江西省上饒市2024-2025學(xué)年高二年級上冊十月月考 數(shù)學(xué)試卷（含答案）

江西省上饒市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期十月考試數(shù)學(xué)卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符

合題目要求的.

1.已知直線/經(jīng)過點（2'一8）3°）,則直線/的傾斜角為（）

C.母D.V2+1

itit2n3K

A.43c.3D.4

B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題

2.已知圓CG-3）2+3-4）2=9,直線/：mx+y-2m-3=0^則直線/被圓。截得的弦長的最小值為

目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得。分.

（）9.已知點尸在圓C：（A6）2+3-5>=16上，直線/：%+3、=12與％軸、y軸分別交于48兩點，則（）

A.2eB.MC.2后D.屈A.直線/與圓相離

3.點可，工為橢圓C的兩個焦點，若橢圓C上存在點尸，使得/片0月=90°,則橢圓C方程可以是（）B.點尸到直線’的距離小于7

C.當(dāng)/尸45最大時，=3逐

D.以為直徑的圓與圓°的公共弦所在直線的方程為6%+歹-25=°

「,X2+2—]

10.設(shè)平面直角坐標(biāo)系中，橢圓.Qy"的左焦點為6,且與拋物線=4x有公共的焦點若p是

4.已知圓（”一2）2+「=1與雙曲線/〃-1（?！?。，6〉。）的一條漸近線交于44兩點，且|明=1,則該雙曲拋物線C上的一點，下列說法正確的是（）

A.橢圓r和拋物線c存在交點

線的離心率為（）

B.若P（L2）,則直線￡P(guān)與拋物線c相切

_2舊4萬

A.2B.屈C.13D.13

C.若閨凡|=%，則點P坐標(biāo)為（2，±1）

5.已知點尸在拋物線爐=一5>上，且"（。,-3）,則E的最小值為（）

D.若女郎=90。，則點P的橫坐標(biāo)為-2+石

11_35V35

11.下列說法正確的是（）

A.4B.2c.4D.2

6.已知直線/交拋物線C：%2=-18y于",N兩點，且"N的中點為（3，一2）,則直線/的斜率為（）A.已知l=（°JJ），》=（°，°，T）,則a在,上的投影向量為I'2'2）

OG=-（OA+OB+OC}

A.-3B.6C.9D.3B.若G是四面體CUBC的底面A/BC的重心，則3、7

7.在空間直角坐標(biāo)系的中，點4（1,-3,7）到°z%平面的距離為（）OG=-OA--OB+-OC.???

C.若555,則4尻&G四點共面

A.1B.3C.7D.可D.若向量/=加+5+后（只反②都是不共線的非零向量），則稱/在基底伍為卦下的坐標(biāo)為（'%”#）,

8.已知平行六面體/BCD-ZBGR的各棱長均為1,ZAAB=ZAAD=60°ZDAB=9Q°,則

,}若/在單位正交基底卡也3}下的坐標(biāo)為。23）,則/在基底卡一布+員寸下的坐標(biāo)為〔2'2'3

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.(2)已知點76°),若E上存在一點P,使得司?萬=T,求，的取值范圍；

12.已知直線，1：蛆+歹一5=0,12：3%—歹一4=0,且直線4和4平行，則實數(shù)機的值是.(3)過“(工°)的直線交E于aB兩點,過“G4'46)的直線交E于4,C兩點，B,C位于x軸的同側(cè),

片+《=1立證明：NBOC為定值.

13.已知橢圓Yb2(a>b>0)的長軸長為4,離心率為2.若A,8分別是橢圓的上、下頂點,

兩.麗=一_L

片，瑪分別為橢圓的上、下焦點，尸為橢圓上任意一點，且2,貝代助月的面積為____.18.(15分)如圖，平行六面體/ECD-44G2中，底面《BCD是邊長為1的正方形，/4=2,設(shè)

14.如圖所示，在正方體百GR中，棱長為2/('=1，2,…12)分別為各棱的中點，貝九

AB=5,AD=B,AAX=c

(1)試用°石忑表示向量/。田"；

(2)若=2A1AB=120°,求點A到直線的距離.

四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟.

15.(15分)已知圓心為。的圓經(jīng)過點"(L4),'(3,6),且圓心。在直線--4尸°上.

19.(17分)如圖，在正四棱錐尸中，底面488是邊長為正的正方形，/C與的交于點°,

⑴求圓C的方程：

⑵已知直線/過點°」)且直線/截圓C所得的弦長為2,求直線/的方程.尸°=2,M是尸C邊上靠近尸的三等分點.

⑶已知點”(I—),N(3,-4),且尸為圓c上一動點，求戶「的最小值.

C:"一七=l(a>0,b>0)

16.(13分)已知雙曲線ab的實軸長為2,離心率為2,右焦點為尸，尸為。上的一

個動點，

⑴若點尸在雙曲線C右支上，在不軸的負半軸上是否存在定點用.使得NPFM=2NPMF?若存在，求出點

(1)設(shè)="AD=bfAP=cf用。，bf云表示向量BAf；

M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

(2)在如圖的空間直角坐標(biāo)系中，求向量兩的坐標(biāo).

(2)過P作圓。+y=5的兩條切線4、4,若切線4、4分別與c相交于另外的兩點E、G,證明：

E、oG三點共線.

17.(17分)已知拋物線￡：必=2"(?>°)的焦點尸到準線的距離為2,。為坐標(biāo)原點.

(I)求E的方程

高二數(shù)學(xué)參考答案^d=\PC\=>/2

此時，直線/被圓C截得的弦長最小，最

1.B

【分析】由直線過的兩點的坐標(biāo)，可得直

故選：A.

線的斜率，進而求出直線的傾斜角的大小.

3.A

【詳解】直線/經(jīng)過點?‘一6）。"），所

【分析】設(shè)橢圓上頂點為5,由題滿足

/片3￡290。即忸耳「+忸瑪閨聞2,可

以直線的斜率為3-2,

得/N262,結(jié)合選項可得出答案.

設(shè)直線的傾斜角為%°兀），

?！驹斀狻吭O(shè)橢圓方程為

/Ta=—

即tana=13,所以3.

故選：B.

2.A

【分析】由題意可證直線/恒過的定點

尸（）3）在圓內(nèi)，當(dāng)CP，，時直線/被圓C

截得的弦長最小，結(jié)合勾股定理計算即可

求解.設(shè)橢圓上頂點為5,橢圓0上存在點尸,

【詳解】直線/：使得4%=9。。，

mx+y-2m-3=m（x-2）+y—3=0

則需/月照290。，由余弦定理可得

fx—2=0（x=2

令L-3=0,解得b=3,所以直線/恒忸胤R%「-伊可

cosZFlBF2=<0

2|明|x此|

過定點P（2，?

，忸￡「+忸聞1閨闖；

圓C：。一3）2+。-4）2=9的圓心為

gpa2+a2<4c2,Vc1=a1-b2

C（3,4）,半徑為廠=3,2a2V4a2-此

則

且因「二（2-3丫+（3-4）匕2<9,即尸在

同理可得橢圓焦點在V軸上時，也應(yīng)有

圓內(nèi)，

a1>2b2,

當(dāng)時，圓心c到直線/的距離最大

所以選項A滿足.

故選：A.

|P^|2=x2+（y+3）2=^2+y+9=^y+1j+y

4.D

【分析】先求出圓心到雙曲線漸近線的距

離，再結(jié)合點到直線的距離公式求出__j_2

又因為y4°,所以當(dāng)'一5時，忸/「有

dAc的關(guān)系，即可得解.35

最小值工.

【詳解】圓。一2）2+丁=1的圓心為（2,0）,

V35

所以“訓(xùn)的最小值為三.

半徑r=l,

22

——=1（。>0,6>0）故選：D

雙曲線礦人的漸近線方

=+紇6.D

程為'一一L,即樂士即=o,

【分析】設(shè)出直線/的斜率為后，點

因為阿=L

兩點的坐標(biāo)，代入拋物線方程

以一%.X[+%

所以圓心（2，°）到雙曲線的漸近線的距離

/=T8y,作差，可得x「X218,

又MN的中點為（3廠2）,即求出發(fā).

【詳解】易知直線/的斜率存在，設(shè)直線

b—^-cb1=c2-a2=-c2

所以4,即16,所以

c_4A/13產(chǎn)=-18加

~a~13,則兩式相減得

匹

4x；-考=T8%,整理得

即該雙曲線的離心率為13.

乂%.=X]+X、

故選：D.

xx-x218

5.D因為MN的中點為（3,一2）,則

【分析】設(shè)點P的坐標(biāo)為（*/）,則

再+工？=2x3=6

四=/+&+3）2,求其最小值即可.

后=91-=」

所以西一々183,即直線/的斜

【詳解】設(shè)點P的坐標(biāo)為（灰））,則

x2=-5y率為3.

故選：D.

且

7.B

【分析】點"（L一3,7）到。zx平面的距離即徑為4,圓心C（66）到直線，：x+3y=12的

為y軸坐標(biāo)的絕對值.

距離

【詳解】在空間直角坐標(biāo)系。肛z中，點|6+3x5-12|9

d=J-----_L=---<4

E歷,所以直線/與

/（I,-3,7）到Ozx平面的距離”=3=3.

圓相交，故A錯誤；

故選：B

對于B,因為圓心C到直線/的距離

8.B

為空間向量的Vio,

【分析】選擇所以點尸到直線/的最大距離為

基底，表示出借助空間向量的數(shù)量

'G,9r”3V10

4+d=4+—i=<7=4+.——

Jo60,故B正確；

積求力G的模.

胸，皿必｝為空間向量的基

【詳解】取

對于C,"（12，°）,當(dāng)尸月與圓c相切時

底,因為阿H麗=畫=1,

/P48最大，戶由為過A點的切線長，

ZDAB=90°,N44B=ZA,AD=60°

1PH=yl\ACf-l6=J（6-12）2+（5-0）2-16=

萬怒=而與=；

所以方?石=0

,故C正確；

因為】

AC=AB+AD+AAX對于D,以8C為直徑的圓的方程為

x（x-6）+（y-4）（、-5）=0

2222

=Z§+Z5+L44+2Z§-15+2A§-Z^+2ZD-|p-6x+/-9j+20=0>圓。的方程與

=1+1+1+0+14-1=5,

此方程相減得6X+N-25=0,故D正確.

所/….

故選：BCD.

故選：B

9.BCD

【分析】利用圓心到直線的距離確定圓上

的點到直線距離的最大值和最小值可判斷

AB；求出切線長可判斷C；由兩圓方程相

減得公共弦所在直線方程判斷D.

10.ABD

【詳解】對于因為，）圓的半

A,C05,C【分析】畫出圖形，得到交點個數(shù)；直曲

聯(lián)立求解得到直線片尸與拋物線C位置關(guān)

系；運用拋物線定義轉(zhuǎn)化求出馬即可；根

據(jù)垂直，運用勾股定理，結(jié)合定義求解

X，即可.

【詳解】對于A,由函數(shù)圖象可知，橢圓

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題D選項解決的

與拋物線必存在交點，A正確；

關(guān)鍵在于利用勾股定理與拋物線上點的坐

對于B,由尸(1""(TO),則直線

標(biāo)關(guān)系得到馬的方程，整理即可得解.

片尸的方程為1》+1,

11.BCD

k2=4x,

【分析】根據(jù)投影向量的定義結(jié)合空間向

與拋物線方程聯(lián)立x+1,消去y得

量的坐標(biāo)運算求解即可判斷A,根據(jù)空間

(x-1)2=0

；向量基本定理可判斷B,根據(jù)四點共面的

則直線片0與拋物線C相切，B正確；結(jié)論可判斷C,根據(jù)空間向量基本定理分

析可判斷D.

對于C,由拋物線定義可知，

【詳解】對于A：由于

|尸數(shù)="+1=陽用=2,

a=(o,i,i)石=(o,o,-1),

則馬=1,于是點？坐標(biāo)為0'±2),故C錯

則4在行的投影向量為

誤；

~-x(0,0,-1)=(0,0,1)

對于D,尸是拋物線。上的一點，設(shè)MN1x15x

尸(物,處),則有34=4%,耳(-l,O),g(1,0)

誤；

對于B：由于點G為。48c的底面

若空尸耳=90。，有阿「+因「平可△/8C的重心，

設(shè)點。為8c的中點，故就=2&,

因止匕(Xp+i)~+y；+(xp-i)~+j)=22,

即年+4沖-1=0,解得X戶=-2+石，D整理得OG—OA—2OD—2OG,故

3OG^2OG+OA^OB+OC+OA,

正確.

OG=-COA+OB+OC^

故選：ABD.故3、，,故B正確；

OG^IOA^OB+1OC

對于C：對于555,

214,出點尸的坐標(biāo)，最后計算面積即可.

由于555,

-2a=4

故48,C,G四點共面，故c正確；

cV3

<—=--

a2

對于D：萬在單位正交基底W。｝下的坐

222

【詳解】因為〔a=b+c，

標(biāo)為(1,2,3),即萬=萬+23+3,=(1,2,3),

所以Q=2/=1,。=百，

所以亦在基底下滿足，f+/=1

__所多橢圓方程為4,

(1,2,3^=x(a-by^-y(a+by+-zc=(x+y^a+(y-zc=Qc+y,y-x,z^

''1'——設(shè)尸用，為),橢窗的上、下頂點

4(0,2),8(0,-2)

整理得x+了=lj-x=2,z=3,解得

所以

13.

x=——,y=—,z=3

22,P4=(-x0,2-y0),PB=(-x0,-2-%),且

則萬在基底號下的坐標(biāo)為2

所以

(22人故D正確；

西麗號+心4=號4-輻-4=1,

故選：BCD.

12.-3

所以6

【分析】根據(jù)條件，利用斜率相等，即可即得

求出結(jié)果.=3月用x|xo|=；x2cx恪=6、噲=?

【詳解】因為乙乙UU乙

I1:mx+-5=0,/2:3x-y-4=0且直線V2

故答案為：2.

4和4平行，

14.5

所以一加=3,即m=-3,此時

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，然后得到

I--3x+y-5=0,l2-3x-y-4=0滿足題

各點坐標(biāo),算出就和“4C=12…』2)的

思，

坐標(biāo)，利用數(shù)量積即可得到答案

故答案為：-3.

V2【詳解】解：以。為坐標(biāo)原點，分別以

13.2O4OC,。2所在的直線為x軸，y軸，

【分析】先根據(jù)長軸及離心率列式求出

2軸，

。，仇c得出橢圓方程，再設(shè)點應(yīng)用數(shù)量積得

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,1<^1^=(-2,2,0)-(-1,2,0)=(-2)X(-1)+2X2+0X0=6

AC-AP,=(-2,2,0)-(-2,l,0)=(-2)x(-2)+2xl+0x0=6

而亞=(-2,2,0)(0,0,l)=(-2)x0+2x0+0xl=0

48cz）_4B|CQi中，棱長為=(-2,2,0)(0,2,l)=(-2)x0+2x2+0xl=4

2/（，=1,2,…,12）分別為各棱的中點，

.?■^（2,0,0）C（0,2,0）《（1,0,0）鳥（2,1,0）AC"=(-2,2,0)-(-2,2,1)=(-2)x(-2)+2x2+0x1=8

A(1,2,0)與(0,1,0)月(2,0,1)e(2,2,1)

，，，

/C/尸8=(-2,2,0)?(-2,0,1)=(-2)x(-2)+2X0+0X1=4

々(0,2,1)4(0,0,1)G(1,0,2)0(2,1,2)

，，，，

耳(1,2,2)0(0,1,2)

3K>A^=(-2,2,0)-(-1,0,2)=(-2)X(-1)+2X0+0X2=2

貝I」就=(-2,2,0),福=(一1,0,0),

正=(0,1,0)亞=(-1,2,0)

=(-2,2,O)-(O,l,2)=(-2)xO+2xl+Ox2=2

亞=(-2,1,0)亞=(0,0,1)

亞=(0,2,1)亞=(-2,2,1)灰^離=(-2,2,0)(-1,2,2)=(-2)x(-l)+2x2+0x2=6

/,J

APs=(-2,0,1)態(tài)=(-1,0,2)

ACAP=(-2,2,0)-(-2,l,2)=(-2)x(-2)+2xl+0x2=6

函;=(0,1,2),離=(-1,2,2),l2

貓=(-2,1,2),

故/。/片0=1,2「..,12）的值為0,2468共

故

5種不同的值.

/C?期=(_2,2,O)(TO,O)=(_2)X(_1)+2X0+OX0=2

故答案為：5

_15.(1)(1)2+(1)2=1。

/。/鳥=(-2,2,0)(0,l,0)=(-2)x0+2xl+0x0=2

⑵x=1或5x+12y-17=0

(3)24

【分析】（1）先求4B的垂直平分線方程為長公式得如一屋=2川一屋=2,故

聯(lián)立直線方程求得）

N=r+7,,0GJ,d=3

利用兩點距求出半徑，即可求解圓的標(biāo)準若直線/的斜率不存在，貝IJ久=1,此時圓

方程；心C（4,3）到直線/的距離為3,符合題意.

（2）設(shè)圓心C到直線/的距離為力由幾

若直線/的斜率存在，則設(shè)直線/的方程為

何法求弦長公式可得d=3,易知直線/的

y—1—kx—kgpkx-y—+1—0

斜率不存在時符合題意，若斜率存在，設(shè)

|4左一3—左+1|R

d=J-=_L=3左—一5

直線方程，利用點線距建立方程，解之即所以爐石，解得一12,

可求解.-517c

——x—y-l=0

則直線/的方程為12-12.

（3）根據(jù)兩點間距離公式再結(jié)合三角換元

故直線/的方程為％=1或5x+12〉T7=0.

把原式化簡為

/儂0+3，+3^皿+5，+即儂。+1，+圖陽/朋代標(biāo)準方程

,應(yīng)用三角恒等變換化簡結(jié)合正弦函數(shù)的（龍-4）2+（了-3）2=10上,

值域得出最小值即可.x=Vl0cos^+4

<__

設(shè)j/=x/l0sin^+3

L7r--6--------4----1|

【詳解】（I）"一37一，4B的中點為

又因為點血1,一2),N(3，f,

（2,5）

所以

28的垂直平分線方程為了一5=TX（X_2）,

1PA/f+|PN『=/cos<9+3j+(7H)sin6>+5j+(710COS<9+1J+

即y=-x+7,

\y=-x+lJx=4

=20cos/+20sin冶+9+25+1+49+8而cosQ+24V10sin6?

將13x-4y=。聯(lián)立可得卜=3,即圓c的圓

心坐標(biāo)為CG，3）,

=20+84+8JTUcos6?+24JTUsin0

圓C的半徑為=104+80sin(0+°),tanp=；

\BC\=^（3-4）2+（6-3）2=屈

當(dāng)sin（6+0）=T時，|尸W+沖『取最小

所以圓°的標(biāo)準方程為

值為24.

（x-4）2+（7-3）2=10

16.(1)

（2）設(shè)圓心C到直線/的距離為力由弦存在，"㈠⑼

（2）-（4+2。=2=/_]

"=一（"+3）,所以在x軸負半

證明見解析.

【分析】（1）先求出雙曲線的方程，將角軸上存在點M（T°）使得=2/即；

度關(guān)系轉(zhuǎn)化為直線的斜率關(guān)系，從而列出

不等式，斜率不存在的情況單獨討論，即

②當(dāng)直線尸尸的斜率不存在時，即

可求出M點的坐標(biāo).

X。=2時，

（2）先根據(jù)P點的位置判斷能否作出切線,

NPFM=90°,若ZPFM=2ZPMF,則

再將切線分為斜率存在和不存在兩種情況

討論，表達出兩條切線的方程，斜率存在ZPMF=45°,此時2點的坐標(biāo)為（2,3）,

時，再根據(jù)切線與圓的位置關(guān)系，找出兩所以戶刊=3,則怛閭=|跳1=3,又

條切線的斜率的關(guān)系，再把切線方程代入

\OF\=2,所以1°閭=1,此時"T,

雙曲線，表達出點E、G的坐標(biāo)并找出坐

綜上，滿足條件的M點存在，其坐標(biāo)為

標(biāo)關(guān)系，從而證出及。、G三點共線.

（T0）

【詳解】（1）根據(jù)題意，有

X---=1

所以雙曲線的方程為3.

設(shè)/G，%）也（/,o）,且/〈0,

①當(dāng)直線P尸的斜率存在時，即飛*2時,

（2）設(shè)p（%o，y。）,由題意得，雙曲線和圓

因為NPFM=2NPMF,所以

相交，所以聯(lián)立兩曲線方程，得

k=tanN產(chǎn)兒4=4-

x「t

一3

2tanz[^M;Z_^iy

k=tan(7t-ZPFM)=-tan(2-ZPMF)==12亞

?PFtan2Z

_V3

x2+y2=—DL

28'一一運

即

2”為兩曲線四個交點的坐標(biāo),

[%、21尸("o)=尸

從而J。一〃,化簡整理得,

①當(dāng)時，即

—(4+2。10+4%=2x；+2tx0—t?—3

/=±.

5時，直線尸G的斜率不存在，直

線尸E的斜率為0,

聯(lián)立>=勺（X一X。）+%,消去丁并整理得,

此

怎一3"_Q%左2_2kly°卜+將無：-2左/%+/；+3=0

時點￡、G關(guān)于點O對稱，故￡、。、G三

點共線.

3即

②當(dāng)2夜，且2或2收，且

(6_3)x1-2kl(RYXQ—%)x+(左］%0_%)+3=0

X豐一.

此時直線P￡、PG的斜率存在且不為零,即

分別設(shè)為左次2,(4-3)f-2kl'怎+1b+1*0；+1)+3=。

設(shè)經(jīng)過。（久0%）的直線方程為