拋物線【九大題型】（新高考專用）（解析版）-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

拋物線【九大題型】專練

?熱點(diǎn)題型歸納

【題型1拋物線的定義及其應(yīng)用】..............................................................3

【題型2拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程】...................................................................5

【題型3拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程】........................................................6

【題型4拋物線的軌跡方程】...................................................................7

【題型5拋物線上的點(diǎn)到定點(diǎn)的距離及最值】....................................................9

【題型6拋物線上的點(diǎn)到定點(diǎn)和焦點(diǎn)距離的和、差最值】.........................................II

【題型7拋物線的焦半徑公式】................................................................14

【題型8拋物線的幾何性質(zhì)】..................................................................16

【題型9拋物線中的三角形（四邊形）面積問(wèn)題1.......................................................................18

?考情分析

1、拋物線

考點(diǎn)要求真題統(tǒng)計(jì)考情分析

2023年新高考I卷：第22題，

拋物線是圓錐曲線中的重要內(nèi)容，

12分

拋物線及其性質(zhì)是高考數(shù)學(xué)的熱點(diǎn)問(wèn)

（1）掌握拋物線的定義、幾2023年新高考I［卷：第10題，

題.從近幾年的高考情況來(lái)看，主要考查

何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程5分

拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)、

⑵掌握拋物線的簡(jiǎn)單幾2023年全國(guó)乙卷（文數(shù)）：

面積問(wèn)題等內(nèi)容，在選擇、填空、解答

何性質(zhì)（范圍、對(duì)稱性、第13題，5分

題都可能出現(xiàn)，解題思路和解題步驟相

頂點(diǎn)、離心率）2023年北京卷：第6題，4分

對(duì)固定，強(qiáng)調(diào)通性通法，選擇、填空題

（3）了解拋物線的簡(jiǎn)單應(yīng)2024年新高考n卷:第10題，

中難度不大，解答題中難度偏大，一般

用6分

以第一小問(wèn)考查拋物線的方程或軌跡問(wèn)

2024年北京卷：第11題，5

題，需要靈活求解.

分

?知識(shí)梳理

【知識(shí)點(diǎn)1拋物線及其性質(zhì)】

1.拋物線的定義

(1)定義：平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)廠和一條定直線/(/不經(jīng)過(guò)點(diǎn)乃的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫作拋物線.點(diǎn)F叫

作拋物線的焦點(diǎn)，直線/叫作拋物線的準(zhǔn)線.

(2)集合語(yǔ)言表示

設(shè)點(diǎn)M(x,y)是拋物線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)M到直線/的距離為d,則拋物線就是點(diǎn)的集合P={M\\MF\=d}.

2.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)

標(biāo)準(zhǔn)

y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py[p>0)x2=-2py(p>0)

方程

1I1

-----/

圖形?一?1■

--------

)1AF〃X叭

頂點(diǎn)(0,0)(0,0)

軸對(duì)稱軸y=0對(duì)稱軸x=0

F(

焦點(diǎn)F(i°)。4)F(。，/)

_Pp

準(zhǔn)線X~2X=2y=-2y=2

離心率e=1e=l

開(kāi)口開(kāi)口向右開(kāi)口向左開(kāi)口向上開(kāi)口向下

\MF\=x+^\MF\=-x+^\MF\=y+^\MF\=-y+%

焦半徑0000

范圍x>0x<0y>0底0

3.拋物線與橢圓、雙曲線幾何性質(zhì)的差異

拋物線與橢圓、雙曲線幾何性質(zhì)的差異：

①它們都是軸對(duì)稱圖形，但橢圓和雙曲線又是中心對(duì)稱圖形；

②頂點(diǎn)個(gè)數(shù)不同，橢圓有4個(gè)頂點(diǎn)，雙曲線有2個(gè)頂點(diǎn)，拋物線只有1個(gè)頂點(diǎn)；

③焦點(diǎn)個(gè)數(shù)不同，橢圓和雙曲線各有2個(gè)焦點(diǎn)，拋物線只有1個(gè)焦點(diǎn)；

④離心率取值范圍不同，橢圓的離心率范圍是雙曲線的離心率范圍是e>l,拋物線的離心率是

e=l；

⑤橢圓和雙曲線都有兩條準(zhǔn)線，而拋物線只有一條準(zhǔn)線；

⑥橢圓是封閉式曲線，雙曲線和拋物線都是非封閉式曲線.

【知識(shí)點(diǎn)2拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的求解方法】

1.拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的求解

待定系數(shù)法：求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的常用方法是待定系數(shù)法，其關(guān)鍵是判斷焦點(diǎn)位置、開(kāi)口方向，在方

程的類型已經(jīng)確定的前提下，由于標(biāo)準(zhǔn)方程只有一個(gè)參數(shù)p,只需一個(gè)條件就可以確定拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

【知識(shí)點(diǎn)3拋物線的焦半徑公式】

1.焦半徑公式

設(shè)拋物線上一點(diǎn)P的坐標(biāo)為（死,%），焦點(diǎn)為F.

⑴拋物線：了2=2/(0>0),\PF\=x0+x0+^；

(2)拋物線：必=—2px(p>0),|PF|=x0—y=-x0+y；

(3)拋物線：無(wú)2=2勿5>0),\PF\=Vo+y=Vo+y；

(4)拋物線：x?=—2加(p>0),|PF|=Vo-y=—Vo+y.

注：在使用焦半徑公式時(shí)，首先要明確拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，不同的標(biāo)準(zhǔn)方程對(duì)應(yīng)于不同的焦半

徑公式.

【知識(shí)點(diǎn)4與拋物線有關(guān)的最值問(wèn)題的解題策略】

1.與拋物線有關(guān)的最值問(wèn)題的兩個(gè)轉(zhuǎn)化策略

（1）轉(zhuǎn)化策略一：將拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離轉(zhuǎn)化為該點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，構(gòu)造出“兩點(diǎn)之間線段最短”

“三角形兩邊之和大于第三邊”，使問(wèn)題得以解決.

（2）轉(zhuǎn)化策略二：將拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，利用”與直線上所有點(diǎn)的連線中

垂線段最短”原理解決.

【方法技巧與總結(jié)】

1.通徑：過(guò)焦點(diǎn)與對(duì)稱軸垂直的弦長(zhǎng)等于2P

2.拋物線必=2Px（p>0）上一點(diǎn)尸（X。,為）到焦點(diǎn)尸（芻,0）的距離出產(chǎn)|=X。+§,也稱為拋物線的焦

半徑.

?舉一反三

【題型1拋物線的定義及其應(yīng)用】

【例1】（2024?貴州貴陽(yáng)?二模）拋物線產(chǎn)=位上一點(diǎn)M與焦點(diǎn)間的距離是10,則M至次軸的距離是（）

A.4B.6C.7D.9

【解題思路】借助拋物線定義計(jì)算即可得.

【解答過(guò)程】拋物線V=4%的準(zhǔn)線為x=-1,

由拋物線定義可得+1=10,故=10-1=9,

則仗“1=J4XM=A/4x9=6,即M到x軸的距離為6.

故選：B.

【變式1-1]（2024?河北?模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)P為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)甲：P的運(yùn)動(dòng)軌跡為拋物線，乙：P到平

面內(nèi)一定點(diǎn)的距離與到平面內(nèi)一定直線的距離相等，則（）

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

【解題思路】根據(jù)已知條件，結(jié)合充分條件、必要條件的定義，即可求解.

【解答過(guò)程】解：當(dāng)直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)的軌跡是過(guò)定點(diǎn)且垂直于該直線的另一條直線，

當(dāng)直線不經(jīng)過(guò)該定點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)的軌跡為拋物線，

故甲是乙的充分條件但不是必要條件.

故選：A.

【變式1-2]（2024?北京大興?三模）已知拋物線產(chǎn)=4%的焦點(diǎn)為R過(guò)尸且斜率為一1的直線與直線》=—

1交于點(diǎn)力,點(diǎn)〃在拋物線上，且滿足|M*=|MF|,則|MF|=（）

A.1B.V2C.2D.2V2

【解題思路】由題意先求出過(guò)尸且斜率為一1的直線方程，進(jìn)而可求出點(diǎn)4接著結(jié)合點(diǎn)M在拋物線上且

\MA\=|MF|可求出從而根據(jù)焦半徑公式附F|=xM+1即可得解.

【解答過(guò)程】由題意可得尸（1,0）,故過(guò)/且斜率為—1的直線方程為y=—（x—1）=—x+1,

令x=-l=y=2,貝!）由題4（一1,2）,

因?yàn)?所以M4垂直于直線x=-1,故y“=2,

又M在拋物線上，所以由22==1，

所以|MF|=XM+1=2.

故選：C.

【變式1-3](2024?福建莆田?模擬預(yù)測(cè))若拋物線C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為3,且C的開(kāi)口朝左，則C的標(biāo)準(zhǔn)

方程為()

A.y2=—6xB.y2=6xC.y2——3xD.y2=3x

【解題思路】

根據(jù)開(kāi)口設(shè)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程，利用。的幾何意義即可求出.

【解答過(guò)程】依題意可設(shè)c的標(biāo)準(zhǔn)方程為產(chǎn)=-2px(p>0),

因?yàn)镃的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為3,所以P=3,

所以C的標(biāo)準(zhǔn)方程為產(chǎn)=-6x.

故選：A.

【題型2拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程】

【例2】(2024?山東荷澤?模擬預(yù)測(cè))已知點(diǎn)2(a,2)為拋物線/=2py(p>0)上一點(diǎn)，且點(diǎn)2到拋物線的焦

點(diǎn)F的距離為3,貝加=()

1

A.-B.1C.2D.4

【解題思路】由題意，根據(jù)拋物線的性質(zhì)，拋物線/=2py(p>0),則拋物線焦點(diǎn)為尸(0,9,若為拋

物線上一點(diǎn)，有|MF|=%可得|4F|=2+藝=3,解得p=2.

【解答過(guò)程】因?yàn)閽佄锞€為/=2py(p>0),

則其焦點(diǎn)在y軸正半軸上，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,9，

由于點(diǎn)4(a,2)為拋物線/=2py,(p>0)為上一點(diǎn)，且點(diǎn)A到拋物線的焦點(diǎn)F的距離為3,

所以點(diǎn)/到拋物線的焦點(diǎn)廠的距離為|4F|=2+"3,解得p=2,

故選：C.

【變式2-1](2024?陜西安康?模擬預(yù)測(cè))過(guò)點(diǎn)(2,—3),且焦點(diǎn)在y軸上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是()

A.x2--3yB.x2——C.x2=—|yD.x2=—4y

【解題思路】利用待定系數(shù)法，設(shè)出拋物線方程，把點(diǎn)代入求解即可.

【解答過(guò)程】設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為/=ay(a豐0),

將點(diǎn)點(diǎn)（2,—3）代入，得22=—3a,解得a=—*

所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是/=-iy.

故選：B.

【變式2-2]（2024?新疆?三模）已知拋物線產(chǎn)=2Px（p>0）上任意一點(diǎn)到焦點(diǎn)F的距離比到y(tǒng)軸的距離大

b則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

A.y2=xB.y2=2xC.y2=4xD.y2=8x

【解題思路】根據(jù)拋物線的定義求解.

【解答過(guò)程】由題意拋物線產(chǎn)=2Px（p>0）上任意一點(diǎn)到焦點(diǎn)F的距離與它到直線x=-1的距離相，

因止匕一?=—1,p—2,

拋物線方程為y2=4%.

故選：C.

【變式2-3]（2024?寧夏石嘴山?三模）如圖，過(guò)拋物線372=2「久@〉0）的焦點(diǎn)/的直線，交拋物線于兩點(diǎn)

/、B,交其準(zhǔn)線于C,4E與準(zhǔn)線垂直且垂足為E,若|BC|=2|BF|,|4E|=3,則此拋物線的方程為（）

C.y2=—D.y2=3x

【解題思路】過(guò)點(diǎn)4B作準(zhǔn)線的垂線，設(shè)|BF|=a,得到|AC|=3+3a,結(jié)合拋物線的定義，求得a=1,再

由BD〃FG,列出方程求得p的值，即可求解.

【解答過(guò)程】如圖所示，分別過(guò)點(diǎn)8作準(zhǔn)線的垂線，垂足為。，

設(shè)田=a,則|BC|=2\BF\=2a,

由拋物線的定義得\BD\=\BF\=a,

在直角△BCD中，可得sin/BCD=黑=巳所以/BCD=30°,

在直角aaCE中，因?yàn)閨4￡|=3,可得|4C|=3+3a,

由|4C|=2|4E|,所以3+3a=6,解得a=l,

因?yàn)锽D〃FG,所以解得P=*所以拋物線方程為y2=3乂

故選：C.

【例3】(2024?內(nèi)蒙古赤峰?二模)已知拋物線C的方程為尤=——2,則此拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為()

A.(-4,0)B.(-i|o)C.(-2,0)D.

【解題思路】由拋物線的幾何性質(zhì)求解.

【解答過(guò)程】依題意得：y2=-16x,則此拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為：(—4,0),

故選：A.

【變式3-1](2024?黑龍江大慶?模擬預(yù)測(cè))已知拋物線C:y=6久2,貝i]c的準(zhǔn)線方程為()

A3c3?1?1

A-y=-5B-y=5c-y=_五D-y=^

【解題思路】根據(jù)拋物線的準(zhǔn)線方程直接得出結(jié)果.

【解答過(guò)程】拋物線C：y=6/的標(biāo)準(zhǔn)方程為/=

所以其準(zhǔn)線方程為y=—今

故選：C.

【變式3-2](2024?河南?三模)拋物線y2=—28X的焦點(diǎn)坐標(biāo)為()

A.(0,-14)B.(0,-7)C.(-14,0)D.(-7,0)

【解題思路】根據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程直接得出結(jié)果.

【解答過(guò)程】2p=28,p=14,?,?拋物線y2=-28汽的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(-7,0).

故選：D.

【變式3-3](2024?福建廈門?模擬預(yù)測(cè))若拋物線V=租％的準(zhǔn)線經(jīng)過(guò)雙曲線%2一丫2=2的右焦點(diǎn)，則血的

值為()

A.-4B.4C.-8D.8

【解題思路】根據(jù)題意，分別求得雙曲線的右焦點(diǎn)以及拋物線的準(zhǔn)線方程，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.

【解答過(guò)程】因?yàn)殡p曲線/—y2=2的右焦點(diǎn)為(2,0),

又拋物線y2=nix的準(zhǔn)線方程為X=—；，則一三=2,即m=—8.

故選：C.

【題型4拋物線的軌跡方程】

【例4】(2024?湖南衡陽(yáng)?三模)已知點(diǎn)F(2,0),動(dòng)圓P過(guò)點(diǎn)F,且與x=—2相切，記動(dòng)圓圓心P點(diǎn)的軌跡為

曲線「，則曲線「的方程為()

A.y2=2xB.y2=4xC.y2=8xD.y2—12x

【解題思路】分析題意，利用拋物線的定義判斷曲線是拋物線，再求解軌跡方程即可.

【解答過(guò)程】由題意知，點(diǎn)P到點(diǎn)F的距離和它到直線”=—2的距離相等，

所以點(diǎn)P的軌跡是以(2,0)為焦點(diǎn)的拋物線，所以「的方程為產(chǎn)=8%，故C正確.

故選：C.

【變式4-1](23-24高二上?北京延慶?期末)到定點(diǎn)F(l,0)的距離比到y(tǒng)軸的距離大1的動(dòng)點(diǎn)且動(dòng)點(diǎn)不在x軸

的負(fù)半軸的軌跡方程是()

A.y2=8xB.y2=4xC.y2=2xD.y2=x

【解題思路】根據(jù)拋物線的定義即可得解.

【解答過(guò)程】因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)/(1,0)的距離比到y(tǒng)軸的距離大1,

所以動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)F(L0)的距離等于到x=—1的距離，

所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以尸(L0)為焦點(diǎn)，x=—1為準(zhǔn)線的拋物線，

所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程是y2=4%.

故選：B.

【變式4-2](23-24高二上?重慶?期末)已知點(diǎn)P(x,y)滿足Jo—l)2+y2=氏+1|,則點(diǎn)P的軌跡為()

A.橢圓B.雙曲線C.拋物線D.圓

【解題思路】根據(jù)已知條件及拋物線的定義即可求解.

【解答過(guò)程】J(X—1產(chǎn)+產(chǎn)表示點(diǎn)》(即)到點(diǎn)(IQ)的距離;|%+1|表示點(diǎn)P(￡,y)到直線X=—1的距離.

因?yàn)镴（X—1）2+y2=\x+1\,

所以點(diǎn)P（x,y）到點(diǎn)（1,0）的距離等于點(diǎn)P?y）到直線x=—1的距離，

所以P的軌跡為拋物線.

故選：C.

【變式4-3]（23-24高二上?寧夏石嘴山?階段練習(xí)）一個(gè)動(dòng)圓與定圓F：（x+2）2+y2=1相內(nèi)切，且與定

直線l:x=3相切，則此動(dòng)圓的圓心M的軌跡方程是（）

A.y2—8xB.y2=4xC.y2--4xD.y2=—8x

【解題思路】先利用圓與圓的位置關(guān)系，直線與圓的位置關(guān)系找到動(dòng)點(diǎn)M的幾何條件，再根據(jù)拋物線的定

義確定動(dòng)點(diǎn)M的軌跡，最后利用拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程寫(xiě)出軌跡方程.

【解答過(guò)程】設(shè)動(dòng)圓M的半徑為r,依題意：|MF|=r—1,

點(diǎn)M■到定直線x=2的距離為d=r-l,

所以動(dòng)點(diǎn)加到定點(diǎn)F（—2,0）的距離等于到定直線x=2的距離，

即知的軌跡為以尸為焦點(diǎn)，x=2為準(zhǔn)線的拋物線，

所以此動(dòng)圓的圓心河的軌跡方程是V=-8x.

故選：D.

【題型5拋物線上的點(diǎn)到定點(diǎn)的距離及最值】

【例5】（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知/是拋物線C：必=4式上的點(diǎn)，N（4,0）,則|AN|的最小值為（）

A.2B.2V2C.4D.2>/3

【解題思路】由拋物線的方程，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值

【解答過(guò)程】設(shè)4（?，

則|2N|=—+t2=[葛-2+16=加一2丫+12>2V3,

當(dāng)且僅當(dāng)1=±2四時(shí)，等號(hào)成立.

故選：D.

【變式5-1]（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）已知P是拋物線產(chǎn)=2x上的點(diǎn)，Q是圓（％—5產(chǎn)+必=i上的點(diǎn),

則|PQ|的最小值是()

A.2B.2V2C.2V3D.3

【解題思路】將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求|PC|的最小值，根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式，求得|PC|的最小值再減去半徑即可.

【解答過(guò)程】如圖，拋物線上點(diǎn)P(x,y)到圓心C(5,0)的距離為|PC|,|CP|<\CQ\+\PQ\,

因此|PQ|>\CP\-1,當(dāng)|CP|最小時(shí),\PQ\=|CP|-1最小,

而|CP『-(x-5)2+y2=(1—5)+y2-；(川—8)2+9,

當(dāng)。=±2魚(yú)時(shí),1cpimin=3,因此|PQ|的最小值是2.

故選：A.

【變式5-2](2024?湖南益陽(yáng)?三模)已知M是拋物線y2=4%上一點(diǎn)，圓0:(久一+(y—2￥=1關(guān)于直線

y=x—1對(duì)稱的圓為C2,N是圓上的一點(diǎn)，則|MN|的最小值為()

A.2V2-1B.V2-1C.乎-1D.1

【解題思路】根據(jù)對(duì)稱性求出圓。2的方程，設(shè)M(4，yo),求出IMC2I的最小值，即可求出|MN|的最小值.

【解答過(guò)程】圓Q：(x—l)2+(y—2)2=1圓心為5(1,2),半徑r=l,設(shè)Q(a,b),

—xl=-l(a=3

則由對(duì)稱性可知:jl+aT12+b,c，解得憶3則C2(3,0),

--------1=U3-U

22

所以圓C2：(%-3)2+y2=1,

設(shè)MR,yo)，則IMQI=JR-3)+%=J表5—4)2+8,

所以當(dāng)羽=4,即yo=±2時(shí),|MC2|min=2V2,

所以|MN|的最小值是2魚(yú)一1.

故選：A.

【變式5-3］（2024?黑龍江齊齊哈爾?二模）已知拋物線=8x的焦點(diǎn)為F,"為C上的動(dòng)點(diǎn)，N為圓4/+

川+2%+8丫+16=0上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離為d,則|MN|+d的最小值為（）

A.1B.C.當(dāng)D.2

【解題思路】作出圖形，過(guò)點(diǎn)M作ME垂直于拋物線的準(zhǔn)線，垂足為點(diǎn)E,利用拋物線的定義可知d=

-2,分析可知，當(dāng)且僅當(dāng)N、M為線段4F分別與圓4、拋物線C的交點(diǎn)時(shí)，|MN|+d取最小值，即可得解.

【解答過(guò)程】根據(jù)已知得到F（2,0）,圓A（x+l）2+（y+4）2=1,所以4（—1,一4）,圓月的半徑為1,

拋物線C的準(zhǔn)線為―=—2,過(guò)點(diǎn)M作ME1/,垂足為點(diǎn)E,貝“ME|=d+2,

由拋物線的定義可得d+2=\ME\=\MF\,

所以，|MN|+d=\MN\+\MF\-2>\AM\+\MF\-1-2>\AF\-1-2-7(2+1)2+(-4)2-1-2=2.

當(dāng)且僅當(dāng)N、"為線段4F分別與圓4、拋物線C的交點(diǎn)時(shí)，兩個(gè)等號(hào)成立,

因此，|MN|+d的最小值為3.

故選：D.

【題型6拋物線上的點(diǎn)到定點(diǎn)和焦點(diǎn)距離的和、差最值】

【例6】（2024?四川成都?模擬預(yù)測(cè)）設(shè)點(diǎn)4（2,3）,動(dòng)點(diǎn)尸在拋物線=4%上，記P到直線x=—2的距離

為d,則|2P|+d的最小值為（）

A.1B.3C.V10-1D.V10+1

【解題思路】根據(jù)拋物線的定義，P到焦點(diǎn)尸的距離等于P到準(zhǔn)線的距離，可得d=|PF|+l,從而轉(zhuǎn)化為求

\AP\+\PF\+1的值，當(dāng)4BF三點(diǎn)共線時(shí)，d=\PF\+1取得最小值,即可求解.

【解答過(guò)程】由題意可得，拋物線C的焦點(diǎn)F(1,O),準(zhǔn)線方程為無(wú)=—1,

由拋物線的定義可得d=\PF\+1,

所以|4P|+d=\AP\+\PF\+1,

因?yàn)閨4P|+\PF\>\AF\=J(2—1)2+(3—0)2=Vio

所以|4P|+d=\AP\+\PF\+1>V1O+1.

當(dāng)且僅當(dāng)AP,F三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，所以|4P|+d的最小值為VTO+1.

【變式6-1](2024?湖南常德?一模)己知拋物線方程為:*=16x,焦點(diǎn)為F.圓的方程為(久一5尸+⑶一1)2

=1,設(shè)P為拋物線上的點(diǎn)，Q為圓上的一點(diǎn)，則|PF|+|PQ|的最小值為()

A.6B.7C.8D.9

【解題思路】根據(jù)拋物線定義將點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離，即|PF|=\PN\,從而得到|PF|+

\PQ\=\PN\+\PQ\,P、Q、N三點(diǎn)共線時(shí)和最小;再由Q在圓上，|QN|min=|MN|—r得到最小值.

由拋物線方程為y2=16x,得到焦點(diǎn)尸(4,0),準(zhǔn)線方程為久=—4,過(guò)點(diǎn)P做準(zhǔn)線的垂線，垂足為N,

因?yàn)辄c(diǎn)P在拋物線上，所以|PF|=|PN|,

所以|PF|+|PQ|=|PN|+|PQ|,當(dāng)Q點(diǎn)固定不動(dòng)時(shí)，P、Q、N三點(diǎn)共線，即QN垂直于準(zhǔn)線時(shí)和最小，

又因?yàn)镼在圓上運(yùn)動(dòng)，由圓的方程為0—5)2+(y—1)2=1得圓心M(5,l),半徑「=1,所以|QN|min=|MN|

—v=8,

故選：C.

【變式6-2](2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))在直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)尸(1,0),E(—2,0),"(2,2),動(dòng)點(diǎn)P滿

足線段PE的中點(diǎn)在曲線y2=2久+2上，則|PM|+|PF|的最小值為()

A.2B.3C.4D.5

【解題思路】設(shè)P(x,y),由題意求出P的軌跡方程，繼而結(jié)合拋物線定義將|PM|+|PF|的最小值轉(zhuǎn)化為M

到直線/的距離，即可求得答案.

【解答過(guò)程】設(shè)PQy),則PE的中點(diǎn)坐標(biāo)為(手,鄉(xiāng)，代入川=2%+2,可得y2=4x,

故動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡是以廠為焦點(diǎn)，直線/：%=—1為準(zhǔn)線的拋物線，

由于22<4x2,故M(2,2)在拋物線y2=4%內(nèi)部，

過(guò)點(diǎn)尸作PQ12,垂足為。，貝”PM|+|PF|=|PM|+|PQ|,(拋物線的定義)，

故當(dāng)且僅當(dāng)M,P,。三點(diǎn)共線時(shí)，|PM|+|PQ|最小,即|PM|+|PF|最小，

最小值為點(diǎn)M到直線/的距離，所以(|PM|+|PF|)min=2-(-1)=3,

故選：B.

【變式6-3](2024?陜西西安?一模)設(shè)P為拋物線C：必=軌上的動(dòng)點(diǎn)，4(2,6)關(guān)于P的對(duì)稱點(diǎn)為8,記P至I]

直線x=—1、久=—4的距離分別由、dz，則由+dz+的最小值為()

A.V33+2B.2V33+2C.V37+3D.2歷+3

【解題思路】根據(jù)題意得到心+d2+\AB\=2dl+3+2\PA\=2@+|PA|)+3,再利用拋物線的定義結(jié)合

三角不等式求解.

【解答過(guò)程】拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)為F(l,0),準(zhǔn)線方程為x=-1,

如圖,

因?yàn)閐2=di+3,且4(2,6)關(guān)于P的對(duì)稱點(diǎn)為B,所以伊知=\PB\,

所以心+d2+\AB\=2dl+3+2\PA\=2@+\PA\)+3=2(|PF|+\PA\)+3

>2\AF\+3=27(2-1)2+62+3=2歷+3.

當(dāng)P在線段4F與拋物線的交點(diǎn)時(shí)，辦+di+MBI取得最小值，且最小值為2何+3.

故選：D.

【題型7拋物線的焦半徑公式】

[例7](2024?青海西寧?一模)已知產(chǎn)是拋物線C:/=4y的焦點(diǎn)，點(diǎn)M在C上，且M的縱坐標(biāo)為3,則=

()

A.2V2B.2V3C.4D.6

【解題思路】利用拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和拋物線的焦半徑公式即可求解.

【解答過(guò)程】由％2=4y,得2P=4,解得p=2.

所以拋物線C：/=4y的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F(0,l),準(zhǔn)線方程為y=-1,

又因?yàn)镸的縱坐標(biāo)為3,點(diǎn)M在C上，

所以|MF|=%^+"3+|=4.

故選：C.

【變式7-1](2024?河南?模擬預(yù)測(cè))已知拋物線C:y2=2px(p〉0)上的點(diǎn)(m,2)到原點(diǎn)的距離為2vL焦點(diǎn)

為F,準(zhǔn)線/與x軸的交點(diǎn)為過(guò)C上一點(diǎn)尸作尸。1/于。，若4FPQ=可,則|PF|=()

A.-B.-C.亨D.—

【解題思路】根據(jù)點(diǎn)(a,2)到原點(diǎn)的距離為2聲求出拋物線方程，再設(shè)點(diǎn)尸坐標(biāo)，利用拋物線的定義和等腰三

角形的性質(zhì)列出方程即可求解.

【解答過(guò)程】因?yàn)辄c(diǎn)(外2)到原點(diǎn)的距離為2vL

所以62+22=8,解得m=2,（負(fù)值舍），

將點(diǎn)（2,2）代入拋物線方程丫2=2。%@>0）,得4=4p,所以p=l,

所以C:y2=2x,F(1,0),Z:x=—

由于拋物線關(guān)于X軸對(duì)稱，不妨設(shè)PQ,后）,Q（—*房）,

因?yàn)閨PQ|=|PF|=%+'Z.FPQ=y,

所以△PQF為等腰三角形，Z.PQF=p

所以|（2?|=舊出<21=舊"+勺，

所以|QF|=?T^=^(x+》,

解得X=:或X=-1(舍),

117

所以|PF|=%+]=§.

故選：D.

【變式7-2]（2024?新疆?三模）已知拋物線C：丫2=%的焦點(diǎn)為尸，在拋物線C上存在四個(gè)點(diǎn)p,M,Q,

N,若弦PQ與弦MN的交點(diǎn)恰好為R且PQ1MN,則高+意=（）

A.yB.1C.V2D.2

【解題思路】由拋物線的方程可得焦點(diǎn)廠的坐標(biāo)，應(yīng)用拋物線焦點(diǎn)弦性質(zhì)|PF|=苔而，1（251=晨導(dǎo)，

吠|=哀品，四|=式而，結(jié)合三角的恒等變換的化簡(jiǎn)可得自+意=弟即可求解?

【解答過(guò)程】由拋物線C鏟=%得2P=1,貝UpF60）,

不妨設(shè)尸。的傾斜角為。（0<6<以，

則由|PF|cos8+p=\PF\,p-\QF\cos6=\QF\,

得仍尸|=匚而，及月=哀而

所以|MF|=i-cos(^+0)=1+sinG|NF|=i+cos(f+6>)=l-sinS,

得|PQ|=\PF\+\QF\=&+益彳=急，\MN\=，司=懸,

【變式7-3］(2024?北京西城?三模)點(diǎn)廠拋物線產(chǎn)=2久的焦點(diǎn)，A,B,C為拋物線上三點(diǎn)，若可+而+

FC=0,則|同|+|而|+|麗|=()

A.2B.2V3C.3D.4巡

【解題思路】設(shè)4(xi,yD，B(x2,y2),c(x3,y3)，根據(jù)拋物線方程求出焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程,再由可+FB+FC=

6可得F為△ABC的重心，從而可求出比1+K2+"3,再根據(jù)拋物線的定義可求得結(jié)果.

［解答過(guò)程］設(shè)力。1,%),8。2,丫2),。(%3,乃)>

由y2=2%,得p=l,所以尸60),準(zhǔn)線方程為％=

因?yàn)橛?麗+麗=6,所以F為△ABC的重心，

所以必+；+啊=號(hào),所以亞+刀2+久3=*

--->--->--->

4|+|FB|+|FC|

所以|凡-X1+-+X2+-+X3+2

3

=*1+%2+*3+2

一_3尹3小_,

故選：C.

【題型8拋物線的幾何性質(zhì)】

[例8](2024?重慶?模擬預(yù)測(cè))48是拋物線y2=2Px(p>0)上的不同兩點(diǎn)，點(diǎn)方是拋物線的焦點(diǎn)，且△

的重心恰為凡若|ZF|=5,貝ljp=()

A.1B.2C.3D.4

【解題思路】根據(jù)重心可得卜1+"2=當(dāng)，結(jié)合對(duì)稱性可得的=條再根據(jù)拋物線的定義運(yùn)算求解.

I71=-724

【解答過(guò)程】設(shè)“(%1，'1),8(%2，丫2)/

'%1+%2+。_P+%2=*

因?yàn)椤鱋ZB的重心恰為R則%+和0_Q?解得

.yi=-y2

、3-

由yi=—可知48關(guān)于X軸對(duì)稱，即％1=%2,

則+%2=2%1=M即％1=?，

Z4-

又因?yàn)閨2尸|=刀1+”乎=5,解得p=4.

故選：D.

【變式8-1](23-24高二下?福建廈門?期末)等邊三角形的一個(gè)頂點(diǎn)位于原點(diǎn)，另外兩個(gè)頂點(diǎn)在拋物線外=2x

上，則這個(gè)等邊三角形的邊長(zhǎng)為()

A.2B.2V3C.4D.4V3

【解題思路】正三角形的另外兩個(gè)頂點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，設(shè)另外兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是4(ga,a),B(ga,—砌，把

頂點(diǎn)代入拋物線方程化簡(jiǎn)即可求解.

【解答過(guò)程】設(shè)正三角形得邊長(zhǎng)為2a,

由圖可知正三角形的另外兩個(gè)頂點(diǎn)關(guān)于乂軸對(duì)稱，可設(shè)另外兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是4(V^a,a),B(V^a,—a),

把頂點(diǎn)代入拋物線方程得a?=2ga,解得a=2小

所以正三角形的邊長(zhǎng)為4國(guó).

故選：D.

【變式8-2](23-24高三下?北京?階段練習(xí))設(shè)拋物線C的焦點(diǎn)為尸，點(diǎn)E是C的準(zhǔn)線與C的對(duì)稱軸的交

點(diǎn)，點(diǎn)尸在C上，若NPEF=30。，則sin/PFE=()

C.—D.—

A-TB-T22

【解題思路】

先設(shè)P(xo,yo)，根據(jù)圖形分別表示出tan/PEF和sin/PFE即可得解.

【解答過(guò)程】由于拋物線的對(duì)稱性，不妨設(shè)拋物線為C:y2=2px(p>0),則其焦點(diǎn)為F(|,0),

點(diǎn)E是C的準(zhǔn)線與C的對(duì)稱軸的交點(diǎn)，其坐標(biāo)為以一(0),

點(diǎn)P在C上，設(shè)為P(%o，yo),若NPEF=30。，則tan/PEF=黑=§,

且|PF|=x0+pPWsinNPFE=sin(>—NPFE)=^=^.

故選：B.

【變式8-3](23-24高二下?重慶?階段練習(xí))已知x軸上一定點(diǎn)力(a,0)(a>0),和拋物線產(chǎn)=2Px(p>0)上

的一動(dòng)點(diǎn)M,若>a恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()

A.(0閭B.(0,p]C.(0用D.(0,2p]

【解題思路】設(shè)M(xo，yo)(&>0),表示出|力”|,依題意可得就一(2a-2p)%0>0恒成立，分配=0和>0

兩種情況討論，當(dāng)久0>0時(shí)XoN2a—2P恒成立，即可得到2a—2pW0,從而求出a的取值范圍.

【解答過(guò)程】設(shè)M（%o,yo）3）20）,則羽=2px（）,所以|4M|=J（x（）—a）2+羽

22

二7（Xo—a）+2px0=/%o—（2a—2p）x0+a

—J%一（a—p）］x0+a］，

2

因?yàn)?gt;a恒成立，所以就-（2a-2p）%0+a>a2恒成立，

所以非-（2a-2p）x0>0恒成立，

當(dāng)X。=0時(shí)顯然恒成立，當(dāng)劭>0時(shí)孫>2a-2P恒成立，

所以2a-2pV0,則aWp,又a>0,所以0<aWp,即實(shí)數(shù)a的取值范圍為（0,p］.

故選：B.

【題型9拋物線中的三角形（四邊形）面積問(wèn)題】

【例9】（2024?江西新余?二模）已知點(diǎn)Q（2,—2）在拋物線C：y2=2px±,尸為拋物線的焦點(diǎn)，貝U△OQF

（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積是（）

A.1B.1C.2D.4

【解題思路】將點(diǎn)Q代入拋物線C的方程，即可求解p,再結(jié)合拋物線的公式，即可求解

【解答過(guò)程】點(diǎn)Q（2,-2）在拋物線C:y2=2px上，F(xiàn)為拋物線C的焦點(diǎn)，

4=4p,解得p=1,

故拋物線C的方程為產(chǎn)=2%,F（1,0）,

則△OQF的面積SMQF==|.

故選：A.

【變式9-1］（23-24高二上?廣東廣州?期末）已知拋物線C：y2=2px（p〉0）的焦點(diǎn)為尸，直線/與C相

交于/、2兩點(diǎn)，與/軸相交于點(diǎn)￡已知|4F|=5,\BF\=3,若△4EF的面積是△BEF面積的2倍，則

拋物線C的方程為（）

A.y2=2xB.y2=4xC.y2=6xD.y2=8%

【解題思路】過(guò)分別作C的準(zhǔn)線的垂線交y軸于點(diǎn)M,N,根據(jù)拋物線定義可得MM=5—另|BN|=3—

|,再由受空=盤=罌即可求參數(shù)P，進(jìn)而可得拋物線方程.

，"BEF|OC|\DN\1

【解答過(guò)程】如圖，過(guò)4B分別作C的準(zhǔn)線的垂線交y軸于點(diǎn)M,N,

則4M〃BN，故提=需,

因?yàn)镃的準(zhǔn)線為x=g,所以14Ml=|4F|_、=\BN\=\BF\-1=3-p

所以"_]EF]|4E|sin〃EF_幽_也—tf__

所以SAB”_》EF||BE|si“EF_|BE|_|BN|一3-用牛付P-

故拋物線C的方程為儼=4x.

【變式9-2]（23-24高二上?廣東廣州?期末）設(shè)F為拋物線產(chǎn)=4乂的焦點(diǎn)，A,B,C為該拋物線上不同的三點(diǎn),

且戴+麗+同=6,0為坐標(biāo)原點(diǎn)，若△。凡4、AOFB、△0FC的面積分別為Si、S2、S3,則S：+S專+S專

=（）

A.3B.4C.5D.6

【解題思路】設(shè)點(diǎn)48,C的坐標(biāo)，再表示出△。凡4,△。FB,△。尸C的面積，借助向量等式即可求得答案.

【解答過(guò)程】設(shè)點(diǎn)4B,C的坐標(biāo)分別為（不）1），0272），（%3，為），而拋物線的焦點(diǎn)尸（1,0），\OF\=1,

FA=（久i=（x2-l,y2），F(xiàn)C=（x3-l,y3）,由凡4+FB+FC=G,得久i+x2+x3-3,

于是S]=、僅1|,52=打2居=9為1，

所以望+Sj+Sj=-(yi+yj+yl)=+%2+%3=3.

故選：A.

【變式9-3］（23-24高二?全國(guó)?課后作業(yè)）已知拋物線C：產(chǎn)=8羽點(diǎn)P為拋物線上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P向圓

D：久2+產(chǎn)―4久+3=0作切線，切點(diǎn)分別為4B,則四邊形P4DB的面積的最小值為（）

A.1B.2C.V3D.V5

【解題思路】由題意圓的圓心與拋物線的焦點(diǎn)重合，可得連接P。，貝”四邊形P4DB=2SRSP4D=|P4|,而

\PA\=y/\PD\2-l,所以當(dāng)|PO|最小時(shí)，四邊形P4DB的面積最小，再拋物線的定義轉(zhuǎn)化為點(diǎn)P到拋物線的

準(zhǔn)線的距離的最小值，結(jié)合拋物線的性質(zhì)可求得結(jié)果

【解答過(guò)程】如圖，連接PD,圓（x-2）2+y2=l,該圓的圓心與拋物線的焦點(diǎn)重合，半徑為1,

則S四邊形PADB—2SRSP40=\PA\.

又|P川=J|PD|2—1,所以當(dāng)四邊形PADB的面積最小時(shí)，|PD|最小.

過(guò)點(diǎn)P向拋物線的準(zhǔn)線x=—2作垂線，垂足為E,則|PD|=|PE|,

當(dāng)點(diǎn)P與坐標(biāo)原點(diǎn)重合時(shí)，|PE|最小，此時(shí)|PE|=2.

故（s四邊形240B）min=（/iW^i）min=V3.

故選：c.

yjk

?過(guò)關(guān)測(cè)試

一、單選題

1.(2024?江西?模擬預(yù)測(cè))若拋物線久2=8y上一點(diǎn)(久口,%)到焦點(diǎn)的距離是該點(diǎn)至防軸距離的2倍.則見(jiàn)=

()

13

A.-B.1C.-D.2

【解題思路】根據(jù)拋物線的方程，結(jié)合拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，得到拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線，利用拋物線的定義,

得到拋物線上的點(diǎn)(xo,yo)到焦點(diǎn)的距離，根據(jù)題意得到關(guān)于火的方程，求解即可.

【解答過(guò)程】已知拋物線的方程為/=8y,可得p=4.

所以焦點(diǎn)為F(0,2),準(zhǔn)線為Z：y=—2.

拋物線上一點(diǎn)4(%,y°)到焦點(diǎn)F的距離等于到準(zhǔn)線1的距離，

即網(wǎng)=%+2,

又必到x軸的距離為y(),

由已知得yo+2=2y(),解得yo—2.

故選：D.

2.(2024?四川?模擬預(yù)測(cè))已知拋物線C:久2=8y的焦點(diǎn)為￡P(guān)是拋物線C上的一點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，|0P|=4

V3,則|PF|=()

A.4B.6C.8D.10

【解題思路】求出拋物線焦點(diǎn)和準(zhǔn)線方程，設(shè)P(nui)(m20),結(jié)合|0P|=4行與拋物線方程，得到幾=4,

由焦半徑公式得到答案.

【解答過(guò)程】拋物線C：/=8y的焦點(diǎn)為F(0,2),準(zhǔn)線方程為y=-2,

設(shè)P(7n,Zl)(7H>0),叫后黑但，解得"4或--12(舍去)，

則|PF|=n+2=6.

故選：B.

3.(23-24高二下?