立體幾何初步-2025年高考數(shù)學一輪復習知識清單

專題13立體幾何初步

（思維構(gòu)建+知識盤點+重點突破+方法技巧+易混易錯）

維構(gòu)建?耀精向紿

K空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征）

特殊的棱柱和棱隹）題型01空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征

題型02空間幾何體的直觀圖問題

K。知識點一空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征

旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特彳題型03與球有關的截面問題

D題型04與球有關的外接內(nèi)切問題

1■（空間幾何體的直觀圖）

空間幾何體的表面積和體積公式

題型01空間幾何體的表面積計算

O知識點二空間幾何體的表面積和體積柱體、錐體、臺體側(cè)面積間的關紊］題型02空間幾何體的體積計算

題型03空間幾何體的最短路徑問題

柱體、錐體、臺體體積間的關系

一四個公理

立

題型01異面直線的判斷

體題型02求異面直線所成角

知識點三點、直線、平面之間的位置關系直線與直線的位置關系

:O題型03共線共點共面的判斷證明

幾題型04平面基本性質(zhì)與等角定理應用

直線與平面的位置關系'

何

「兩個平面的位置關系:

初

步定義

判定定理與性質(zhì)定理題型01線面平行M證明

題型02線面平行性質(zhì)定理的應用

菽題型03面面帝亍的證明

知識點四直線、平面平行的判定與性質(zhì)下面目平面平行

O題型04面面平行?性質(zhì)定理應用

判定定理與性質(zhì)定理題型05立體幾何幾何中的截面問題

直線與平面垂直

-I,■判定定理與性質(zhì)定理

「直線和平面所麗函；題型01線線垂直的證明

題型02線面垂直的證明

。知識點五直線、平面垂直的判定與性質(zhì)'一二面角題型03面面垂直的證明

題型04空間線面角的求解

Y、平面與平面垂直平面和平面垂直的定義：

酗05空間二面角的求解

-判定定理與性質(zhì)趟;

，垂直關系之間的轉(zhuǎn)化

口識盤點?霍翡撲寶

知識點1空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征

1、多面體的結(jié)構(gòu)特征

名稱棱柱棱錐棱臺

D'S

E'^>c'AD'

播C，

圖形照

ABAB4B

底面互相平行且全等多邊形互相平行且相似

側(cè)棱平行且相等相交于一點，但不一定相等延長線交于一點，但不一定相等

側(cè)面形狀平行四邊形三角形梯形

2、特殊的棱柱和棱錐

（1）側(cè)棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多邊形的直棱柱叫做正棱柱.反之，正棱柱的底面是正

多邊形，側(cè)棱垂直于底面，側(cè)面是矩形.

（2）底面是正多邊形，頂點在底面的射影是底面正多邊形的中心的棱錐叫做正棱錐.特別地，各棱長均相

等的正三棱錐叫做正四面體.反過來，正棱錐的底面是正多邊形，且頂點在底面的射影是底面正多邊形的

中心.

【注意】（1）棱柱的所有側(cè)面都是平行四邊形，但側(cè)面都是平行四邊形的幾何體卻不一定是棱柱.

（2）棱臺的所有側(cè)面都是梯形，但側(cè)面都是梯形的幾何體卻不一定是棱臺.

（3）注意棱臺的所有側(cè)棱相交于一點.

3、旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征

名稱圓柱圓錐圓臺球

W蠢

圖形4@

旋轉(zhuǎn)圖形矩形直角三角形直角梯形半圓形

任一直角邊所在的垂直于底邊的腰直徑所在的

旋轉(zhuǎn)軸任一邊所在的直線

直線所在的直線直線

互相平行且相等，垂直\

母線相交于一點延長線交于一點

于底面

軸截面全等的矩形全等的等腰三角形全等的等腰梯形圓

側(cè)面展開圖矩形扇形扇環(huán)

4、空間幾何體的直觀圖

（1）畫法：常用斜二測畫法.

（2）規(guī)則：

①原圖形中無軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，尤釉、y，軸的夾角為45。（或135。），z釉與V軸和y

軸所在平面垂直.

②原圖形中平行于坐標軸的線段，直觀圖中仍平行于坐標軸；平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保

持原長度不變；平行于y軸的線段長度在直觀圖中變?yōu)樵瓉淼囊话?

（3）直觀圖與原圖形面積的關系

按照斜二測畫法得到的平面圖形的直觀圖與原圖形面積的關系：S直觀圖=jsis圖族S原圖形=25S直觀圖.

知識點2空間幾何體的表面積和體積

1、空間幾何體的表面積和體積公式

稱

表面積體積

幾何體

V=Sh

柱體（棱柱和圓柱）S表面積=S側(cè)+2s底&

v=gs底力

錐體（棱錐和圓錐）S表面積=S側(cè)+S底

V=|(S±+ST+V^)/z

臺體（棱臺和圓臺）S表面積=S側(cè)+S上+S下

42

球S=47tR2v=n?3

幾何體的表面積和側(cè)面積的注意點

①幾何體的側(cè)面積是指（各個）側(cè)面面積之和，而表面積是側(cè)面積與所有底面面積之和.

②組合體的表面積應注意重合部分的處理.

2、柱體、錐體、臺體側(cè)面積間的關系

（1）當正棱臺的上底面與下底面全等時，得到正棱柱；當正棱臺的上底面縮為一個點時，得到正棱錐,

c'=c1c'=01

貝！JS正棱柱側(cè)=c/z'<-----S正棱臺側(cè)=］（c+c'）/z'------正棱錐側(cè)

（2）當圓臺的上底面半徑與下底面半徑相等時，得到圓柱；當圓臺的上底面半徑為零時，得到圓錐,

r'=r'=O

貝IIS圓柱惻=2兀，/<-----S圓谷惻=7t（r+r'）/----->S圓鏈硼=兀”.

3、柱體、錐體、臺體體積間的關系

知識點3點、直線、平面之間的位置關系

1、四個公理

（1）公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi).

作用：判斷一條直線是否在某個平面內(nèi)的依據(jù)

（2）公理2：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面.

【拓展】公理2的三個推論

推論1：經(jīng)過一條直線和這條直線處二點有且只有一個平面.

推論2：經(jīng)過兩條相交直線有且只有一個平面.

推論3：經(jīng)過兩條平行直線有且只有一個平面.

作用：公理2及其推論是判斷或證明點、線共面的依據(jù)

（3）公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，則它們有且只有一條過該點的公共直線.

作用：公理3是證明三線共點或三點共線的依據(jù)

（4）公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行.

2、等角定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補.

3、直線與直線的位置關系

（1）空間兩條直線的位置關系

位置關系特點

相交同一平面內(nèi)，有且只有一個公共點

平行同一平面內(nèi)，沒有公共點

異面直線不同在任何一個平面內(nèi)，沒有公共點

（2）異面直線所成的角

①定義：設a,b是兩條異面直線，經(jīng)過空間任一點。作直線"Ila,〃l|b,把"與〃所成的銳角（或直角）

叫做異面直線a馬b所成的角（或夾角）.

②范圍：（0°,90°].

4、直線與平面的位置關系

直線a在平面a外

位置關系直線a在平面a內(nèi)

直線a與平面a相交直線a與平面a平行

公共點無數(shù)個公共點一個公共點沒有公共點

符號表示auaaC\a=Aa\\a

---a

圖形表示ZH7一

5、兩個平面的位置關系

位置關系兩平面平行兩平面相交

公共點沒有公共點有無數(shù)個公共點（在一條直線上）

符號表示all/aC0=l

口

圖形表示1/

知識點4直線、平面平行的判定與性質(zhì)

1、直線與平面平行

（1）直線與平面平行的定義：直線/與平面a沒有公共點，則稱直線/與平面a平行.

（2）判定定理與性質(zhì)定理

文字語言圖形表示符號表示

平面外一條直線與此平面內(nèi)____a_____bua,

判定定理

的一條直線平行，則該直線a\\b=>a\\a

平行于此平面

一條直線和一個平面平行，

alia,au0,

性質(zhì)定理則過這條直線的任一平面與

與aC\/3=b=>a]\b

此平面的交線與該直線平行

2、平面與平面平行

（1）平面與平面平行的定義：沒有公共點的兩個平面叫做平行平面.

（2）判定定理與性質(zhì)定理

文字語言圖形表示符號表示

一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一/*/aua,bua,dC\h~'P,

判定定理

個平面平行，則這兩個平面平行X__/a\\/3,b\\/3=>a\\p

兩個平面平行，則其中一個平面內(nèi)的

all.夕

直線平行于另一個平面A/

性質(zhì)定理

如果兩個平行平面同時和第三個平

a\\/3,aC\y=a,/3C\y=b=>a\\b

面相交，那么它們的交線平行/\^/

3、平行關系之間的轉(zhuǎn)化

性質(zhì)定理

判定定理判定定理

線線平行￡二線面平行W二面面平行

性質(zhì)定理性質(zhì)定理

判定定理

在證明線面、面面平行時，一般遵循從“低維”到“高維”的轉(zhuǎn)化，即從“線線平行”到“線面平行”，再到“面

面平行”；而在應用性質(zhì)定理時，其順序恰好相反，但也要注意，轉(zhuǎn)化的方向是由題目的具體條件而定的,

不可過于“模式化”.

知識點5直線、平面垂直的判定與性質(zhì)

1、直線與平面垂直

（1）定義：直線/與平面a內(nèi)的任意一條直線都垂直，就說直線/與平面a互相垂直.

（2）判定定理與性質(zhì)定理

文字語言圖形語言符號語言

一條直線與一個平面內(nèi)的兩a,bua、

1

aC\b=O

判定定理條相交直線都垂直，則該直

刁lYa

線與此平面垂直

lib>

垂直于同一個平面的兩條直ala\

性質(zhì)定理「-

線平行

2、直線和平面所成的角

（1）定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角叫做這條直線和這個平面所成的角，一條直線

垂直于平面，則它們所成的角是直角；一條直線和平面平行或在平面內(nèi)，則它們所成的角是0.

TT

（2）范圍：0,2?

3、平面與平面垂直

（1）二面角的有關概念

①二面角：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角.

②二面角的平面角：在二面角的棱上任取一點，以該點為垂足，在兩個半平面內(nèi)分別作垂直于棱的兩

條射線，這兩條射線所構(gòu)成的角叫做二面角的平面角.

（2）平面和平面垂直的定義

兩個平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直.

（3）平面與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理

文字語言圖形語言符號語言

一個平面過另一個平面的卜11a]

判定定理

垂線，則這兩個平面垂直

兩個平面垂直,則一個平面al/3、

1寸

性質(zhì)定理內(nèi)垂直于交線的直線與另

aJaCl夕=4

一個平面垂直￡Ila>

謹記五個結(jié)論

（1）若兩平行線中的一條垂直于一個平面，則另一條也垂直于這個平面.

（2）若一條直線垂直于一個平面，則它垂直于這個平面內(nèi)的任何一條直線（證明線線垂直的一個重要方法）.

（3）垂直于同一條直線的兩個平面平行.

（4）一條直線垂直于兩平行平面中的一個，則這一條直線與另一個平面也垂直.

（5）兩個相交平面同時垂直于第三個平面，它們的交線也垂直于第三個平面.

4、垂直關系之間的轉(zhuǎn)化

在證明線面垂直、面面垂直時，一定要注意判定定理成立的條件.同時抓住線線、線面、面面垂直的

轉(zhuǎn)化關系,即:

判定

Im1

線線垂直線面垂直小^面面垂直

1—質(zhì)性質(zhì)

性質(zhì)

在證明兩平面垂直時，一般先從現(xiàn)有的直線中尋找平面的垂線，若這樣的直線在圖中不存在，則可通

過作輔助線來解決.

點突破?看分?必將

重難點01幾何法求空間二面角

求二面角大小的一般步驟

（1）作：找出這個平面角；

（2）證：證明這個角是二面角的平面角；

（3）求：將作出的角放在三角形中，解這個三角形，計算出平面角的大小.

【典例1］（23-24高三下?內(nèi)蒙古錫林郭勒盟?模擬預測）在四面體ABCP中，平面ABC，平面PAC,PAC

是直角三角形，上4=PC=4,AB=3C=3,則二面角A—PC—3的正切值為.

【典例2］（23-24高三下.四川成都?模擬預測）如圖所示，斜三棱柱ABC-ABC的各棱長均為2,側(cè)棱

1T

與底面ABC所成角為且側(cè)面ABB/，底面ABC.

BiA,

C

（1）證明：點及在平面ABC上的射影。為AS的中點;

⑵求二面角C-A4-B的正切值.

JT

【典例3］（23-24高三下?江西南昌?三模）如圖1,四邊形ABC。為菱形，ZABC=-,E,尸分別為A。,

DC的中點，如圖2.將VABC沿AC向上折疊，使得平面ABC,平面ACFE,將DEF沿向上折疊.使

得平面DEF_L平面ACFE,連接BD.

（1）求證：A,B,D,E四點共面：

（2）求平面AEDB與平面FDBC所成角的余弦值.

重難點02外接球和內(nèi)切球的解題思路

1、求解幾何體外接球的半徑的思路

（1）根據(jù)球的截面的性質(zhì)，利用球的半徑R、截面圓的半徑廠及球心到截面圓的距離d三者的關系

笈=修+/求解，其中，確定球心的位置是關鍵；

（2）將幾何體補成長方體，如本例（2）,利用該幾何體與長方體共有外接球的特征，由外接球的直徑等于長

方體的體對角線長求解.

2、解決與球有關的切、接問題，其通法是作截面，將空間幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題求解，其解題的思

維流程是：

第一步定球心：如果是內(nèi)切球，則球心到切點的距離相等且為半徑；如果是外接球，則球心到接點的距離

相等且為半徑；

第二步作截面：選準最佳角度作截面（要使這個截面盡可能多的包含球、幾何體的各種元素以及體現(xiàn)這些

元素間的關系），達到空間問題平面化的目的；

第三步求半徑、下結(jié)論：根據(jù)作出的截面中的幾何元素，建立關于球半徑的方程，并求解。

【典例1］（23-24高三下.陜西榆林.模擬預測）如圖，VA2C是邊長為4的正三角形，。是的中點，沿

將VABC折疊，形成三棱錐A-3CD.當二面角3-AD-C為直二面角時，三棱錐A-3CD外接球的體

積為（）

BQ：D

8DC\L^

C

A.57tB.2071C.拽三D.2Q&

63

【典例2］（23-24高三下?陜西寶雞?三模）VABC與都是邊長為2的正三角形，沿公共邊AB折疊成

三棱錐且C。長為若點A,B,C,。在同一球。的球面上，則球。的表面積為（）

【典例3］（23-24高三下?新疆烏魯木齊?三模）三棱錐A-BCD中，4），平面ABC,ZZMC=60°,AB=1,

AC=2,AD=4,則三棱錐A-BCD外接球的表面積為（）

A.IOTIB.20兀C.25KD.30K

【典例4］（24-25高三上?江蘇南通?月考）如圖，在三棱錐中，ZACB=60°,2AC=BC=PB=PC,

平面P3C,平面ABC,。是BC的中點,PD=4y/3,則三棱錐尸-ACZ）的外接球的表面積為（

208兀

D.80兀

3

重難點03空間幾何體中的探索性問題

1、立體幾何中的探索性問題立體幾何中的探索性問題的主要類型

①探索條件，即探索能使結(jié)論成立的條件是什么.

②探索結(jié)論，即在給定的條件下，探索命題的結(jié)論是什么.

2、對命題條件探索的三種方法：

①先猜后證，即先觀察與嘗試給出條件再證明.

②先通過命題成立的必要條件探索出命題成立的條件，再證明其充分性.

③把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，探索命題成立的條件.

3、對命題結(jié)論探索的方法首先假設結(jié)論成立，然后在這個假設下進行推理論證，如果通過推理得到了合乎

情理的結(jié)論就肯定假設，如果得到了矛盾的結(jié)果就否定假設.

【典例1］（23-24高三上?遼寧?期末）（多選）已知正方體A3。-44￡口，點「滿足

BP=ABC+nBBx,2e[0,1],//<0,1],下列說法正確的是（）

A.存在無窮多個點P,使得過2,3,P的平面與正方體的截面是菱形

B.存在唯一一點尸，使得"http://平面AC。

c.存在無窮多個點尸，使得4尸，耳。

D.存在唯一一點P,使得〃尸，平面ACQ

【典例2］（23-24高三下?上海黃浦?月考）如圖，在四棱錐尸-ABCD中，底面ABCD為矩形，平面平

面ABCD,PA±PD,PA=PD,E為的中點.

（1）求證：PE1BC；

（2）在線段PC上是否存在點M,使得DM〃平面PEB?請說明理由

【典例3］（23-24高三下?浙江紹興?月考）如圖，已知三棱臺ABC-AAG的體積為拽，平面A3百平

面3CC由，VABC是以8為直角頂點的等腰直角三角形，S.AB=2AAi=2AlBl=2BBl,

/\\

.....+...今（

R

（1）證明：3（7_1平面48514；

（2）求點8到面AC￡A的距離；

（3）在線段C。上是否存在點尸，使得二面角尸-AB-C的大小為g,若存在，求出C尸的長，若不存在，請

0

說明理由.

重難點04空間幾何體中的截面問題

作截面的幾種方法

（1）直接法：有兩點在幾何體的同一個面上，連接該兩點即為幾何體與截面的交線，找截面實際就是找交

線的過程。

（2）延長線法：同一個平面有兩個點，可以連線并延長至與其他平面相交找到交點。

（3）平行線法：過直線與直線外一點作截面，拖直線所在的面與點所在的平面平行，可以通過過點找直線

的平行線找到幾何體的截面的交線。

【典例11（23-24高三下?河南?月考）在正方體ABCD-中，=4,尸為C。的中點，E在棱4R上，

且4E=3E2,則過E且與AP垂直的平面截正方體ABCD-ABCQI所得截面的面積為（）

A.6B.8C.12D.16

【典例2］（23-24高三下?四川瀘州?三模）已知正方體A2CZ）-agGR的棱長為2,尸為。2的中點，過4

B,P三點作平面a,則該正方體的外接球被平面a截得的截面圓的面積為（）

13兀16K1471

A.B.一C.3兀D.

法技巧?1g塞學霸

一、求空間幾何體表面積的常見類型及思路

1、求多面體的表面積：只需將它們沿著棱“剪開”展成平面圖形，利用求平面圖形面積的方法求多面體的表

面積；

2、求旋轉(zhuǎn)體的表面積：可以從旋轉(zhuǎn)體的形成過程及其幾何特征入手，將其展開后求表面積，但要搞清它們

的底面半徑、母線長與對應側(cè)面展開圖中的邊長關系

3、求不規(guī)則幾何體的表面積：通常將所給幾何體分割成基本的柱體、錐體、臺體，先求出這些基本的柱體、

錐體、臺體的表面積，再通過求和或作差，求出所給幾何體的表面積；

【注意】在求解組合題的表面積時，注意幾何體表面的構(gòu)成，尤其是重合部分，面積不要多加或少加

【典例1］（24-25高三上?廣東?三校聯(lián)合模擬）一個圓臺的上、下底面的半徑分別為1和4,高為4,則它的

表面積為（）

A.4171B.427rC.29扃D.（18+7向無

【典例2】（23-24高三下?河南濮陽?模擬預測）正四棱臺ABC。-A4G2中，上底面邊長為2,下底面邊長

為4,若側(cè)面與底面所成的二面角為60。，則該正四棱臺的側(cè)面積為（）

A.8B.12C.24D.48

【典例3］（23-24高三下?江蘇無錫?模擬預測）蒙古包是我國蒙古族牧民居住的房子，適于牧業(yè)生產(chǎn)和游牧

生活.如圖所示的蒙古包由圓柱和圓錐組合而成，其中圓柱的高為2m,底面半徑為4m,O是圓柱下底面的

圓心.若圓錐的側(cè)面與以。為球心，半徑為4m的球相切，則圓錐的側(cè)面積為（）

22

A.SA/STTHI2B.16>/57tmC.20nmD.407rm2

二、空間幾何體的體積

1、處理空間幾何體體積的基本思路

（1）轉(zhuǎn)：轉(zhuǎn)換底面與高，將原本不容易求面積的底面轉(zhuǎn)換為容易求面積的底面，或?qū)⒃瓉聿蝗菀卓闯龅母?/p>

轉(zhuǎn)換為容易看出并容易求解的高；

（2）拆：將一個不規(guī)則的幾何體拆成幾個規(guī)則的幾何體，便于計算；

（3）拼：將小幾何體嵌入一個大幾何體中，如有時將一個三棱錐復原成一個三棱柱，將一個三棱柱復原乘

一個四棱柱，還臺位錐，這些都是拼補的方法。

2、求體積的常用方法

（1）直接法：對于規(guī)則的幾何體，利用相關公式直接計算；

（2）割補法：把不規(guī)則的幾何體分割成規(guī)則的幾何體，然后進行體積計算；或者把不規(guī)則的幾何體補成規(guī)

則的幾何體，不熟悉的幾何體補成熟悉的幾何體，便于計算；

（3）等體積法：選擇合適的底面來求幾何體的體積，常用于求三棱錐的體積，即利用三棱錐的任一個面作

為三棱錐的底面進行等體積變換

【典例11（24-25高三上?福建福州?開門考）如圖是一個圓臺的側(cè)面展開圖，若兩個半圓的半徑分別是1和2,

則該圓臺的體積是（）

7岳n7島

1212

【典例2］（23-24高三下.內(nèi)蒙古包頭.三模）如圖，已知正方形A3CD為圓柱的軸截面，AB=BC=2,E,

尸為上底面圓周上的兩個動點，且E尸過上底面的圓心G,若AB_LEF,則三棱錐A-跳下的體積為（）

_￡

---\

A.2B.1C.速D.空

3333

【典例3］（23-24高三下?新疆?二模）我國古代數(shù)學著作《九章算術》中記載了一種稱為“羨除”的幾何體，

該幾何體的一種結(jié)構(gòu)是三個面均為梯形，其他兩面為三角形的五面體.如圖所示，四邊形ABC。，ABFE,

CDEP均為等腰梯形，AB//CD//EF,AB=6,CD=8,EF=10,EF到平面45。的距離為5,C。與AB

間的距離為10,則這個羨除的體積V=.

三、共線共點共面證明方法

1、證明點或線共面問題的2種方法

（1）首先由所給條件中的部分線（或點）確定一個平面，然后再證其余的線（或點）在這個平面內(nèi);

（2）將所有條件分為兩部分，然后分別確定平面，再證兩平面重合.

2、證明點共線問題的2種方法

（1）先由兩點確定一條直線，再證其他各點都在這條直線上；

（2）直接證明這些點都在同一條特定直線（如某兩個平面的交線）上.

3、證明線共點問題的常用方法

先證其中兩條直線交于一點，再證其他直線經(jīng)過該點.

【典例1］（23-24高三下?湖南?二模）如圖，在三棱柱ABC-A^G中，瓦RG,〃分別為期,CG，4綜4G

的中點，則下列說法錯誤的是（）

A.E,￡G,〃四點共面B.EF//GH

C.EG,M,A4三線共點D.NEGB]=NFHG

【典例2］（23-24高三上?遼寧?名校聯(lián)考）點E、F、G、”分別在空間四邊形ABCD的邊ABIC,CD,上,

若EFI/GH,則下列說法中正確的是（）

A.直線E7/與FG一定平行B.直線與尸G一定相交

C.直線由與FG可能異面D.直線￡77與尸G一定共面

JT

【典例3】（23-24高三下高三.全國?專題練習）如圖1,四邊形ABC?為菱形，ZABC=-,E,尸分別為4）,

DC的中點.如圖2,將VABC沿AC向上折疊，使得平面ABC,平面ACFE,將。砂沿EF向上折疊.使

得平面DEF_L平面ACEE.求證：四點共面.

四、證明直線與平面平行的方法

1、線面平行的定義：一條直線與一個平面無公共點（不相交）.

2、線面平行的判定定理：關鍵是找到平面內(nèi)與已知直線平行的直線.常利用三角形的中位線、平行四邊形

的對邊、成比例線段出現(xiàn)平行線或過已知直線作一平面找其交線.

3、面面平行的性質(zhì)：①兩個平面平行，在一個平面內(nèi)的任意一條直線平行于另外一個平面，即a||［3,aua今a||［3；

②兩個平面平行,不在兩個平面內(nèi)的一條直線與其中一個平面平行，則這條直線與另一平面也平行，即a|||3,

a<ia,a（tp,a||a=>a||p.

【典例1］（23-24高三上.廣東佛山?月考）如圖，點A,B,C,M,N為正方體的頂點或所在棱的中點，則

下列各圖中，不滿足直線MN//平面ABC的是（）

A“

【典例2］（24-25高三上?全國?專題練習）如圖，四棱錐P-ABCD的底面是菱形，平面皿>_L底面ABCZ）,

E,尸分別是AB,PC的中點，AB=6,DP=AP=5,ZBAD60°.求證：砂〃平面PAD；

P

AEB

【典例3］（23-24高三下.陜西商洛?模擬預測）如圖，在四棱錐尸-ABCD中，四邊形ABCD是矩形，M,N

分別是PD和BC的中點，平面P4B_L平面ABCD,PA=PB=AB=Ar>=2.

B

⑴證明:肱V//平面R4B；

（2）求三棱錐M-ABC的體積.

五、證明面面平行的常用方法

1、利用面面平行的定義.

2、利用面面平行的判定定理：如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行.

3、利用“垂直于同一條直線的兩個平面平行”.

4、利用“如果兩個平面同時平行于第三個平面，那么這兩個平面平行”.

5、利用“線線平行”“線面平行”“面面平行”的相互轉(zhuǎn)化.

【典例1］（23-24高三下高三.全國?專題練習）如圖，在圓錐SO中，若軸截面必LB是正三角形，C為底面

圓周上一點，尸為線段Q4上一點，D（不與S重合）為母線上一點，過。作DE垂直底面于E,連接

OE,EF,DF,CF,CD,且=求證：平面SCO//平面DEF.

【典例2】（23-24高三下.陜西西安?期中）如圖,在圓臺中，AtABBt為軸截面，AB=2人用=4,ZA.AB=60°,

C為下底面圓周上一點，P為下底面圓。內(nèi)一點，AE垂直下底面圓。于點￡,/COF=NEFO.

（1）求證：平面OQC〃平面4出"

（2）若△可'。為等邊三角形，求點E到平面A。尸的距離.

【典例3】（23-24高三下?四川瀘州?三模）如圖，在四棱錐尸-ABCD中，底面ABCD是矩形，AB=2,3c=26,

AC與交于點。，底面ABC。，OP=M,點E,尸分別是棱上4,PB的中點，連接OE,OF,EF.

（1）求證：平面0￡F〃平面「CD；

（2）求三棱錐O-ABE的體積.

六、證明線面垂直的方法

1、線面垂直的判定定理：/1〃，Hb,aua,bua,aCb=P=lLa.

2、面面垂直的性質(zhì)定理：a邛,aC0=l,aca,aU=a邛.

3、性質(zhì)：①a||b,61a=ala；②a||￡,a邛=aLa.

4、otly,/?ly,an￡=/=>/l/（客觀題可用）

【典例1］（23-24高三下.江西.月考改編）如圖，在三棱錐P-A5C中，鉆是等邊三角形,

AC±AB,AC=^/2AB,點。在BC上，尸。=9,PC_L平面B4D證明：ADL平面尸8

【典例2］（2