dāng)xeeZ時(shí)，cosTLX<0,x-l<0,此時(shí)/(x)>0,

當(dāng)無(wú)左eZ時(shí)，cos7tx<0,x-l>0,止匕時(shí)/(x)<0,

依次類推可知“X）函數(shù)值有正有負(fù);

顯然“X）不單調(diào)；

因?yàn)楫?dāng)尤=<+左,丘Z時(shí)〃x）=0,所以〃尤）有多個(gè)零點(diǎn)；

因?yàn)椤?）=1,〃—2）=-3,所以〃2片〃-2）,〃2片—〃—2）,所以外力既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，以

上均符合，故B正確.

故選：B.

7.（2024?貴州遵義?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)“X）在［-4,4］上的大致圖象如下所示，則的解析式可能為（）

N.(16-

B*/(%)=

10

I.JVC

C.7（x）=|x|-（4-|x|）D.x\-sin—

【答案】B

【分析】利用函數(shù)圖象的對(duì)稱性即奇偶性排除一個(gè)選項(xiàng)，再利用函數(shù)值〃2）的大小排除2個(gè)選項(xiàng)后可得.

【詳解】函數(shù)圖象關(guān)于V軸對(duì)稱，函數(shù)為偶函數(shù)，選項(xiàng)D中函數(shù)滿足/（-尤）=卜小也（菱）=-四吟=-/（尤）,

為奇函數(shù)，排除D；

又選項(xiàng)C中函數(shù)滿足"2）=4,與圖象不符，排除C；

選項(xiàng)A中函數(shù)滿足3x2x（l+cos苧）與圖象不符，排除A,

只有B可選.

故選：B.

8.（2024?山東濱州?二模）函數(shù)〃x）=Assx的圖象如圖所示,貝|］（）

ax-bx+c

B.a<0,b=0Jc<0

C.a<0,b<0,c=0D.a>0,b=Ofc>0

【答案】A

【分析】由圖象分析函數(shù)奇偶性，特殊位置，及函數(shù)定義域即可.

【詳解】由圖象觀察可得函數(shù)圖象關(guān)于>軸對(duì)稱，即函數(shù)為偶函數(shù)，

所以〃-x)=3+ssx=〃尤)得:6=0,故c錯(cuò)誤；

ax+bx+c

4

由圖象可知"0)=]<0nc<。，故D錯(cuò)誤；

因?yàn)槎x域不連續(xù)，所以冰2一次+c=。有兩個(gè)根可得△=Z?2-4OC>O,即a、c異號(hào)，a>0,即B錯(cuò)誤，A

正確.

故選：A

9.(2024?河南鄭州?二模)若函數(shù)/(無(wú)一的部分圖象如圖所示，則〃5)=()

IDXIC

【答案】A

【分析】根據(jù)函數(shù)圖象，利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式，即可得解.

【詳解】由圖象知，"2+bx+c=。的兩根為2,4,且過(guò)點(diǎn)(3,1),

9a+3b+c

所以2x4=-解得a=-2,6=12,c=-16,

a

2+4」

a

21

所以〃尤）=

—2尤2+12x—16—x^+6無(wú)一8

1

所以f(5)=

-25+30-83

故選：A

10.（2024高一上?江西鷹潭?期末）高為H、滿缸水量為V的魚缸的軸截面如圖所示，現(xiàn)底部有一個(gè)小洞,

滿缸水從洞中流出，若魚缸水深為九時(shí)水的體積為叭則函數(shù)■=/（//）的大致圖像是

【分析】由函數(shù)的自變量為水深口函數(shù)值為魚缸中水的體積，得到函數(shù)圖像過(guò)原點(diǎn)，再根據(jù)魚缸的形狀,

得到隨著水深的增加，體積的變化速度是先慢后快再慢的，即可求解.

【詳解】根據(jù)題意知，函數(shù)的自變量為水深。，函數(shù)值為魚缸中水的體積，所以當(dāng)丸=0時(shí)，體積v=0,所

以函數(shù)圖像過(guò)原點(diǎn)，故排除A、C；

再根據(jù)魚缸的形狀，下邊較細(xì)，中間較粗，上邊較細(xì)，所以隨著水深的增加，體積的變化速度是先慢后快

再慢的，故選B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的使用應(yīng)用問題，其中解答中根據(jù)水缸的形狀，得到函數(shù)的性質(zhì)是解答的關(guān)

鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎(chǔ)題.

11.（2024高一上,黑龍江?期中）列車從A地出發(fā)直達(dá)500km外的B地，途中要經(jīng)過(guò)離A地300km的C地，

假設(shè)列車勻速前進(jìn)，5h后從A地到達(dá)2地，則列車與C地距離y（單位：km）與行駛時(shí)間f（單位：h）的

函數(shù)圖象為（）

【答案】C

【分析】考查列車行駛速度，貝U3小時(shí)后可到達(dá)C地，排除法即可.

【詳解】團(tuán)列車勻速前進(jìn)，

團(tuán)列車行駛速度v=壽=100km/h

回列車替=3（h）后到達(dá)C地，

此時(shí)距離C地0km,

即函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3,0）,

由此可排除A、B、D,知C正確，

故選：C.

12.（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）如圖，正0ABe的邊長(zhǎng)為2,點(diǎn)。為邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)尸沿著邊AC,CB運(yùn)

動(dòng)到點(diǎn)8,記函數(shù)/?⑴=|尸2|2-|必巳貝「=/（無(wú)）的圖象大致為（）

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合圖形，分析區(qū)間（0,3-rr）和（1TT,Tt）±/（X）的符號(hào)，再分析了（X）的對(duì)稱性，

排除BC。，即可得答案.

【詳解】根據(jù)題意，f（x）=\PB\2-|B4|2,^ADP=x.

TT

在區(qū)間（0,萬(wàn)）上，P在邊AC上，|PB|>|B4|,則/（x）>0,排除C；

JT

在區(qū)間（弓，n）上，P在邊BC上，|P8|<|以I，則/（無(wú)）<0,排除8,

n

又由當(dāng)X/+無(wú)2=H時(shí)，有/（尤/）=-f（X2）?f（X）的圖象關(guān)于點(diǎn)（3，0）對(duì)稱，排除，

故選：A

13.（2024?重慶?模擬預(yù)測(cè)）勻速地向一底面朝上的圓錐形容器注水，則該容器盛水的高度場(chǎng)關(guān)于注水時(shí)間/

的函數(shù)圖象大致是（）

【答案】A

【分析】設(shè)出圓錐底面圓半徑r,高〃，利用圓錐與其軸垂直的截面性質(zhì)，建立起盛水的高度〃與注水時(shí)間

f的函數(shù)關(guān)系式即可判斷得解.

【詳解】設(shè)圓錐P0底面圓半徑r,高H,注水時(shí)間為/時(shí)水面與軸尸。交于點(diǎn)O',水面半徑AO'=x,此時(shí)

水面高度尸O'=〃，如圖：

由垂直于圓錐軸的截面性質(zhì)知，-=—,即苫=之1，則注入水的體積為^=1萬(wàn)/人=!%（二.〃了）:“；.”,

rHH33H3H2

令水勻速注入的速度為v,則注水時(shí)間為f時(shí)的水的體積為1=近，

于是得東點(diǎn)="=/=3H2Vt

即J萼:是常數(shù),

而r,〃,v都是常數(shù),