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文檔簡(jiǎn)介
專題21平行四邊形與多邊形(考點(diǎn)解讀)
中考命題解讀
多邊形的內(nèi)角和一般是利用公式求角,一般命題為填空題或選擇題,難度不大。平行
四邊形的性質(zhì)和判定是中考中的熱點(diǎn)問(wèn)題,單純從它的性質(zhì)和判定來(lái)講,難度不大,
但它經(jīng)常和一些數(shù)學(xué)問(wèn)題結(jié)合在一起出題。
考標(biāo)要求》
1.了解多邊形的定義,多邊形的頂點(diǎn)、邊、內(nèi)角、外角、對(duì)角
線等概念;
2.理解并掌握多邊形內(nèi)角和與外角和公式;
3.理解平行四邊形的概念,了解四邊形的不穩(wěn)定性;
4.理解并證明平行四邊形的有關(guān)性質(zhì)定理.
考點(diǎn)精講
考點(diǎn)1:多邊形
(1)定義:在平面.內(nèi),由一些段線首尾順次相接組成的封閉圖形叫做
多邊形.
1.多邊形的(2)對(duì)角線:從〃邊形的一個(gè)頂點(diǎn)可以引(〃-3)條對(duì)角線,并且這些
相關(guān)概念對(duì)角線把多邊形分成了(〃一2)個(gè)三角形;〃邊形對(duì)角線條數(shù)為
n(n-3)
2
(1)內(nèi)角和:〃邊形內(nèi)角和公式為(〃-2)?180°
2.多邊形的
內(nèi)角和、外
(2)外角和:任意多邊形的外角和為幽」.
角和
(1)定義:各邊相等,各角也相等的多邊形.
(2)正〃邊形的每個(gè)內(nèi)角為
",每一個(gè)外角為360。/n.
3.正多邊形
(3)正〃邊形有碌對(duì)稱軸.
(4)對(duì)于正〃邊形,當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí),是軸對(duì)稱圖形;當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí),既
是軸對(duì)稱圖形,又是中心對(duì)稱圖形.
考點(diǎn)2:平行四邊形性質(zhì)
1.平行四邊形的定義:
兩組對(duì)邊分別平行的.四邊形叫做平行四邊形,平行四邊形用“口”表示.
2.平行四邊形的性質(zhì)
(1)邊:兩組對(duì)邊分別平行且相等.即AB〃CD且AB=CD,BC〃AD且AD=BC.
(2)角:對(duì)角相笠,鄰角互補(bǔ).即NBAD=NBCD,ZABC=ZADC,D
ZABC+ZBCD=180°,ZBAD+ZADC=180°./
(3)對(duì)角線:互相平分.即0A=0C,0B=0D
(4)對(duì)稱性:中心對(duì)稱但不是軸對(duì)稱.”
3.平行四邊形中的幾個(gè)解題模型
(1)如圖①,AF平分NBAD,則可利用平行線的性質(zhì)結(jié)合等角對(duì)等邊得到4ABF為笠腰三
角形,即AB=5E.
(2)平行四邊形的一條對(duì)角線把其分為兩個(gè)全等的三角形,如圖②中4ABD/4CDB;
兩條對(duì)角線把平行四邊形分為兩組全等的三角形,如圖②中AAOD/△C0B,
△AOB^ACOD;
根據(jù)平行四邊形的中心對(duì)稱性,可得經(jīng)過(guò)對(duì)稱中心0的線段與對(duì)角線所組成的居于中
心對(duì)稱位置的三角形全等,如圖②△AOEg^COF.圖②中陰影部分的面積為平行四邊
形面積的一半.
(2)如圖③,已知點(diǎn)E為AD上一點(diǎn),根..據(jù)平行線間的距離處處相等,可得
SABEC=SA.ABE+SACDE.
(4)根據(jù)平行四邊形的面積的求法,可得AE?BC=AF?CD
圖①圖②圖③圖④
考點(diǎn)3:平行四邊形的判定
(1)方法一(定義法):兩組對(duì)邊分別壬任的四邊形是平行四邊形.丘---------—
即若AB〃CD,AD〃BC,則四邊形ABCD是口//
(2)方法二:兩組對(duì)邊分別相篁的四邊形是平行四邊形.、/
AB
即若AB=CD,AD=BC,則四邊形ABCD是£7..
(3)方法三:有一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.
即若AB=CD,AB〃CD,或AD=BC,A.D〃BC,則四邊形ABCD是£7.
(4)方法四:對(duì)角線互相壬分的四邊形是平行四邊形.
即若OA=O,C,OB=OD,則四邊形ABCD是。.
(5)方法五:兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形
若NABC=NADC,ZBAD=ZBCD,則四邊形ABCD是£7.
母題精講
【典例1】(2022?煙臺(tái))一個(gè)正多邊形每個(gè)內(nèi)角與它相鄰?fù)饨堑亩葦?shù)比為3:1,則這個(gè)正
多邊形是()
A.正方形B.正六邊形C.正八邊形D.正十邊形
【典例2】(2021?桂林)如圖,在平行四邊形A5C。中,點(diǎn)。是對(duì)角線8□的中點(diǎn),取過(guò)點(diǎn)
O,交A5于點(diǎn)5交CD于點(diǎn)?
(1)求證:N1=N2;
(2)求證:△DORXBOE.
2jc
/V7
2
EB
【典例3】(2022?廣西)如圖,在口ABC。中,8。是它的一條對(duì)角線.
(1)求證:AABD咨ACDB;
(2)尺規(guī)作圖:作8。的垂直平分線ER分別交A。,BC于點(diǎn)E,F(不寫(xiě)作法,保留
作圖痕跡);
(3)連接BE,若NO8E=25°,求NAEB的度數(shù).
【典例4】(2021?北京)如圖,在四邊形ABC。中,NACB=NC4O=90°,點(diǎn)E在上,
AE//DC,EFLAB,垂足為尸.
(1)求證:四邊形4EC。是平行四邊形;
(2)若4E平分N84C,BE=5,cosB=芻,求8/和的長(zhǎng).
5
yr-----7D
BE
真題精選
命題點(diǎn)1平行四邊形的性質(zhì)及麻〉
1.(2022?內(nèi)江)如圖,在口ABC。中,已知AB=12,AD=8,NABC的平分線用皎CD
邊于點(diǎn)“,則。M的長(zhǎng)為()
A.2B.4C.6D.8
2.(2022?湘潭)在口ABC。中(如圖),連接AC,已知NA4C=40°,ZACB=80°,
則NBCZX()
A.80°B.100°C.120°D.140°
3.(2022?梧州)如圖,在口ABC。中,E,G,H,尸分別是AB,BC,CD,D4上的點(diǎn),
且BE=DH,AF=CG.求證:EF=17G.
A__________.p
BGC
4.(2020?長(zhǎng)春)如圖,在口ABC。中,。是對(duì)角線AC、8。的交點(diǎn),BELAC,DFLAC,
垂足分別為點(diǎn)E、F.
(1)求證:0E=OF.
(2)若BE=5,OF=2,求tanNOBE的值.
5.(2020?廣元)已知口ABC。,。為對(duì)角線AC的中點(diǎn),過(guò)。的一條直線交于點(diǎn)E,交
BC于點(diǎn)、F.
(1)求證:ZkAOE/△COB
(2)若AE:AD=1:2,△AOE的面積為2,求口ABC。的面積.
命題點(diǎn)2多邊形及其性質(zhì)〉
6.(2022?通遼)正多邊形的每個(gè)內(nèi)角為108°,則它的邊數(shù)是()
A.4B.6C.7D.5
7.(2022?甘肅)大自然中有許多小動(dòng)物都是“小數(shù)學(xué)家”,如圖1,蜜蜂的蜂巢結(jié)構(gòu)非
常精巧、實(shí)用而且節(jié)省材料,多名學(xué)者通過(guò)觀測(cè)研究發(fā)現(xiàn):蜂巢巢房的橫截面大都是
正六邊形.如圖2,一個(gè)巢房的橫截面為正六邊形ABCL比凡若對(duì)角線的長(zhǎng)約為8M加
則正六邊形A5CDEF的邊長(zhǎng)為()
B.2ypimmC.D.4mm
8.(2021?福建)如圖,點(diǎn)尸在正五邊形A5CDE的內(nèi)部,△A3尸為等邊三角形,貝IJNA尸C
C.126°D.132°
9.(2022?荷澤)如果正〃邊形的一個(gè)內(nèi)角與一個(gè)外角的比是3:2,則〃=
10.(2021?鎮(zhèn)江)如圖,花瓣圖案中的正六邊形ABCDEV的每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是
專題21平行四邊形與多邊形(考點(diǎn)解讀)
中考命題解讀
多邊形的內(nèi)角和一般是利用公式求角,一般命題為填空題或選擇題,難度不大。平行
四邊形的性質(zhì)和判定是中考中的熱點(diǎn)問(wèn)題,單純從它的性質(zhì)和判定來(lái)講,難度不大,
但它經(jīng)常和一些數(shù)學(xué)問(wèn)題結(jié)合在一起出題。
考標(biāo)要求〉
1.了解多邊形的定義,多邊形的頂點(diǎn)、邊、內(nèi)角、外角、對(duì)角
線等概念;
2.理解并掌握多邊形內(nèi)角和與外角和公式;
3.理解平行四邊形的概念,了解四邊形的不穩(wěn)定性;
4.理解并證明平行四邊形的有關(guān)性質(zhì)定理.
考點(diǎn)精講
考點(diǎn)1:多邊形
(1)定義:在平面.內(nèi),由一些段線首尾順次相接組成的封閉圖形叫做
多邊形.
1.多邊形的(2)對(duì)角線:從〃邊形的一個(gè)頂點(diǎn)可以引(〃-3)條對(duì)角線,并且這些
相關(guān)概念對(duì)角線把多邊形分成了(〃一2)個(gè)三角形;〃邊形對(duì)角線條數(shù)為
n(n-3)
2
(1)內(nèi)角和:〃邊形內(nèi)角和公式為(A—2)?180°
2.多邊形的
內(nèi)角和、外
(2)外角和:任意多邊形的外角和為跑
角和
(1)定義:各邊相等,各角也相等的多邊形.
(2)正〃邊形的每個(gè)內(nèi)角為(〃-2)」80
n,每一個(gè)外角為360。/n.
3.正多邊形
(3)正〃邊形有碌對(duì)稱軸.
(4)對(duì)于正〃邊形,當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí),是軸對(duì)稱圖形;當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí),既
是軸對(duì)稱圖形,又是中心對(duì)稱圖形.
考點(diǎn)2:平行四邊形性質(zhì)
3.平行四邊形的定義:
兩組對(duì)邊分別平行的.四邊形叫做平行四邊形,平行四邊形用“口”表示.
4.平行四邊形的性質(zhì)
(3)邊:兩組對(duì)邊分別平行且相等.即AB〃CD且AB=CD,BC〃AD且AD=BC.
(2)角:對(duì)角相篁,鄰角互補(bǔ).即NBAD=NBCD,ZABC=ZADC,
ZABC+ZBCD=180°,ZBAD+ZADC=180°.
(3)對(duì)角線:互相平分.即0A=0C,0B=0DD
(4)對(duì)稱性:中心對(duì)稱但不是軸對(duì)稱./
3.平行四邊形中的幾個(gè)解題模型
(1)如圖①,AF平分NBAD,則可利用平行線的性質(zhì)結(jié)合等角對(duì)等邊得到4ABF為笠腰三
角形,即AB寸
(2)平行四邊形的一條對(duì)角線把其分為兩個(gè)全等的三角形,如圖②中4ABD/ACDB;
兩條對(duì)角線把平行四邊形分為兩組全等的三角形,如圖②中AAOD也
△AOB也△COD;
根據(jù)平行四邊形的中心對(duì)稱性,可得經(jīng)過(guò)對(duì)稱中心0的線段與對(duì)角線所組成的居于中
心對(duì)稱位置的三角形全等,如圖②AAOE/ACOF.圖②中陰影部分的面積為平行四邊
形面積的一半.
(4)如圖③,已知點(diǎn)E為AD上一點(diǎn),根..據(jù)平行線間的距離處處相等,可得
SABEC=SA,ABE+SACDE.
(4)根據(jù)平行四邊形的面積的求法,可得AE?BC=AF?CD
考點(diǎn)3:平行四邊形的判定
(1)方法一(定義法):兩組對(duì)邊分別壬任的四邊形是平行四邊形.
即若AB〃CD,AD〃BC,則四邊形ABCD是£7.
(2)方法二:兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形.
即若AB=CD,AD=BC,貝四邊形ABCD是£7..
(3)方法三:有一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.
即若AB=CD,AB〃CD,或AD=BC,AD〃BC,貝ij四邊形ABCD是。.
(4)方法四:對(duì)角線互相壬分的四邊形是平行四邊形.
即若OA=O.C,OB=OD,則四邊形ABCD是£7.
(5)方法五:兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形
若NABC=NADC,ZBAD=ZBCD,則四邊形ABCD是。.
母題精講
【典例1】(2022?煙臺(tái))一個(gè)正多邊形每個(gè)內(nèi)角與它相鄰?fù)饨堑亩葦?shù)比為3:1,則這個(gè)正
多邊形是()
A.正方形B.正六邊形C.正八邊形D.正十邊形
【答案】C
【解答】解:I?一個(gè)正多邊形每個(gè)內(nèi)角與它相鄰?fù)饨堑亩葦?shù)比為3:1,
.??設(shè)這個(gè)外角是£,則內(nèi)角是3x。,
根據(jù)題意得:x+3x=180,
解得:x=45,
360°4-45°=8(邊),
故選:C.
【典例2】(2021?桂林)如圖,在平行四邊形ABC。中,點(diǎn)。是對(duì)角線8。的中點(diǎn),反過(guò)點(diǎn)
O,交于點(diǎn)E,交于點(diǎn)H
(1)求證:Z1=Z2;
(2)求證:尸也△BOE.
D
1
【解答】證明:(1)???四邊形ABC。是平行四邊形,
:.AB//CD,
.\Z1=Z2;
(2)?..點(diǎn)。是的中點(diǎn),
:.OD=OB,
在△。。產(chǎn)和ABOE中,
叱1=/2
<ZD0F=ZB0E-
OD=OB
:.△DOFQXBOE(A4S).
【典例3】(2022?廣西)如圖,在口ABC。中,8。是它的一條對(duì)角線.
(1)求證:△A3。/△C08;
(2)尺規(guī)作圖:作8。的垂直平分線ER分別交A£>,BC于點(diǎn)E,F(不寫(xiě)作法,保留
作圖痕跡);
(3)連接BE,若NDBE=25°,求NA防的度數(shù).
【解答】(1)證明:如圖1,
V四邊形ABC。是平行四邊形,
:.AB=CD,AD=BC,
,:BD=BD,
:.AABD^ACDB(SSS);
(2)如圖所示,
:所垂直平分5。,ZDBE=25°,
:.EB=ED,
:.ZDBE=ZBDE=25°,
NAEB是△BE。的外角,
ZAEB=ZDBE+ZBDE=250+25°=50°
【典例4】(2021?北京)如圖,在四邊形ABC。中,ZACB=ZCAD=90°,點(diǎn)E在上,
AE//DC,EF±AB,垂足為尸.
(1)求證:四邊形AEC。是平行四邊形;
(2)若AE平分NBAC,BE=5,cosB=l,求8/和的長(zhǎng).
D
【解答】(1)證明:?.?NACB=NCAO=90°,
:.AD//CE,
,JAE//DC,
四邊形AECD是平行四邊形;
(2)解:"."EFLAB,
:.ZBFE=9Q°,
VcosB=A=BE=5,
5BE
.,.BF=ABE=AX5=4,
55
EF=I/BE2-BF2=7B2-42=3'
平分NB4C,EFLAB,ZACE=90°,
:.EC=EF=3,
由(1)得:四邊形AEC。是平行四邊形,
:.AD=EC=3.
真題精選
命題點(diǎn)1平行四邊形的性質(zhì)及判定〉
1.(2022?內(nèi)江)如圖,在口ABC。中,已知AB=12,AD=8,NA8C的平分線用皎CD
A
A.2B.4C.6D.8
【答案】B
【解答】解:?.?四邊形ABC。是平行四邊形,
:.CD=AB=12,BC=AD=8,AB//CD,
:.ZABM=ZCMB,
?.,BM是NABC的平分線,
/.ZABM=ZCBM,
:.ZCBM=ZCMB,
:.MC=BC=8,
:.DM=CD-MC=\2-8=4,
故選:B.
2.(2022?湘潭)在口ABC。中(如圖),連接AC,已知NB4c=40°,ZACB=80°,
【答案】C
【解答】解:?.?四邊形48。是平行四邊形,ZBAC=40°,
J.AB//CD,
:.ZACD=ZBAC=40°,
VZACB=80°,
ZBCD=ZACB+ZACD=120°,
故選:C.
3.(2022?梧州)如圖,在口ABC。中,E,G,H,尸分別是AB,BC,CD,ZM上的點(diǎn),
且BE=DH,AF=CG.求證:EF=HG.
AF
BGC
【解答】證明:?.?四邊形ABC。是平行四邊形,
:.AB=CD,ZA=ZC,
,:BE=DH,
:.AB-BE=CD-DH,
即AE=CH,
在△AM和△C”G中,
'AE=CH
<NA=NC,
AF=CG
AAEF^ACHG(SAS),
:.EF=HG.
4.(2020?長(zhǎng)春)如圖,在口ABC。中,。是對(duì)角線AC、8。的交點(diǎn),BELAC,DFLAC,
垂足分別為點(diǎn)反F.
(1)求證:OE=OF.
(2)若BE=5,OF=2,求tanNOBE的值.
【解答】(1)證明:二?四邊形A3。是平行四邊形,
:.OB=OD,
':BE±AC,DFLAC,
:.ZOEB=ZOFD=90°,
rZOEB=ZOFD
在△。仍和△。陽(yáng)中,,NBOE=/DOF,
OB=OD
/.△OEB^AOFD(A4S),
;.OE=OF;
(2)解:由(1)得:OE=OF,
?:OF=2,
:.OE=2,
':BE±AC,
:.ZOEB=90°,
在中,tanN05E=%=2.
BE5
5.(2020?廣元)已知口ABC。,。為對(duì)角線AC的中點(diǎn),過(guò)。的一條直線交A。于點(diǎn)E,交
BC于點(diǎn)F.
(1)求證:AAOE^ACOF;
(2)若AE:AD=1:2,ZkAOE的面積為2,求口ABC。的面積.
【解答】解:(1)?四邊形ABC。是平行四邊形,
.".AD//BC,
:.ZEAO=ZFCO,
?.?。是AC的中點(diǎn),
:.OA=OC,
rZEA0=ZFC0
在△AOE和△C。/中,OA=OC,
ZA0E=ZC0F
:./\AOE^/\COF(ASA);
(2)?.?。為對(duì)角線AC的中點(diǎn),
:.AO:AC=1:2,
."AE:AD=l:2,
?AE=AO
"AD而,
;ZEAO=ZDAC,
,./\AEO^/\ADC,
S2
■AAEO-(AE)2=(_1)=1,
^AADC皿24
;△AOE的面積為2,
?.△ADC的面積為8,
?.平行四邊形ABC。的面積=2X8=16.
6.(2022?通遼)正多邊形的每個(gè)內(nèi)角為108°,則它的邊數(shù)是()
A.4B.6C.7D.5
【答案】D
【解答】解:方法一:???正多邊形的每個(gè)內(nèi)角等于108。,
每一個(gè)外角的度數(shù)為180。-108°=72°,
,邊數(shù)=360、4-72°=5,
方法二:設(shè)多邊形的邊數(shù)為小
由題意得,(?-2)780°=108°?小
解得〃=5,
所以,這個(gè)多
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