計數原理與二項式定理-2025年高考數學一輪復習知識清單

專題19計數原理與二項式定理

（思維構建+知識盤點+重點突破+方法技巧+易混易錯）

維構建?耀精向紿

口法計數原理）

題型01分類加去記嫄理的姬

廠（。知識點一兩個計數原理）（分步乘法計數原理）

題型02分步乘法計數原理的應用

L（兩個計數原理的綜合應用）題型03兩種計數原理綜合應用

「排列封例教題型01其區(qū)（J數與組合數運算

Yo知識點二排列與組公）《組合與組合數）題型02H例問題

題型03組合問題

L排列和組合的麗

計數原理與題型04分組分配問題

二項式定理

r二項式定理

-通項

廠二眩逐一跡01求二WJf式的指定項

一二項式系數

題型02求三項展開式的指定項

一兩個常用的二項展開式,題型03求多項乘積展開式的指定項

）題型04求二項式系數的最大項

L二項式系數的性質

O知識點三二項式定理題型05求二項展開式的系數的最大項

-二項式展開式中的最值問題一二項式系數的最大項題型06二項式系數和問題

題型07整除與余數問題

?系數的最大項

一二項展開式中的系數和問題

口識盤點?查福訃觸

知識點1兩個計數原理

1、分類加法計數原理：完成一件事有兩類不同方案.在第1類方案中有機種不同的方法,

在第2類方案中有n種不同的方法，完成這件事共有N=m+n種不同的方法。

2、分步乘法計數原理：完成一件事需要兩個步驟.做第1步有機種不同的方法，做第2步有w種不同的方

法，完成這件事共有N=nv力種不同的方法。

3、兩個計數原理的綜合應用

如果完成一件事的各種方法是相互獨立的，那么計算完成這件事的方法數時，使用分類計數原理.如

果完成一件事的各個步驟是相互聯系的，即各個步驟都必須完成，這件事才告完成，那么計算完成這件事

的方法數時，使用分步計數原理.

知識點2排列與組合

1、排列與排列數

（1）定義：從〃個不同元素中取出個元素排成一列，叫做從〃個不同元素中取出小個元素的一個

排列.從〃個不同元素中取出機個元素的所有排列的個數，叫做從〃個不同元素中取出機個元素的

排列數，用符號4"表示.

（2）排列數的公式：=H（n-l）（n-2）---（H-m+l）=-———.

\n-my.

特例：當加="時，=?!=M（M-1）（M-2）...3.2.1；規(guī)定：0!=1.

（3）排列數的性質：①②耳"=^~③駕="優(yōu)設+心.

n—mn—m

2、組合與組合數

（1）定義：從〃個不同元素中取出m（mW〃）個元素并成一組，叫做從〃個不同元素中取出m個元素的一個

組合.從〃個不同元素中取出根（〃區(qū)”）個元素的所有組合的個數，叫做從"個不同元素中取出加個元素的

組合數，用符號C：表示.

（2）組合數公式及其推導

求從“個不同元素中取出m個元素的排列數個，可以按以下兩步來考慮：

第一步，先求出從這〃個不同元素中取出加個元素的組合數C；"；

第二步，求每一個組合中m個元素的全排列數4"；

根據分步計數原理，得到C：?與；

因止匕C"=貨=〃（"_1）僅_2）…（九一〃+1）

”一A廠m\

這里“，〃？wN+，且〃心力，這個公式叫做組合數公式.因為這一"二,所以組合數公式還可表示

^n-my.

為:c：=加特例：C°=C；；=1.

注意：組合數公式的推導方法是一種重要的解題方法！在以后學習排列組合的混合問題時，一般都是

按先取后排（先組合后排列）的順序解決問題.公式C：="伽一1.一2）…（附-+1）常用于具體數字計算,

c：=一--常用于含字母算式的化簡或證明.

m\{n-rri）\

（3）組合數的主要性質：①C：=C；m；?C：+C：T=C；+l.

3、排列和組合的區(qū)別

（1）組合：取出的元素地位平等，沒有不同去向和分工.

（2）排列：取出的元素地位不同，去向、分工或職位不同.

【注意】排列、組合都是研究事物在某種給定的模式下所有可能的配置數目問題，它們之間的主要區(qū)別在

于是否要考慮選出元素的先后順序，不需要考慮順序的是組合問題，需要考慮順序的是排列問題.排列是

在組合的基礎上對入選的元素進行排隊,因此,分析解決排列組合綜合問題的基本思維是“先組合,后排列”.

知識點3二項式定理

1、二項式定理

(1)二項式定理：(a+b)n=C°a"+1"'"+??.+C；cTE+…+C：b"(nwN*),

(2)通項公式：萬，表示展開式的第r+1項：，

(3)二項式系數：系數C：(r=0,1,2,?)叫做二項式系數，

(4)兩個常用的二項展開式：

nnn

①(a-b)=C°a-C'na-'b+…+(-1)'?￡；"-'//+…+(-1)"-C?"(〃eN*)

?(l+xy=l+C\x+C^x2+...+C；xr+...+x"

2、二項式展開式中的最值問題

(1)二項式系數的性質：

①每一行兩端都是1,即C：=C：；其余每個數都等于它“肩上”兩個數的和，即C：：I=C：T+C：.

②對稱性每一行中，與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數相等，即C：=C：~m.

(2)二項式系數的最大項

二項式系數先增后減中間項最大

①如果二項式的事指數力是偶數，則中間一項7；的二項式系數C：最大；

-+1

n-1〃+1

②如果二項式的幕指數”是奇數，則中間兩項Tn+l的二項式系數C,7，G7相等且最大.

————+1

22

(3)系數的最大項

求(a+bx)"展開式中最大的項，一般采用待定系數法.設展開式中各項系數分別為4，4,…，4+/

fA>A

設第r+1項系數最大，應有5一’，從而解出廠來.

〔24+2

3、二項展開式中的系數和問題

(1)二項式系數和令a=b=l,則二項式系數的和為《+C：+C；+…+C：+…+C；；=2",

變形式C；+C：+…+C：+…+C；=2"-1.

(2)奇數項的二項式系數和等于偶數項的二項式系數和在二項式定理中，令。=1,b=-l,

則C：-C：+￡；-￡；+.?.+(-irC,：=(l-l)"=O,

從而得到：C；+C,：+C：…+C；'+…=C：+C；+……=g-2"=2"T.

(3)若/(x)=。/"+2H-----F4X+〃o，貝|J

①常數項：令％=0,得/=/(0).

②各項系數和：令x=1r得f⑴=/+4+/+…+.

X重點突破?塞分?必將

重難點01分組分配問題的解題思路

分組、分配問題是排列組合的綜合問題，解題思想是先分組后分配

（1）分組問題屬于“組合”問題，常見的分組方法有三種：

①完全均勻分組，每組元素的個數都相等；

②部分均勻分組，應注意不要重復；

③完全非均勻分組，這種分組不考慮重復現象.

（2）分配問題屬于“排列”問題，常見的分配方法有三種：

①相同元素的分配問題，常用“擋板法”；

②不同元素的分配問題，利用分步乘法計數原理，先分組，后分配；

③有限制條件的分配問題，采用分類求解.

【典例1］（24-25高三上?江蘇南通?開學考試）今年暑期檔，全國各大院線推出多部精彩影片，其中比較熱

門的有《異形：奪命艦》，《名偵探柯南》，《抓娃娃》，《逆行人生》，《姥姥的外孫》這5部，小明和小華兩

位同學準備從這5部影片中各選2部觀看，若兩人所選的影片至多有一部相同，且小明一定選看《名偵探

柯南》，則兩位同學不同的觀影方案種數為（）

A.12B.24C.28D.36

【答案】D

【解析】若兩人所選影片均不同，此時小明先從除《名偵探柯南》中選擇一部，

小華從剩余的3部中選擇兩部，此時共有C：C；=12種方案，

若兩人所選影片中，《名偵探柯南》相同，則兩人從剩余4部中各選1部，有A；=12種方案，

若兩人所選影片中，不是《名偵探柯南》相同，相同的影片為4部中1部，有C：種選擇，

再給小華從剩余3部中選擇一部，有C；種選擇，故共有C：C；=12種方案，

綜上，共有12+12+12=36種方案.故選：D

【典例2］（24-25高三上?安徽?開學考試）我國河流旅游資源非常豐富，夏季到景點漂流是很多家庭的最佳

避暑選擇某家庭共6個人，包括4個大人，2個小孩，計劃去貴州漂流.景點現有3只不同的船只可供他們

選擇使用，每船最多可乘3人，為了安全起見，小孩必須要大人陪同，則不同的乘船方式共有種.

【答案】348

【解析】①若6人乘坐3只船：

先將4個大人分成2,1,1三組有C：=6種方法，然后將三組排到3只船有A；=6種方法,

再將兩個小孩排到3只船有3x3-1=8種方法，所以共有6x6x8=288種方法.

②若6人乘坐2只船：共有%xA；=60種方法

綜上共有：288+60=348種方法.

故答案為：348

【典例3】（24-25高三上?重慶?開學考試）第41屆全國青少年信息學奧林匹克競賽（CCFNOI2024）于2024

年7月16~22日在重慶市育才中學成功舉辦.在本次競賽組織過程中，有甲、乙等5名育才新教師參加了接

待、咨詢、向導三個志愿者服務項目，每名新教師只參加一個服務項目，每個服務項目至少有一名新教師

參加.若5名新教師中的甲、乙兩人不參加同一個服務項目，則不同的安排方案有（）種

A.108B.114C.150D.240

【答案】B

C2c2

【解析】5名新教師按3:1:1分組有C；種方法，按2:2:1分組有十種分法，

22

因此5名新教師的安排方案有（C；+卓cC）A；種，

當甲乙在同一組時，甲乙可視為1個人，即相當于4名教師的安排方案，有C；A；種，

C2c2

所以所求不同的安排方案有（C；+卓閨-C武=25x6-6x6=114（種）.故選：B

【典例4］（24-25高三上?江西?月考）現有6個人計劃在暑期前往江西省的南昌、九江、贛州、萍鄉(xiāng)四個城

市旅游，每人都要從這四個城市中選擇一個城市，且每個城市都有人選擇，則至少有2人選擇南昌的選法

種數為（）

A.420B.660C.720D.1200

【答案】B

或拿單A:540,

【解析】當有2人選擇去南昌時，剩余4人的分配方式為1+1+2,選法種數為:

A?

￡c；c；

當有3人選擇去南昌時，剩余3人的分配方式為1+1+1,選法種數為:A；=120,

KA；

至少有2人選擇南昌的選法種數為540+120=660.故選：B.

重難點02涂色問題的解法

（1）根據分步計數原理，對各個區(qū)域分步涂色，這是處理區(qū)域涂色問題的基本方法;

（2）根據共用了多少種顏色，分別計算出各種情形的種數，再利用分類計數原理求出不同的涂色方法種數；

（3）根據某兩個不相鄰區(qū)域是否同色進行分類討論，從某兩個不相鄰區(qū)域同色與不同色入手，再利用分類

計數原理求出不同涂色方法種數.

【典例1】（23-24高三下?遼寧?模擬預測）為迎接元宵節(jié)，某廣場將一個圓形區(qū)域分成ABC。,七五個部分

（如圖所示），現用4種顏色的鮮花進行裝扮（4種顏色均用到），每部分用一種顏色，相鄰部分用不同顏色，

則該區(qū)域鮮花的擺放方案共有（）

A.48種B.36種C.24種D.12種.

【答案】A

【解析】滿足條件的擺放方案可分為兩類，

第一類民。區(qū)域同色，且和其它區(qū)域不同色的擺放方案，

滿足條件的方案可分四步完成，

第一步，先擺區(qū)域A有4種方法，

第二步，擺放區(qū)域民。有3種方法，

第三步，擺放區(qū)域C有2種方法，

第四步，考慮到區(qū)域ARC不同色，且4種顏色都要用到，擺放區(qū)域E有1種方法，

由分步乘法計數原理可得第一類中共有4x3x2x1=24種方案，

第二類，CE區(qū)域同色兩類，且和其它區(qū)域不同色的擺放方案，

滿足條件的方案可分四步完成，

第一步，先擺區(qū)域A有4種方法，

第二步，擺放區(qū)域8有3種方法，

第三步，擺放區(qū)域C,E有2種方法，

第四步，考慮到區(qū)域A,反C不同色，且4種顏色都要用到，擺放區(qū)域。有1種方法，

由分步乘法計數原理可得第一類中共有4x3x2x1=24種方案，

根據分步加法計數原理可得該區(qū)域鮮花的擺放方案共有48種，故選：A.

【典例2】（23-24高三上?天津?月考）①一組數據12,13,3,20,5,30,22,8,9,15的第三四分位數為8；

②若隨機變量且PC>7）=0.21,貝|/一1<4<7）=0.58；

③具有線性相關關系的變量羽兒其線性回歸方程為y=Q2x-'",若樣本的中心(加,3.2),貝ib〃=T；

④如圖，現要用5種不同的顏色對某市的4個區(qū)縣地圖進行著色，要求有公共邊的兩個地區(qū)不能用同一種

顏色，共有180種不同的著色方法.

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】C

【解析】對于①：將數據從小到大排列為3、5、8、9、12、13、15、20、22、30,

所以10x75%=7.5,則第三四分位數為20,故①錯誤；

對于②：因為且尸7)=0.21,

所以P(3<J<7)=0.5-P(J>7)=0.29,所以尸(一1<小<7)=2P(3<J<7)=0.58,故②正確;

對于③：因為線性回歸方程為y=。.2尤-加，且樣本的中心(北3.2),

所以0.2m―加=3.2,解得=故③正確；

對于④：首先涂I有5種，第二步涂II有4種，第三步涂卬有3種，第四步涂IV有3種，

按照分步乘法計數原理可得一共有5x4x3x3=180種涂色方法，故④正確；故選：C

重難點03求解形如(a+Z0"(c+rfT的展開式問題的思路

(1)若〃,相中一個比較小，可考慮把它展開得到多個，如(。+，)2(°+或土=(片+2而+/)(c+或%然后展

開分別求解.

(2)觀察(a+b)(c+G是否可以合并，如(1+尤>(1-x)7=[(l+x)(l-x)]5(l-x)2=(l—/汽1-%)2.

(3)分別得到3+3"，(C+JT的通項公式,綜合考慮.

【典例1](23-24高三下?江西?模擬預測),--了丫的展開式中的系數為.

【答案】-105

【解析】因為,一力=2(x—?-亍—?,

而二項式(x-?的展開式的通項加=C；?f-.(_?,r=0,l,2,-,7.

所以12-的展開式中/y3的項為_2G.一.\3_牛4,3=_]05/\3,

其系數為-105,

故答案為：-105.

8

【典例2](23-24高三下?陜西西安?模擬預測)(2V-2)(；-21I的展開式的常數項為()

A.-288B.-312C.480D.736

【答案】A

2]的展開式的通項公式為小=C；(-^)8-r(-2)r(0<r<8,reN),

【解析】因為

8

所以(2x、2)d-2j

I的展開式的項為2/C；(-2)r(0<r<8,reN)

或-2C；(-2)r(0<r<8,reN),

令r=2時，2/C；(《尸(―2)'=2Vcj(x)-3(-2)2=224,

\jX

令廠=8時，-21(3產(-2廠=-2或(-2)8=-512,

yjx

8

所以WfQT|的展開式的常數項為-512+224=-288,故選：A.

【典例3](23-24高三下?廣東廣州?模擬預測)若(x+a)2(x-2)(x-3)(x-4)(x+6)的展開式中，/項的系

數為-8,則必的最大值為.

【答案】1/0.125

O

【解析】(x+a)2(%—2)(x-3)(x-4)(x+6)=(%+a)2(%+6)(x—2)(%—3)(%-4),

X(X-2)(X-3)(X-4)=X3-9X2+26X-24,

故(%+a)2(x—2)(x—3)(x—4)(x+Z?)=(x+aj(x+/?)^x3—+26%—24),

V可由(%+〃)2,(工+3,卜3—9/+26%—24)分別提供得到，

或者提供-,x。,V得到，或者提供x,x1,x3得到，

故工5項的系數為為爐工(—9%2)+%%(%3)+200；(冗3)=(-9+6+2[)%5,

故一9+Z?+2a=-8,BPb-\-2a=l,

要使必最大，則需為正數，

因止匕b+2a=122j2ab，i^cib<—,當且僅當2。=b=彳時取等號,

82

故答案為：:

O

重難點04二項展開式系數最大項的求法

如求（a+法）"（a,6CR）的展開式系數最大的項，一般是采用待定系數法，設展開式各項系數分別為4,

［A之1，_,

A2,An+1,且第左項系數最大，應用從而解出左來，即得.

［Ai>Ak+1,

【典例1］（23-24高三上?四川雅安.零模）（1-x尸的展開式中，系數最小的項是（）

A.第4項B.第5項C.第6項D.第7項

【答案】C

10rr

【解析】依題意，（1-X）的展開通項公式為&=c；o（-x）=（―D'G0V（0<r<10,reN）,其系數為（-l）Cf0,

當「為奇數時，（TYC；。才能取得最小值，

又由二項式系數的性質可知，I。是｛C；。｝的最大項，

所以當r=5時，（-1）（；。取得最小值，即第6項的系數最小.故選：C.

【典例2］（23-24高三上.全江蘇?期末）已知g>0）的展開式中唯有第5項的系數最大，則a的取

值范圍是（）

【答案】A

【解析】卜+口的展開式的通項為加=屋#廠］￡|=&/產-4，,

由題可知｛二4選5，解得三故選：A

Cg-a>Cg-a32

法技巧-避震學霸

一、求解排列應用問題的六種常用方法

1、直接法：把符合條件的排列數直接列式計算；

2、優(yōu)先法：優(yōu)先安排特殊元素或特殊位置；

3、捆綁法：相隔問題把相鄰元素看作一個整體與其他元素一起排列，同時注意捆綁元素的內部排列；

4、插空法：不相鄰問題，先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元素排列的空當中；

5、定序問題除法處理：對于定序問題，可先不考慮順序限制，排列后再除以定序元素的全排列

6、間接法：正難則反、等價轉化的方法

【典例1］（24-25高三上?福建泉州?月考）七位漁民各駕駛一輛漁船依次進湖捕魚，甲、乙漁船要排在一起出

行，丙必須在最中間出行，則不同的排法有（）

A.96種B.120種C.192種D.240種

【答案】C

【解析】由題意可知，丙排在第4位，則甲乙兩人可能在第1、2或2、3或5、6或6、7位，

故不同的排法有C：A；A：=4x2x24=192種.故選：C.

【典例2］（24-25高三上?廣東?月考）甲、乙等6人圍成一圈，且甲、乙兩人相鄰，則不同的排法共有（）

A.6種B.12種C.24種D.48種

【答案】D

【解析】因為由于環(huán)狀排列沒有首尾之分，

將n個不同元素圍成的環(huán)狀排列剪開看成n個元素排成一排，即共有加種排法，

HI

由于“個不同元素共有“種不同的剪法，則環(huán)狀排列共有二=（〃-1）!種排法.

n

甲、乙兩人相鄰而坐，可將此2人當作1人看，即5人圍一圓桌，有（5-1）!種坐法，

又因為甲、乙2人可換位，有2!種坐法，故所求坐法為（5-l）!x2!=48種.故選：D

【典例3］（24-25高三上?廣東肇慶?月考）五個好朋友一起自駕外出游玩，他們都選擇了同一款旅行包（外

觀無明顯區(qū)別），下車時，他們從后備箱中各隨機地取一個旅行包，則甲、乙、丙三人都拿錯旅行包的概率

為.

【答案】T5

【解析】第一種情況，甲拿了乙或者丙的旅行包，有2x3x3xA；種情況；

第二種情況，甲沒有拿乙和丙的旅行包，有2x（3+2x2）A；種情況.

一“12x3x3xA；+2x（3+2x2）A：8

故所求的概率為--------------------=—.

a5A|15

故答案為：白.

【典例4］（24-25高三上?江蘇無錫?月考）隨著杭州亞運會的舉辦，吉祥物“琮琮”、蓮蓮“、宸宸”火遍全國.

現有甲、乙、丙3位運動員要與“琮琮”、蓮蓮“、宸宸”站成一排拍照留念，則這3個吉祥物互不相鄰的排隊

方法數為.（用數字作答）

【答案】144

【解析】由題意，甲、乙、丙3位運動員站成一排，有A；種不同的排法，

在三位運動員形成的4個空隙中選3個，插入3個吉祥物，共有A；A：=144種排法.

故答案為：144.

二、組合問題的常見類型與處理方法

（1）“含有”或“不含有”某些元素的組合題型：“含”，則先將這些元素取出，再由另外元素補足；“不含”，

則先將這些元素剔除，再從剩下的元素中選取.

（2）“至少”或“至多”含有幾個元素的題型：若直接法分類復雜時，逆向思維，間接求解.

【典例1］（23-24高三下?廣西柳州?模擬預測）有4名醫(yī)學畢業(yè)生到甲、乙、丙三所學校去應聘校醫(yī)工作,

若每人至多被一所學校錄用，每所學校至少錄用其中1人，則所有不同的錄用情況種數為（）.

A.40種B.60種C.80種D.120種

【答案】B

【解析】根據題意，分2種情況討論：

①四人中有3人被錄取，有C：A；=24種不同的錄用情況；

②四人都被錄取，需要先將4人分為3組，再將分好的3組安排給3所學校，

有C：xA；=6x6=36種不同的錄用情況；

所以共有36+24=60種不同的錄用情況.故選：B.

【典例2］（24-25高三上?四川成都?開學考試）某高中運動會設有8個項目，甲、乙兩名學生每人隨機選取3

個項目，則至少選中2個相同項目的報名情況有（）

A.420種B.840種C.476種D.896種

【答案】D

【解析】由題意可知，可以分兩種情況,

第一種情況所選取3個項目恰有2個相同，

第一步，在8個項目中選取2項，共有C；=28種，

第二步，甲在剩下的6個項目中選取1項，共有C；=6種，

第三步，乙在剩下5個項目中選取1項，共有C：=5種，

由分步乘法計算原理可知，共有28x6x5=840種；

第二種情況所選取的3個項目完全相同，則有C；=56種；

由分類加法計數原理可知，總情況一共有840+56=896種.故選：D

【典例3］（24-25高三上?浙江?模擬預測）天上有三顆星星，地上有四個孩子.每個孩子向一顆星星許愿，

如果一顆星星只收到一個孩子的愿望，那么該愿望成真，若一顆星星收到至少兩個孩子的愿望，那么向這

顆星星許愿的所有孩子的愿望都無法成真，則至少有兩個孩子愿望成真的概率是（）

1r2八4-2

A.—B.—C.—D.一

9993

【答案】C

【解析】四個孩子向三顆星星許愿，一共有3"=81種可能的許愿方式.

由于四個人選三顆星星，那么至少有一顆星星被兩個人選，

這兩個人愿望無法實現，至多只能實現兩個人的愿望，

所以至少有兩個孩子愿望成真，只能是有兩顆星星各有一個人選，一顆星星有兩個人選，

可以先從四個孩子中選出兩個孩子，讓他們共同選一顆星星，其余兩個人再選另外兩顆星，

有C：C；A；=36種情況，

364

所以所求概率為P=短=§.故選：c.

三、二項展開式中的特定項求解

二項展開式中的特定項，是指展開式中的某一項，如第〃項、常數項、有理項等，求解二項展開式中的特

定項的關鍵點如下：

（1）求通項，利用（a+b）"的展開式的通項公式1,2,”）求通項.

（2）列方程（組）或不等式（組），利用二項展開式的通項及特定項的特征，列出方程（組）或不等式（組）.

（3）求特定項，先由方程（組）或不等式（組）求得相關參數，再根據要求寫出特定項.

【典例1］（24-25高三上?江蘇?模擬預測）二項式（3-2x『中展開式中/項的系數為

【答案】-4320

【解析】二項式的展開式的通項公式為給|=C；.36f.（-2xy=C>31G2）'x"

令r=3,所以7；=￡?33.（-2）3彳3=_4320/

所以二項式（3-2X）6中展開式中x項的系數為T320.

故答案為：-4320.

【典例2］（23-24高三下?黑龍江大慶?三模）在上V+：）的展開式中，含一項的系數是.

【答案】24

3r4r124r

【解析】在12三+工）的展開式中，Tr+i=C；（2%p（x-'）=C；2-x-.

令12—4r=4得r=2,所以含一項的系數是C：2?=24.

故答案為：24.

四、三項展開式中某些特定項的系數的求法

（1）通過變形先把三項式轉化為二項式，再用二項式定理求解.

（2）兩次利用二項式定理的通項公式求解.

（3）由二項式定理的推證方法知，可用排列、組合的基本原理去求，即把三項式看作幾個因式之積，要得

到特定項看有多少種方法從這幾個因式中取因式中的量.

【典例1］（23-24高三下?湖南衡陽?一模）（V」+y）6的展開式中孫的系數為（）

X

A.30B.-30C.60D.-60

【答案】D

16］6.

【解析】（/--+y）6=&q（x2--）'y,

Xi=QX

i5i5

U項對應i=l,C：，一嚴=爆（斤）好）（一廠）=6（斤3°3（_1>），

%r=0%r=0

U項對應r=3系數為-60,故（f-』+y）6展開后孫系數為-60.故選：D.

【典例2］（23-24高三下?河南?三模）（/一x-2）3的展開式中，/的系數為.（用數字作答）

【答案】6

【解析】（Y一犬_2）3="+1）?_2）3,

(x+1)，的展開式通項為Cf/加，(》_2)3的展開式通項為(-2丫C#3f

Cfx3T(-2)"=(-2)"C￡C時,

令6-〃7-〃=2,得m+〃=4,

所以爐的系數為(一2)C；C；+(-2)2C；C；+(-2丫C；C；=6.

故答案為：6

五、二項式系數的和與各項的系數和問題

(1)系數和問題常用“賦值法”求解

賦值法是指對二項式中的未知元素賦值，從而求得二項展開式的各項系數和的方法.求解有關系數和

題的關鍵點如下：

①賦值，觀察已知等式與所求式子的結構特征，確定所賦的值，常賦的值有：一1,0,1等.

②求參數，通過賦值，建立參數的相關方程，解方程，可得參數值.

③求值，根據題意，得出指定項的系數和.

(2)二項式系數和：(a+b)”的展開式中二項式系數的和為C9+Cl+...+C；=2".

9

【典例1](23-24高三下?福建福州?模擬預測)(多選)已知(1-2x)9=%++外/H---Fa9x,貝！|()

A.%=1

B.《二18

C.%+/+，,?+%=-1

n1+39

L).q+%+%+%+。9=~—

【答案】AD

【解析】對于A,令無=0,即可得(1-2X0)9=%=1,可得A正確；

對于B,因為展開式中代表一次項系數，

所以(1-2無史的展開式中含有一次項Cjl8(_2x)]=—18無，可得％=-18,即B錯誤；

對于C,令x=l,即可得(1—2)=4+4+%+…+%=—，

可得q+%+…+%=-1一。()=一2,所以C錯誤；

對于D,令x——1,即可得(1+2)=%—q+%—/4=3。②，

①-②得2(4+/+〃5+%+%)=—(1+3),得q+%+%+%+%=-1；,即D正確.故選：AD

【典例2]（24-25高三上?四川成都?開學考試）若（%+2丫=〃5%5+44%4+〃3x3+%%2+〃]%+[0，則

%+%+%

&+%+aQ?

-121

【答案】—

122

【解析】令%=1,得。+2丫=243=%+/+/+%+%+4，

令x=—1,(—1+2]=1=—%+%—%+出—q+%,

(%+/+。3+%+"1+〃0)—(一。5+%—“3+“2—"1+"0)243-1

則%+4+ai=121,

22

口(％+〃4+“3+%+%+“0)+(—“5+七一〃3+%—%+%)243+1

且%+%+“0=2---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------=---------------=122,

a+a+a121

故53x

a^+a2+a0122

121

故答案為：西

六、二項式系數最大與最小

二項式系數先增后減中間項最大

（1）如果二項式的暴指數〃是偶數，則中間一項7；的二項式系數A最大；

-+1

2

n-1n+1

（2）如果二項式的累指數〃是奇數，則中間兩項/+-Tn+l的二項式系數C7，C7相等且最大.

————+1

22

【典例1]（23-24高三下?湖北?模擬預測）若（3?-的二項展開式中，當且僅當第5項是二項式系數最

大的項，則其展開式中3的系數為（）

尤

A.8B.28C.70D.252

【答案】D

【解析】因為二項展開式中當且僅當第5項是二項式系數最大的項，

即二項式系數C：,C；,…,C：中第5個即C：最大，

所以由二項式系數的性質可知，展開式中共9項，n=8,

又3石-（=3-，則3/--二項展開式的通項公式

77

，1，8-3r

1+i=C；32(-x-')r=C；(-l)r38-rx-,r=o,l,2,

Q_1

令三^=-5/=6,所以二的系數為C}32=9C；=252.故選：D.

2x

【典例2](23-24高三下?浙江溫州三模)已知〃zwN*,(1+x廣和(1+x廣”的展開式中二項式系數的最大

值分別為。和6,則()

A.a<bB.a=b

C.a>bD.。力的大小關系與俄有關

【答案】A

【解析】根據二項式系數的性質，最大的二項式系數出現在正中間的1項或正中間的2項.

即a=l，6—吃

(2m+l)!2m+1(2m)!2機+1

所以6=6,M=匕-—r—7=--CZ>C-m^a,從而。<6.故選：A.

m\\m+iy.m+1m\m\m+1

七、有關整除或求余的問題

利用二項式定理解決整除問題時要進行合理的變形，使被除數展開后的每一項都有除數的因式，要注意變

形的技巧.

【典例1】(24-25高三上?河南焦作?開學考試)32°被10除的余數為.

【答案】1

【解析】由題3?°=9">=(10-1廣一…-c：oio+c；；

109

=C?olO-C5010+C；ol()8一…-c：olO+l,

因為C；010Kl-/及+C：0108_..._或10可以被10整除，

所以32°被10除的余數為1.

故答案為：1.

【典例2](23-24高三下?甘肅張掖?三模)已知今天是星期四，則6,-1天后是()

A.星期一B.星期二C.星期三D.星期五

【答案】B

【解析】67-1=(7-1)7-1,

fe(7-l)7-l=C°-77-(-l)0+C^76-(-l)1+...+C^7°-(-l)7-l

=C°77+C^76X（-1）1+C^75X（-1）2+...+C?71X（-1）6-2.

前面7項均能被7整除，則67-1被7整除余5,

故6,-1天后是星期二.故選：B.

易混易錯

易錯點1利用分步乘法原理計數，分步標準錯誤

點撥：仔細區(qū)分是“分類”還是“分步”是運用兩個原理的關鍵.兩個原理的區(qū)別在于一個與分類有關，一個與

分步有關.如果完成一件事有〃類辦法，這〃類辦法彼此之間是相互獨立的，無論哪一類辦法中的哪一種方

法都能單獨完成這件事，求完成這件事的方法種數，就用分類加法計數原理；如果完成一件事需要分成n

個步驟，缺一不可，即需要依次完成n個步驟，才能完成這件事，而完成每一個步驟各有若干種不同的方

法，求完成這件事的方法種數，就用分步乘法計數原理.

【典例1]（24-25高三上?江蘇南京?期中）甲、乙、丙、丁去聽同時舉行的3個講座，每人可自由選擇聽其

中一個講座，則恰好只有甲、乙兩人聽同一個講座的種數為（）

A.6B.12C.18D.24

【答案】A

【解析】甲乙兩人聽同一個講座，方法數有3種，

丙丁兩人聽不同的講座，方法數有2種，

所以恰好只有甲、乙兩人聽同一個講座的種數為3x2=6種.故選：A

【典例2]（23-24高三下?浙江杭州.模擬預測）袋子中有數字“7”的卡片3張和數字“2”，“3”，“5”的卡片各

1張，從中任意取出4張卡片，最多能組成個不同的四位數（用數字回答）.

【答案】72

【解析】如果取一張數字7的卡片，則數字2、3、5的卡片都要取出，則組成A：=24個不同的四位數；

如果取兩張數字7的卡片，則數字2、3、5的卡片要取出兩張，則組成C；A；=36個不同的四位數；

如果取三張數字7的卡片，則數字2、3、5的卡片要取出一張，則組成C；A：=12個不同的四位數；

所以