人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)期末復(fù)習(xí)考題猜想 專題05旋轉(zhuǎn)作圖與旋轉(zhuǎn)模型幾何綜合題（7種熱考題型）

題型一：旋轉(zhuǎn)作圖問題——基本方法（共6題）1．（2023秋?余姚市期末）如圖，在的正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)，，均在格點(diǎn)上，請(qǐng)按要求作圖．（1）在圖1中，將繞點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，作出經(jīng)旋轉(zhuǎn)后的；（其中點(diǎn)，分別是點(diǎn)，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)）（2）在圖2中，請(qǐng)用無刻度直尺找出過，，三點(diǎn)的圓的圓心，標(biāo)出圓心的位置．2．（2024春?確山縣期末）如圖平行四邊形，在邊上，且，僅用無刻度直尺作圖并保留作圖痕跡，不寫畫法．（1）在圖1中，畫出的角平分線，并說明理由；（2）沿用（1）中解決問題的思路并結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)，在圖2中，畫出的角平分線，并說明理由．3．（2023春?渾江區(qū)期末）請(qǐng)用直尺按要求在網(wǎng)格中作圖，并標(biāo)明字母（輔助線可用虛線作出，以下作圖請(qǐng)勿超出網(wǎng)格范圍）．（1）作出平行四邊形；（2）以為邊，作出正方形；（3）作出一條同時(shí)平分平行四邊形與正方形面積的直線．4．（2023秋?武昌區(qū)期末）如圖是由邊長為1的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，△的三個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，點(diǎn)是另一格點(diǎn)．下列作圖僅用無刻度直尺在網(wǎng)格中完成．（1）畫出△關(guān)于點(diǎn)的中心對(duì)稱圖形；（2）將△繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得△，畫出△；（3）直接寫出△的形狀和面積．5．（2022秋?淮陰區(qū)月考）如圖，在邊長為1的正方形網(wǎng)格中，、、、．（1）將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到對(duì)應(yīng)線段．當(dāng)與第一次平行時(shí)，畫出點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑；（2）線段與線段存在一種特殊關(guān)系，即其中一條線段繞著某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度可以得到另一條線段，直接寫出這個(gè)旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)．6．（2020秋?青山區(qū)期中）請(qǐng)用無刻度直尺畫出下列圖形，并保留作圖痕跡．（1）將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到線段；（2）過作線段的垂線段，垂足為；（3）作的角平分線．題型二：旋轉(zhuǎn)作圖問題——計(jì)算與綜合（共5題）1．（2023?武漢模擬）操作與思考：如圖（1），在中，，，是異于，的一點(diǎn)，且．若將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，畫出對(duì)應(yīng)線段，連接交于點(diǎn)，猜想與的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想：遷移與運(yùn)用如圖（2），在和中，，，，，，的延長線交于點(diǎn)，且，直接寫出的長．2．（2020秋?江陽區(qū)期末）如圖，是正方形中邊上任意一點(diǎn)，以點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心，把順時(shí)針旋轉(zhuǎn)．（1）畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形；（2）若，求在旋轉(zhuǎn)過程中掃過的面積．3．（2022秋?武漢期中）如圖是由邊長為1的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)．的頂點(diǎn)在格點(diǎn)上．僅用無刻度的直尺在給定網(wǎng)格中畫圖，畫圖過程用虛線表示，畫圖結(jié)果用實(shí)線表示．（1）在圖1中，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，畫出線段；在內(nèi)部找一點(diǎn)，使，連接、；（2）在圖2中，為線段的中點(diǎn)，作關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，再以為旋轉(zhuǎn)中心，將順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△，畫出△（點(diǎn)、、分別對(duì)應(yīng)點(diǎn)、、；若的度數(shù)為，則的度數(shù)為（直接用含的式子寫出答案）．4．（2023秋?江岸區(qū)期中）如圖網(wǎng)格是由邊長為1個(gè)單位長度的小正方形組成，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，點(diǎn)、、、都是格點(diǎn)，請(qǐng)僅用無刻度的直尺完成下列作圖，作圖過程用虛線表示，作圖結(jié)果用實(shí)線表示，點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)．（1）在圖1中，將線段向右平移3個(gè)單位長度，畫出平移后的線段，再將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，畫出對(duì)應(yīng)線段；（2）在圖2中，先作點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)，再過點(diǎn)作直線分別交、于點(diǎn)、，使得．5．（2021秋?蔡甸區(qū)校級(jí)期中）如圖，在網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形邊長都為1個(gè)單位長度，我們把每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，，，，，，，均為格點(diǎn)，請(qǐng)按要求僅用一把無刻度的直尺作圖．（1）將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△，請(qǐng)畫出△；（2）將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到，請(qǐng)畫出點(diǎn)和；（3）將格點(diǎn)線段平移至格點(diǎn)線段（點(diǎn)，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為，，使得平分四邊形的面積，請(qǐng)畫出線段；（4）在線段上找一點(diǎn)，使得，請(qǐng)畫出點(diǎn)．題型三：利用旋轉(zhuǎn)模型求最值（共3題）1．（2024?宜賓）如圖，在中，，，以為邊作，，點(diǎn)與點(diǎn)在的兩側(cè)，則的最大值為A． B． C．5 D．82．（2023秋?武昌區(qū)校級(jí)期中）如圖，平行四邊形中，，，，是邊上一點(diǎn)，且，是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，連接、，則的最小值是A． B． C．14 D．6．（2023?沙市區(qū)模擬）問題背景如圖（1），，都是等邊三角形，可以由通過旋轉(zhuǎn)變換得到，請(qǐng)寫出旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向及旋轉(zhuǎn)角的大?。畤L試應(yīng)用如圖（2），在中，，分別以，為邊，作等邊和等邊，連接，并延長交于點(diǎn)，連接．若，求的值．拓展創(chuàng)新如圖（3），在中，，，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，直接寫出的最大值．題型四：利用旋轉(zhuǎn)模型求線段長與面積（共7題）1．（2024春?寶安區(qū)校級(jí)月考）如圖，為等腰直角三角形，．是斜邊的中點(diǎn)，為下方一點(diǎn)，滿足，若，，則．2．（2023?武漢模擬）如圖，是內(nèi)一點(diǎn)，，，，，，則的長是．3．（2023秋?新洲區(qū)期末）如圖，是等邊中邊上的一點(diǎn)，連接，在的右側(cè)作，使，，連接．【操作觀察】（1）作點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，畫出；【應(yīng)用探究】（2）若平分，求的值；【實(shí)踐創(chuàng)新】（3）若，當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，寫出掃過的面積．4．（2023?建平縣模擬）（1）問題背景：如圖（1），，都是等邊三角形，可以由通過旋轉(zhuǎn)變換得到，請(qǐng)寫出旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角（寫銳角）的大小、旋轉(zhuǎn)方向；（2）嘗試應(yīng)用：如圖（2），在中，，分別以，為邊，作等邊和等邊，連接，并延長交于點(diǎn)，連接．若，求的值；（3）拓展創(chuàng)新：如圖（3），在四邊形中，，，，求的長．5．（2024?鼓樓區(qū)一模）如圖1，在中，以為邊向外作等邊，以為邊向外作等邊，連接、．求證：．【知識(shí)應(yīng)用】如圖2，四邊形中，、是對(duì)角線，是等腰直角三角形，，，，求的長．【拓展提升】如圖3，四邊形中，，，，則．6．（2023秋?江岸區(qū)校級(jí)月考）【問題情境】在數(shù)學(xué)課上，老師出了這樣一個(gè)問題：“如圖1，在四邊形中，，，，，，求的長．”經(jīng)過小組合作交流，找到了解決方法：構(gòu)造旋轉(zhuǎn)全等．將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，連接．則是等邊三角形，所以，導(dǎo)角可得，所以．（1）請(qǐng)補(bǔ)全圖形；【探究應(yīng)用】（2）如圖2，在中，，．為外一點(diǎn)，且，，求的度數(shù)；【拓展延伸】（3）如圖3，在中，，，于，為上一點(diǎn)，連接，為上一點(diǎn)，若，，，連接，請(qǐng)直接寫出線段的長．7．（2023秋?江岸區(qū)校級(jí)月考）問題背景：（1）如圖1，在等腰中，為邊上一動(dòng)點(diǎn)，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，判斷與的數(shù)量與位置關(guān)系，并證明；嘗試運(yùn)用：（2）如圖2，在中，為邊上一動(dòng)點(diǎn)，以為斜邊在右側(cè)構(gòu)造等腰，連接，求證：；拓展提升：（3）在（2）的條件下，若，，直接寫出的長．題型五：坐標(biāo)系中的旋轉(zhuǎn)（共3題）1．（2023秋?潛山市期末）如圖，已知點(diǎn)A（6，0），點(diǎn)B在y軸正半軸上，將線段AB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到線段AC，若點(diǎn)C的坐標(biāo)為（10，m），則m的值為（）A．1633 B．433 2．（2022秋?西豐縣期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B在x軸上，OB＝AB＝5，點(diǎn)A到x軸的距離為4，將△OAB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△OA′B′，則點(diǎn)A′的坐標(biāo)是．3．（2023?湖北）如圖，已知點(diǎn)A（3，0），點(diǎn)B在y軸正半軸上，將線段AB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°到線段AC，若點(diǎn)C的坐標(biāo)為（7，h），則h＝．題型六：利用旋轉(zhuǎn)解幾何綜合題（共14題）1．（2022秋?江北區(qū)校級(jí)期末）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．（1）如圖1，點(diǎn)D為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接AD，過點(diǎn)A作AE⊥AD，AD＝AE，連接DE，BD，CE，已知AB=5，AD＝1，當(dāng)B、D、E三點(diǎn)共線時(shí)，求ABCE（2）如圖2，在AC上取點(diǎn)D，連接BD，過點(diǎn)A作AE⊥BD于點(diǎn)F，AE＝BD，取BC中點(diǎn)G，連接GE，ED，在AB上取點(diǎn)M，過點(diǎn)M作MN∥DE交BC于點(diǎn)N，MN＝GE，求證：BN＝DC；（3）如圖3，在AC上取點(diǎn)D，連接BD，將△ABD沿BD翻折至ABDE處，在AC上取點(diǎn)F，連接BF，過點(diǎn)E作EH⊥BF于點(diǎn)F，GE交BF于點(diǎn)H，連接AH，若GE：BF=3：2，AB＝22，求AH2．（2022秋?西豐縣期末）如圖1，在△ACB中，∠ACB＝90°，CA＝CB，點(diǎn)D，E分別在邊CA，CB上，CD＝CE，連接DE，AE，BD，過點(diǎn)C作CF⊥AE，垂足為H，CF與BD交于點(diǎn)F．（1）求證：DF＝BF；（2）將圖1中的△CDE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，其他條件不變，如圖2，（1）的結(jié)論是否成立？如果成立，請(qǐng)證明；如果不成立，請(qǐng)說明理由；（3）若CD＝2，CB＝4，將△CDE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，當(dāng)A，E，D三點(diǎn)共線時(shí)，直接寫出CF的長．3．（2023?高青縣二模）綜合與探究問題提出：某興趣小組在綜合與實(shí)踐活動(dòng)中提出這樣一個(gè)問題：在等腰直角三角板ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D為BC的中點(diǎn)，用兩根小木棒構(gòu)建角，將頂點(diǎn)放置于點(diǎn)D上，得到∠MDN，將∠MDN繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，射線DM，DN分別與邊AB，AC交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，如圖1所示．（1）操作發(fā)現(xiàn)：如圖2，當(dāng)E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點(diǎn)時(shí)，試猜想線段DE與DF的數(shù)量關(guān)系是；（2）類比探究：如圖3，當(dāng)E，F(xiàn)不是AB，AC的中點(diǎn)，但滿足BE＝AF時(shí)，求證△BED≌△AFD；（3）拓展應(yīng)用：如圖4，將兩根小木棒構(gòu)建的角，放置于邊長為4的正方形紙板上，頂點(diǎn)和正方形對(duì)角線AC的中點(diǎn)O重合，射線OM，ON分別與DC，BC交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，且滿足DE＝CF，請(qǐng)求出四邊形OFCE的面積．4．（2023秋?巴南區(qū)期末）在等腰直角△ABC中，點(diǎn)D，點(diǎn)F分別為線段AC，AB上的動(dòng)點(diǎn)，連接DF．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)F為AB中點(diǎn)時(shí)，若BC=42，CD＝1，求DF（2）如圖2，將△BCD繞著點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABM．分別連接MF，MD．延長MF至點(diǎn)N，交AC于點(diǎn)E．若MN∥BC，DN＝MD時(shí)，求證：EN=2（3）如圖3，BF＝1，BC=42，BD⊥AC，點(diǎn)G為線段BD上一點(diǎn)，連接FG，將線段FG繞點(diǎn)F逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段FH，連接HG．當(dāng)AH+HD的值最小時(shí)，請(qǐng)直接寫出△AFG5．（2023秋?武隆區(qū)期末）如圖1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，點(diǎn)D、E分別在邊AB，AC上，AD＝AE，連接DC，點(diǎn)M、P、N分別為DE，DC，BC的中點(diǎn)．（1）求證：PM＝PN，PM⊥PN；（2）把△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，連接MN，BD，CE，判斷△PMN的形狀，并說明理由；（3）把△ADE繞點(diǎn)A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若AD＝4，AB＝10，請(qǐng)求出△PMN面積的最大值．6．（2023春?姑蘇區(qū)校級(jí)期末）綜合與實(shí)踐問題情境在綜合實(shí)踐課上，同學(xué)們以“矩形的旋轉(zhuǎn)”為主題開展學(xué)習(xí)探究活動(dòng)．如圖1，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，在矩形AEFG中，AE＝4，EF＝3，點(diǎn)G在AB上．（1）探究發(fā)現(xiàn)連接AC、AF，如圖2，猜想AC與AF之間的位置關(guān)系，并說明理由；（2）將矩形AEFG繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置，連接DG、CF，請(qǐng)求出DGCF（3）解決問題將矩形AEFG繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)G在落在直線CF上時(shí)，直接寫出線段CF的長．7．（2022秋?蔡甸區(qū)月考）在△ABE和△CDE中，∠ABE＝∠DCE＝90°，AB＝BE，CD＝CE．（1）連接AD、BC，點(diǎn)M、N分別為AD、BC的中點(diǎn)，連接MN，①如圖1，當(dāng)B、E、C三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，MN與BC關(guān)系是．②如圖2，當(dāng)?shù)妊黂t△CDE繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，①中的結(jié)論還成立嗎？如果成立，請(qǐng)證明你的結(jié)論；如果不成立，請(qǐng)說明理由．（2）如圖3，當(dāng)?shù)妊黂t△CDE繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，連接AC、BD，點(diǎn)P、Q分別為BD、AC的中點(diǎn)，連接PQ，若AB＝12，CD＝5，則PQ的最大值是．8．（2023?保定一模）在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，將矩形ABCD繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到矩形A1BC1D1，A，C，D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A1，C1，D1．（1）當(dāng)點(diǎn)A1落在線段DC上時(shí)，完成以下探究．①如圖1，求DA1的長．②如圖2，延長DC交C1D1于點(diǎn)E，求證：△BCA1≌△A1D1E．（2）如圖3，以BC為斜邊在右側(cè)作等腰直角三角形BCF，∠F＝90°，CF交BC1于點(diǎn)G，交C1D1于點(diǎn)H，若GF=7，求D1H（3）如圖4，矩形ABCD的對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)P，連接PA1，PD1，則△PA1D1面積的最小值為．9．（2022秋?荔灣區(qū)校級(jí)期末）如圖1，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在AB、AC上，DE∥BC，AD＝AE，（1）求證：∠B＝∠C；（2）若∠BAC＝90°，把△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，點(diǎn)M，P，N分別為DE，DC，BC的中點(diǎn)，連接MN，PM，PN．①判斷△PMN的形狀，并說明理由；②把△ADE繞點(diǎn)A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若AD＝4，AB＝10，試問△PMN面積是否存在最大值；若存在，求出其最大值．若不存在，請(qǐng)說明理由．10．（2023?福建）如圖1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是AB邊上不與A，B重合的一個(gè)定點(diǎn)．AO⊥BC于點(diǎn)O，交CD于點(diǎn)E．DF是由線段DC繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到的，F(xiàn)D，CA的延長線相交于點(diǎn)M．（1）求證：△ADE∽△FMC；（2）求∠ABF的度數(shù)；（3）若N是AF的中點(diǎn)，如圖2，求證：ND＝NO．11．（2023秋?沙坪壩區(qū)校級(jí)期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D是AB邊上一點(diǎn)，連接CD．（1）如圖1，當(dāng)∠B＝67.5°且CD⊥AB時(shí)，將線段DC繞著點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到DC′，連接AC′，CC′，若∠CDC′+∠CAC′＝45°，求∠ADC′的度數(shù)；（2）如圖2，過點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E，線段BD的垂直平分線交DE于點(diǎn)F，點(diǎn)G為線段CD的中點(diǎn)，連接AG，F(xiàn)G，AF，BF，求證：AG⊥FG；（3）如圖3，∠A＝45°，AD＝4，過點(diǎn)D作DM⊥AB，交AC于點(diǎn)M，點(diǎn)N是直線AB上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)H是平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，連接MN，MH，NH，DH，當(dāng)MH⊥MN且S△MNH＝24時(shí)，請(qǐng)直接寫出DH的最小值．12．（2023秋?蒙陰縣期末）如圖，△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°．（1）如圖①，點(diǎn)E在BC上，線段AE與BD的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是；（2）把△CDE繞直角頂點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖②的位置，（1）中的結(jié)論還成立嗎？說明理由；（3）把△CDE繞點(diǎn)C在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，連接BE，若AC＝BC＝12，CE＝CD＝5，當(dāng)AE最大時(shí)，直接寫出BE的長是．13．（2024?新城區(qū)模擬）在Rt△ABC中，∠C＝90°．將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△ADE，旋轉(zhuǎn)角小于∠CAB，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)D，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E，DE交AB于點(diǎn)O，延長DE交BC于點(diǎn)P．（1）如圖1，求證：PC＝PE；（2）當(dāng)AD∥BC時(shí)，①如圖2，若CA＝6，CB＝8，求線段BP的長；②如圖3，連接BD，CE，延長CE交BD于點(diǎn)F，判斷F是否為線段BD的中點(diǎn)，并說明理由．14．（2024?益陽二模）如圖，在等腰Rt△ABC和等腰Rt△CDE中，∠ACB＝∠DCE＝90°．（1）觀察猜想：如圖1，點(diǎn)E在BC上，線段AE與BD的關(guān)系是；（2）探究證明：把△CDE繞直角頂點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，（1）中的結(jié)論還成立嗎？說明理由；（3）拓展延伸：把△CDE繞點(diǎn)C在平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)一周，若AC＝BC＝10，CE＝CD＝5，AE、BD交于點(diǎn)P時(shí)，連接CP，直接寫出△BCP最大面積．題型七：旋轉(zhuǎn)與拋物線（共8題）1．（2022秋?陜州區(qū)期末）將拋物線y=12x2+1繞原點(diǎn)A．y＝﹣2x2+1 B．y＝﹣2x2﹣1 C．y=?12x2+1 D．y=?12．（2022秋?南充期末）將拋物線y＝x2+2x﹣1繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，所得拋物線的解析為．3．（2023秋?遼寧期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線C1：y＝x2+mx+n（其中m，n均為常數(shù)）交x軸于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），A點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，0），設(shè)拋物線交y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)，連接OD，AD，AC．且拋物線對(duì)于如下不等式恒成立：x2（1）求拋物線的解析式；（2）①求證：∠CDA＝∠ODA；②連接BC，DB，點(diǎn)P為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接DP交BC于Q．若∠DQC＝∠CAB，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；（3）在x軸上有一點(diǎn)G（a，0）（a為常數(shù)），以G為對(duì)稱中心，將拋物線旋轉(zhuǎn)180°得到拋物線C2，將點(diǎn)G向上平移2|a|個(gè)單位得到H，連接BH．當(dāng)C2與△BGH的直角邊有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，請(qǐng)直接寫出a的取值范圍．4．（2022秋?青川縣期末）如圖，拋物線y＝ax2+bx+2與x軸交于A（2，0），B（﹣4，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．（1）求拋物線的解析式．（2）若E為第二象限的拋物線上的點(diǎn)，連接BC，BE，CE，當(dāng)S△BCE=12S△BOC時(shí)，求點(diǎn)（3）M為平面內(nèi)一點(diǎn)，將拋物線繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)180°后得到新的拋物線，且新的拋物線經(jīng)過點(diǎn)A，若新拋物線上有一點(diǎn)P，使△BCP是以點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，請(qǐng)直接寫出滿足條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)．5．（2023秋?長春期末）已知拋物線y＝ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，a≠0），自變量x與函數(shù)值y的部分對(duì)應(yīng)值如表：x0123…y﹣2m﹣21…（1）根據(jù)以上信息，可知拋物線開口向，對(duì)稱軸為直線．（2）求拋物線的解析式和m的值．（3）將拋物線y＝ax2+bx+c（x＞0）的圖象記為G1，將G1繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°后的圖象記為G2，G1、G2合起來得到的圖象記為G，完成以下問題：①若直線y＝k與函數(shù)G有且只有兩個(gè)交點(diǎn)，直接寫出k的取值范圍．②若對(duì)于函數(shù)G上的兩點(diǎn)P（x1，y1）、Q（x2，y2），當(dāng)t≤x1≤t+1，x2≥2時(shí)，總有y1＜y2，直接寫出t的取值范圍．6．（2023?雁峰區(qū)校級(jí)一模）如圖，拋物線y=?12x2+32x+2與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)A，與（1）求A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）如圖1，點(diǎn)C在y軸右側(cè)的拋物線上，且AC＝BC，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；（3）如圖2，將△ABO繞平面內(nèi)點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，得到△DEF（點(diǎn)A，B，O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)D，E，F(xiàn)），D，E兩點(diǎn)剛好在拋物線上．①求點(diǎn)F的坐標(biāo)；②直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．（2020秋?天心區(qū)期末）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線C：y=?14x2+bx+c與x軸相交于A，B兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為D，其中A（﹣42，0），B（42，0），設(shè)點(diǎn)F（m，0）是x軸的正半軸上一點(diǎn)，將拋物線C繞點(diǎn)F旋轉(zhuǎn)180°，得到新的拋物線（1）求拋物線C的函數(shù)解析式；（2）若拋物線C'與拋物線C在y軸的右側(cè)有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，求m的取值范圍；（3）如圖2，P是第一象限內(nèi)拋物線C上一點(diǎn)，它到兩坐標(biāo)軸的距離相等，點(diǎn)P在拋物線C'上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P'，設(shè)M是C上的動(dòng)點(diǎn)，N是C'上的動(dòng)點(diǎn)，試探究四邊形PMP'N能否成為正方形？若能，求出m的值；若不能，請(qǐng)說明理由．8．（2020?青秀區(qū)校級(jí)三模）如圖，已知拋物線C1：y＝ax2+4ax+4a﹣5的頂點(diǎn)為P，與x軸相交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是1．（1）求a的值及P的坐標(biāo)；（2）如圖（1），拋物線C2與拋物線C1關(guān)于x軸對(duì)稱，將拋物線C2向右平移，平移后的拋物線記為C3，C3的頂點(diǎn)為M，當(dāng)點(diǎn)P、M關(guān)于點(diǎn)B成中心對(duì)稱時(shí)，求C3的解析式；（3）如圖（2），點(diǎn)Q是x軸正半軸上一點(diǎn)，將拋物線C1繞點(diǎn)Q旋轉(zhuǎn)180°后得到拋物線C4．拋物線C4的頂點(diǎn)為N，與x軸相交于E、F兩點(diǎn)（點(diǎn)E在點(diǎn)F的左邊），當(dāng)以點(diǎn)P、N、F為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

專題05旋轉(zhuǎn)作圖與旋轉(zhuǎn)模型幾何綜合題（考題猜想，7種熱考題型）題型一：旋轉(zhuǎn)作圖問題——基本方法（共6題）1．（2023秋?余姚市期末）如圖，在的正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)，，均在格點(diǎn)上，請(qǐng)按要求作圖．（1）在圖1中，將繞點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，作出經(jīng)旋轉(zhuǎn)后的；（其中點(diǎn)，分別是點(diǎn)，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)）（2）在圖2中，請(qǐng)用無刻度直尺找出過，，三點(diǎn)的圓的圓心，標(biāo)出圓心的位置．【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)作圖即可．（2）分別作線段，的垂直平分線，相交于點(diǎn)，則點(diǎn)即為所求．【解答】解：（1）如圖1，即為所求．（2）如圖2，圓心即為所求．【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖旋轉(zhuǎn)變換、三角形的外接圓與外心，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、三角形的外接圓與外心是解答本題的關(guān)鍵．2．（2024春?確山縣期末）如圖平行四邊形，在邊上，且，僅用無刻度直尺作圖并保留作圖痕跡，不寫畫法．（1）在圖1中，畫出的角平分線，并說明理由；（2）沿用（1）中解決問題的思路并結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)，在圖2中，畫出的角平分線，并說明理由．【分析】（1）連結(jié)，由得到，由得，則，即平分；（2）延長交于，則為所作．【解答】解：（1）如圖1，，，，，則，即平分，則為所求作；（2）如圖2，延長交于，則為所作．理由：四邊形是平行四邊形，，，，，，△△，又，，，則是所求作的角平分線．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2023春?渾江區(qū)期末）請(qǐng)用直尺按要求在網(wǎng)格中作圖，并標(biāo)明字母（輔助線可用虛線作出，以下作圖請(qǐng)勿超出網(wǎng)格范圍）．（1）作出平行四邊形；（2）以為邊，作出正方形；（3）作出一條同時(shí)平分平行四邊形與正方形面積的直線．【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的判定畫出圖形即可．（2）根據(jù)正方形的判定畫出圖形即可．（3）連接，交于點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，直線即為所求．【解答】解：（1）如圖，平行四邊形即為所求．（2）如圖，正方形即為所求．（3）如圖，直線即為所求．【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖應(yīng)用與設(shè)計(jì)，三角形的面積，平行四邊形的判定和性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題，屬于中考?？碱}型．4．（2023秋?武昌區(qū)期末）如圖是由邊長為1的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，△的三個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，點(diǎn)是另一格點(diǎn)．下列作圖僅用無刻度直尺在網(wǎng)格中完成．（1）畫出△關(guān)于點(diǎn)的中心對(duì)稱圖形；（2）將△繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得△，畫出△；（3）直接寫出△的形狀和面積．【分析】（1）利用旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)分別作出，，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，，即可；（2）利用旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)分別作出，，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，，即可；（3）利用勾股定理以及勾股定理的逆定理判斷即可，再利用分割法求出面積．【解答】解：（1）如圖，△即為所求；（2）如圖，△即為所求；（3），，，，△的是等腰直角三角形，面積．【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖旋轉(zhuǎn)變換，解題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，勾股定理，勾股定理的逆定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)．5．（2022秋?淮陰區(qū)月考）如圖，在邊長為1的正方形網(wǎng)格中，、、、．（1）將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到對(duì)應(yīng)線段．當(dāng)與第一次平行時(shí)，畫出點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑；（2）線段與線段存在一種特殊關(guān)系，即其中一條線段繞著某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度可以得到另一條線段，直接寫出這個(gè)旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)．【分析】（1）根據(jù)平行的性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，取格點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，的長為半徑畫弧，則即為所求．（2）當(dāng)，為對(duì)應(yīng)點(diǎn)，，為對(duì)應(yīng)點(diǎn)時(shí)，利用網(wǎng)格分別作線段，的垂直平分線，交點(diǎn)即為旋轉(zhuǎn)中心；當(dāng)，為對(duì)應(yīng)點(diǎn)，，為對(duì)應(yīng)點(diǎn)時(shí)，利用網(wǎng)格分別作線段，的垂直平分線，交點(diǎn)即為旋轉(zhuǎn)中心，再根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)建立平面直角坐標(biāo)系即可得出答案．【解答】解：（1）如圖，即為點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑．（2）當(dāng)，為對(duì)應(yīng)點(diǎn)，，為對(duì)應(yīng)點(diǎn)時(shí)，如圖，分別作線段，的垂直平分線，相交于點(diǎn)，則點(diǎn)即為線段與線段的旋轉(zhuǎn)中心，點(diǎn)的坐標(biāo)為；當(dāng)，為對(duì)應(yīng)點(diǎn)，，為對(duì)應(yīng)點(diǎn)時(shí)，如圖，分別作線段，的垂直平分線，相交于點(diǎn)，則點(diǎn)即為線段與線段的旋轉(zhuǎn)中心，點(diǎn)的坐標(biāo)為．綜上所述，旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)為或．【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖旋轉(zhuǎn)變換，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．6．（2020秋?青山區(qū)期中）請(qǐng)用無刻度直尺畫出下列圖形，并保留作圖痕跡．（1）將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到線段；（2）過作線段的垂線段，垂足為；（3）作的角平分線．【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)畫出圖形即可．（2）取格點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，線段即為所求．（3）取格點(diǎn)，，，連接，交于點(diǎn)，作射線，射線即為所求．【解答】解：（1）如圖，線段即為所求．（2）如圖，線段即為所求．（3）如圖，射線即為所求．【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖旋轉(zhuǎn)變換，角平分線，垂線段等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于中考?？碱}型．題型二：旋轉(zhuǎn)作圖問題——計(jì)算與綜合（共5題）1．（2023?武漢模擬）操作與思考：如圖（1），在中，，，是異于，的一點(diǎn)，且．若將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，畫出對(duì)應(yīng)線段，連接交于點(diǎn)，猜想與的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想：遷移與運(yùn)用如圖（2），在和中，，，，，，的延長線交于點(diǎn)，且，直接寫出的長．【分析】操作與思考：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)可求，可證點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)四點(diǎn)共圓，即可求解；遷移與運(yùn)用：通過證明點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)四點(diǎn)共圓，可得，由等腰直角三角形的性質(zhì)可求的長，由勾股定理可求的長，即可求解．【解答】解：操作與思考：，理由如下：如圖（1），連接，，，，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，，，，，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)四點(diǎn)共圓，，又，；遷移與運(yùn)用：如圖（2），連接，過點(diǎn)作于，，，，，，，，，，，，，，，，，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)四點(diǎn)共圓，，是等腰直角三角形，，，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，圓的有關(guān)知識(shí)，勾股定理等知識(shí)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．2．（2020秋?江陽區(qū)期末）如圖，是正方形中邊上任意一點(diǎn)，以點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心，把順時(shí)針旋轉(zhuǎn)．（1）畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形；（2）若，求在旋轉(zhuǎn)過程中掃過的面積．【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換前后的兩個(gè)圖形全等的旋轉(zhuǎn)可得旋轉(zhuǎn)后，點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)在的延長線上處，且到點(diǎn)的距離等于，然后作出圖形即可；（2）利用掃過的面積直接解答即可．【解答】解：（1）如圖1所示，△即為旋轉(zhuǎn)后的圖形．（2）如圖2，是正方形，，在中，，線段旋轉(zhuǎn)掃過的面積為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖旋轉(zhuǎn)變換，正方形的性質(zhì)以及扇形面積的計(jì)算，找出點(diǎn)、的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置是解答本題的關(guān)鍵．3．（2022秋?武漢期中）如圖是由邊長為1的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)．的頂點(diǎn)在格點(diǎn)上．僅用無刻度的直尺在給定網(wǎng)格中畫圖，畫圖過程用虛線表示，畫圖結(jié)果用實(shí)線表示．（1）在圖1中，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，畫出線段；在內(nèi)部找一點(diǎn)，使，連接、；（2）在圖2中，為線段的中點(diǎn)，作關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，再以為旋轉(zhuǎn)中心，將順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△，畫出△（點(diǎn)、、分別對(duì)應(yīng)點(diǎn)、、；若的度數(shù)為，則的度數(shù)為（直接用含的式子寫出答案）．【分析】（1）根據(jù)要求作出圖形即可；（2）利用軸對(duì)稱變換，旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)作出圖形即可．【解答】解：（1）如圖1中，線段，點(diǎn)即為所求；（2）如圖2中，點(diǎn)，△，即為所求．．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖旋轉(zhuǎn)變換，軸對(duì)稱變換，圓周角定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)變換，軸對(duì)稱變換的性質(zhì)，屬于中考?？碱}型．4．（2023秋?江岸區(qū)期中）如圖網(wǎng)格是由邊長為1個(gè)單位長度的小正方形組成，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，點(diǎn)、、、都是格點(diǎn)，請(qǐng)僅用無刻度的直尺完成下列作圖，作圖過程用虛線表示，作圖結(jié)果用實(shí)線表示，點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)．（1）在圖1中，將線段向右平移3個(gè)單位長度，畫出平移后的線段，再將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，畫出對(duì)應(yīng)線段；（2）在圖2中，先作點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)，再過點(diǎn)作直線分別交、于點(diǎn)、，使得．【分析】（1）根據(jù)平移和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)作圖即可．（2）根據(jù)中心對(duì)稱的性質(zhì)可得點(diǎn)，過點(diǎn)分別作，的平行線，分別交、于點(diǎn)、，則四邊形為平行四邊形，由平行四邊形的性質(zhì)可得，即直線為所求．【解答】解：（1）如圖1，線段，即為所求．（2）如圖2，點(diǎn)即為所求．過點(diǎn)分別作，的平行線，分別交、于點(diǎn)、，四邊形為平行四邊形，，則直線即為所求．【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖平移變換、旋轉(zhuǎn)變換、中心對(duì)稱、平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握平移的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、中心對(duì)稱的性質(zhì)以及平行四邊形的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．5．（2021秋?蔡甸區(qū)校級(jí)期中）如圖，在網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形邊長都為1個(gè)單位長度，我們把每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，，，，，，，均為格點(diǎn)，請(qǐng)按要求僅用一把無刻度的直尺作圖．（1）將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△，請(qǐng)畫出△；（2）將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到，請(qǐng)畫出點(diǎn)和；（3）將格點(diǎn)線段平移至格點(diǎn)線段（點(diǎn)，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為，，使得平分四邊形的面積，請(qǐng)畫出線段；（4）在線段上找一點(diǎn)，使得，請(qǐng)畫出點(diǎn)．【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△；（2）線段的中點(diǎn)為，作關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，連接、即可；（3）平移，使其經(jīng)過點(diǎn)；（4）作關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接并延長，交于點(diǎn)即可．【解答】解：（1）如圖，△即為所求；（2）點(diǎn)和如圖所示：（3）如圖，且經(jīng)過點(diǎn)；（4）如圖，點(diǎn)即為所求；因?yàn)椤㈥P(guān)于直線的對(duì)稱，所以，因?yàn)椋裕军c(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖旋轉(zhuǎn)變換和作圖平移變換，解題的關(guān)鍵熟練掌握旋轉(zhuǎn)和平移的性質(zhì)．題型三：利用旋轉(zhuǎn)模型求最值（共3題）1．（2024?宜賓）如圖，在中，，，以為邊作，，點(diǎn)與點(diǎn)在的兩側(cè)，則的最大值為A． B． C．5 D．8【分析】由“”可證，可得，由三角形的三邊關(guān)系可求解．【解答】解：如圖，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，連接，，，，，，，又，，，，在中，，當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，有最大值，的最大值，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，等腰直角三角形的性質(zhì)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋?武昌區(qū)校級(jí)期中）如圖，平行四邊形中，，，，是邊上一點(diǎn)，且，是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，連接、，則的最小值是A． B． C．14 D．【分析】取的中點(diǎn)，連接、，則，可證明是等邊三角形，則，，由旋轉(zhuǎn)得，，所以，可證明，則，所以，再證明，得，所以，連接，作交的延長線于點(diǎn)，則，，所以，則，由，得，則的最小值是，于是得到問題的答案．【解答】解：取的中點(diǎn)，連接、，，，，，，，是等邊三角形，，，由旋轉(zhuǎn)得，，，，，，，，，，，連接，作交的延長線于點(diǎn)，則，四邊形是平行四邊形，，，，，，，，，，，的最小值是，故選：．【點(diǎn)評(píng)】此題重點(diǎn)考查平行四邊形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形中角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半、勾股定理、兩點(diǎn)之間線段最短等知識(shí)，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵．6．（2023?沙市區(qū)模擬）問題背景如圖（1），，都是等邊三角形，可以由通過旋轉(zhuǎn)變換得到，請(qǐng)寫出旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向及旋轉(zhuǎn)角的大?。畤L試應(yīng)用如圖（2），在中，，分別以，為邊，作等邊和等邊，連接，并延長交于點(diǎn)，連接．若，求的值．拓展創(chuàng)新如圖（3），在中，，，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，直接寫出的最大值．【分析】問題背景由等邊三角形的性質(zhì)得出，，，，證得，由旋轉(zhuǎn)的概念可得出答案；嘗試應(yīng)用證明，由全等三角形的性質(zhì)得出，，得出，由直角三角形的性質(zhì)得出，則可得出答案；拓展創(chuàng)新過點(diǎn)作，且使，連接，，由直角三角形的性質(zhì)求出，的長，則可得出答案．【解答】問題背景解：，都是等邊三角形，，，，，，，，可以由繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，即旋轉(zhuǎn)中心是點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)方向是順時(shí)針，旋轉(zhuǎn)角是；嘗試應(yīng)用和都是等邊三角形，，，，，，，，，，，，，，，，設(shè)，則，，；拓展創(chuàng)新，點(diǎn)在以為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，取的中點(diǎn)，連接，，如圖，過點(diǎn)作，且使，連接，，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，，，，，，，，，，，當(dāng)且僅當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，的最大值為．【點(diǎn)評(píng)】本題是幾何變換綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．題型四：利用旋轉(zhuǎn)模型求線段長與面積（共7題）1．（2024春?寶安區(qū)校級(jí)月考）如圖，為等腰直角三角形，．是斜邊的中點(diǎn)，為下方一點(diǎn)，滿足，若，，則．【分析】過點(diǎn)作，且，連接、，并延長交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，證，得，，再證，則是等腰直角三角形，得，設(shè)，則，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】解：如圖，過點(diǎn)作，且，連接、，并延長交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，則，是等腰直角三角形，是斜邊的中點(diǎn)，，，，，，，，又，，，是等腰直角三角形，，在中，，設(shè)，則，在中，由勾股定理得：，解得：（負(fù)值已舍去），，，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．2．（2023?武漢模擬）如圖，是內(nèi)一點(diǎn)，，，，，，則的長是．【分析】將線段順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，利用證明，得，設(shè)，則，利用勾股定理列方程即可解決問題．【解答】解：如圖所示，將線段順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，，，，，又，，，可視為旋轉(zhuǎn)而得，，設(shè)與的交點(diǎn)為，在中，，，，設(shè)，則，由勾股定理得，，即，解得，，，，．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，作輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．3．（2023秋?新洲區(qū)期末）如圖，是等邊中邊上的一點(diǎn)，連接，在的右側(cè)作，使，，連接．【操作觀察】（1）作點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，畫出；【應(yīng)用探究】（2）若平分，求的值；【實(shí)踐創(chuàng)新】（3）若，當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，寫出掃過的面積．【分析】（1）延長至，使，連接，則就是所求作的三角形；（2）作于，可證得，從而，，進(jìn)而證得，從而，，進(jìn)而得出，作于，可得出，不妨設(shè)，則，，則，，進(jìn)而得出，進(jìn)一步得出結(jié)果；（3）由（2）知：點(diǎn)在與成的射線上運(yùn)動(dòng)，交于，當(dāng)點(diǎn)在處時(shí)，，可得出，從而，解直角三角形，求得和，進(jìn)一步得出結(jié)果．【解答】解：（1）如圖1，延長至，使，連接，則就是所求作的三角形；（2）如圖2，作于，是等邊三角形，，，，，，，，，，，，，，平分，，，作于，，不妨設(shè)，則，，則，，，，，；（3）如圖2，由（2）知：點(diǎn)在與成的射線上運(yùn)動(dòng)，交于，當(dāng)點(diǎn)在處時(shí)，，，，，，，，，，，，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造相似三角形．4．（2023?建平縣模擬）（1）問題背景：如圖（1），，都是等邊三角形，可以由通過旋轉(zhuǎn)變換得到，請(qǐng)寫出旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角（寫銳角）的大小、旋轉(zhuǎn)方向；（2）嘗試應(yīng)用：如圖（2），在中，，分別以，為邊，作等邊和等邊，連接，并延長交于點(diǎn)，連接．若，求的值；（3）拓展創(chuàng)新：如圖（3），在四邊形中，，，，求的長．【分析】（1）由等邊三角形得出，，，，證明，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)即可得出答案；（2）證明，由全等三角形的性質(zhì)得，，得出，由直角三角形性質(zhì)得，則可計(jì)算出答案；（3）過點(diǎn)作，且使，連接，由直角三角形的性質(zhì)求出、的長即可得解．【解答】解：（1），都是等邊三角形，，，，，，，，可以由繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，即旋轉(zhuǎn)中心是點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)方向是順時(shí)針，旋轉(zhuǎn)角是，（2）和都是等邊三角形，，，，，，，，，，，，，，，設(shè)，則，，．（3）作，且，連接，如圖，，，，，即，，，，，在中，，，，，．【點(diǎn)評(píng)】本題是幾何變換綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、直角三角形的性質(zhì)、圓周角定理；熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．5．（2024?鼓樓區(qū)一模）如圖1，在中，以為邊向外作等邊，以為邊向外作等邊，連接、．求證：．【知識(shí)應(yīng)用】如圖2，四邊形中，、是對(duì)角線，是等腰直角三角形，，，，求的長．【拓展提升】如圖3，四邊形中，，，，則．【分析】由等邊三角形的性質(zhì)得，，，可根據(jù)“邊角邊“證明；【知識(shí)應(yīng)用】如圖2，過點(diǎn)作，使，連接，，先根據(jù)勾股定理計(jì)算，證明，則；【拓展提升】如圖3，作，使，連接，，證明，則，，再證明是等腰直角三角形，設(shè)，根據(jù)角的和與差可得結(jié)論．【解答】證明：如圖1，和都是等邊三角形，，，，，即，；【知識(shí)應(yīng)用】解：如圖2，過點(diǎn)作，使，連接，，是等腰直角三角形，，，，，，，，，，，，；【拓展提升】如圖3，作，使，連接，，，，，，，，，，，，，，即，，，，，，，，設(shè)，，，，．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】此題是四邊形的綜合題，考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)型的全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)與方法，解題的關(guān)鍵是正確地作出輔助線，運(yùn)用類比的思想，屬于考試壓軸題．6．（2023秋?江岸區(qū)校級(jí)月考）【問題情境】在數(shù)學(xué)課上，老師出了這樣一個(gè)問題：“如圖1，在四邊形中，，，，，，求的長．”經(jīng)過小組合作交流，找到了解決方法：構(gòu)造旋轉(zhuǎn)全等．將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，連接．則是等邊三角形，所以，導(dǎo)角可得，所以．（1）請(qǐng)補(bǔ)全圖形；【探究應(yīng)用】（2）如圖2，在中，，．為外一點(diǎn)，且，，求的度數(shù)；【拓展延伸】（3）如圖3，在中，，，于，為上一點(diǎn)，連接，為上一點(diǎn)，若，，，連接，請(qǐng)直接寫出線段的長．【分析】（1）題意補(bǔ)全圖形即可；（2）將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，作于，根據(jù)含30度的直角三角形的性質(zhì)及勾股定理求得，推出，據(jù)此求解即可；（3）延長構(gòu)造等邊三角形，然后利用兩組三角形相似求出，最后利用勾股定理求解．【解答】解：（1）將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，連接．補(bǔ)全圖形，如圖1所示，；（2）將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，作于，如圖2，在中，，．為外一點(diǎn)，且，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知，，，，，，，，由勾股定理得，，，，，，，；（3）解法一：延長交于，延長到，使，連接，如圖3，，，，，是等邊三角形，，，，，，，，，，，過作于，過作于，，，，，，，，，，，，；解法二：將三角形繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連，結(jié)合方法一可得，，，；故答案為：3．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角形的綜合，靈活運(yùn)用旋轉(zhuǎn)構(gòu)造相似三角形，利用相似三角形的判定和性質(zhì)是本題解題的關(guān)鍵．7．（2023秋?江岸區(qū)校級(jí)月考）問題背景：（1）如圖1，在等腰中，為邊上一動(dòng)點(diǎn)，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，判斷與的數(shù)量與位置關(guān)系，并證明；嘗試運(yùn)用：（2）如圖2，在中，為邊上一動(dòng)點(diǎn)，以為斜邊在右側(cè)構(gòu)造等腰，連接，求證：；拓展提升：（3）在（2）的條件下，若，，直接寫出的長．【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可證明，然后利用證明即可；（2）將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，由（1）可得，是等腰直角三角形，判斷，得出、、三點(diǎn)共線，利用等腰三角形的性質(zhì)證明是中點(diǎn)，證明，利用勾股定理即可求解；（3）過作于，先證明，然后利用等腰三角形的性質(zhì)等求出，，，在中，利用勾股定理求出，然后代入求解即可．【解答】（1）解：，理由如下：將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，，，，，又，，；（2）證明：將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，由（1）知，是等腰直角三角形，，，是以為斜邊的等腰直角三角形，，，、、三點(diǎn)共線，，，，是直角三角形，，，即，，，；（3）解：過作于，由（2）知：，又，，，，，，是等腰直角三角形，，，，，，，，解得或，故答案為：或．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)與判斷，含的直角三角形的性質(zhì)，解一元二次方程等知識(shí)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．題型五：坐標(biāo)系中的旋轉(zhuǎn)（共3題）1．（2023秋?潛山市期末）如圖，已知點(diǎn)A（6，0），點(diǎn)B在y軸正半軸上，將線段AB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到線段AC，若點(diǎn)C的坐標(biāo)為（10，m），則m的值為（）A．1633 B．433 【分析】利用勾股定理解得OB、BE的長度，再根據(jù)線段的和差得到方程3m4﹣208m2﹣4096＝0，進(jìn)而解得m的值．【解答】解：過點(diǎn)C作CD⊥x軸，作CE⊥y軸，連接CB，∵點(diǎn)A（6，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（10，m），∴OD＝10，OA＝6，CD＝m，∴AD＝OD﹣OA＝4，在Rt△ADC中，AC=A∵將線段AB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到線段AC，∴△ABC是等邊三角形，∴AB＝AC＝BC，在Rt△AOB中，OB=A在Rt△CBE中，BE=B∴OE＝OB+BE=m2∴m2?20化簡變形得：3m4﹣208m2﹣4096＝0，解得：m=1633或∴m=16故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直角坐標(biāo)系中的旋轉(zhuǎn)變化，勾股定理，矩形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，熟練勾股定理是解題的關(guān)鍵．二．填空題（共2小題）2．（2022秋?西豐縣期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B在x軸上，OB＝AB＝5，點(diǎn)A到x軸的距離為4，將△OAB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△OA′B′，則點(diǎn)A′的坐標(biāo)是（﹣4，8）．【分析】過點(diǎn)A作AN⊥x軸，過點(diǎn)A′作A′M⊥y軸，先求出ON＝8，再證明△AON≌△A′OM（AAS），推出OM＝ON＝8，B′M＝BN＝4，從而求出點(diǎn)A′的坐標(biāo)．【解答】解：過點(diǎn)A作AN⊥x軸，過點(diǎn)A′作A′M⊥y軸，∴∠A′MO＝∠ANO＝90°，∵OB＝AB＝5，點(diǎn)A到x軸的距離為4，∴BN＝3，∴ON＝8，∵將△OAB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△OA′B′，∴∠AOA′＝90°，OA＝OA′，∴∠AOB′+∠A′OB′＝∠AOB+∠AOB′，∴∠BOA＝∠B′OA′，∴△NOA≌△MOA′（AAS），∴OM＝ON＝8，A′M＝AN＝4，∴A′（﹣4，8），故答案為：（﹣4，8）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了坐標(biāo)與圖形變化﹣旋轉(zhuǎn)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理，掌握這幾個(gè)知識(shí)點(diǎn)的綜合應(yīng)用，其中作出輔助線證明三角形全等是解題關(guān)鍵．3．（2023?湖北）如圖，已知點(diǎn)A（3，0），點(diǎn)B在y軸正半軸上，將線段AB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°到線段AC，若點(diǎn)C的坐標(biāo)為（7，h），則h＝233【分析】在x軸上取點(diǎn)D和點(diǎn)E，使得∠ADB＝∠AEC＝120°，過點(diǎn)C作CF⊥x于點(diǎn)F，在Rt△CEF中，解直角三角形可得EF=33?，CE=233?，再證明△CAE≌△ABD（AAS），則AD=CE=233?AE＝BD【解答】解：方法一：在x軸上取點(diǎn)D和點(diǎn)E，使得∠ADB＝∠AEC＝120°，過點(diǎn)C作CF⊥x軸于點(diǎn)F，∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為（7，h），∴OF＝7，CF＝h，在Rt△CEF中，∠CEF＝180°﹣∠AEC＝60°，CF＝h，EF=CFtan60°=33?，CE=CFsin60°=23∴∠CAE＝∠ABD，∵AB＝CA，∴△CAE≌△ABD（AAS），∴AD=CE=233?，∵點(diǎn)A（3，0），∴OA＝3，∴OD=OA?AD=3?在Rt△BOD中，∠BDO＝180°﹣∠ADB＝60°，BD=OD∴AE=BD=6?4∵OA+AE+EF＝OF，∴3+6?4解得?=2方法二：將△AOB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120度，得到三角形ACD，延長DC交x軸于點(diǎn)E，在直角三角形ADE中，∠DAE＝60°，則AE＝2AD＝2OA＝6，過點(diǎn)C作CF⊥x軸于點(diǎn)F，則CF＝h，AF＝7﹣3＝4，所以EF＝6﹣4＝2，在直角三角形CEF中h＝EF?tan30°=.故答案為：23【點(diǎn)評(píng)】此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、解直角三角形、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識(shí)，構(gòu)造三角形全等是解題的關(guān)鍵．題型六：利用旋轉(zhuǎn)解幾何綜合題（共14題）1．（2022秋?江北區(qū)校級(jí)期末）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．（1）如圖1，點(diǎn)D為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接AD，過點(diǎn)A作AE⊥AD，AD＝AE，連接DE，BD，CE，已知AB=5，AD＝1，當(dāng)B、D、E三點(diǎn)共線時(shí)，求ABCE（2）如圖2，在AC上取點(diǎn)D，連接BD，過點(diǎn)A作AE⊥BD于點(diǎn)F，AE＝BD，取BC中點(diǎn)G，連接GE，ED，在AB上取點(diǎn)M，過點(diǎn)M作MN∥DE交BC于點(diǎn)N，MN＝GE，求證：BN＝DC；（3）如圖3，在AC上取點(diǎn)D，連接BD，將△ABD沿BD翻折至ABDE處，在AC上取點(diǎn)F，連接BF，過點(diǎn)E作EH⊥BF于點(diǎn)F，GE交BF于點(diǎn)H，連接AH，若GE：BF=3：2，AB＝22，求AH【分析】（1）分別求出△ABE和△BCE的面積，再求和即可；（2）連接DG，AG，證明△BMN≌△CGD即可；（3）取BE中點(diǎn)M，連接HM，AM，分別求出HM和AM的長度即可求出AH最小值．【解答】解：（1）如圖1，作AH⊥BE于H．∵AE⊥AD，∴∠DAE＝90°，∵AE＝AD＝1，∴DE=2，AH＝DH＝HE=22，∠ADE∴∠BDA＝135°，∵AB=5∴BH=A∴BD＝BH﹣DH=2，BE＝BD+DE＝22∵∠BAC＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中：BA=CA∠BAD=∠CAE∴△BAD≌△CAE（SAS），∴CE＝BD=2，∠CEA＝∠BDA∴∠BEC＝∠CEA﹣∠AED＝90°，∴S△ABES△BEC∴S四邊形ABCE＝S△ABE+S△BEC＝1+2＝3．（2）如圖2，連接GD，連接AG交BD于點(diǎn)P，設(shè)DE與BC交于點(diǎn)Q．∵∠BAC＝90°，AB＝AC，G為BC中點(diǎn)，∴∠AGB＝∠AGC＝90°，AG＝BG＝CG，∠ABC＝∠ACB＝45°，∵AE⊥BD于F，∴∠AFP＝∠AFD＝90°＝∠BGP，∵∠APF＝∠BPG，∴∠PAF＝∠PBG，即∠GAE＝∠GBD，在△GBD和△GAE中：BG=AG∠GBD=∠GAE∴△GBD≌△GAE（SAS），∴∠BGD＝∠AGE，GD＝GE，∴∠EGD＝∠BGA＝90°，∴∠GED＝∠GDE＝45°＝∠GCD，∴∠GQD＝∠GDC，∵M(jìn)N∥DE，∴∠BNM＝∠GQD＝∠CDG，在△BNM和△CDG中：∠MBN=∠GCD∠BNM=∠CDG∴△BNM≌△CDG（AAS），∴BN＝DC．（3）如圖3，取BE中點(diǎn)M，連接HM，AM，連接AE交BD于點(diǎn)N，作MP⊥AE于點(diǎn)P，設(shè)GE交BD于點(diǎn)Q．由軸對(duì)稱性質(zhì)可知：BE＝AE=22，BD垂直平分AE，即AN＝EN，∠BNA＝∠BNE＝∠AND∴∠NAD+∠ADN＝90°，∵∠NAD+∠BAE＝90°，∴BAE＝∠ADN，即∠GAE＝∠FDB，∵GE⊥BF于點(diǎn)H，∴∠BHQ＝∠ENQ＝90°，∵∠BQH＝∠EQN，∴∠HBQ＝∠NEQ，即∠FBD＝∠GEA，∴△AGE∽△DFB，∴AEBD設(shè)BD＝4k，則AE＝23k，AN＝NE=3k設(shè)ND＝x，則BN＝4k﹣x，由射影定理可知：AN2＝BN?ND，即3k2＝x（4k﹣x），解得：x＝k或x＝3k（舍去），∴ND＝k，BN＝3k，∴AB=BN2+A∴k=6∵M(jìn)為BE中點(diǎn)，MP∥BN，∴MP=12BN=3k2=62，AN＝NE∴AP=3∴AM=∵HM=12BE∴AH≥AM﹣HM=6當(dāng)且僅當(dāng)A、H、M三點(diǎn)共線時(shí)，AH取得最小值6?【點(diǎn)評(píng)】本題為幾何綜合題，主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形判定與性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定性質(zhì)、射影定理、幾何變換、三角形三邊關(guān)系等重要知識(shí)點(diǎn)．熟練掌握常用幾何定理和模型是解決問題的關(guān)鍵．2．（2022秋?西豐縣期末）如圖1，在△ACB中，∠ACB＝90°，CA＝CB，點(diǎn)D，E分別在邊CA，CB上，CD＝CE，連接DE，AE，BD，過點(diǎn)C作CF⊥AE，垂足為H，CF與BD交于點(diǎn)F．（1）求證：DF＝BF；（2）將圖1中的△CDE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，其他條件不變，如圖2，（1）的結(jié)論是否成立？如果成立，請(qǐng)證明；如果不成立，請(qǐng)說明理由；（3）若CD＝2，CB＝4，將△CDE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，當(dāng)A，E，D三點(diǎn)共線時(shí)，直接寫出CF的長．【分析】（1）證明△CAE≌△CBD（SAS），由全等三角形的性質(zhì)得出∠CAE＝∠CBD，由直角三角形的性質(zhì)證出∠BDC＝∠FCD，∠CAE＝∠CBD＝∠BCF，得出CF＝DF，CF＝BF，則可得出結(jié)論；（2）作BP∥CD交直線CF于點(diǎn)P，證明△CAE≌△BCP（ASA），由全等三角形的性質(zhì)得出CE＝BP，證明△CDF≌△PBF（ASA），由全等三角形的性質(zhì)得出DF＝BF．（3）分兩種情況畫出圖形，由直角三角形的性質(zhì)及勾股定理可得出答案．【解答】（1）證明：在△CAE和△CBD中，CE=CD∠ACE=∠BCD∴△CAE≌△CBD（SAS），∴∠CAE＝∠CBD，∵CF⊥AE，∴∠AHC＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠AHC＝∠ACB＝90°，∴∠CAH+∠ACH＝∠ACH+∠BCF＝90°，∴∠CAH＝∠BCF，∵∠DCF+∠BCF＝90°，∠CDB+∠CBD＝90°，∠CAE＝∠CBD，∴∠BDC＝∠FCD，∠CAE＝∠CBD＝∠BCF，∴CF＝DF，CF＝BF，∴DF＝BF；（2）解：（1）的結(jié)論仍然成立．理由如下：作BP∥CD交直線CF于點(diǎn)P，∴∠PBC+∠BCD＝180°，又∠ACE+∠BCD＝360°﹣∠ACB﹣∠DCE＝360°﹣90°﹣90°＝180°，∴∠PBC＝∠ACE，又∵CF⊥AE，∴∠AHC＝90°，∴∠ACH+∠CAH＝90°，又∵∠ACH+∠PCB＝180°﹣∠ACB＝180°﹣90°＝90°，∴∠CAH＝∠PCB，又∵CA＝CB，∴△CAE≌△BCP（ASA），∴CE＝BP，又∵CE＝CD，∴CD＝BP，又∵BP∥CD，∴∠CDF＝∠PBF，∠DCF＝∠P，∴△CDF≌△PBF（ASA），∴DF＝BF．（3）解：①當(dāng)點(diǎn)E在AD的延長線上時(shí)，過點(diǎn)B作BG⊥CF于點(diǎn)G，∵CD＝CE，CH⊥DE，CD＝2，∴CH=22CD∵CD＝4，∴AH=A∵∠BCG＝∠CAH，∠BGC＝∠AHC，BC＝AC，∴△BCG≌△CAH（AAS），∴CG＝AH=14由（2）知DF＝BF，又∵∠DHF＝∠BGF＝90°，∠DFH＝∠BFG，∴△DHF≌△BGF（AAS），∴HF＝GF，∴HF=12GH∴CF＝CH+HF=2②當(dāng)點(diǎn)E在AD的上時(shí)，過點(diǎn)B作BG⊥CF于點(diǎn)G，同理可得AH＝CG=14，CH=2，HF＝∴GH＝CH+CG=2∴CF＝HF﹣CH=2綜上所述，CF的長為14+22【點(diǎn)評(píng)】本題是幾何變換綜合題，考查了三角形全等的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，圖形旋轉(zhuǎn)變化的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．3．（2023?高青縣二模）綜合與探究問題提出：某興趣小組在綜合與實(shí)踐活動(dòng)中提出這樣一個(gè)問題：在等腰直角三角板ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D為BC的中點(diǎn)，用兩根小木棒構(gòu)建角，將頂點(diǎn)放置于點(diǎn)D上，得到∠MDN，將∠MDN繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，射線DM，DN分別與邊AB，AC交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，如圖1所示．（1）操作發(fā)現(xiàn)：如圖2，當(dāng)E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點(diǎn)時(shí)，試猜想線段DE與DF的數(shù)量關(guān)系是相等；（2）類比探究：如圖3，當(dāng)E，F(xiàn)不是AB，AC的中點(diǎn)，但滿足BE＝AF時(shí)，求證△BED≌△AFD；（3）拓展應(yīng)用：如圖4，將兩根小木棒構(gòu)建的角，放置于邊長為4的正方形紙板上，頂點(diǎn)和正方形對(duì)角線AC的中點(diǎn)O重合，射線OM，ON分別與DC，BC交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，且滿足DE＝CF，請(qǐng)求出四邊形OFCE的面積．【分析】（1）當(dāng)點(diǎn)D、E、F分別是BC、AB、AC的中點(diǎn)時(shí)，則ED=12AC＝AF，且DE∥AC，同理可得：DF＝AE=12AB=12（2）點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，則AD=12BC＝BD，∠DAF＝45°＝∠（3）證明△DEO≌△CFO（SAS），則OFCE的面積＝S△OCE+S△COF=14S正方形【解答】（1）解：DE與DF的數(shù)量關(guān)系是：相等，理由：當(dāng)點(diǎn)D、E、F分別是BC、AB、AC的中點(diǎn)時(shí)，則ED=12AC＝AF，且DE∥同理可得：DF＝AE=12AB=12AC＝即DE＝DF，故答案為：相等；（2）證明：∵點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，∴AD=12BC＝BD，∠DAF＝45°＝∠∵AF＝BE，∴△BED≌△AFD（SAS）；（3）解：如圖，連接OD，由題意知，點(diǎn)O是正方形對(duì)角線的交點(diǎn)，∴∠ODE＝45°＝∠OCN，OD＝OC，∵DE＝CF，∴△DEO≌△CFO（SAS），∴△DEO和△CFO面積相等，則OFCE的面積＝S△OCE+S△COF＝S△OCE+S△DEO＝S△COD=14S=1【點(diǎn)評(píng)】本題是四邊形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．4．（2023秋?巴南區(qū)期末）在等腰直角△ABC中，點(diǎn)D，點(diǎn)F分別為線段AC，AB上的動(dòng)點(diǎn)，連接DF．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)F為AB中點(diǎn)時(shí)，若BC=42，CD＝1，求DF（2）如圖2，將△BCD繞著點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABM．分別連接MF，MD．延長MF至點(diǎn)N，交AC于點(diǎn)E．若MN∥BC，DN＝MD時(shí)，求證：EN=2（3）如圖3，BF＝1，BC=42，BD⊥AC，點(diǎn)G為線段BD上一點(diǎn)，連接FG，將線段FG繞點(diǎn)F逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段FH，連接HG．當(dāng)AH+HD的值最小時(shí)，請(qǐng)直接寫出△AFG【分析】（1）過點(diǎn)D作DK⊥AB于K，DL⊥BC于L，由等腰三角形性質(zhì)得AB＝BC＝42，由距離性質(zhì)得BK＝DL，DK＝BL，再運(yùn)用勾股定理計(jì)算即可．（2）過點(diǎn)E作EJ⊥BC，過點(diǎn)D作DP⊥MN于P，過點(diǎn)N作NT⊥BC于T，先證明△AEF是等腰直角三角形，由旋轉(zhuǎn)得∠BAM＝∠BCD＝45°，再進(jìn)行計(jì)算即可．（3）過點(diǎn)F作FM⊥AB交AC于點(diǎn)M，在FM上截取FK＝FB＝1，連接HK，證明△BFG≌△KFH（SAS）得出∠BGF＝∠KHF，進(jìn)而得出HK⊥DT，作D關(guān)于HK的對(duì)稱點(diǎn)T，連接HT，BT，則HT＝HD，當(dāng)A，H，T三點(diǎn)共線時(shí)，此時(shí)AH+HD取的最小值，最小值為AT的長，當(dāng)DT經(jīng)過點(diǎn)K時(shí)，則∠HKG＝90°，則TD⊥AC，證明△AHF≌△MGF，證明△ATD≌△DMG得出DM＝KT，DG＝HK，則BG＝HK＝GD，勾股定理求得BD，進(jìn)而得出BG=12BD=2，過點(diǎn)G作GS⊥AB，得出G【解答】（1）解：如圖1，過點(diǎn)D作DK⊥AB于K，DL⊥BC于L，在等腰Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝42，∠C＝45°，則AC=2BC∵點(diǎn)F為AB中點(diǎn)，∴BF=12AB＝2∵CD＝1，∠CLD＝90°，∴CL＝DL=2∴BL＝BC﹣CL＝42?∵∠B＝∠BKD＝∠BLD＝90°，∴四邊形BKDL是矩形，∴BK＝DL，DK＝BL，∴FK＝BF﹣BK＝22?在Rt△DFK中，DF=D（2）證明：如圖2，過點(diǎn)E作EJ⊥BC于J，過點(diǎn)D作DP⊥MN于P，交BC于Q，過點(diǎn)N作NT⊥BC于T，連接CN，∵M(jìn)N∥BC，∴∠AFE＝∠ABC＝90°，∴△AEF是等腰直角三角形，由旋轉(zhuǎn)得∠BAM＝∠BCD＝45°，∴∠EAM＝∠BAC+∠BAM＝45°+45°＝90°，∴△AEM是等腰直角三角形，∴MF＝EF，∵DN＝MD，DP⊥MN，∴PM＝PN，∵M(jìn)N∥BC，F(xiàn)B⊥BC，EJ⊥BC，NT⊥BC，∴FB＝EJ＝NT，∵AM＝CD＝AE，AF＝MF＝EF＝CQ，∴AF+BF＝AB＝BC＝BQ+CQ＝BJ+CJ＝PF+MF＝PM＝PN＝QT＝CQ+CT，∴BF＝CJ＝CT＝EJ＝NT，∴△CEJ、△CNT均為等腰直角三角形，∴∠NCT＝∠ECJ＝45°，CE＝CN=2EJ∴∠ECN＝90°，∴△CEN是等腰直角三角形，∴EN=2CE（3）如圖所示，過點(diǎn)F作FM⊥AB交AC于點(diǎn)M，在FM上截取FK＝FB＝1，連接HK，∵∠HFG＝∠KFB＝90°，∴∠HFG+∠GFK＝∠KFB+∠GFK，即∠BFG＝∠KFH，在△BFG和△KFH中，F(xiàn)K=FB∠BFG=∠KFH∴△BFG≌△KFH（SAS），∴∠BGF＝∠KHF，設(shè)∠BGF＝∠KHF＝α，則∠KHG＝∠FHG﹣∠FHK＝45°﹣α∠HGK＝45°+α，∴∠KHG+∠HGB＝90°，即HK⊥DT，如圖所示，作D關(guān)于HK的對(duì)稱點(diǎn)T，連接HT，BT，則HT＝HD，作A關(guān)于HK的對(duì)稱點(diǎn)，則AH＝NH，則AH+HD＝NH+HD≥ND，則AT＝ND，四邊形ANTD是矩形，此時(shí)TD⊥AC，∴AH+HD＝AH+HD≥AT，當(dāng)A，H，T三點(diǎn)共線時(shí)，此時(shí)AH+HD取的最小值，最小值為AT的長，此時(shí)DT經(jīng)過點(diǎn)K，如圖所示，則∠HKG＝90°，則TD⊥AC，∵K是DT的中點(diǎn)，HK⊥DT，∴AH＝HT，∵AF＝FM，HF＝GF，∠HFA＝90°﹣∠AFG＝90°﹣∠AFG＝∠GFM，∴△AHF≌△MGF∴AH＝GM，∠HAF＝∠GMF，∴HT＝GM，設(shè)∠HAF＝∠GMF＝β，則∠ATD＝45°﹣β∠DMG＝45°﹣β，∴∠HTK＝∠DMG，∴在△HTK和△DMG中，∠GDM=∠HKT∠HTK=∠DMG∴△HTK≌△DMG（AAS），∴DM＝KT，DG＝HK，∵△BFG≌△KFH（SAS），∴BG＝HK＝GD，BC=42則BD=2∴BG=1過點(diǎn)G作GS⊥AB，如圖所示∴SG=2∴S△AFG【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，軸對(duì)稱的性質(zhì)求最值問題，平行線分線段成比例，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．5．（2023秋?武隆區(qū)期末）如圖1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，點(diǎn)D、E分別在邊AB，AC上，AD＝AE，連接DC，點(diǎn)M、P、N分別為DE，DC，BC的中點(diǎn)．（1）求證：PM＝PN，PM⊥PN；（2）把△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，連接MN，BD，CE，判斷△PMN的形狀，并說明理由；（3）把△ADE繞點(diǎn)A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若AD＝4，AB＝10，請(qǐng)求出△PMN面積的最大值．【分析】（1）利用三角形的中位線得出PM=12CE，PN=12BD，進(jìn)而判斷出BD＝CE，即可得出結(jié)論，再利用三角形的中位線得出PM∥CE得出∠（2）先判斷出△ABD≌△ACE，得出BD＝CE，同（1）的方法得出PM=12BD，PN=12BD，即可得出（3）先判斷出BD最大時(shí)，△PMN的面積最大，而BD最大是AB+AD＝14，即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）∵點(diǎn)P，N是BC，CD的中點(diǎn)，∴PN∥BD，PN=12∵點(diǎn)P，M是CD，DE的中點(diǎn)，∴PM∥CE，PM=12∵AB＝AC，AD＝AE，∴BD＝CE，∴PM＝PN，∵PN∥BD，∴∠DPN＝∠ADC，∵PM∥CE，∴∠DPM＝∠DCA，∵∠BAC＝90°，∴∠ADC+∠ACD＝90°，∴∠MPN＝∠DPM+∠DPN＝∠DCA+∠ADC＝90°，∴PM⊥PN，（2）△PMN是等腰直角三角形；理由：由旋轉(zhuǎn)知，∠BAD＝∠CAE，∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，BD＝CE，同（1）的方法，利用三角形的中位線得，PN=12BD，PM=∴PM＝PN，∴△PMN是等腰三角形，同（1）的方法得，PM∥CE，∴∠DPM＝∠DCE，同（1）的方法得，PN∥BD，∴∠PNC＝∠DBC，∵∠DPN＝∠DCB+∠PNC＝∠DCB+∠DBC，∴∠MPN＝∠DPM+∠DPN＝∠DCE+∠DCB+∠DBC＝∠BCE+∠DBC＝∠ACB+∠ACE+∠DBC＝∠ACB+∠ABD+∠DBC＝∠ACB+∠ABC，∵∠BAC＝90°，∴∠ACB+∠ABC＝90°，∴∠MPN＝90°，∴△PMN是等腰直角三角形；（3）由（2）知，△PMN是等腰直角三角形，PM＝PN=12∴PM最大時(shí)，△PMN面積最大，即：BD最大時(shí)，△PMN面積最大，∴點(diǎn)D在BA的延長線上，∴BD＝AB+AD＝14，∴PM＝7，∴S△PMN最大=12PM2=1【點(diǎn)評(píng)】此題是幾何變換綜合題，主要考查了三角形的中位線定理，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判斷和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，解（1）的關(guān)鍵是判斷出PM=12CE，PN=12BD，解（2）的關(guān)鍵是判斷出△ABD≌△ACE，解（3）的關(guān)鍵是判斷出6．（2023春?姑蘇區(qū)校級(jí)期末）綜合與實(shí)踐問題情境在綜合實(shí)踐課上，同學(xué)們以“矩形的旋轉(zhuǎn)”為主題開展學(xué)習(xí)探究活動(dòng)．如圖1，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，在矩形AEFG中，AE＝4，EF＝3，點(diǎn)G在AB上．（1）探究發(fā)現(xiàn)連接AC、AF，如圖2，猜想AC與AF之間的位置關(guān)系，并說明理由；（2）將矩形AEFG繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置，連接DG、CF，請(qǐng)求出DGCF（3）解決問題將矩形AEFG繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)G在落在直線CF上時(shí)，直接寫出線段CF的長91±4．【分析】（1）通過證明△AGF∽△CBA，可得∠BAC＝∠AFG，由余角的性質(zhì)可得∠CAF＝90°，可得結(jié)論；（2）通過證明△DAG∽△CAF，可求解；（3）分兩種情況討論，由勾股定理可求解．【解答】解：（1）AC⊥AF，理由如下：∵四邊形ABCD和四邊形AEFG是矩形，∴AG＝EF＝3，AE＝GF＝4，AB＝CD＝8，AD＝BC＝6，∠B＝∠AGF＝90°，∵GFAB∴△AGF∽△CBA，∴∠BAC＝∠AFG，∵∠AFG+∠GAF＝90°，∴∠BAC+∠GAF＝90°＝∠CAF，∴AC⊥AF；（2）如圖，連接AF，∵AB＝8，BC＝AD＝6，∴AC=AB∵AE＝4，EF＝3，∴AF=AE∴AGAF∵∠DAC＝∠FAG，∴∠DAG＝∠FAC，∴△DAG∽△CAF，∴DGCF（3）如圖4，當(dāng)點(diǎn)G在線段CF上時(shí)，∵∠AGC＝90°，∴GC=AC∴CF＝CG+GF＝4+91如圖5，當(dāng)點(diǎn)F在線段CG上時(shí)，∵∠AGC＝90°，∴GC=AC∴CF＝CG﹣GF=91綜上所述：CF的長為91±4，故答案為：91±4．【點(diǎn)評(píng)】本題是四邊形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，證明三角形相似是解題的關(guān)鍵．7．（2022秋?蔡甸區(qū)月考）在△ABE和△CDE中，∠ABE＝∠DCE＝90°，AB＝BE，CD＝CE．（1）連接AD、BC，點(diǎn)M、N分別為AD、BC的中點(diǎn)，連接MN，①如圖1，當(dāng)B、E、C三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，MN與BC關(guān)系是MN⊥BC，MN=12BC②如圖2，當(dāng)?shù)妊黂t△CDE繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，①中的結(jié)論還成立嗎？如果成立，請(qǐng)證明你的結(jié)論；如果不成立，請(qǐng)說明理由．（2）如圖3，當(dāng)?shù)妊黂t△CDE繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，連接AC、BD，點(diǎn)P、Q分別為BD、AC的中點(diǎn)，連接PQ，若AB＝12，CD＝5，則PQ的最大值是8.5．【分析】（1）①延長CM、BA交于R，連接BM，證明△DMC≌△AMR（AAS），得CM＝RM，CD＝AR，從而BR＝BC，△BCR是等腰直角三角形，可得MN⊥BC，MN=12②過A作AF∥CD交CM延長線于F，連接BF，證明△DMC≌△AMF（AAS），得CM＝FM，∠FAM＝∠CDM，可得∠BAF＝∠BEC，從而△FAB≌△CEB（SAS），即得BC＝BF，∠EBC＝∠ABF，可求出△FBC是等腰直角三角形，△BCM是等腰直角三角形，故MN⊥BC，MN=12（2）連接CP并延長至T，使PT＝CP，連接AT、BT，證明△CPD≌△TPB（SAS），得BT＝CE＝CD＝5，△ABT中，AB+BT＞AT，即知PQ＜9，故當(dāng)?shù)妊黂t△CDE繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至A、B、T共線時(shí)，PQ最大，最大值為12（AB+BT【解答】解：（1）①延長CM、BA交于R，連接BM，如圖：∵∠ABE＝∠DCE＝90°，∴CD∥AB，∴∠DCM＝∠R，∵M(jìn)是AD中點(diǎn)，∴DM＝AM，∵∠DMC＝∠AMR，∴△DMC≌△AMR（AAS），∴CM＝RM，CD＝AR，∵AB＝BE，CD＝CE．∴AB+AR＝BE+CE，即BR＝BC，而∠ABE＝90°，∴△BCR是等腰直角三角形，∵CM＝RM，∴△BCM是等腰直角三角形，∵N為BC中點(diǎn)，∴MN⊥BC，MN=12故答案為：MN⊥BC，MN=12②結(jié)論還成立，證明如下：過A作AF∥CD交CM延長線于F，連接BF，如圖：∵AF∥CD，∴∠DCM＝∠AFM，∵M(jìn)是AD中點(diǎn)，∴DM＝AM，又∠DMC＝∠AMF，∴△DMC≌△AMF（AAS），∴CM＝FM，∠FAM＝∠CDM，∵∠CDM＝∠CDE+∠EDA＝45°+∠EDA，∴∠FAM＝45°+∠EDA，∴∠EAF＝∠FAM+∠EAD＝45°+∠EDA+∠EAD＝45°+（180°﹣∠AED）＝225°﹣∠AED，∴∠BAF＝360°﹣∠EAF﹣∠EAB＝360°﹣（225°﹣∠AED）﹣45°＝90°+∠AED，又∵∠BEC＝∠BEA+∠AED+∠CED＝45°+∠AED+45°＝90°+∠AED，∴∠BAF＝∠BEC，∵AB＝BE，AF＝CD＝CE，∴△FAB≌△CEB（SAS），∴BC＝BF，∠EBC＝∠ABF，∵∠EBC+∠ABC＝90°，∴∠ABF+∠ABC＝90°，即∠FBC＝90°，∴△FBC是等腰直角三角形，∵CM＝FM，∴△BCM是等腰直角三角形，∵N是BC中點(diǎn)，∴MN⊥BC，MN=12（2）連接CP并延長至T，使PT＝CP，連接AT、BT，如圖：∵Q是AC中點(diǎn)，PT＝CP，∴AT＝2PQ，∵P是BC中點(diǎn)，∴DP＝BP，∵PT＝CP，∠CPD＝∠TPB，∴△CPD≌△TPB（SAS），∴BT＝CE＝CD＝5，△ABT中，AB+BT＞AT，∴AT