利用導(dǎo)數(shù)證明不等式【十大題型】解析版-2025年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

利用導(dǎo)數(shù)證明不等式專練【十大題型】

?題型歸納

【題型1直接法證明不等式】...................................................................2

【題型2移項(xiàng)構(gòu)造函數(shù)證明不等式】............................................................5

【題型3分拆函數(shù)法證明不等式】..............................................................9

【題型4分析法證明不等式】..................................................................14

【題型5放縮法證明不等式】..................................................................19

【題型6指對同構(gòu)1................................................................................................................26

【題型7隱零點(diǎn)法】..........................................................................31

【題型8雙變量不等式的證明】...............................................................36

【題型9函數(shù)與數(shù)列不等式綜合證明問題】.....................................................41

【題型10導(dǎo)數(shù)新定義的不等式證明問題】......................................................46

?命題規(guī)律

1、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式

導(dǎo)數(shù)中的不等式證明是高考的?？碱}型，是高考的熱點(diǎn)問題，常與函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)的零點(diǎn)與極值、

數(shù)列等相結(jié)合，雖然題目難度較大，但是解題方法多種多樣，如構(gòu)造函數(shù)法、放縮法等，針對不同的題目,

靈活采用不同的解題方法，可以達(dá)到事半功倍的效果.

?方法技巧總結(jié)

【知識點(diǎn)1導(dǎo)數(shù)中的不等式證明的解題策略】

1.導(dǎo)數(shù)中的不等式證明的解題策略

(1)一般地，要證/(x)>g(x)在區(qū)間(a,6)上成立，需構(gòu)造輔助函數(shù)網(wǎng)x)=/(x)—g(x),通過分析網(wǎng)x)在端點(diǎn)

處的函數(shù)值來證明不等式.若尸(a)=0,只需證明尸(x)在(a,6)上單調(diào)遞增即可；若F(b)=0,只需證明F(x)

在(a,6)上單調(diào)遞減即可.

(2)在證明不等式中，若無法轉(zhuǎn)化為一個(gè)函數(shù)的最值問題，可考慮轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的最值問題.

2.移項(xiàng)構(gòu)造函數(shù)證明不等式

待證不等式的兩邊含有同一個(gè)變量時(shí)，一般地，可以直接構(gòu)造“左減右”或“右減左”的函數(shù)，利用

導(dǎo)教研究其單調(diào)性等相關(guān)函數(shù)性質(zhì)證明不等式.

3.分拆函數(shù)法證明不等式

(1)若直接求導(dǎo)后導(dǎo)數(shù)式比較復(fù)雜或無從下手時(shí)，可將待證式進(jìn)行變形，構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，從而找到可以

傳遞的中間量，達(dá)到證明的目標(biāo).在證明過程中，等價(jià)轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵，此處g(X)min書(Mmax恒成立，從而於)W

g⑴恒成立.

(2)等價(jià)變形的目的是求導(dǎo)后簡單地找到極值點(diǎn)，一般地，e”與hu要分離，常構(gòu)造X”與Iwc,X"與e、

的積、商形式.便于求導(dǎo)后找到極值點(diǎn).

4.放縮后構(gòu)造函數(shù)證明不等式

某些不等式，直接構(gòu)造函數(shù)不易求其最值，可以適當(dāng)?shù)乩檬熘暮瘮?shù)不等式

e，三x+1,1——1等進(jìn)行放縮，有利于簡化后續(xù)導(dǎo)數(shù)式的求解或函數(shù)值正負(fù)的判斷；也可以利

用局部函數(shù)的有界性進(jìn)行放縮，然后再構(gòu)造函數(shù)進(jìn)行證明.

【知識點(diǎn)2指對同構(gòu)】

1.指對同構(gòu)證明不等式

在解決指對混合不等式時(shí)，如恒成立求參數(shù)取值范圍或證明不等式，有一部分題是命題者利用函數(shù)單

調(diào)性構(gòu)造出來的，如果我們能找到這個(gè)函數(shù)模型(即不等式兩邊對應(yīng)的同一函數(shù))，無疑大大加快解決問題的

速度.找到這個(gè)函數(shù)模型的方法，我們稱為同構(gòu)法.

(1)五個(gè)常見變形：

xex=ex+inx,—=ex~lnx,^~=einx^x,x+ln.r=ln(xex),^—Inx=In-.

xex

?舉一反三

【題型1直接法證明不等式】

【例1】(2024?江蘇連云港?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(幻=ex-|x2-x.

(1)求函數(shù)/(久)在久=1處的切線方程.

(2)證明：VxG［0,+°°)/(x)>sinx.

【解題思路】(1)求導(dǎo)可得尸(1)=e—2,又f(l)=e—|,可求切線方程；

(2)求導(dǎo)得尸(尢)=e*—%—1,令h(%)=e%—%—1,再求導(dǎo)，進(jìn)而判斷h(%)=e%—%—1在［0,+8)上單調(diào)

遞增，可得=ex—|x2—%在［0,+8)上單調(diào)遞增，f(x)>f(0)=1,可得結(jié)論.

【解答過程】(1)由/(%)=e久一—久，可得/(%)=e^—%—1,

r(l)=el—1—1=e—2,又/(l)=e1-1xl2-l=e-|,

Q1

所以函數(shù)/(x)在久=1處的切線方程為y-e+f=(e-2)(%-1),即(e-2)x-y+1=0.

(2)由/(X)=ex-|x2-%,可得尸(x)=e%-x-1,

令h(x)=ex—x—1,可得/f(%)=ex—1,

當(dāng)％G[0,+8)時(shí)，/iz(x)=ex—1>0,所以h(%)=ex—%—1在[0,+8)上單調(diào)遞增,

又九(第)>h(0)=e°—0—1=0,即r(x)=ex—x—1>0,

所以/(%)=ex—1x2—%在[0,+8)上單調(diào)遞增，

所以/'Or)>/(0)=e°-|x02-0=1,當(dāng)萬=0時(shí)，/(0)=1>sinO=0,

當(dāng)%>0時(shí)，f(x)>1>sinx,

綜上所述：VxG[0,+8)/(%)>sin%.

【變式1-1](2024?河北保定?三模)已知函數(shù)/(%)=/一。％+in%,%=1為/(%)的極值點(diǎn).

(1)求。；

(2)證明:/(%)<2x2—4x.

【解題思路】(1)求導(dǎo)r(x)=2x—a+±由/(1)=0求解；

(2)轉(zhuǎn)化為證%2—%—In%N0,^g(x)=x2—x—Inx,由g(%)mm之。證明.

【解答過程】⑴解：r(x)=2x-a+3

依題意，/'(I)=2x1—a+l=0,解得a=3,

經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，所以a=3；

(2)由(1)可知，/(%)=x2—3%+Inx,

要證/(%)=x2—3x+Inx<2x2—4x,即證/—%—In%>0,

設(shè)g(%)=x2—x—Inx,則g'(%)=2%—1—1

所以當(dāng)%w(0,1)時(shí),g'(%)vo,g(%)單調(diào)遞減,

當(dāng)％c(L+8)時(shí)，>0,g(%)單調(diào)遞增，

當(dāng)％=1.時(shí),g(%)取得極小值,也是最小值，

因?yàn)?(1)=0,g(x)>g(l)=0,

所以/(工)工2必—4%.

【變式1-2](23-24高三下?云南昆明?階段練習(xí))已知函數(shù)f(%)=%a—In%,a>0.

⑴求/(%)的最小值0(a)；

⑵證明：g^a)<a+^—1.

【解題思路】(1)對函數(shù)求導(dǎo)，判斷導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)情況，利用隱零點(diǎn)(設(shè)而不求)分析函數(shù)單調(diào)性并求出

最值，

(2)對g(a)函數(shù)求導(dǎo)，分析其單調(diào)性及最值，使得g(a)max<(?+--1).

amin

【解答過程】(1)f(久)的定義域?yàn)?0,+8),廣(久)=a%aT—§=號，

1

令a就-1=0解得沏=G)",又因?yàn)楫?dāng)a>0時(shí)，丫=〃。一1為增函數(shù)，

故當(dāng)x6(0,&)時(shí),f'(x)<0,則/(x)在(0,久0)上單調(diào)遞減;

當(dāng)Xe(%0,+8)時(shí)，r(x)>0,則f(x)在(尤0,+8)上單調(diào)遞增；

故/(x)min=/(%0)=XO-ln%0='—｝嗎=故。⑷=

_x/、1+lna-八r-.,!,,、-Ina

(z2)g(a)=—,a>0,則g(a)=

故當(dāng)ae(0,1)時(shí)，g'(a)>0,則g⑷在(0,1)單調(diào)遞增;

當(dāng)a6(1,+8)時(shí)，g'(a)<0,則g(a)在(1,+8)單調(diào)遞減；

故g(a)max=g(l)=1.

又因?yàn)閍+工？2IaX-=2,所以a+工一121(當(dāng)且僅當(dāng)a=1時(shí)，取"="),

a7aa

所以g(a)工

【變式1-3](2024?江蘇徐州?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/Q)=2/+x—ln(x+zn),mER.

(1)當(dāng)爪=o時(shí)，求曲線y=/(%)在點(diǎn)(1)(1))處的切線方程；

(2)當(dāng)爪<1時(shí)，證明：/(x)>0.

【解題思路】(1)利用導(dǎo)數(shù)的公式及運(yùn)算法則求出在x=l時(shí)的導(dǎo)數(shù)，即得切線斜率，點(diǎn)斜式寫出切線方程

即可.

(2)要證明的不等式含參時(shí)，且規(guī)定了參數(shù)的范圍時(shí)，可以考慮先使用滿參放縮，將含參的不等式轉(zhuǎn)化為

不含參的不等式來證明.

【解答過程】(1)當(dāng)m=0時(shí)，/(%)=2x2+x—Inx,r(x)=4x+l—

則尸(1)=4,又因?yàn)?(I)=3,

所以曲線y=/(%)在點(diǎn)(1/(1))處的切線方程為y—3=4(%—1),即4久-y-1=0.

(2)當(dāng)znWl時(shí)，有l(wèi)n(x+?n)Wln(x+1),所以一ln(x+m)2—ln(x+1),

因?yàn)?(%)=2%2+%-ln(x+m),

所以/(%)N2x2+%—ln(%+1).

令9(%)=2/+%—In(%+1)(%>—1),

則g'(x)=4x+l一擊4/+5)x(4x+5)

x+1x+1

當(dāng)一l<x<0時(shí),g'(x)<0,g(x)在(—1,0)上單調(diào)遞減；

當(dāng)%>0時(shí)，g\x)>0,g(x)在(0,+oo)上單調(diào)遞增.

所以g(x)>g(0)=0.

故/(x)>g(x)>0.

【題型2移項(xiàng)構(gòu)造函數(shù)證明不等式】

【例2】(2024?廣西?模擬預(yù)測)設(shè)函數(shù)/(%)=lnx+ax+6,曲線y=/Q)在點(diǎn)(1/(1))處的切線方程為

y=6x—3.

(1)求a力的值；

2

(2)證明:/(x)>-——1.

【解題思路】(1)由題意可得即可得解；

(2)構(gòu)造函數(shù)g(x)=lnx+5x—1+專，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)g(x)的最小值，即可得證.

【解答過程】(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+oo)，r(x)=§+a,

將x=1代入y=6x-3,解得y=3,即/(l)=3,

由切線方程y=6x-3,可知切線斜率/(1)=6,

故a+b=3,1+a=6,

解得a=5力=—2；

(2)由(1)知f(%)=In%+5%—2,

99

要證/(%)>———1,即證In%+5x—1+—>0.

2

設(shè)9(%)=Inx+5%-1+—,

則g，Q)=25：+廠2=所*2),

1?

令夕(%)=0,解得X=g,或乂=一二(舍去)，

當(dāng)％e(o,g時(shí),g'(x)<o,g(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)％e（，+8）時(shí)，夕（汽）＞O,g（x）單調(diào)遞增;

所以g(%)min=5(1)=2-ln5>0,

所以g(尤)>o,即/(X)>—卷7一1.

【變式2-1](2024?陜西安康?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/⑺=卷，g(x)-Inx.

⑴求;'(%)的極值;

(2)證明：xg⑸+2>exf(x)--.

【解題思路】(1)先求出/(%)的單調(diào)性，再根據(jù)單調(diào)性求得極值；

(2)構(gòu)造h(x)=xg(x)+2—exf(x)+|=^\nx+2—x+|(x>0),求出其單調(diào)性進(jìn)而求得最小值為假如),

證明僅孫)>0即可.

【解答過程】⑴??"(>)=\"0)=營，

當(dāng)x<1時(shí)，f3>0,當(dāng)X>1時(shí)，r(x)<0,

所以f(x)在(—8,1)單調(diào)遞增，在(L+8)單調(diào)遞減，

所以當(dāng)X=1時(shí)，f(x)取得極大值：，無極小值.

(2)解：令h(久)=xg[x}+2—exf(x)+|=xlnx+2—x+|(x>0),

則〃(x)=Inx—^(%>0),

2

令r(%)=In%--(%>0),

則/(%)=|+^>0在久>0上恒成立，

所以丁(%)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

222

又丁(1)=Ini——=-2<0,r(e)=Ine——=1—0,

所以存在&€(l,e),使得r(%o)=O,

2

即In%。=系(%0￡(i,e)),

所以久€(O,%o)時(shí)，r(x)<0,hf(x)<0,h(%)單調(diào)遞減，

%€(&,+8)時(shí),r(x)>0,h\x)>0,做%)單調(diào)遞增,

2224

何久)min=以M)=^olnxo+2-x0+—=x0-^2+2-x0+—=2-x0+—(%0e(l,e)),

4

令m(x)=2-x+-(%e(l,e)),

則=-l-^<。在(l,e)上恒成立，

所以m(x)在(l,e)上單調(diào)遞減，

~4

所以血(％)>m(e)=2—e+->0,

4

所以ZlQOmin=僅%0)=2—％o+高>0,

2

所以xg(x)+2>exf(x)-

【變式2-2](2024?陜西榆林?三模)已知函數(shù)/(久)=minx+尤2—乂/⑺的導(dǎo)函數(shù)為rQ).

⑴討論/(久)的單調(diào)性；

2e*1

(2)當(dāng)巾=1時(shí)，證明：f'(x+1)<+—+x-1.

【解題思路】(1)求導(dǎo)，根據(jù)判別式分類討論，即可根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)確定函數(shù)單調(diào)性，

(2)將所證不等式等價(jià)變形后構(gòu)造s(t)=詈，利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性，即可求證.

【解答過程】(1)((%)=?+2x—1=空一(x>0),

當(dāng)△=1一8mW0,即zn>5時(shí)，此時(shí)，「(X)>0,故/(X)在(0,+8)上單調(diào)遞增.

當(dāng)A=l—8m>0,即巾<:時(shí)，令『(萬)=0,

則X1=上正亟,％2=1±正亟,

①當(dāng)0<m<拊，久2>久1>o/(x)在(0,上苧螞嚀恒，+8)上單調(diào)遞增，在(上嚀近,1±苧范)上單

調(diào)遞減.

②當(dāng)mW0時(shí)，Xi<0<x2,f(x)在(0,生苧五)上單調(diào)遞減，在(1+平麗,+8)上單調(diào)遞增.

(2)證明：當(dāng)m=l時(shí)，(0+1)=言+2%+1,

證原不等式等價(jià)于證(第+2)Vx+1<2ex,令原+1=t,

則方>0,且％=1,故只需證+1)42e/-i,即證花^<2,

人，、t3+tmi，/、t2+l-2t4

令s(t)=1Z?貝^("=>7-'

令0(0=產(chǎn)+1—214,則0，?)=2t—8t3=2t(l—4嚴(yán))=2t(l+2t)(l-2t),

由于t>0,令。(t)>0,則0<t<，

,(t)在(0,9上單調(diào)遞增，在G，+8)上單調(diào)遞減.又9(0)=1,0(1)=o,

???當(dāng)te(0,1)時(shí)，s(t)>0,即s，(t)>o,當(dāng)te(i,+8)時(shí)，R(t)<o,即s，(t)<0,

?1.S(t)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞減，

t3+t

?1?S(t)max=S(l)=2,A百<2,

2e"i

所以，當(dāng)zn=l時(shí)，f'{x+1)<+7TT+x-1,

【變式2-3](2024,上海松江?二模)已知函數(shù)y=%?In%+a(。為常數(shù))，記y=/(%)=%?g(%).

(1)若函數(shù)y=g(%)在％=1處的切線過原點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的值；

(2)對于正實(shí)數(shù)3求證:/(%)+f(t—x)>f(t)—tin2+a；

(3)當(dāng)Q=1時(shí),求證：5(x)+cosx<p

【解題思路】(1)根據(jù)題意，得到g(W=ln%+*%>0,求得夕(%)=妥，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求得切

線方程，將原點(diǎn)代入切線方程，即可求解；

xt

(2)設(shè)函數(shù)h(x)=f(x)>0,求得〃(x)=In二p求得函數(shù)h(x)的單調(diào)性和最小值為〃萬)，得到

h(x)>h(1),即可得證；

1pX...1pX1

(3)根據(jù)題意，得到ln%+1<三一cos%,結(jié)合cos%E[―1,1],把轉(zhuǎn)化為+1,設(shè)k(%)=ln%+、

-f+1,X>0,利用導(dǎo)數(shù)求得k(x)的單調(diào)性和最大值k(l)=2-e,即可得證.

【解答過程】(1)解：由題意，函數(shù)y=%」n%+a,且y=/(%)=%.g(%),

可得g(x)=號=Inx+%>0,則歐x)=§=簽,

所以g，(l)=1-a,又因?yàn)間(l)=lnl+a=a,

所以g(x)在久=1處的切線方程為y=(1—a)(x—1)+a,

又因?yàn)楹瘮?shù)y=g(x)在X=1處的切線過原點(diǎn)，可得0=(1-a)-(0-1)+a,

解得a=

（2）解：設(shè)函數(shù)九（*）=y（x）+y（t—x）,t>o,

可得力（久）=xlnx+（t—x）ln（t—%）+2a,其中0<x<t,

x

則九'（尤）=Inx+1—ln（t—x）—1=In—,

令"。)>0,可得六>1,即當(dāng)>0,即告<0,解得!<x<t,

'/L"L—XX-LZ

Xt

令九'(汽)V0,可得0<二<1,解得Ov%<5，

所以g)在(/)上單調(diào)遞增，在(0/上單調(diào)遞減,

可得九(%)的最小值為九6),所以叔%)2/16),

又由九⑥=/(1)4-f(t—1)=tln|+2a=/(t)-tln2+a,

所以f(%)+/(t-%)>/(t)—tln2+a.

(3)解：當(dāng)a=l時(shí)，即證ln%+^V^—cos%,

XX

由于cosxe[—1,1],所以￡—COS%2?-L,只需證9

令k(x)=In%+：—亍+1,%>0,只需證明k(%)<0,

1一吟。-

又由〃(%)=-(11)

x2x2X2

因?yàn)椋?gt;0,可得1—e久<0,令上(%)>0,解得0<%<1；令2(X1<0,解得％>1,

所以做久)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞減，

所以k(x)在尤=1處取得極大值，也時(shí)最大值，所以k(Wmax=k(l)=2—e<0,

即k(x)<0,即a=1時(shí)，不等式g(x)+cosx<亍恒成立.

【題型3分拆函數(shù)法證明不等式】

【例3】(23-24高三上?廣東?階段練習(xí))己知函數(shù)/(x)=axe，(a片0).

⑴討論f(x)的單調(diào)性;

(2)當(dāng)a2白時(shí)，證明:^-(x+l)lnx>0.

【解題思路】(1)求導(dǎo)，分為a>0,a<0兩種情況討論廣(%)的正負(fù)，得出f(x)的單調(diào)性；

(2)對要證的不等式進(jìn)行等價(jià)變形得短2>3，構(gòu)造函數(shù)g(x)=羨2,以幻=號，通過導(dǎo)數(shù)研究兩個(gè)

I人_LJ%［兒丁-1-JX

函數(shù)的最值，證得結(jié)論.

【解答過程】(1)由題意可得((%)=a(x+l)ex.

則a>0時(shí)，由尸(工)>0,得x>—1,由r(x)<0,得x<—1,

則f(%)在(一8,-1)上單調(diào)遞減，在(-1,+8)上單調(diào)遞增；

當(dāng)a<0時(shí)，由尸(尤)<0,得萬>—1,由((￡)>0,得X<—1,

則f(久)在(一8,-1)上單調(diào)遞增，在(一1,+8)上單調(diào)遞減.

(2)因?yàn)椋?gt;0,所以莖>0.

因?yàn)樗允?—(久+1即久2(x+l)lnx.

要證借—(x+l)lnx>0,即證有子―(x+l)lnx>0,即證篇竽

A-T-_L人十_LI人-1-xj4

設(shè)g(%)=費(fèi)3，則g'O)=*V

當(dāng)(0,1)時(shí),g'(x)<0,當(dāng)xe(i,+8)時(shí)，g'(x)>0,

則9(式)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增.

故gO)min=9(1)=7

設(shè)僅工)=竽，則"(%)=號竺

當(dāng)xe(0,e)時(shí)，h:(x)>0,當(dāng)Xe(e,+8)時(shí)，h:(x)<0,

則h(x)在(0,e)上單調(diào)遞增，在(e,+8)上單調(diào)遞減.

故h(%)max=%(e)=p

因?yàn)?(X)min=h(Wmax，且兩個(gè)最值的取等條件不同，

所以等，

即當(dāng)a2(時(shí)，^g-(x+l)lnx>0.

【變式3-1](2024?全國?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(%)=a%—ln%,aER.

(1)若函數(shù)F(%)=/(%)—必有兩個(gè)極值點(diǎn)，求a的取值范圍；

(2)若曲線y=/(x)在點(diǎn)處的切線與y軸垂直，求證：/(x)<ex+^.

【解題思路】(1)根據(jù)條件知，F(xiàn)'(x)有兩個(gè)正的變號零點(diǎn)，即方程—2/+ax—1=0有兩個(gè)不相等的正實(shí)

根，有A>0及韋達(dá)定理得到不等式，解出后驗(yàn)證即可；

(2)根據(jù)條件rg)=0,可求得a=e,不等式轉(zhuǎn)化為ex—e，<In%+白，利用導(dǎo)數(shù)考察不等式左右兩邊函

數(shù)的最值即可證明.

【解答過程】(1)由題，F(xiàn)(x)=ax—\nx—x2,

函數(shù)的定義域?yàn)?0,+oo),

F(x)=a-^-2x=-2亡奴—&>0),

因?yàn)镕(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)，

所以方程一2/+ax-l=0有兩個(gè)不相等的正實(shí)根，

設(shè)為乂1，%2，且得％1+乂2=5>0，

且A=a2—8>0,得a>2?.

當(dāng)0<x</時(shí),尸口)<0,尸Q)單調(diào)遞減;

當(dāng)小<無<冷時(shí)，F(xiàn)'(x)>0/(%)單調(diào)遞增；

當(dāng)x>“2時(shí)，F(xiàn)'(x)<O,F(X)單調(diào)遞減.

所以尸(X)在久=X1處有極小值，在X=X2處有極大值，

因此a的取值范圍是(2魚,+oo).

(2)因?yàn)閒(x)=ax—Inx,則尸(%)=>0),

由題意知/'G)=e(2—1)=0,得a=e,

故/'(%)=ex—In%,所以/(%)<e"+2，

即e無一lnx<eX+2，

x

即ex—e<In久+—ex.

令9(%)=ex—ex(x>0),則g'(x)=e—ex,

當(dāng)久>1時(shí),g'(x)<0應(yīng)(%)單調(diào)遞減，

當(dāng)0<%<1時(shí)，g<%)>0應(yīng)(%)單調(diào)遞增,

所以g(%)max=g(l)=e-e=0.

令九(%)=Inx+2，則"(%)=震>

當(dāng)久>(時(shí),〃(久)>0,h(%)單調(diào)遞增，

當(dāng)0<%V|■時(shí)，"(、)<0,九(%)單調(diào)遞減，

所以/l(x)min==ln^+1=0.

顯然9(%)與假%)不同時(shí)為0,

xx

所以e%—e<In%+—ex,故'/(、%)J<e+—ex.

【變式3-2](2024?廣西柳州?三模)已知函數(shù)/(%)=

(1)求函數(shù)f(x)在點(diǎn)(1)(久))處的切線方程；

(2)求函數(shù)/(久)的單調(diào)區(qū)間；

(3)若尸(%)為/(%)的導(dǎo)函數(shù),設(shè)g(x)=(/+%)尸Q).證明：對任意x>0,g(x)<l+e-2.

【解題思路】(1)求導(dǎo)，可得切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值，即可求解直線方程，

(2)求導(dǎo)，判斷導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)即可求解函數(shù)單調(diào)性，

(3)構(gòu)造函數(shù)/(x)=1—x—xlnx和G(x)=e，一(%+1),利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可求解最值,

即可求證.

【解答過程】(1)r(x)==上*,

、'(ex)2ex

/3=0/⑴=3

函數(shù)/(x)在點(diǎn)(1/(1))處的切線方程為：y=|.

(2)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+8),

令3)=^-l-lnx,/i,(x)=一,一§=一竽

當(dāng)%>0時(shí)，"(X)<0,故九⑴在(0,+8)單調(diào)遞減，

/i(l)=0,

???當(dāng)0V%V1時(shí)，h(x)>0/(%)>0/(%)單調(diào)遞增,

當(dāng)%>1時(shí),h(x)<0/(%)<0/(%)單調(diào)遞減，

???/(%)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1),單調(diào)遞減區(qū)間為(1,+co).

(3)g(x)=(/+x)f(x)=(x2+曠：y=2T=攀(1-X-xlnx),

令F(%)=1—%—%ln%尸(%)=—2—Inx,

當(dāng)0<%<e-2時(shí)，尸(%)>0/(%)單調(diào)遞增;當(dāng)％Ae-2時(shí)，尸(%)V0,尸(%)單調(diào)遞減,

???F(x)<F(e-2)=1+e-2,

令G(%)=ex—(x+=ex—1,

當(dāng)%>0時(shí),C(%)>0,G(%)單調(diào)遞增,故GQ)>G(0)=0,

???9(%)=^-(1—%—xlnx)<1+e-2.

【變式3?3】(2024?全國?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(%)=”2久+Q—2)e%—2a%.

(1)若曲線y=f(x)在(0,a—I)處的切線方程為4ax+2y+1=0,求a的值及/(久)的單調(diào)區(qū)間.

(2)若/'(X)的極大值為f(ln2),求a的取值范圍.

ro

(3)當(dāng)a=0時(shí)，求證：/(%)+59一萬>產(chǎn)2+x]n：r.

【解題思路】(1)求導(dǎo)，根據(jù)點(diǎn)斜式求解切線方程，即可與4依+2丫+1=0對比可得。=1,即可利用導(dǎo)

數(shù)的正負(fù)確定函數(shù)單調(diào)性，

(2)求導(dǎo)得廣(乃=(a+a)(e，—2),即可對a分類討論求解導(dǎo)數(shù)的正負(fù)求解單調(diào)性，

(3)將不等式變形為只需要證明表2才+2ex—2x2—|>xlnx—ex—|x2,構(gòu)造函數(shù)h(x)=1e2x+2ex—2x2—

I，利用導(dǎo)數(shù)求證h(x)>0,構(gòu)造函數(shù)3=等和00)=\+3,利用導(dǎo)數(shù)分別證明9(%)>t(x)，即可求證

-1

0>x\nx—ex--x2,進(jìn)而可求解.

【解答過程】⑴由題意，得廣(久)=e2%+(q—2)e%—2a,所以/，(())=—a—1.

因?yàn)榍€y=/(%)在(0,a―?)處的切線方程為y—(a—=(—CL—1)%,

又4ax+2y+1—0,所以-2a=—a—1,所以a1.

所以(0)=e2x-ex-2=(ex-2)(ex+1).

令『(%)<0,得x<ln2；令尸(無)>0,得x>ln2.

所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(一8,In2),單調(diào)遞增區(qū)間是(ln2,+oo).

(2)由題意得/(%)=e2x+(a—2)ex-2a=(ex+a)(ex—2).

當(dāng)a20時(shí)，令r(x)>。，得％>ln2；令尸Q)<0,得x<ln2.

所以f(x)在(—8,ln2)上單調(diào)遞減，在(ln2,+8)上單調(diào)遞增，此時(shí)f(x)只有極小值，不符合題意.

當(dāng)a<0時(shí)，令/(x)=0,得Xi=ln2,x2=ln(—a).

因?yàn)?'(x)的極大值為/(In2)，所以ln2<ln(-a),解得a<-2.

綜上，a的取值范圍為(一8,—2).

(3)當(dāng)a=0時(shí)，/(%)=|e2^-2ex.

要證/(%)+5ex—|>|x2+xlnx,即證+2ex—|x2—|>xlnx—ex,

只Wffi|-e2x+2ex—2x2—|>xlnx—ex—^x2.

先證：1e2x+2ex—2x2—|>0,%>0.

=|e2x+2ex-2x2—%>0,貝""(%)=e2”+2e”—4%.

設(shè)m(%)=e2x+2ex—4%,%>0,則方(汽)=2e2x+2ex—4=2(ex—l)(ex+2)>0.

所以函數(shù)m(%)在(0,+8)上單調(diào)遞增，則m(%)>m(0)=3>0,即勿(%)>0,

1r

所以函數(shù)h(%)在(0,+8)上單調(diào)遞增，則九(%)>h(0)=0,所以”2久+2廿一2"—萬>o.

1cIT1Va%1

x2

再證：xlnx—e--2xx<0,xzx>20,即證一<—+

設(shè)t(x)=等，則?久)=空.

當(dāng)xe(o,e)時(shí),r(x)>0,t(x)單調(diào)遞增:

當(dāng)xe(e,+8)時(shí)，r(x)<0,t(x)單調(diào)遞減.所以?)<t(e)=

設(shè)0(%)=^+px>0,則”(久)=(x~3)e-

當(dāng)xe(0,2)時(shí)，。(%)<0,0(x)單調(diào)遞減；當(dāng)xe(2,+8)時(shí)，<p'[x)>0,0(%)單調(diào)遞增.

所以0(%)2尹(2)=(+：.所以號■<9+岸*+2，即等,

綜上，|e2z+2ex—2x2—|>xlnx—ex—得證.

故/'(x)+5ex—|>|x2+xlnx.

【題型4分析法證明不等式】

【例4】(2024?吉林?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(%)=(/—q%—a)e%.

(1)當(dāng)。=0時(shí)，求函數(shù)/(%)的極值；

(2)求證：當(dāng)0<aV1,%>0時(shí)，f(x)>六\

【解題思路】(1)對函數(shù)求導(dǎo)后，由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而可求出函數(shù)的極值；

(2)對函數(shù)求導(dǎo)后，由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出/(%)min=—四。，然后將問題轉(zhuǎn)化為證一ae。

>匕，證法一：轉(zhuǎn)化為證(1一a)e。<1,構(gòu)造函數(shù)g(a)=(1—?e。,。<aV1,利用導(dǎo)數(shù)求其最大值小于

1即可，證法二：轉(zhuǎn)化為證e。+三<0,構(gòu)造函數(shù)八(a)=e°+三,0<a<1,利用導(dǎo)數(shù)求其最大值小于0

即可.

【解答過程】(1)當(dāng)a=0時(shí)，/(%)=x2ex(xER)

f'(x)=(%2+2x)ex=x(x+2)ex

令/(%)=0得％=0或%=—2,當(dāng)%變化時(shí)，/(%)與/(%)變化如下表：

X(-8,-2)-2(-2,0)0(0,+00)

+0—0+

4

單調(diào)遞增單調(diào)遞減0單調(diào)遞增

e2

故當(dāng)X=—2時(shí)，f(x)取得極大值不當(dāng)久=0時(shí)，/⑶取得極小值0

(2)/'(%)=[x2+(2—a)x—2a\ex=(%+2)(%—d)ex,x>0

v%>0%+2>0

令/'(%)=0,則％=0當(dāng)%變化時(shí)，/。)與/(%)變化如下表:

X(0,a)a(a,+8)

f(x)—0+

/(X)單調(diào)遞減—aea單調(diào)遞增

故/(%)min=f(a)=~aea.

要證當(dāng)0VQV1,%>0時(shí)，/(%)>念\

證法一：只需證當(dāng)0<。<1時(shí)，一即(1—a)e。<1(*)

aa

令9(。)=(1-a)e,0<a<l,則夕(a)=-ae<0f??.g(a)在(0,1)上單調(diào)遞減

故g(a)<g(o)=L即(*)式成立，原不等式成立.

證法二：只需證當(dāng)0<”1時(shí)，-aea>三即ea+三<0(*)

令h(a)=e。+三,0<a<1,則"(a)=e。一

令m(a)=(a—l)2ea—1,0<a<1,則nT(a)=(a2—l)ea<0

???m(a)在(0,1)上單調(diào)遞減.

????、?lt;m(0)=0,/i'(a)<0

?1.h(a)在(0,1)上單調(diào)遞減，h(a)<h(0)=0

即(*)式成立，原不等式成立.

【變式4-1](2024?西藏?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/1(%)=久皿％+1)+ax(aeR).

(1)若久久)在定義域內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍；

(2)若f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)X1，x2,求證：%1+%2>0.

【解題思路】(1)分/(%)在定義域內(nèi)是單調(diào)遞增函數(shù)和單調(diào)遞減函數(shù)求解；

1

(2)由/(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)X1，%2>得到a>o,且％1，*2是g(x)=ln(x+1)-苗一2x+1+a=0的兩個(gè)根，

由(1)知g(x)在(—1,0)上單調(diào)遞增，在(0,+8)上單調(diào)遞減，不妨設(shè)—1<小<0<尤2，將證%1+%2>。，

轉(zhuǎn)化為證0<9(—打)即可.

【解答過程】(1)解：函數(shù)/'(%)的定義域是(一1,+8),/(%)=ln(x+l)-擊一2x+l+a.

①若/(W在定義域內(nèi)是單調(diào)遞增函數(shù)，

則(Q)=ln(x+1)一5一2久+1+a2。在(一1,+8)上恒成立.

注意到ln(%+1)<%,當(dāng)且僅當(dāng)％=。時(shí)取等號，

1

所以廣(%)=ln(x+1)—^-—2%+l+a<x—2x+l+a=—x+1+a,

若1+aN—1,即當(dāng)QN—2時(shí)，取%o>1+a,則/'(%o)V—%O+1+Q<O；

若l+a<-1,即當(dāng)aV—2時(shí)，取>—1,則/'('0)V—%o+l+a<O,

所以廣。)=叭％+1)一擊-2%+1+a>0在(一1,+8)上不可能恒成立，舍去.

②若/(%)在定義域內(nèi)是單調(diào)遞減函數(shù)，則/。)=ln(%+1)一目-2%+1+a<0在(一1,+8)上恒成立.

令9(%)=1n(%+1)一?―2%+1+a,

mi,/、11——2x2—3%—x(2x+3)

則g(%)=+證》-2=市聲=>_i),

所以當(dāng)一1<%<0時(shí)，g'(x)>o,g(x)在(一1,0)上單調(diào)遞增；

當(dāng)久>0時(shí)，g'(x)<o,g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減,

所以g(x)max=g(0)=a，所以由尸(x)w0恒成立，得a40,

即當(dāng)f(x)在(一1,+8)上單調(diào)遞減的，a的取值范圍是(一8,0].

綜上，當(dāng)/(%)在定義域內(nèi)是單調(diào)函數(shù)時(shí)，a的取值范圍是(一8,0].

(2)由(1)知f(x)在定義域內(nèi)是單調(diào)函數(shù)時(shí)，必有aWO,

所以/'(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)”1，尤2，必須a>。，

X1,久2是g(x)=ln(x+1)---2x+1+a=。的兩個(gè)根，

所以g(xi)=g(%2)=。，a=—ln(x+1)+~+2x—1.

由(1)知g(x)在(一1,0)上單調(diào)遞增，在(0,+8)上單調(diào)遞減.

不妨設(shè)一1<打<0<冷.

要證X1+%2>0，即證％2>—%1.

因?yàn)橐籜1>O,X2>0,所以亦即證g(%2)<9(—%1)，所以要證o<—

1

注意到g(—=ln(—巧+1)-+20+1+a,

=ln(-%1+1)-_：+i+2巧+1+1)+^Y+2%I-1,

=1中+=+二+4小，

令G(%)=ln宗+擊+±+4x,xe(_l,0),則昌5?>1,

211—4

所以GZ(X)=(x+l)(x-l)-(x+l)2-(x-l)2+4=(x+l)2(x-l)2+4<°，

所以G(x)=lng+W+SY+4X在(—1,0)上單調(diào)遞減，

所以G(x)>G(0)=0,所以/+x2>0.

【變式4-2](2024?河北?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(*)=aln久一乂

⑴討論/(久)的單調(diào)性；

(2)證明：當(dāng)a>0時(shí)，/(%)<-1,

【解題思路】(1)先明確函數(shù)定義域和求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)結(jié)構(gòu)特征對a進(jìn)行a<0和a>0的分類討論導(dǎo)數(shù)正負(fù)

即可得單調(diào)性.

(2)證/(%)W-1=f(x)maxW(￡)-1>故問題轉(zhuǎn)化成證alna-aW(2)-l(a>0)=1的)-(1)

+1<0,接著構(gòu)造函數(shù)g(x)=lnx-x+1(%>0)研究其單調(diào)性和最值即可得證.

【解答過程】(1)由題函數(shù)定義域?yàn)?0,+8),r(x)=?—1=?，

故當(dāng)a<0時(shí)，/(幻<。恒成立，所以函數(shù)f(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減；

當(dāng)a>0時(shí)，/(%)在(0,+8)上單調(diào)遞減，令尸(x)=0=x=a,

則xe(0,a)時(shí)，f(x)>0；xe(a,+8)時(shí)，f(%)<0,

所以函數(shù)f(x)在(0,a)上單調(diào)遞增，在(a,+8)上單調(diào)遞減，

綜上，當(dāng)aWO時(shí)，函數(shù)/(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減；當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)/(x)在(0,a)上單調(diào)遞增，在(a,+8)

上單調(diào)遞減.

(2)由(1)當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)/(久)在(0,a)上單調(diào)遞增，在(a,+8)上單調(diào)遞減，

故/(*)</(a)=alna—a在(0,+8)上恒成立，

故證/(久)<-l(a>0)=證alna—aWg)—l(a>0),

即=ln(9<(1)-l(ct>O)Qln(?)-(?)+1<0,

令g(x)=\nx—x+l(x>0),則J(x)==與(久>0),

故當(dāng)％e(0,1)時(shí),g'O)>0；xe(L+8)時(shí)，g?)<0,

所以g(x)在(o,i)上單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞減，

所以g(x)<5(1)=0在(0,+8)上恒成立，故1no-似+1<0,

所以當(dāng)a>0時(shí)，/(%)<?a-l.

【變式4-3](2024?寧夏吳忠?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/'(X)=ae^-x—|(aeR).

(1)討論f(%)的單調(diào)性;

(2)證明：當(dāng)@>0時(shí)，/(%)>21na—a2.

【解題思路】(1)求導(dǎo)后，結(jié)合導(dǎo)數(shù)正負(fù)與單調(diào)性的關(guān)系，分QW0及。>0討論即可得；

(2)原問題可轉(zhuǎn)化為證明當(dāng)a>0時(shí)，a2—|-lna>0,構(gòu)造函數(shù)g(a)=小一^一]口。(。>0)后，利用導(dǎo)數(shù)

可得該函數(shù)的單調(diào)性，即可得其最小值，即可得證.

【解答過程】(1)由題意知((%)=。a一1,

當(dāng)aWO時(shí)，/(%)<0,所以/(汽)在(-8,+8)上單調(diào)遞減；

當(dāng)Q>0時(shí)，令((%)<0,解得％<—Ina,

令廣(第)>0,解得%>-Ina,

所以/(汽)在(一8,一Ina)上單調(diào)遞減，在(一Ina,+8)上單調(diào)遞增

Q-I

(2)由(1)得f(%)min=/(—Ina)=ae—ma+]na—萬=Ina一萬，

要證f(%)>21na—a2,即證Ina—g>21na—a2,即證M—1—Ina>0,

令g(a)=a2—|—lna(a>0),貝！Jg<a)=2a—：=2a^~~,

令g'(a)V0，解得。VaV乎，令g'(a)>0，解得Q>

所以9(a)在(0,乎)上單調(diào)遞減，在(孝,+8)上單調(diào)遞增，

所以g(a)min=g(乎)=(5)In苧=lnV2>0,

則g(a)>0恒成立，

所以當(dāng)Q>0時(shí)，/(%)>21na—a2.

【題型5放縮法證明不等式】

【例5】(2024?山東?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/⑶=即，(速—喈X+2/*n+3),其中山40.

(1)求曲線y=/(尤)在點(diǎn)(2/(2))處切線的傾斜角；

(2)若函數(shù)f(%)的極小值小于0,求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

(3)證明：2ex—2(%+l)lnx—%>0.

【解題思路】(1)利用函數(shù)乘法求導(dǎo)法則來求函數(shù)f(%)的導(dǎo)函數(shù)并因式分解得廣(%)=e3(%—2)

(mx—m—1),即可求出k=r(2)=0,從而可求得切線的傾斜角為0；

(2)對參數(shù)m分四種情形mV0,0<m<1,m=1,血>1進(jìn)行討論單調(diào)性，從而得到極小值小于0,來

求出實(shí)數(shù)6的取值范圍；

(3)要證明不等式2d—2(x+l)lnx—%>0,利用放縮思想對e，>必和1>手進(jìn)行代換，結(jié)合分析法證

明，把原不等式最后轉(zhuǎn)化為新的不等式％-Inx-1>0,再構(gòu)造函數(shù)進(jìn)行求最值證明.

mx

[解答過程】(1)由/'(久)=me(x2—誓x+2*音+3)+e^(2x-喋)=e^(x-2)(mx-m-l),

所以k=,(2)=e2m(2m-m-1)(2-2)=0,

設(shè)曲線y=f(x)在點(diǎn)(2/(2))處切線的傾斜角為a,貝=tana=0,

又因?yàn)閍e[0,?r),所以a=0,

所以曲線y=/(x)在點(diǎn)(2,f(2))處切線的傾斜角為0.

(2)由(1)知((%)=eg(x—2)(mx—m—1)=0,且m70,解得：乂=2或工=1+[,

當(dāng)爪<0時(shí)，xe(—8,i+\),f(x)<0,xe(i+\,2),f'(x)>0,xe(2,+8),f(%)<0,

所以f(x)在(—8,1+')上單調(diào)遞減，在(l+\2)上單調(diào)遞增，在(2,+8)上單調(diào)遞減，

所以小⑶極小值=/(1+0=即+中1+J—誓(1+^)+^^\=酬+】黑<°，解得巾<T，

所以m<-1；

當(dāng)0<小<1時(shí)，x￡(-oo,2),f(%)>0,%e(2,l+\),f'[x)<0,xe(l+i,4-oo),/'(x)>0,

所以f(x)在(—8,2)上單調(diào)遞增，在(2,1+3)上單調(diào)遞減，在(1+，+8)上單調(diào)遞增，

所以/⑶極小值=f(i+9=+J-誓a+9+筆產(chǎn)卜酬+】黑>°，

即此時(shí)極小值不可能小于0,所以當(dāng)0VmV1時(shí)不符合題意；

當(dāng)?n=1時(shí)，/(%)=ex(x—2)2>。恒成立，

所以f(x)在(-8,+8)上單調(diào)遞增，即函數(shù)f(x)無極值，不滿足題意，

所以當(dāng)加=1時(shí)不符合題意；

當(dāng)m>l時(shí)，-00,14-1),f'(x)>0,xe(l+\,2),f'(x)<0,xe(2,+00),f(%)>0,

所以f(x)在(一81+9上單調(diào)遞增，在(1+)2)上單調(diào)