極化恒等式與等和（高）線定理（學生版）-2025年高考數(shù)學一輪復習專練（新高考專用）

重難點13極化恒等式與等和（高）線定理【四大題型】

【新高考專用】

?題型歸納

【題型1利用極化恒等式求值】.................................................................3

【題型2利用極化恒等式求最值（范圍）】......................................................4

【題型3利用等和線求基底系數(shù)和的值】........................................................4

【題型4利用等和線求基底系數(shù)和的最值（范圍）】..............................................5

?命題規(guī)律

1、極化恒等式與等和（高）線定理

極化恒等式是平面向量中的重要等式，是解決平面向量的數(shù)量積問題的重要工具，有平行四邊形模型

和三角形模型兩大重要模型，可以建立起向量與幾何長度之間的等量關系；等和（高）線定理是平面向量

中的重要定理，由三點共線結論推導得出，在求基底系數(shù)和的值、最值（范圍）中有著重要作用.

?方法技巧總結

【知識點1極化恒等式】

1.極化恒等式的證明過程與幾何意義

（1）平行四邊形對角線的平方和等于四邊的平方和:

|Z+R「+|力2（內2+㈤2）.

證明：不妨設4B=a,AD=石,貝！J/C=Q+B,DB=a-b,

I>|2?2/—?—\2LP—?—

\AC\=AC=（a+6）=a+2a-b+斤①,

同=齒=（力）2叩+同2②,

①②兩式相加得：

就『+麗『=2忖2+麻卜成時+時

（2）極化恒等式：

上面兩式相減，得：a4=i[p+s）2-（a-s）2]-------極化恒等式

平行四邊形模式：a-b=^\AC^-\DB^.

2.幾何解釋：向量的數(shù)量積可以表示為以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對角線”與“差對角線”平

方差的’.

4

（1）平行四邊形模型：向量的數(shù)量積等于以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對角線長”與“差對角

線長”平方差的L即：.刃=斗伍+盯一伍-同[（如圖）.

（2）三角形模型：向量的數(shù)量積等于第三邊的中線長與第三邊長的一半的平方差，即

------>------->-------->2-------->2

AB-=兒?一出為3c的中點X如圖）.

極化恒等式表明，向量的數(shù)量積可以由向量的模來表示，可以建立起向量與幾何長度之間的等量關系.

【知識點2等和（高）線定理】

1.等和（高）線定理

（1）由三點共線結論推導等和（高）線定理：如圖，由三點共線結論可知，若蘇=/次+〃而（2,〃GR）,

則%+〃=1,由4OAB與/XOA'B'相似，必存在一個常數(shù)k,k^R,使得OP'=kOP,則

OP'—kOP—kXOA+k/LtOB,又。P=無0/+(x,yGR),.'.x+y=kX+k/n=k-,反之也成立.

（2）平面內一個基底｛53,而｝及任一向量而，OP'=XOA+//OSa,/zeR）,若點P在直線AS上或在

平行于的直線上，則4+〃=網(wǎng)定值）；反之也成立，我們把直線以及與直線平行的直線稱為等和（高）

線.

①當?shù)群途€恰為直線N3時，Q1；

②當?shù)群途€在。點和直線Z8之間時，左e（O,l）；

③當直線N3在。點和等和線之間時，左e（l,+8）；

④當?shù)群途€過。點時，k=0；

⑤若兩等和線關于。點對稱，則定值后1,左2互為相反數(shù);

⑥定值k的變化與等和線到。點的距離成正比.

?舉一反三

【題型1利用極化恒等式求值】

【例1】（2024?貴州畢節(jié)?三模）如圖，在△ABC中，。是BC邊的中點，E,尸是線段4D的兩個三等分點,

若瓦=BE-CE=2,則前?方=（）

【變式1-1］（23-24高三上?福建廈門?期末）如圖，BC、DE是半徑為1的圓。的兩條直徑，BF=2FO,

則麗?朋=（）

【變式1-2］（2024高三?江蘇?專題練習）如圖，在平面四邊形/BCD中，。為5。的中點，且。/=3,OC

【變式1-3］（23-24高二下?湖南長沙?開學考試）如圖，在平行四邊形/BCD中，AB=\,4D=2,點、E,

F,G,“分別是/瓦BC,CD,/D邊上的中點，則前?麗+而?砥等于.

【題型2利用極化恒等式求最值（范圍）】

【例2】（2024高三?全國?專題練習）半徑為2的圓。上有三點4B、C滿足+通+前=。，點P是圓內

一點，則同?前+兩?定的取值范圍為（）

A.[-4,14）B.[0,4）C.[4,14]D.[4,16]

【變式2-1]（23-24高一下?江蘇南通?期中）正三角形力BC的邊長為3,點。在邊AB上，且麗=2瓦5,三

角形4BC的外接圓的一條弦MN過點。，點P為邊BC上的動點，當弦MN的長度最短時，兩?麗的取值范圍

是（）

A.[-1,5]B.[-1,7]

C.[0,2]D.[1,5]

【變式2-2]（2024?重慶?模擬預測）已知△04B的面積為1,AB=2,動點P,Q在線段4B上滑動，且|PQ|=1,

則胡?麗的最小值為.

【變式2-3]（23-24高三上?上海浦東新?階段練習）在面積為2的平行四邊形中4BCD中，點尸

6

是/D所在直線上的一個動點，則而2+玩2_麗.而的最小值為.

【題型3利用等和線求基底系數(shù)和的值】

【例3】（2024?四川成都?模擬預測）如圖，在平行四邊形48CD中,BE=DF=若而=AAB+fiAD,

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【變式3-1]（2023?河北滄州?模擬預測）在△ABC中露=g近，而=/京+近），點P為力E與8F的交點,

AP=AAB+iiAC,則％+“=（）

【變式3-2］（23-24高一上?江蘇常州?期末）在平行四邊形2BCD中，E為BC的中點，F(xiàn)在線段DC上，

J.CF=2DF.若京=4荏+〃而，尢4均為實數(shù)，貝!M+4的值為.

【變式3-3］（23-24高一上?江蘇蘇州?期末）如圖，在矩形A8CD中，M,N分別為線段BC,CD的中點，若

MN=入宿+%前，eR,則；li+也的值為.

D,_________________C

【題型4利用等和線求基底系數(shù)和的最值（范圍）】

【例4】（2024?山東煙臺?三模）如圖,邊長為2的等邊三角形的外接圓為圓0,P為圓。上任一點，若方=%荏+

yAC,則2x+2y的最大值為（）

【變式4-1］（23-24高三上?河北滄州?期中）如圖，△BCD與△ABC的面積之比為2,點P是區(qū)域4BCD內

任意一點（含邊界），且屁=4萬+〃前（4,〃eR）,貝。+〃的取值范圍是（）

/D

A.[0,1]B.[0,2]C.[0,3]D.[0,4]

【變式4-2］（23-24高一下?福建泉州?階段練習）在△4BC中，M為8C邊上任意一點，N為線段上任

意一點，若前=4荏+〃前（A,4€R）,則4+〃的取值范圍是.

【變式4-31（23-24高一下?廣西桂林?期末）已知。為△ABC內一點，且40A+805+50C=0,點時在aOBC

內（不含邊界），若宿=4同+〃就，貝！M+”的取值范圍是

?過關測試

一、單選題

1.（2024?四川綿陽?三模）如圖，在△力BC中，AF=BF=6,EF=5,則麗?麗=（）

2.（2024?陜西西安?一模）在△ABC中，點。是線段AC上一點，點P是線段BD上一點，且麗=萬=：荏+

AAC,貝奴=（）

A.-B.-C.-D.-

6336

3.（2024高三?全國?專題練習）在△ABC中，D是BC邊上的中點，且荏=：而，AF=2AE,AB-AC=6,

麗?元=-2,則麗?前=（）

1

A.-1B.2C.--D.1

2

4.（2024?陜西榆林?三模）在△ABC中，E在邊BC上，且EC=3BE,D是邊48上任意一點，AE與CD交于點P,

若而=xCA+yCB,則3%+4y=（）

33

A.-B.--C.3D.-3

44

5.（23-24高三下?湖南長沙?階段練習）向量的數(shù)量積可以表示為：以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和

對角線，，與“差對角線，，平方差的四分之一，即如圖所示，人。=3（|而『—|就『），我們稱為極化恒等式.已

知在中，M是中點，AM=3,BC=10,則荏?尼=（）

A.-16B.16C.-8D.8

6.（2024?全國?模擬預測）如圖，在△ABC中，AN-tNCQt>0）,前=4麗（4>0）,若麗=：尼一]近,

則4+t的值為（）

7.（23-24高三上?山東濰坊?期末）已知正方形N2CZ）的邊長為2,是它的內切圓的一條弦，點尸為正

方形四條邊上的動點，當弦的長度最大時，兩?前的取值范圍是（）

A.[0,1]B.[0,V2]

C.[1,2]D.[-1,1]

8.（2024?河北滄州?三模）對稱美是數(shù)學美的重要組成部分，他普遍存在于初等數(shù)學和高等數(shù)學的各個分

支中，在數(shù)學史上，數(shù)學美是數(shù)學發(fā)展的動力.如圖，在等邊△ABC中，AB=2,以三條邊為直徑向外作三

個半圓，M是三個半圓弧上的一動點，若麗=4屈+〃而，則2+〃的最大值為（）

二、多選題

9.（23-24高一下?江蘇南京?期中）在△力BC中，點。是線段BC上任意一點，點M是線段AD的中點，若存在

尢〃eR使麗=XAB+說,則;I,〃的取值可能是（）

一3

B.4=1,〃=--

c1_9_2c173

C.A=--,fi=-D.A=---,u=-

10T5

10.（23-24高一下?四川成都?階段練習）如圖，正方形ABC。中，E為ZB中點，M為線段ZD上的動點，若前=

ABE+fiBD,則2+〃的值可以是（）

11.（23-24高一下?陜西西安?階段練習）（多選）如圖，在四邊形4BCD中，48=60。，48=3,BC=6,

且而=4阮(46R),AD-AB=-1,貝!|(

B.實數(shù)4的值為:

O

C.四邊形A8CD是梯形D.若M,N是線段8C上的動點，且|而|=1,則麗?麗的

最小值為當

三、填空題

12.（2024?新疆?二模）在等腰梯形4BCD中，荏=2DC,點E是線段BC的中點，若族=XAB+/^AD,則4+〃=

13.⑵-24高一下?黑龍江大慶?期末）如圖，在△力BC中，D是BC的中點,E,F是4。上的兩個三等分點瓦？=

14.（23-24高三?廣東陽江?階段練習）在面積為2的平行四邊形4BCD中，點P為直線AD上的動點，則兩?PC+

阮2的最小值是.

四、解答題

15.(23-24高一下?甘肅白銀?階段練習)如圖，在平行四邊形48CD中，AC與8。相交于點。.E是線段。。

的中點，AE的延長線與CD交于點F.

(1)用拔，前方表示荏；

⑵若赤=4萬+屈，求4+〃的值.

16.(23-24高一下?江蘇蘇州?期中)閱讀一下一段文字：(a+b)2=a2+2a.-b+b2,(a-bf=a2-2a-fo+

b2,兩式相減得①+b)2-(a-m2=4萬石n萬石=；［(a+b)2-(a-b)2］我們把這個等式稱作“極化恒等

式”，它實現(xiàn)了在沒有夾角的參與下將兩個向量的數(shù)量積運算化為“模”的運算.試根據(jù)上面的內容解決以下

問題：如圖，在△/