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高級中學名校試卷PAGEPAGE1河北省邢臺市2024屆高三上學期期末考試數(shù)學試題一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.已知集合,,則()A. B.C. D.【答案】A【解析】因為,所以.故選:A.2.若,則()A. B. C. D.【答案】C【解析】因為,所以.故選:C.3.已知向量,滿足,,則()A. B.2 C. D.4【答案】A【解析】〖祥解〗由向量數(shù)量積公式計算即可得.【詳析】因為,,所以.故選:A.4.已知橢圓的上焦點為,則()A. B.5 C. D.7【答案】C【解析】因為橢圓的焦點在軸上,所以,.因為,所以,所以.故選:C.5.若,且為第三象限角,則()A. B. C. D.【答案】B【解析】因為,且為第三象限角,所以,故,故選:B6.已知函數(shù),則函數(shù)的圖象是()A. B.C. D.【答案】D【解析】因為的定義域為,所以的定義域為,所以排除A,C.因為,所以,所以排除B.故選:D7.《九章算術》中將四個面都是直角三角形的四面體稱為鱉臑.如圖,在鱉臑中,平面,,,以為球心,為半徑的球面與側(cè)面的交線長為()A. B. C. D.【答案】B【解析】因平面,、平面,所以,,因為,,、平面,所以平面,如圖所示,設為球與平面的交線,則,,所以,所以所在的圓是以為圓心,為半徑的圓,因為且,所以,所以弧的長為.故選:B.8.設,若,則的最小值為()A.6 B. C. D.4【答案】D【解析】設,,令,解得,所以,即,當且僅當,時,等號成立.故選:D.二、選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得5分,部分選對的得2分,有選錯的得0分.9.《黃帝內(nèi)經(jīng)》中的十二時辰養(yǎng)生法認為:子時(23點到次日凌晨1點)的睡眠對一天至關重要.相關數(shù)據(jù)表明,入睡時間越晚,沉睡時間越少,睡眠指數(shù)也就越低.根據(jù)某次的抽樣數(shù)據(jù),對早睡群體和晚睡群體的睡眠指數(shù)各取10個.如下表:編號12345678910早睡群體睡眠指數(shù)65687585858588929295晚睡群體睡眠指數(shù)35405555556668748290根據(jù)樣本數(shù)據(jù),下列說法正確的是()A.早睡群體的睡眠指數(shù)一定比晚睡群體的睡眠指數(shù)高B.早睡群體睡眠指數(shù)的眾數(shù)為85C.晚睡群體的睡眠指數(shù)的第60百分位數(shù)為66D.早睡群體的睡眠指數(shù)的方差比晚睡群體的睡眠指數(shù)的方差小【答案】BD【解析】因為早睡群體的睡眠指數(shù)不一定比晚睡群體的睡眠指數(shù)高,所以A錯誤;因為早睡群體的睡眠指數(shù)的10個樣本數(shù)據(jù)中85出現(xiàn)次數(shù)最多,所以B正確;因為晚睡群體的睡眠指數(shù)的第60百分位數(shù)為,所以C錯誤;由樣本數(shù)據(jù)可知,早睡群體的睡眠指數(shù)相對比較穩(wěn)定,所以方差小,故D正確.故選:BD.10.已知為坐標原點,,分別為雙曲線的左、右焦點,為上一點,且,若到一條漸近線的距離為,且,則下列說法正確的是()A.雙曲線的漸近線方程為B.雙曲線的離心率為C.的坐標可能是D.若過點且斜率為的直線與的左支有交點,則【答案】BD【解析】因為到漸近線的距離為,所以.因為,可知,為上右支上一點,,所以,.因為,所以.因為,所以,,所以的漸近線方程為,故A錯誤.由上知的離心率,所以B正確.因為,所以,所以,故C錯誤.當時,直線只與右支相交一點;當時,直線與左右兩支各交一點;當時,直線與右支相交于兩點,故D正確.故選:BD11.已知正方體的棱長為2,E,F(xiàn)分別為AD,的中點,則()A.B.過,B,F(xiàn)的截面面積為C.直線BF與AC所成角的余弦值為D.EF與平面ABCD所成角的正弦值為【答案】BCD【解析】對于A,取的中點為,連接,故,由于相交,所以不可能平行,故A錯誤,對于B,取的中點為,連接,則四邊形即為截面,由于,故四邊形為等腰梯形,過作,則,所以,故B正確,對于C,由于,所以即為直線BF與AC所成角或其補角,,所以,故C正確,對于D,由于平面,所以即為與平面所成角,故,故D正確,故選:BCD12.已知函數(shù),若對任意,都有,則實數(shù)的值可以為()A. B. C. D.1【答案】CD【解析】令,顯然的定義域為全體實數(shù),則,所以為奇函數(shù).因,且,,所以,所以在上單調(diào)遞增.因為等價于,所以,所以,即在上恒成立.令,則,當時,,當時,,所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,所以,所以,所以,.令,,則,當時,,當時,,所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以,所以,當且僅當時,等號成立,所以.對比選項可知,實數(shù)的值可以為和1.故選:CD.三、填空題:本題共4小題,毎小題5分,共20分.13.將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度,所得圖象的一個對稱中心為__________.【答案】(答案不唯一)【解析】由題意知:所得函數(shù)解析式為,令,,得,,所以所得圖象的對稱中心為.故答案為:(答案不唯一)14.已知展開式的二項式系數(shù)之和為256,則其展開式中的系數(shù)為__________(用數(shù)字作答)【答案】1792【解析】由,得.的通項公式為.令,得,所以展開式中含的項為.故答案為:1792.15.若函數(shù)的定義域為,則函數(shù)的定義域為__________.【答案】【解析】因為,所以,所以的定義域為,要使有意義,需滿足,解得,所以函數(shù)的定義域為.故答案為:.16.在平面直角坐標系中,已知,動點滿足,點在直線上,則的最小值為__________.【答案】2【解析】設,因為,所以,整理得動點的軌跡方程為,所以動點的軌跡為以為圓心,2為半徑的圓.因為圓心到直線的距離,所以.故答案為:2四、解答題:本題共6小題,共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.在銳角中,內(nèi)角,,的對邊分別為,,,已知.(1)求;(2)求的取值范圍.解:(1),由正弦定理得.因為,所以.因為為銳角三角形,所以.(2)因為,所以.因為為銳角三角形,所以得.因為,由,得,所以.即的取值范圍為.18.已知數(shù)列滿足,(1)證明是等比數(shù)列,并求數(shù)列通項公式;(2)證明.證明:(1)由得:,而,所以數(shù)列是以2為首項,3為公比的等比數(shù)列,則,所以數(shù)列的通項公式是:.(2)由(1)知,所以.19.如圖,在四棱錐中,底面是邊長為2的菱形,,為正三角形,為的中點,平面與平面的交線為.(1)證明:平面.(2)若二面角為,求銳二面角的余弦值.證明:(1)因為四邊形為菱形,所以,因為平面,平面,所以平面,因為平面,平面平面,所以,因為平面,平面,所以平面;解:(2)取的中點,連接,,,由四邊形為菱形,,所以為正三角形,因為,均為正三角形,所以,,所以為二面角的平面角,即,如圖所示,以為坐標原點,,所在直線分別為,軸建立空間直角坐標系,則,,,,,,設平面的法向量為,,,則令,得,設平面的法向量為,,,則令,得,所以,所以銳二面角的余弦值為.20某中學選拔出20名學生組成數(shù)學奧賽集訓隊,其中高一學生有8名、高二學生有7名、高三學生有5名.(1)若從數(shù)學奧賽集訓隊中隨機抽取3人參加一項數(shù)學奧賽,求抽取的3名同學中恰有2名同學來自高一的概率.(2)現(xiàn)學校欲對數(shù)學奧賽集訓隊成員進行考核,考核規(guī)則如下:考核共4道題,前2道題答對每道題計1分,答錯計0分,后2道題答對每道題計2分,答錯計0分,累積計分不低于5分的學生為優(yōu)秀學員.已知張同學前2道題每道題答對的概率均為,后2道題每道題答對的概率均為,是否正確回答每道題之間互不影響.記張同學在本次考核中累積計分為X,求X的分布列和數(shù)學期望,并求張同學在本次考核中獲得優(yōu)秀學員稱號的概率.解:(1)設事件A為“抽取的3名同學中恰有2名同學來自高一”,則.(2)由題意可知的取值可為,前兩道題答錯的概率為,后兩道題答錯的概率也為,,,,,,,,故X的分布列為:X0123456P數(shù)學期望為,因為累積計分不低于5分的學生為優(yōu)秀學員,所以張同學在本次考核中獲得優(yōu)秀學員稱號的概率為.21.已知函數(shù).(1)求曲線在點處的切線方程;(2)證明:.【答案】(1)(2)證明見解析解:(1),,.故曲線在點處的切線方程為,即.證明:(2)由(1)得.令函數(shù),則,所以是增函數(shù).因為,,所以存在,使得,即.所以當時,,當時,,所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增..因為,所以,所以.故.22.設為拋物線的焦點,是拋物線的準線與軸的交點,是拋物線上一點,當軸時,.(1)求拋物線的方程.(2)的延長線與的交點為,的延長線與的交點為,點在與之間.(i)證明:,兩點關于軸對稱.(ii)記的面積為,的面積為,求的取值范圍.解:(1)當軸時,則,,解得,所以
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