空間幾何體章節(jié)復(fù)習(xí)講義-2025屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

章節(jié)復(fù)習(xí)2-8-1《空間幾何體》

（2套8頁，答案16）

知識點(diǎn)1：

1、多面體的面積和體積公式（★必背）

名稱側(cè)面積（S惻）全面積（S全）體積（V）

棱柱直截面周長X1S底.h=S直截面?h

棱

S側(cè)+2S底

柱

直棱柱chS底上

棱錐各側(cè)面積之和

核(S底41□

S側(cè)+S底

錐正棱錐—ch,

2

棱臺各側(cè)面面積之和

桂1________

1S側(cè)+S上底+S下底§h（S上底+S卜底+Js下底-S下底）

臺正棱臺—(c+d)〃

表中S表小面積，d、c分別表示上、下底面周長，表示圖，〃表不斜IWJ,/表不側(cè)棱長。

2、旋轉(zhuǎn)體的面積和體積公式（★必背）

名稱圓柱圓錐圓臺球

\

R

圖形/"、/2叼

加一）登/1

s側(cè)liirl7trl□7i{r\+ri)l

S全2萬(/+r)^r(Z+r)7roi+/2)/+7(31+於2)4兀R?□

141

229

V7TF〃(即加r/)—7irhJ?！ǎ?1+片廠2+72）—7rH3□

33

表中1、h分別表示母線、高，r表示圓柱、圓錐與球冠的底半徑，n、n分別表示圓臺上、下底面半徑,

R表示半徑。

典型例題1:

1.觀察以下幾何體的變化，說出他們的名稱，通過比較，說出他們的特征.?

（底面是平行四邊形）（底面是矩形）（底面是正方形）

2.下列說法正確的是（②）

A.直角三角形繞一邊旋轉(zhuǎn)得到的旋轉(zhuǎn)體是圓錐

B.夾在圓柱的兩個截面間的幾何體還是一個旋轉(zhuǎn)體

C.圓錐截去一個小圓錐后剩余部分是圓臺

D.通過圓臺側(cè)面上一點(diǎn)，有無數(shù)條母線

3.利用斜二測畫法得到：以下結(jié)論中，正確的是?.（填序號）

①三角形的直觀圖是三角形；②平行四邊形的直觀圖是平行四邊形；

③正方形的直觀圖是正方形；④菱形的直觀圖是菱形.

4.正三棱柱ABC—AiBiG中，各邊的長度都是2,則該三棱柱的表面積是，體積是；

三棱錐Ai-ABC的體積為,四棱錐A-BCCjBi的體積為④。

5.已知AABC的三邊長分別是AC=3,BC=4,AB=5,（1）以AC所在直線為軸，將此三角形旋轉(zhuǎn)一

周，求所得旋轉(zhuǎn)體的表面積和體積.?（2）若以AB為軸呢？（中下）

6.球的直徑伸長為原來的2倍，則球的表面積和體積分別變?yōu)樵瓉淼膸妆叮浚á蓿?/p>

7.圓臺的較小底面半徑為1,母線長為2,一條母線和底面的一條半徑有交點(diǎn)且成60°,則圓臺的側(cè)面

積為—，體積為?_o

8.正四棱錐的側(cè)棱長和底面邊長都是2,則它的體積是（?）

A.472B,迪C.4V3D也

33

隨堂練習(xí)1：

1.下列命題中，正確的是（?）

A.有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形的幾何體叫棱柱

B.棱柱中互相平行的兩個面叫做棱柱的底面

C.棱柱的側(cè)面是平行四邊形，而底面不是平行四邊形

D.棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面是平行四邊形

2.下列說法正確的是（?）

A.直線繞定直線旋轉(zhuǎn)形成柱面

B.半圓繞定直線旋轉(zhuǎn)形成球體

C.有兩個面互相平行，其余四個面都是等腰梯形的六面體是棱臺

D.圓柱的任意兩條母線所在的直線是相互平行的

3.下列結(jié)論：

①角的水平放置的直觀圖一定是角；②相等的角在直觀圖中仍然相等；

③相等的線段在直觀圖中仍然相等；④兩條平行線段在直觀圖中對應(yīng)的兩條線段仍然平行.

其中正確的有（11）A.①②B.①④C.③④D.①③④

4.直三棱柱ABC—AiBiCi中,AB，AC,AB=1,AC=百，側(cè)棱AA1=2,則該三棱柱的表面積是

體積是;三棱錐Ai-ABC的體積為,四棱錐A-BCCiBi的體積為修。

5.將4X6的矩形鐵皮作為圓柱的側(cè)面卷成一個圓柱，則圓柱的最大體積是.

6.軸截面是正三角形的圓錐稱作等邊圓錐，則等邊圓錐的側(cè)面積是底面積的（14）

A.4倍B.3倍C.也倍D.2倍

7.球的大圓面積增大為原來的4倍，那么球的體積增大為原來的（15）

,A.4倍B.8倍C.16倍D.32倍

8.如圖，一個圓錐形的空杯子上面放著一個半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化了，冰淇淋會從杯子溢出

嗎？請計算說明理由.16

9,正四棱臺的上、下底面邊長分別為2和4,高為2,則體積為"，側(cè)面積為

10.已知正四棱錐的側(cè)面都是等邊三角形，它的斜高為求這個正四棱錐的體積。8）.

知識點(diǎn)2：

外接球、內(nèi)切球涉兩兩垂直:

長方體（正方體）外接球的直徑為該長方體的體對角線。

長方形對角線交點(diǎn)到各頂點(diǎn)距離相等，沿對角線折疊后該點(diǎn)即為外接球球心。

如果不是長方體，但涉及到兩兩垂直的三條線段，馬上構(gòu)造一個長方體，方便自己想象。

三組對邊相等的三棱錐，也可以構(gòu)造長方體，再分析外接球。

外接球、內(nèi)切球涉圓錐、圓柱、直棱柱、直棱錐、正棱錐：

求圓柱的外接球半徑，可以先作該圓柱的軸截面，軸截面對角線即為外接球的直徑。

求圓錐的外接球半徑，可以先作其軸截面，其為三角形。該三角形中垂線的交點(diǎn)即為球心。

求直棱柱的外接球，可以先求其外接圓柱體，再利用該圓柱體的軸截面求半徑即可。

求直棱椎的外接球，可以先求其外接直棱柱、圓柱，再利用該圓柱體的軸截面求半徑即可。

求正棱椎的外接球，可以先求其外接圓錐，再利用該圓錐的軸截面求半徑即可。

共頂點(diǎn)的三條棱相等的三棱錐，也可以構(gòu)造外接圓錐；

外接球---外心法、坐標(biāo)法找球心：

如果沒有出現(xiàn)兩兩垂直的線段，也不是正棱柱和圓錐，求外接球的時候，可以先找出其中一個三角

形的外心，球心必然在該外心的垂線上。再令球心到兩點(diǎn)距離相等，即可求出球心及半徑。

也可以建立空間坐標(biāo)系（以一外心為坐標(biāo)原點(diǎn)），求出球心坐標(biāo)。

典型例題2：

1.已知直三棱柱ABC—AiBiCi的6個頂點(diǎn)都在球O的球面上，若AB=LAC=6,AB_LAC,

AAi=4,則球。的表面積為（19）A.5/B.10/C.20%D.迎反

3

2.三棱錐P-ABC中，PAL平面ABC且PA=2,4ABC是邊長為后的等邊三角形，則該三棱錐外接球的表

4萬

面積為（20）A.—B.4乃C.8乃D.20乃

3

3.已知正四棱錐，其底面邊長為2,側(cè)棱長為若，則該四棱錐外接球的表面積是21

4.在三棱錐A-BCD中，AABC與4BCD都是邊長為6的正三角形，平面ABC,平面BCD,則該三棱

錐的外接球的面積為方.

隨堂練習(xí)2：

1.在四面體S—ABC中，平面ABC,NA6c=90°,SA=AC=2,AB=1,則該四面體的外

接球的表面積為..

2.一個六棱柱的底面是正六邊形，其側(cè)棱垂直底面。已知該六棱柱的頂點(diǎn)都在同一個球面上，且該六棱

柱的高為6,底面周長為3,那么這個球的體積為_24

3.正四棱錐的各棱長都為公，各頂點(diǎn)都在同一個球面上，則該球的表面積為—25—.

4.在三棱錐V-ABC中，面VAC1面ABC,VA=AC=2,NVAC=120。，BA1BC則三棱錐V-ABC的外接球

的表面積是為.

知識點(diǎn)3：

內(nèi)切球:

多用等體積法求內(nèi)切球半徑。

公式：V=—（S：三棱錐表面積；R：內(nèi)切球半徑；V：三棱錐體積；）

3

球截面：

球截面的題型，一般畫兩個圖，形成套路，方便自己分析。

多面體外接球，如果點(diǎn)不是固定的，或者涉及到最值分析，也適用球截面的方法。

最短路徑：

把幾何體各面攤開，兩點(diǎn)之間線段最短，所以，直接連接相關(guān)兩點(diǎn)即可。

點(diǎn)線之間，垂線段最短，所以，要求點(diǎn)線距離最值，作垂線即可。

典型例題3：

1.正四棱錐O—ABCD的體積為半，底面邊長為百，則正四棱錐O—ABCD的內(nèi)切球的

表面積是".

2.（2022年廣東潮州三模J08）已如A,B,C是半徑為1的球。的球面上的三個點(diǎn)，且ACJ_BC,AC=

BC=L則三棱錐0-ABC的體積為（28）A.變B.1C.巫D.正

121244

3.過圓錐高的中點(diǎn)的截面且與底面平行把圓錐分成兩部分體積之比為（29）

A、1:1B、1:6C、1:7D、1:8

4.（多選改編，2022年廣東梅州二模J20）在長方體ABCD-ABCD中，卻=|A￡>|=1,|A4j=2,動

點(diǎn)尸在體對角線BA上（含端點(diǎn)），|AP|+|PC|的最小值________（3。）

5.（多選改編，2022年福建德化一中J37）如圖，AC為圓錐S。底面圓。的直徑，點(diǎn)8是圓O上異于A,

C的點(diǎn)，S0=0C=2,若AB=BC,E為線段AB上的動點(diǎn)，則SE+CE的最小值為（31）

隨堂練習(xí)3：

1.正三棱錐的棱長都是6。相，求它的內(nèi)切球的表面積。仁2）

2.（2022年湖南名校聯(lián)考J48,填空3）某同學(xué)在參加魔方實(shí)踐課時，制作了一個工藝品，如圖所示，

該工藝品可以看成是一個球被一個棱長為6指的正方體的六個面所截后剩余的部分（球心與正方體的

中心重合），若其中一個截面圓的周長為6萬，則該球的半徑是33.

3.圓錐的母線長為2cm,過頂點(diǎn)和底面圓心的截面面積為2cmz,則該圓錐的側(cè)面積為（34）

A.y[27lcm2B.2萬cm2C.2cm2D.4萬cm2

4.在三棱錐S—ABC中，SA=SB=SC=1,ZASB=ZASC=ZBSC=30°,如圖，一只螞蟻從點(diǎn)A出

發(fā)沿三棱錐的表面爬行一周后又回到A點(diǎn)，則螞蟻爬過的最短路程為-35_.

5.（多選改編，2022年湖南懷化一模J57）如下圖，邊長為2的正方體ABCD-ABCD中，M為CQ上的

動點(diǎn)，N為DDi中點(diǎn)，當(dāng)AM+MN的和最小時，MC長度為（36）

章節(jié)復(fù)習(xí)2-8-1《空間幾何體》配套練習(xí)

1.一個棱柱是正四棱柱的條件是(37)

A、底面是正方形，有兩個側(cè)面是矩形B、底面是正方形，有兩個側(cè)面垂直于底面

C、底面是菱形，且有一個頂點(diǎn)處的三條棱兩兩垂直D、每個側(cè)面都是全等矩形的四棱柱

2.有下列命題

(1)在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點(diǎn)，則這兩點(diǎn)的連線是圓柱的母線；

(2)圓錐頂點(diǎn)與底面圓周上任意一點(diǎn)的連線是圓錐的母線；

(3)在圓臺上、下底面圓周上各取一點(diǎn)，則這兩點(diǎn)的連線是圓臺的母線；

(4)圓柱的任意兩條母線所在的直線是互相平行的.

其中正確的是(38)

A.(1)(2)B.(2)(3)C.(1)(3)D.(2)(4)

3.下列結(jié)論：

①角的水平放置的直觀圖一定是角；②相等的角在直觀圖中仍然相等；

③相等的線段在直觀圖中仍然相等；④兩條平行線段在直觀圖中對應(yīng)的兩條線段仍然平行.

其中正確的有(39)A.①②B.①④C.③④D.①③④

4.三棱錐P—ABC的側(cè)棱PA、PB、PC兩兩垂直，側(cè)面面積分別是6,4,3,則三棱錐的體積是(如)

A.4B.6C.8D.10

5.如圖，圓柱內(nèi)有一個直三棱柱，三棱柱的底面在圓柱底面內(nèi)，且底面

是正三角形.如果三棱柱的體積為12百，圓柱的底面直徑與母線長

相等，則圓柱的側(cè)面積為(”)

A.12〃B.14〃C.16〃D.18〃

6.三個球的半徑之比為1：2：3,那么最大球的體積是其余兩個球的體積和的(42)

A、1倍B.2倍C.3倍D.4倍

7.如右圖所示，圓臺的上、下底半徑和高的比為1：4：4,母線長為10,則圓臺的側(cè)面積為(43)

體積為()

8.正三棱錐的底面邊長為〃，高為"Q,則三棱錐的側(cè)面積為(44

6

A32R32「2n3A/32

A.—aB.-aC.---aD.—!—a~

4242

9.如圖，用一平面去截球所得截面的面積為2;rcm2,已知球心到

該截面的距離為1cm,則該球的體積是45cm3.

10.如圖，已知正方形ABCD的邊長為4,E、F分別是BC、CD的中點(diǎn)，沿AE、AF、EF把三角形ABE、ADF、

CEF折起，使得B、C、D三點(diǎn)重合為P點(diǎn),形成一個三棱錐P—AEF,則該三棱錐的外接球體積是被

11.如圖，ABCD-A耳GA是邊長為1的正方體，S-ABCD是高為1的正四棱錐，若點(diǎn)%。口口在

同一球面上，則該球的表面積為(")o(A):9w(B)—257T(C)—497V(D)—817F

16161616

12.如圖：邊長為2石的菱形ABCD,Z￡)AB=60°,將^ABD沿BD折起到圖中相6。的位置，使得二

13.三棱錐A—BCD的兩條棱AB=CD=6,其余各棱長均為5,求三棱錐的內(nèi)切球的體積.49

14.過圓錐高的三等分點(diǎn)作平行于底面的截面，它們把圓錐側(cè)面分成的三部分的面積之比為I'。)

A.1：2：3B.1：3：5C.1：2：4D.1：3：9

15.直棱柱ABP-ABP中，AB±AP,AP=2,AB=AA1=4,打點(diǎn)器從P點(diǎn)開始到巴點(diǎn)結(jié)束繞側(cè)面打一條軌

跡線，則留下的所有軌跡中最短軌跡長度為(51)_

A.6+2^5B.+C,4+2^/5D.V15+^3

16.(多選改編，2022年廣東天河J15)某班級到一工廠參加社會實(shí)踐勞動，加工出如圖所示的圓臺0Q,

在軸截面ABCD中，AB=Ar)=JBC=2cm,且CD=2AB,一只小蟲從點(diǎn)C沿著該圓臺的側(cè)面爬行到

AD的中點(diǎn)，所經(jīng)過的最短路程為。2)

3答案：略；

②答案：C；［圓錐是直角三角形繞直角邊旋轉(zhuǎn)得到的，如果繞斜邊旋轉(zhuǎn)就不是圓錐，/不正確，圓柱夾

在兩個平行于底面的截面間的幾何體才是旋轉(zhuǎn)體，故6不正確，通過圓臺側(cè)面上一點(diǎn)，有且只有一條母線，

故。不正確.］

?答案：①②；

解析斜二測畫法得到的圖形與原圖形中的線線相交、相對線線平行關(guān)系不會改變，因此三角形的直

觀圖是三角形，平行四邊形的直觀圖是平行四邊形.

④答案：12+2百，2^3,―,—；

33

⑤答案：36%,16%；,加，當(dāng)乃；

［分析］應(yīng)用錐體的側(cè)面積和體積的計算公式求解.

解題流程：

△旋轉(zhuǎn)體是兩|底面半便袤］高8。，

求體積

一"個同底圓錐徑為8面積AD'

的特征----------------

［解析］如圖，在△ABC中，過C作垂足為D

由AC=3,8c=4,AB=5,AC2+BC2=AB2,則ACJ_8C

12I?

所以3cAe=ABC7),所以CD=w，記為r=亍，

那么△ABC以A5為軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體是兩個同底的圓錐，且底面半徑〃=茅1?，母線長分別是AC=3,BC

=4,

1284

所以S表面積=^r-(AC+BQ=:^X^-X(3+4)=y^,

V=^7tr(AD+BD)=^7tr--AB=1■兀X(-y)2X5=當(dāng)加.

［特別提醒］求旋轉(zhuǎn)體的有關(guān)問題常需要畫出其軸截面，將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題來解決.對于與

旋轉(zhuǎn)體有關(guān)的組合體問題，要弄清楚它是由哪些簡單幾何體組成的，然后根據(jù)條件分清各個簡單幾何體底

面半徑及母線長，再分別代入公式求各自的表面積或體積.

@答案：4倍，8倍;

7年

?答案：6

3

?答案：B；

?答案：D；

?答案：D［兩直線平行時，直線繞定直線旋轉(zhuǎn)才形成柱面，故/錯誤.半圓以直徑所在直線為軸旋轉(zhuǎn)形

成球體，故6不正確，C不符合棱臺的定義，所以應(yīng)選。.］

11答案：B；［由斜二測畫法的規(guī)則判斷.］

__昱2^/3

12答案：6+373；也,33

36

13答案：兀；

14答案：D；

［解析］由已知得/=2'，生=粵=4=2,故選D.

J底兀廠〃

15答案：B；

1410R

I6［解析］V球=］義鏟爐=飛一兀，

V錐=；兀氏2%=兀X42X10xg=^|^7i,

128160

~71<~T71

?\不會溢出.

17答案：—,1275；

3

生上4-\/2

18答案：——；

3

19答案：C；

20答案：C；

21答案：9兀；

22答案：60n；

23答案：8萬；

4

24答案：-K；

【解析「??正六邊形周長為3,得邊長為;，故其主對角線為1,從而球的直徑2R=J(6『+12=2

4

.*./?=1；?球的體積V=—71

3

25答案：4兀；

26答案：16兀;

解：如圖，設(shè)AC中點(diǎn)為M,匕4中點(diǎn)為N,

■■■\SVACX^ABC,BA1BC,.?.過M作面ABC的垂線,

球心。必在該垂線上，連接ON,則。N14U.

在RtAOM力中，AM=1,^OAM=60°,

。4=2,即三棱錐P—28C的外接球的半徑為2,

.??三棱錐U-ABC的外接球的表面積S=4TCR2=167r.

故答案為：16兀.

設(shè)AC中點(diǎn)為M,U4中點(diǎn)為N,過M作面ABC的垂線，球心。必在該垂線上，連接ON,則。N14U.

可得04=2,即三棱錐U-力BC的外接球的半徑為2,即可求出三棱錐的外接球表面積.

本題考查三棱錐的外接球表面積，考查直線和平面的位置關(guān)系，確定三棱錐的外接球的半徑是關(guān)鍵，屬于

中檔題.

27答案：（4—6上；

【解析】正四棱錐O—ABCD的體積丫=J5〃=工'有'6乂丸=述，；./2=￡1,；.斜高為

3322

r,貝！J

372

，，正四棱錐O—ABCD的內(nèi)切球的

2

表面積為4/rr2=（4—J7）乃.

28【答案】A

【解析】

【分析】由題可得AABC為等腰直角三角形，得出△ABC外接圓的半徑，則可求得。到平面ABC的距離,

進(jìn)而求得體積.

【詳解】?.?4。，8。,4。=8。=1,.3人5。為等腰直角三角形，二45=行，

則AABC外接圓的半徑為42,又球的半徑為1,

2

設(shè)。到平面ABC的距離為d,

\l2J2

所以/-ABC=；1ABC.d=；xgxlxlx￥=告.

故選：A.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查球內(nèi)幾何體問題，解題的關(guān)鍵是正確利用截面圓半徑、球半徑、球心到截面

距離的勾股關(guān)系求解.

29答案：C;

30730

亍，

【分析】當(dāng)BD]1AP,BDt1CP時，|AP|+|PC|取得最小值，

由B得，此時4=!，則AP=,CP=||>

61663J1663J

所以網(wǎng)=同=粵，

即|AP|+|PC|的最小值為手；

X

312(73+1)；

【解析】

【分析】把棱錐的兩個面鉆和AABC攤平，利用平面上的性質(zhì)求S￡+EC的最小值判斷D.

【詳解】=時，把和AABC攤平，如圖，

SE+CE的最小值是SC,此時，AB=BC=2j5=S4=S8，AB±BC,ZSBC=150°,

SC=y/SB2+BC2-2SB-BCcosZSBC=J8+8-2x2&x2夜cosl50。=2(6+1)-

32答案：6%；

33【答案】6

【分析】設(shè)球心為。，作出過球心的截面圖如圖所示，然后根據(jù)已知條件結(jié)合球的性質(zhì)求解即可

【詳解】設(shè)球心為。，作出過球心的截面圖如圖所示，則。4=3石，

由截面圓的周長為6萬，得2?xAB=6?,AB=3,

球的半徑是VoA2+AB2=J(3A/§)2+3?=6-

故答案為：6

36,:MC=2-6

【分析】將矩形ACG4與矩形CGRD延展為一個平面，利用A、M、N三點(diǎn)共線得知AM+MN最

短，利用平行線分線段成比例定理求得MC,可判斷D選項的正誤.

將矩形ACGA與矩形延展一個平面，如下圖所示:

若4W+MN最短，則A、M、N三點(diǎn)共線,

?5〃叫??將條蕓=2一日

???MC=2—所以，點(diǎn)M不是棱CG的中點(diǎn)，D選項錯誤.

37答案：C；

38答案：D；

39答案：B；

40答案：A；

41答案：C；

42答案：C；

"［答案］100n,224n；

［解析］圓臺的軸截面如圖，設(shè)上底半徑為r,則下底半徑為4廠，高為4r.

因?yàn)槟妇€長為10,所以在軸截面等腰梯形中，有1。2=（4「）2+（4廠一廠）2.解得r=2.所以S圓臺側(cè)=兀（「+4廠＞10

=10071,故選B.

44答案：A；

45答案：4杷兀；

46答案：8a兀；

47答案：D；

【考點(diǎn)】空間幾何體表面積計算。

【解析】按如圖所示作輔助線，。為球心，設(shè)。5=x,則。4=S°=2-x,同時由正方體的性質(zhì)知

耳5=T,則在氏△。耳5中，OB：=G/J+0片(2-x)2=x2+(—)a