基本不等式（解析版）-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（新高考專用）

第03講基本不等式

目錄

第一部分：基礎(chǔ)知識.................................................2

第二部分：高考真題回顧.............................................3

第三部分：高頻考點一遍過...........................................6

高頻考點一：基本不等式的內(nèi)容及辨析..............................6

高頻考點二：利用基本不等式比較大小..............................8

高頻考點三：利用基本不等式求最值...............................11

角度1：利用基本不等式求積最大值..............................11

角度2：利用基本不等式求和最小值.............................12

角度3：二次與二次（一次）的商式的最值.......................13

角度4：“1”的妙用求最值......................................15

角度5：條件等式求最值........................................16

高頻考點四：基本不等式的恒成立問題.............................20

高頻考點五：利用基本不等式解決實際問題.........................24

第四部分：典型易錯題型............................................28

備注：利用基本不等式解題容易忽視“一正”，“三相等”.............28

第五部分：新定義題（解答題）......................................30

第一部分：基礎(chǔ)知識

1、基本不等式（一正，二定，三相等，特別注意“一正”，“三相等”這兩類陷阱）

①如果a>0,b>0,施工號,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，等號成立.

②其中J法叫做正數(shù)。，6的幾何平均數(shù)；叫做正數(shù)"，〃的算數(shù)平均數(shù).

2、兩個重要的不等式

@a2+b2>2ab（a,beR）當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，等號成立.

②a匕K（一了（a,beR）當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，等號成立.

3、利用基本不等式求最值

①已知x,y是正數(shù)，如果積盯等于定值p,那么當(dāng)且僅當(dāng)％=丁時，和％+y有最小值2工萬；

V2

②已知x,y是正數(shù)，如果和x+y等于定值s,那么當(dāng)且僅當(dāng)時，積孫有最大值?一；

-4

4、常用技巧

利用基本不等式求最值的變形技巧一一湊、拆（分子次數(shù)高于分母次數(shù)）、除（分子次數(shù)低于分母次數(shù)）

）、代（1的代入）、解（整體解）.

（X）湊：湊項，例：x-------=x—aH--------Fa22+a=3（x>a）；

x-ax-a

—2x）〈y2x+l-2x

湊系數(shù)，例：x（l-2x）=0<x<—I；

22

x2V—4+4c4c4

②拆：例:----=------------=%+2H--------=%一2H------+4>2^+4=8（x>2）；

x—2x—2x-2x—3

2x

<1（X>O）

③除：例：%2+1

XH----

X

④1的代入：例：已知a>0力>0,a+b=l,求工+工的最小值.

ab

解析：—I—二（—I—）（6z+Z?）=2+—+—>4.

ababab

⑤整體解：例：已知a,2是正數(shù)，且ab=a+Z?+3,求Q+Z?的最小值.

2

a+ba+bi9

解析：ab<Na+Z?+3即:（〃+/?）—（Q+/?）—320,解得

22

a+b>6（a+b<-2舍去）.

第二部分：高考真題回顧

1.(2022,全國?(甲卷文))已知9m=10,a=l(F-ll,6=8"-9,則()

A.a>0>bB.a>b>0C.b>a>0D.b>0>a

【答案】A

【分析】法一：根據(jù)指對互化以及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可知m=bg910>l,再利用基本不等式，換底公式

可得加>lgll,log89>m,然后由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可解出.

【詳解】［方法一］:(指對數(shù)函數(shù)性質(zhì))

由9"=10可得”=1唱10=需>1,而lg91gli(世答［=［詈卜l=(lgl0)2,所以需>懸，

即加>lgll,所以。=10"—11>10*—11=0.

又坨8坨10<(38產(chǎn)。)=［等)<(坨9)2,所以翳'即1崎9>相，

所以/,=8"—9<81°曲9—9=0.綜上，a>0>b.

［方法二］:【最優(yōu)解】(構(gòu)造函數(shù))

由9m=10,可得加=log910e(l,L5).

根據(jù)的形式構(gòu)造函數(shù)/(x)=x"-x-l(x>l),則廣。)=加7-1,

令廣。)=。，解得%=沉占,由加fogglOe(1,1.5)知天€(0,1).

Ax)在(1,口)上單調(diào)遞增，所以/(10)>/(8),即a>b,

又因為/(9)=9Mo-10=0,所以。>?！地?

故選：A.

【點評】法—：通過基本不等式和換底公式以及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較，方法直接常用，屬于通性通法；

法二：利用。/的形式構(gòu)造函數(shù)/(x)=--x-l(x>l),根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得出大小關(guān)系，簡單明了，是該

題的最優(yōu)解.

2.(2022?全國?(甲卷文理))已知二ABC中，點。在邊5C上，ZADB=120°,AD=2,CD=2BD.當(dāng)，

AB

取得最小值時，BD=.

【答案】6-1/T+6

2

【分析】設(shè)CD=2BD=2%>0,利用余弦定理表示出轟4C后，結(jié)合基本不等式即可得解.

【詳解】［方法一］:余弦定理

設(shè)CD=2&)=2m>0,

則在△ABD中，AB2=BD2+AD2-2BD-ADcosZADB=m2+4+2m,

2222

在4ACD中，AC=CD+AD-2CD-ADcosZADC=4m+4-4m,

AC2_4m2+4—4m4(加2+4+2〃?)-12(1+7W)12

=4-；-------------

所以商"—加？+4+2加m2+4+2m

(m+l)+------

'7m+1

12

>4--------=4一26

3

2M+1)，

m+1

3

當(dāng)且僅當(dāng)機(jī)+1=一。即m=百-1時，等號成立,

m+1

AT

所以當(dāng)商取最小值時，吶百-1.

故答案為：A/3-1.

【方法二］:建系法

令BD=t,以D為原點，0C為X軸，建立平面直角坐標(biāo)系.

則C(2t,0),A(1,回，B(-t,0)

,AC2_⑵-吁+3_4=一4f+4

==4——>4-2.73

"(/+1)2+3產(chǎn)+2f+43

(，+1)+-----

t+\

當(dāng)且僅當(dāng)f+1=73,即BO=道-1時等號成立o

［方法三］:余弦定理

設(shè)BD=x,CD=2x.由余弦定理得

c2=x2+4+2%°°°

?「.2c+b—12+,

=4+4廠-4x

c2=x2+4+2x°°°

no,「.2c+b=12+6x,

fe2=4+4x-4x

AT

令商“則2，+…+6~

、

12+6/12+6/2

...廠+2==6>6-2^3,

c~x~+2x+4（X+1）H——^―

'7X+lJ

r2>4-273,

3

當(dāng)且僅當(dāng)x+l=ITT即x=6+i時等號成立?

3.（2。22?全國?（新高考I卷））記ABC的內(nèi)角4”的對邊分別為已知需r品

⑴若C后27r，求昆

⑵求匚乏的最小值.

C

【答案】⑴"；

6

（2）4V2-5.

【分析】（D根據(jù)二倍角公式以及兩角差的余弦公式可將其高=言之化成cos（A+8）=sm8,再

jr

結(jié)合o<5<一,即可求出;

2

⑵由⑴知，C/+B'A=5-28,再利用正弦定理以及二倍角公式將—化成—含-5,

然后利用基本不等式即可解出.

cosAsin2B2sinBcosBsin5

【詳解】（1）因為,即

1+sinA1+cos2B2cos2Bcos3

sinB=cosAcosB-sinAsinB=cos（A+B）=-cosC=g,

而。弓，所以B哈

兀71

（2）由（1）知，sinB=-cosC>0,所以一<C<兀,0<5<一,

22

而sin3=-cosC=sinlC--1-1,

717i37r

所以。=工+8,即有4=工一28,所以Be0,￡,Ce

2214E'T

匚口、i〃2+02sin2A+sin2Bcos22B+l-cos2B

所以一z—=--------z---------=-------------Z-----------

c2sin2Ccos2B

(2cos2B-l)+1—cos2B

=4COS2B+^—-5>2A/8-5=4>/2-5-

cos2Bcos"B

當(dāng)且僅當(dāng)cos'Bu孝時取等號，所以直產(chǎn)的最小值為40-5.

第三部分：高頻考點一遍過

高頻考點一：基本不等式的內(nèi)容及辨析

典型例題

例題1.（2024上?陜西安康?高一校考期末）下列不等式一定成立的是（）

A.x2+1>2x（x>0）B.sinxd——-—之2（xw左"，左6Z）

sinx

C.>l（xeR）D.Z+-^>2（/>0）

【答案】D

【分析】根據(jù)各項所給條件，結(jié)合均值不等式分析、判斷作答.

【詳解】對于A,當(dāng)％=1時，f+i=2x,A不正確；

對于B,當(dāng)xwfcr,女EZ時，一iWsinxWl,且sinxwO,若一lWsinx<0,貝ijsinxd■-—<0,B不正確；

sin%

對于C,VXGR,X2+1>1,貝lj0<——<1,即C不正確；

x+1

對于D,當(dāng)t>0時，由均值不等式得f+成立，當(dāng)且僅當(dāng)/=1時取等號，則D正確.

t

故選：D

例題2.（多選）（2024?全國?高三專題練習(xí)）任取多組正數(shù)兄4c,通過大量計算得出結(jié)論："|±￡3曲,

當(dāng)且僅當(dāng)a=8=c時，等號成立.若0<〃，<3,根據(jù)上述結(jié)論判斷機(jī)2（3-加）的值可能是（）

A.717B.V15C.5D.3

【答案】BD

【分析】利用已知結(jié)論求出?。?-7”）的最大值進(jìn)行判斷，為此需湊出三個正數(shù)的和為定值.

（11.Y

II—m+—m+3-m

【詳】根據(jù)題意可得蘇（3-利）=4*耳加乂5?。?-m）W4----'-------=4,

當(dāng)且僅當(dāng)g根=3-m，即m=2時，等號成立.故根之（3-根）的最大值為4.

從而AC不可能，BD可以取.

故選：BD.

練透核心考點

1.（2024?全國?高一假期作業(yè)）下列不等式中等號可以取到的是（）

2

A.J/+5+/：22B.%+2+^—>2

，f+5X2+2

21cD?⑶+3+?

C.xH——N2

x

【答案】C

【分析】根據(jù)基本不等式使用條件逐一檢驗取等條件即可得答案.

了二二2,當(dāng)且僅當(dāng)

【詳解】解：對于A,因為正+5>。,所以G+5+j25

=即f=-4,故等號不成立，故A不符合;

對于B,因為犬+2>0,所以丁+2+」一>2」一=2，當(dāng)且僅當(dāng)爐+2=一■三，即/=一1,

2

/+2尤2+2X+2

故等號不成立，故B不符合；

對于C,因為/>0,所以=當(dāng)且僅當(dāng)爐=勺，即了=±1時取等號，故C符合；

x2Vx2x

對于D,因為岡+3>0,所以國+3+向上2.忖+3）.同g=2,當(dāng)且僅當(dāng)忖+3=曲，即禺=一2,故

等號不成立，故D不符合.

故選：C.

2.（多選）（2024上?河南漂河?高一潺河高中?？茧A段練習(xí)）下列命題中正確的是（）

12+5

A.的最小值是2

V%+4

B.當(dāng)x>l時，XH---^的最小值是3

x-1

C.當(dāng)0<x<10時，”（10-元）的最大值是5

D.若正數(shù)%丫滿足2+^=3,則2x+y的最小值為3

xy

【答案】BCD

【分析】利用基本不等式對選項進(jìn)行分析，從而確定正確答案.

【詳解】A選項，/=]；+l=J%2+4+722Jx2+4?/==29,

&+4+4Vx+4VJr+4

所以①等號不成立，所以A選項錯誤.

B選項，當(dāng)x〉l時，x-l>0,

XH——--二x-ld——-——Fl>2.(x-lY--——Fl=3,

x-1x-1vX-1

當(dāng)且僅當(dāng)X-1=工,1=2時等號成立，所以B選項正確.

x-1

C選項，當(dāng)OvxvlO時，10—芯>0,

所以#（10_尤）"+『=5,

當(dāng)且僅當(dāng)％=1。-羽％=5時等號成立，所以C選項正確.

D選項，羽>是正數(shù)，2x+y=§（2x+y）[—■l—]

斗+4馬當(dāng).2、尸卜3,

31x\xy）

2y_2x

xy

當(dāng)且僅當(dāng)，x=y=i時等號成立，所以D選項正確.

—I—=3

1％y

故選：BCD

高頻考點二：利用基本不等式比較大小

典型例題

例題1.（2024?全國?高三專題練習(xí)）對于任意〃，b￡R,下列不等式一定成立的是（）

a+b/_1___ba、>b,a,

A.------>4abB.a+—22C.-+->2D.|t-|t+|-|>2

2〃abab

【答案】D

b

【分析】當(dāng)a<0,6<0時，可判斷A；當(dāng)a<0時，可判斷B；當(dāng)一<0時，可判斷C；利用均值不等式，可判

斷D.

【詳解】選項A：當(dāng)a<0力<0時，與<0,而>0,皆<痣，不成立，故A錯誤；

選項B：當(dāng)〃<0時，OH—<0,ciH—<2,不成立，故B錯誤；

aa

選項c：當(dāng)2<。時，y<o,y<2,不成立，故c錯誤；

aabab

選項D：由|4,四有意義，故被0,30,因止匕自>0,|9|>0

abab

由均值不等式，|-|+|-|>2.1-11-1=2,當(dāng)且僅當(dāng)|々=|"即時等號成立

ab\abab

故D正確

故選：D

例題2.（2024下?福建?高一校聯(lián)考開學(xué)考試）杭州，作為2023年亞洲運動會的舉辦城市，以其先進(jìn)的科

技和創(chuàng)新能力再次吸引了全球的目光.其中首次采用"機(jī)器狗”在田徑賽場上運送鐵餅等，迅速成為了全場的

焦點.已知購買x臺“機(jī)器狗”的總成本為〃力=4/+苫+20（萬元）.

（1）若使每臺"機(jī)器狗”的平均成本最低，問應(yīng)買多少臺？

（2）現(xiàn)安排標(biāo)明"汪1"、"汪2"、"汪3"的3臺"機(jī)器狗”在同一場次運送鐵餅，且運送的距離都是120米.3臺"機(jī)

器狗"所用時間（單位:秒）分別為4，心，心."汪1"有一半的時間以速度（單位:米/秒）匕奔跑，另一半

的時間以速度匕奔跑；"汪2"全程以速度收"奔跑；"汪3"有一半的路程以速度匕奔跑，另一半的路程以

速度匕奔跑，其中匕>。，匕>。，且匕*匕則哪臺機(jī)器狗用的時間最少？請說明理由.

【答案】⑴40

（2廣汪1"用的時間最少，理由見解析

【分析】（1）平均成本為y=/區(qū)，利用比較不等式，即可求解函數(shù)的最值；

X

（2）利用速度，時間和路程的關(guān)系，分別求解刀，T2,T3,再根據(jù)不等式，比較時間大小，即可求解.

【詳解】（1）由題意，購買了臺"機(jī)器狗"的總成本為〃”=上爐+》+20,

則每臺機(jī)器狗的平均成本為y="^='x+型+122因①+i=i+i=2,

x80xV80x

當(dāng)且僅當(dāng)白1X=320時，即x=40時，等號成立，

80x

所以，若使每臺"機(jī)器狗"的平均成本最低，應(yīng)買40臺.

11

（2）由題意，"汪1"滿足］方匕+萬工乂二口。，可得「+匕，

.120

〃汪2〃滿足（^^=120,可得L而

T/_^6―0■60—_—120

"汪3"滿足3匕匕啦,

匕+匕

2乂匕w2匕匕=聞7,乂*匕，

匕+%一2麻

所以毀<麻-

因為乂>0,匕>0,且用力匕，

所以可得"么>際

V+K

則七」>0,

所以所以"汪1"用的時間最少.

練透核心考點

1.（多選）（2024上?湖南常德?高三統(tǒng)考期末）已知a>6>0,則下列不等式一定成立的是（）

ab2abla2+b1

A.---->----

。+1Z7+1V^

C.〃+/?+ln（〃Z?）>2

1+lna1+lnZ?

【答案】AB

【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)和基本不等式判斷AB,利用特值法判斷CD.

?、4kn、,?.1.1口ri八Q+1Z?+1ab^

【詳解】?「a>5>0,1H—<1+—即。<----<―--,.0.----〉----，A正確;

ababQ+1P+1

由基本不等式知：~—~7~i==?當(dāng)且僅當(dāng)Q=6時等號成立

JLa2+b2>2abf2^a2+/?2j>[a+b^

：.P*23（上匚即色電4甲F,當(dāng)且僅當(dāng)a=6時等號成立；

242-V2

已知a>人>0,故也<匕忙,B正確；

a+b\2

令a=l,b=Ltz+/?+ln（4zZ?）=l+—+ln—=—<2,C錯誤；

eeee

令W，l+lnb=l+m：=。，分母為零無意義，D錯誤.

故選：AB.

2.（多選）（2024?全國?高三專題練習(xí)）十六世紀(jì)中葉，英國數(shù)學(xué)家哈利奧特用表示不等號，并逐

漸被數(shù)學(xué)界所接受，不等號的引入對不等式發(fā)展影響深遠(yuǎn).若某同學(xué)從一樓到五樓原路往返的速度分別為a

和伏記兩速度的算術(shù)平均值為匕，全程的平均速度為匕，則下列選項正確的是（）

ClbI~~—/52+-2

A.v=----B.a<v<yjabC.^ab<v,<J------D.

2a+b2V2

【答案】BCD

【分析】利用基本不等式以及不等式的性質(zhì)求解.

【詳解】設(shè)一樓到五樓的距離為巴

_a+b_2s_lab

由題知匕=亍'%="7=不，A錯誤；

ab

當(dāng)lab2b

a+ba+b

2b2b2ab

且0vav〃，所以。+b<?,所以-->1,---l>0,所以一

a+ba+ba+b

又因為〃+,(因為〃b,所以取不到等號)，所以~</—=,B正確;

a+b24ab

對C,因為出b,所以痣〈?，

2

a+b(a+Z?)a?+//+M+2ab—2ab(a-b??

又因為

{2J2444

對D,因為(a+b)?-4ab=(a-b)2>0,

所以（a+6）2>4M,即怒，D正確;

故選:BCD.

高頻考點三：利用基本不等式求最值

角度1:利用基本不等式求積最大值

典型例題

例題1.（2024上?安徽?高一校聯(lián)考期末）若正數(shù)羽y滿足4+24=26，則芍的最大值為（）

93

A.6B.9C.-D.一

42

【答案】C

【分析】由基本不等式求解即可.

【詳解】解：因為4+=2622J2A,

所以8瓜^<12,7^<1,xy<^.

當(dāng)且僅當(dāng)x=3,y=［時取等號.

故選：C.

例題2.（2024下?重慶?高三重慶巴蜀中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知x>0,y>0,向量a=（x,y）,0=（2,l）,a-方=l,

則孫的最大值為.

【答案】1/0.125

O

【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運算可得2x+y=l,結(jié)合題意利用基本不等式，即可求得答案.

【詳解】由題意知.=（尤,=（2,1）,〃為=1,故2x+y=l,

又x>0,y>0,所以l=2x+yN2^2xy,

故孫當(dāng)且僅當(dāng)2x=y,結(jié)合2x+y=l,即2x=y=:時取等號，

o2

故沖的最大值為:，

O

故答案為：—

O

角度2：利用基本不等式求和最小值

典型例題

例題L（2024上?安徽蕪湖?高一統(tǒng)考期末）若實數(shù)蒼>滿足沖=1,則Y+2y2的最小值為（）

A.1B.y/2C.2D.2a

【答案】D

【分析】通過沖=i求出y,代入所求式消元，運用基本不等式求解即得.

【詳解】由沖=1可知無工0,則y=L代入尤2+2y2得：尤2+2丫2=尤2+3.22&,

Xx

當(dāng)/=后時等號成立，即當(dāng)x=±&時，V+2y2取得最小值2VL

故選：D.

例題2.（2024上?廣西?高一校聯(lián)考期末）已知"+廿=疑+4,則。+匕的最大值為（）

A.2B.4C.8D.2夜

【答案】B

【分析】利用基本不等式可得關(guān)于。+人的一元二次不等式，解不等式即可.

【詳解】a2+b2=ab+4,則有（a+b）2=3"+44+如+4,

可得（。+6）2416,即a+Z?W4,當(dāng)且僅當(dāng)a=6=2時，等號成立.

所以的最大值為4.

故選：B

例題3.（2024上?湖北?高一校聯(lián)考期末）已知尤>1,則X+不二的最小值為___________

22x-l

【答案】

【分析】利用基本不等式求得正確答案.

【詳解】由于1>7,所以％-7>0,2%—1>。，

22

1111

所以％+=X---F------------1—

2x-l22x-l2

當(dāng)且僅當(dāng)=鋁時等號成立'

所以X+乙的最小值為;+&.

故答案為：;+亞

角度3:二次與二次（一次）的商式的最值

典型例題

例題1.（2024?全國?高三專題練習(xí)）函數(shù)/（x）=2r+x+3a<0）的最大值為

X

【答案】1-25/6/-2^/6+1

【分析】首先化簡可得〃X）=2X2+X+3=2X+』+I=_（_2X+』）+1,由-x>0則可以利用基本不等式求最

XX-X

值即可.

【詳解】因為x<0,則-x>0,

所以尤)=2廠+x+3=2x+&+]=_(_2x+巨)+1

XX-x

+1=1-2n

當(dāng)且僅當(dāng)-2x=二，即x=-Y5時等號成立,

-x2

所以的最大值為1-2#.

故答案為：1-26.

例題2.（2024?全國?高三專題練習(xí)）函數(shù)y的最小值為.

【答案】11

【分析】將函數(shù)化為y=x-2+三9+5,利用基本不等式求其最小值，注意取值條件即可.

x-2

.,系七刀1i+t（尤—2）2+5（x—2）+9-9vT7c八

【詳解】由y=-----------------=x-2+----+5,又%—2＞。，

x-2x-2

所以＞22）（無-2＞—2—+5=11,當(dāng)且僅當(dāng)》-2=二，即x=5時等號成立，

Vx-2x-2

所以原函數(shù)的最小值為11.

故答案為：11

3九一3

例題3.（2024?全國?高三專題練習(xí)）函數(shù)/（犬尸；^——;在（1,+8）上的最大值為____________

2x-x+1

【答案】|3

【分析】令x-l=r,則t>0,則/⑺，利用基本不等式計算可得.

zr+3H—

t

3九一3

【詳解】解：因為/(%)=力——XG(1,+O)),令％—1=/，貝卜〉0,

2%-1+1

?/\3t3t3,33

則八J2?+1)2-?+1)+12/+3/+22r+3+--2i3+375

2

當(dāng)且僅當(dāng)力=±,/=1即％=2時，等號成立.

t

3

故/（%）的最大值為

3

故答案為：—

角度4：“1”的妙用求最值

典型例題

81

例題1.（2024上?安徽?高一校聯(lián)考期末）已知正數(shù)x,y滿足—+—=1,則x+2y的最小值是（）

xy

A.6B.16C.20D.18

【答案】D

【分析】將所求的式子乘以"甘，然后利用基本不等式求解即可.

Q1

【詳解】因為正數(shù)叫,滿足一+—=1,

%y

貝Ux+2y=（x+2y）[芻+L]=10+?+2N10+2^?Z^=18,

當(dāng)且僅當(dāng)巫=2,即x=12,y=3時等號成立.

xy

故選：D

例題2.（多選）（2024上?福建漳州?高一統(tǒng)考期末）已知a>0,b>0,且。+2b=2,貝|（）

A.必的最大值為;1B.▲I+7[的最小值為9:

4ab2

c.4+4/的最小值為2D.（a+2）僅+2）的最大值為8

【答案】BC

【分析】A選項，利用基本不等式直接進(jìn)行求解；B選項，利用基本不等式"1"的妙用求出最值；C選項,

。+26=2兩邊平方后，利用基本不等式求出答案；D選項，變形得到（。+2乂6+2）=8-2從<8,D錯誤.

【詳解】A選項，因為。>0,6>0,由基本不等式得a+26N20^,

即abv1,故A錯誤；

B選項，因為a>0,〃>。，

匕匚…12（12Va,I1cab[a~b9

以—I—=—I——Fb=—F2H1—N-F2/------=一,

ab\ab）\2）2ba2vAba2

當(dāng)且僅當(dāng)即。=匕=3時，等號成立，

ba3

故上1+]7的最小值為9：，B正確；

ab2

C選項，。+2/?=2兩邊平方得4+4"+462=4,

4ab=4-[a2+4b2）,其中

當(dāng)且僅當(dāng)。=?,即。=1,6==時，等號成立，

2

i^4-（a2+4b2）<a2+4b2,解得4+4^22,

1+462的最小值為2,C正確；

D選項，因為a+2b=2,a>0,b>0,

所以（a+2）（6+2）=（2—?+2）（匕+2）=8—02<8,

故D錯誤.

故選：BC

角度5：條件等式求最值

典型例題

例題1.（2024下?重慶?高三重慶南開中學(xué)校考階段練習(xí)）對于正數(shù)。力，有（2"+l）（a+b）=6",則

的取值范圍是（）

A.（0,1]B.[1,V3]C.[1,2]D.[2,+回

【答案】C

a\b=6ab<3_______3

【分析】根據(jù)題意可得利用基本不等式可得“~2ab+l~―一（a+b\—,再結(jié)合二次函數(shù)不等式求解

2.^------^+1

4

方法即可求解.

6ab

【詳解】由題可知:a+b=

2ab+l

因為d》都是正數(shù)，所以MW[等（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等），

〃+Z?=3-----------K3---------------z----

所以2ab+l(a+bY(當(dāng)且僅當(dāng)〃=力時取等)，

2-1-----^-+1

4

化簡可得（。+8）2—3（。+6）+240,m<a+b<2,故C正確.

故選：C.

1221

例題2.（多選）（2024上?安徽合肥?高一合肥一中校考期末）已知正數(shù)〃）滿足北一+:力之一+不，則（）

abab

A.ab>3B.(a+b)2>12

c11>2^11c

J------1-----\-----------D.-+-<2

ab3ab

【答案】ABD

【分析】利用不等式的性質(zhì)可判定A項，結(jié)合基本不等式可判定B項，利用特殊值可判定C項，根據(jù)條件

放縮得出。即可得出。>1,6>1判定D項.

ab

【詳解】對于A,a>—+—,b>—+—,a>O,b>O,.\a+b>—+—=+,

ababababab

所以H23,A選項正確；

對于B,由題(〃+。)之(—F—+=3|2+—H—]N3X

\ab)\ba)

當(dāng)且僅當(dāng)〃=。=指等號成立，故B選項正確；

對于C,可取特殊值。=b=2滿足題意，則工+：1=1<班，故C選項錯誤;

ab3

122111

對于D,aN—I—力之—I—,a>0,Z?>0,.，.〃>—,b>—a?>1,>1,

ababab

即則工+：<2,故D正確.

ab

故選：ABD

練透核心考點

1.（2024上?福建龍巖?高一福建省武平縣第一中學(xué)校聯(lián)考期末）已知尤>Ly>l,且x+y-孫=g,則2x+y

的最小值是（）

A.2A/2B.4C.40D.5

【答案】D

【分析】由已知可得=再根據(jù)基本不等式求解即可.

［詳解］由x+y—孫=g,得——l）=g,

因為所以

3

當(dāng)且僅當(dāng)2（x—l）=（y—1）,即x=§,y=2時，等號成立，

所以2x+y的最小值是5.

故選：D.

2.（多選）（2024下?吉林通化?高三梅河口市第五中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知a>0,6>0,若a+勸=1,則

(）

A.a+b>一B.a+b<l

C.必的最大值為:1D.2士+1；的最小值為8

4ab

【答案】ABD

【分析】對于AB：根據(jù)題意消去。，結(jié)合6的取值范圍分析求解；對于C：根據(jù)基本不等式運算求解；對于

D：根據(jù)"1"的靈活應(yīng)用結(jié)合基本不等式分析求解.

【詳角星】因為a>0,〃>0,a+2b=1,則a=l—2Z?>0,可得力金[。,/],

對于選項AB：因為Q+〃=1—2Z?+〃=1—〃，

所以a+b>5，a-\-b<1,故AB正確;

對于選項C：因為必=，々（2?<工*y±犯=、

2v7248

當(dāng)且僅當(dāng)〃=2力=：時，等號成立，

所以"的最大值為:，故C錯誤；

O

對于選項D：因為2+J_=（a+26）[2+J_]=4+竺+@24+2/生?0=8,

ab\ab）ab\ab

當(dāng)且僅當(dāng)4Z?空a即。=26=1:時，等號成立，

ab2

21

所以—'的最小值為8,故D正確；

ab

故選：ABD.

3.（多選）（2023上?安徽合肥?高一合肥市第六中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，>。,。>。，且