2025版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)專題檢測(cè)6.1數(shù)列的概念及表示

.1數(shù)列的概念及表示一、選擇題1.(2024屆河南焦作月考,5)數(shù)列-1,85,-157,249,…的一個(gè)通項(xiàng)公式是anA.(-1)nnB.(-1)nnC.(-1)n(D.(-1)nn答案A數(shù)列-1,85,-157,249,…,即-1×33,2×45,-3×57,4×69,…,故它的一個(gè)通項(xiàng)公式是an2.(2024吉林二中模擬,4)已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=n2-n-50,則-8是該數(shù)列的()A.第5項(xiàng)B.第6項(xiàng)C.第7項(xiàng)D.不是數(shù)列中的任何一項(xiàng)答案C設(shè)-8是第n項(xiàng),因?yàn)閿?shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=n2-n-50,所以令n2-n-50=-8,解得n=7或n=-6(舍去),所以-8是該數(shù)列的第7項(xiàng).3.(2024屆北京三中期中,9)已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=n+an,則“a2>a1”是“數(shù)列{an}單調(diào)遞增”的(A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件答案C由數(shù)列{an}單調(diào)遞增可得an+1>an,所以n+1+an+1>n+an,整理得a<n2+n,∵n∈由a2>a1可得2+a2>1+a,故∴“a2>a1”是“數(shù)列{an}單調(diào)遞增”的充要條件.故選C.4.(2024屆昆明模擬,4)“中國(guó)剩余定理”又稱“孫子定理”,講的是一個(gè)關(guān)于整除的問(wèn)題.現(xiàn)有這樣一個(gè)整除問(wèn)題:在1到2024這2024個(gè)數(shù)中,將能被3除余1且被4除余1的數(shù)按從小到大的依次排成一列,構(gòu)成數(shù)列{an},則此數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為()A.167B.168C.169D.170答案C由題意得,能被3除余1且被4除余1的數(shù)就是能被12除余1的數(shù),所以an=12n-11,n∈N*,由an≤2024,得12n-11≤2024,所以n≤203112=169+14,又n∈N*,所以此數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為169.故選5.(2024新高考聯(lián)盟模擬,6)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若a1=1,Sn+1=2Sn+1,則S7=()A.63B.127C.128D.256答案B在Sn+1=2Sn+1中,令n=1,得S2=3,所以a2=2.由Sn+1=2Sn+1得Sn+2=2Sn+1+1,兩式相減得an+2=2an+1,即an+2an+1=2.又所以數(shù)列{an}是以1為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,所以S7=1-2716.(2024屆新高考聯(lián)盟月考,6)已知數(shù)列{an}中,a2=4,am+n=am+an,則a11+a12+a13+…+a19=()A.95B.145C.270D.520答案C在am+n=am+an中,令m=1,可得an+1=an+a1,則an+1-an=a1,所以數(shù)列{an}為等差數(shù)列,且該數(shù)列的首項(xiàng)和公差均為a1,因?yàn)閍2=2a1=4,所以a1=2,所以an=2+2(n-1)=2n,則a15=2×15=30,因此a11+a12+a13+…+a19=9(a11+a19)27.(2024屆吉林一調(diào),9)若數(shù)列{an}滿意an+an+1+an+2=2024(n∈N*),a1=2,a2=3,則a2024=()A.2024B.2017C.3D.2答案B當(dāng)n=1時(shí),a1+a2+a3=2024;當(dāng)n=2時(shí),a2+a3+a4=2024,故a1=a4=2;當(dāng)n=3時(shí),a3+a4+a5=2024,故a2=a5=3;當(dāng)n=4時(shí),a4+a5+a6=2024,故a3=a6.依次類推,可得到{an}是以3為周期的數(shù)列.又a1+a2+a3=2024,a1=2,a2=3,∴a3=2017.故a2024=a3=2017,故選B.二、填空題8.(2024屆湖北新高考協(xié)作體聯(lián)考,15)已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=2,其前n項(xiàng)和為Sn,若Sn+1=2Sn+1,則a7=.

答案96解析因?yàn)镾n+1=2Sn+1,所以Sn=2Sn-1+1(n≥2),兩式相減得an+1=2an(n≥2),又因?yàn)閍1=2,S2=a1+a2=2a1+1,得a2=3,所以數(shù)列{an}從其次項(xiàng)起先成等比數(shù)列,因此其通項(xiàng)公式為an=2,n=1,3·9.(2024屆江蘇泰州中學(xué)檢測(cè))在數(shù)列{an}中,a1=3,3a1a2+3a2a3+…+3anan+1=1+12+13+…+1n+n2(n∈N*),則an=,若λa答案6nn解析由于3a1a2+3a2a3+…+3anan+1=1+12+13+…+1n+n2(n∈N*),所以當(dāng)n≥2時(shí),有3兩式相減可得3anan+1=1n+12=n+22n,即當(dāng)n≥2時(shí),an+1an=6nn+2,當(dāng)n=1時(shí),求得a2=6,即a2a1=2也符合該遞推關(guān)系,所以an=anan-1·an-1an-2·…·a2a1·a1=6nn(n+1).由于λan≥4n?λ≥23n·n(n+1),令cn=23nn(n+1),cn+1cn=23n+1(n+1)(n+2)23nn(n+1)=2n+43n10.(2024屆廣東開(kāi)學(xué)質(zhì)量檢測(cè))將圖(1)的正三角形的每條邊三等分,并以中間的那一條線段為底邊向外作正三角形,然后去掉底邊,得到圖(2);將圖(2)的每條邊三等分,并以中間的那一條線段為底邊向外作正三角形,然后去掉底邊,得到圖(3);依此類推,將圖(n)的每條邊三等分,并以中間的那一條線段為底邊向外作正三角形,然后去掉底邊,得到圖(n+1).上述作圖過(guò)程不斷地進(jìn)行下去,得到的曲線就是漂亮的雪花曲線.若圖(1)中正三角形的邊長(zhǎng)為1,則圖(n)的周長(zhǎng)為,圖(n)的面積為.

答案3×43n-1;2解析圖(n)中1條邊變?yōu)閳D(n+1)中的4條邊,長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)的13,故圖(n)共有3×4n-1條邊,每條邊的長(zhǎng)度均為13n-1.因此,圖設(shè)圖(n)的面積為Sn,圖(n)變?yōu)閳D(n+1)時(shí),每條邊上多了一個(gè)面積為34×13n2的正三角形,故Sn+1=Sn+3×4n-1×34×13n2=Sn+3316×49n.又S1=34,因此由累加法得Sn=S1+311.(2024屆重慶西南高校附屬中學(xué)開(kāi)學(xué)考,16)設(shè)數(shù)列{an}滿意a1=2,a2=6,a3=12,數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且Sn+2-Sn-1+1Sn+1-Sn+1=3(n∈N*且n≥2).若[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù),bn=(n+1答案2024解析當(dāng)n≥2時(shí),Sn∴an+2+an+1+an+1an+1+1=3,∴an+2-2an+1+an=2,∴an+2-a又∵a1=2,a2=6,a3=12,∴(a3-a2)-(a2-a1)=2,∴an+1-an=4+2(n-1)=2n+2(n∈N*),當(dāng)n≥2時(shí),an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=2n+2(n-1)+…+2×2+2=2×n(又a1=2也適合上式,∴an=n(n+1)(n∈N*).∴(n+1)∴當(dāng)n≥2時(shí),bn=(n+1)又∵b1=(1+1)2a1=2,∴T2024=22a1+32三、解答題12.(2024屆四川綿陽(yáng)診斷(一),18)已知Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,Sn=2an-2.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;(2)求a1a2-a2a3+…+(-1)n+1anan+1.解析(1)當(dāng)n=1時(shí),S1=2a1-2=a1,解得a1=2.∵Sn=2an-2①,∴當(dāng)n≥2時(shí),Sn-1=2an-1-2②.①-②得an=2an-1(n≥2),∴數(shù)列{an}是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列,∴an=2n.(2)由(1)得anan+1=2×4n,∴a1a2-a2a3+…+(-1)n+1·anan+1=2[4-42+…+(-1)n+1×4n]=85[1-(-4)n13.(2024屆廣東調(diào)研)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,滿意2Sn=3n-1.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;(2)若cn=an+log3an,