2025版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)10年高考真題分類(lèi)題組7.2簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃

.2簡(jiǎn)潔的線性規(guī)劃考點(diǎn)簡(jiǎn)潔的線性規(guī)劃1.(2024天津理,2文,2,5分)設(shè)變量x,y滿意約束條件x+y≤5,2xA.6B.19C.21D.45答案C本題主要考查線性目標(biāo)函數(shù)最值的求解.由變量x,y滿意的約束條件畫(huà)出可行域(如圖陰影部分所示).作出基本直線l0:3x+5y=0,平移直線l0,當(dāng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2,3)時(shí),z取最大值,zmax=3×2+5×3=21,故選C.2.(2024北京理,8,5分)設(shè)集合A={(x,y)|x-y≥1,ax+y>4,x-ay≤2},則()A.對(duì)隨意實(shí)數(shù)a,(2,1)∈AB.對(duì)隨意實(shí)數(shù)a,(2,1)?AC.當(dāng)且僅當(dāng)a<0時(shí),(2,1)?AD.當(dāng)且僅當(dāng)a≤32時(shí),(2,1)?答案D本題主要考查不等式組的解法,元素與集合的關(guān)系.若(2,1)∈A,則有2-1≥1,2a+1>4,2-a≤2易錯(cuò)警示留意區(qū)分集合條件中的“或”與“且”.本題簡(jiǎn)潔把三個(gè)不等式的中間聯(lián)結(jié)詞認(rèn)為是“或”而錯(cuò)選A.3.(2017課標(biāo)Ⅲ文,5,5分)設(shè)x,y滿意約束條件3x+2y-6≤0,A.[-3,0]B.[-3,2]C.[0,2]D.[0,3]答案B由題意,畫(huà)出可行域(如圖中陰影部分所示),易知A(0,3),B(2,0).由圖可知,目標(biāo)函數(shù)z=x-y在點(diǎn)A,B處分別取得最小值與最大值,zmin=0-3=-3,zmax=2-0=2,故z=x-y的取值范圍是[-3,2].故選B.4.(2017課標(biāo)Ⅰ文,7,5分)設(shè)x,y滿意約束條件x+3y≤3,x-A.0B.1C.2D.3答案D本題考查簡(jiǎn)潔的線性規(guī)劃問(wèn)題.作出約束條件表示的可行域如圖:平移直線x+y=0,可得目標(biāo)函數(shù)z=x+y在A(3,0)處取得最大值,zmax=3,故選D.一題多解由約束條件求出三個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)(3,0),(1,0),32,12,分別代入目標(biāo)函數(shù)z=x+y,5.(2016北京理,2,5分)若x,y滿意2x-y≤0,x+A.0B.3C.4D.5答案C畫(huà)出可行域,如圖中陰影部分所示,令z=2x+y,則y=-2x+z,當(dāng)直線y=-2x+z過(guò)點(diǎn)A(1,2)時(shí),z最大,zmax=4.故選C.思路分析先畫(huà)出可行域,再令z=2x+y并改寫(xiě)成斜截式,找到令z取最大值時(shí)的點(diǎn),代入求值.評(píng)析本題考查簡(jiǎn)潔的線性規(guī)劃,屬簡(jiǎn)潔題.6.(2016天津理,2,5分)設(shè)變量x,y滿意約束條件x-y+2≥0,2xA.-4B.6C.10D.17答案B由線性約束條件畫(huà)出可行域(如圖中陰影部分).當(dāng)直線2x+5y-z=0過(guò)點(diǎn)A(3,0)時(shí),zmin=2×3+5×0=6,故選B.評(píng)析本題考查了簡(jiǎn)潔的線性規(guī)劃問(wèn)題,正確畫(huà)出可行域是求解的關(guān)鍵.7.(2016山東,4,5分)若變量x,y滿意x+y≤2,2x-3yA.4B.9C.10D.12答案C作出不等式組所表示的平面區(qū)域,如圖(陰影部分)所示,x2+y2表示平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的平方,由圖易知平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)A(3,-1)到原點(diǎn)的距離最大,所以x2+y2的最大值是10,故選C.評(píng)析本題考查了數(shù)形結(jié)合的思想方法.利用x2+y2的幾何意義是求解的關(guān)鍵.8.(2016浙江,4,5分)若平面區(qū)域x+y-3≥0,2x-A.355B.2C.32答案B作出可行域如圖.由2x-由x+y斜率為1的平行直線l1,l2分別過(guò)A,B兩點(diǎn)時(shí)它們之間的距離最小.過(guò)A(2,1)的直線l1:y=x-1,過(guò)B(1,2)的直線l2:y=x+1,此時(shí)兩平行直線間的距離d=22=2.故選9.(2015重慶,10,5分)若不等式組x+y-2≤0,x+2y-2≥0,A.-3B.1C.43答案B如圖,要使不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)槿切?則-2m<2,即m>-1,所圍成的區(qū)域?yàn)椤鰽BC,S△ABC=S△ADC-S△BDC.點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為1+m,點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為23(1+m),C,D兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為所以S△ABC=12(2+2m)(1+m)-12(2+2m)·=13(1+m)2=4解得m=-3(舍去)或m=1.故選B.10.(2015山東理,6,5分)已知x,y滿意約束條件x-y≥0,x+y≤2A.3B.2C.-2D.-3答案B作出可行域如圖.①當(dāng)a<0時(shí),明顯z=ax+y的最大值不為4;②當(dāng)a=0時(shí),z=y在B(1,1)處取得最大值,為1,不符合題意;③當(dāng)0<a<1時(shí),z=ax+y在B(1,1)處取得最大值,zmax=a+1=4,故a=3,舍去;④當(dāng)a=1時(shí),z=x+y的最大值為2,不符合題意;⑤當(dāng)a>1時(shí),z=ax+y在A(2,0)處取得最大值,zmax=2a=4,得a=2,符合題意.綜上,a=2.11.(2015福建文,10,5分)變量x,y滿意約束條件x+y≥0,x-2y+2≥0,A.-2B.-1C.1D.2答案C當(dāng)m<0時(shí),約束條件所表示的平面區(qū)域是開(kāi)放的,目標(biāo)函數(shù)z=2x-y無(wú)最大值,解除A,B,當(dāng)m=2時(shí),目標(biāo)函數(shù)z=2x-y的最大值為0,于是解除D,故選C.12.(2014課標(biāo)Ⅱ理,9,5分,0.798)設(shè)x,y滿意約束條件x+y-7≤0,xA.10B.8C.3D.2答案B由約束條件得可行域如圖陰影部分所示.由x+y-7=0,x-3y+1=0得A(5,2).當(dāng)直線2x-y=z方法總結(jié)解決線性規(guī)劃問(wèn)題的一般步驟:①畫(huà)出可行域;②依據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義確定其取得最優(yōu)解的點(diǎn),并求出該點(diǎn)坐標(biāo);③求出目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值.13.(2014課標(biāo)Ⅱ文,9,5分,0.700)設(shè)x,y滿意約束條件x+y-1≥0,xA.8B.7C.2D.1答案B約束條件表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示,由z=x+2y,得y=-12x+z2,z2為直線y=-12x+z2在y軸上的截距,要使z最大,則需z2最大,所以當(dāng)直線y=-12x+z2經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(3,2)14.(2014課標(biāo)Ⅰ文,11,5分,0.236)設(shè)x,y滿意約束條件x+y≥a,x-yA.-5B.3C.-5或3D.5或-3答案B二元一次不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示,其中Aa-12,a+12.平移直線x+ay=0,因此a-12+a×a+12解得a=3或a=-5,但a=-5時(shí),z取得最大值,故舍去,故選B.解后反思本題也可由解除法選出答案,當(dāng)a=-5時(shí),目標(biāo)函數(shù)無(wú)最小值,當(dāng)a=3時(shí),可以推斷出目標(biāo)函數(shù)的最小值為7,所以選B.15.(2014北京理,6,5分)若x,y滿意x+y-2≥0,kx-y+2≥0,A.2B.-2C.12D.-答案D由y-x由圖推想直線kx-y+2=0必過(guò)A(4,0),得k=-12,閱歷證符合題目條件.故選16.(2014課標(biāo)Ⅰ理,9,5分)不等式組x+y≥1,p1:?(x,y)∈D,x+2y≥-2,p2:?(x,y)∈D,x+2y≥2,p3:?(x,y)∈D,x+2y≤3,p4:?(x,y)∈D,x+2y≤-1.其中的真命題是()A.p2,p3B.p1,p2C.p1,p4D.p1,p3答案B不等式組x+y≥1,x-2y≤4表示的平面區(qū)域D如圖陰影區(qū)域所示.設(shè)z=x+2y,作出基本直線l0:x+2y=0,經(jīng)平移可知直線l:z=x+2y經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2,-1)時(shí)z取得最小值0,無(wú)最大值.對(duì)于命題p1:由于z的最小值為0,所以?(x,y)∈D,x+2y≥0恒成立,故x+2y≥-2恒成立,因此命題p1為真命題;由于?(x,y)∈D,x+2y≥0,故?(x,y)∈D,x+2y≥2,因此命題p2為真命題;由于z=x+2y的最小值為0,無(wú)最大值,故命題17.(2013課標(biāo)Ⅱ文,3,5分,0.693)設(shè)x,y滿意約束條件x-y+1≥0,x+A.-7B.-6C.-5D.-3答案B由約束條件得可行域(如圖),當(dāng)直線2x-3y-z=0過(guò)點(diǎn)A(3,4)時(shí),zmin=2×3-3×4=-6.故選B.18.(2013課標(biāo)Ⅱ理,9,5分,0.788)已知a>0,x,y滿意約束條件x≥1,x+y≤3,yA.14B.12C.1答案B由約束條件畫(huà)出可行域(如圖所示的△ABC及其內(nèi)部),由x=1,當(dāng)直線2x+y-z=0過(guò)點(diǎn)A時(shí),z=2x+y取得最小值,所以1=2×1-2a,解得a=12,故選解題關(guān)鍵依據(jù)約束條件精確畫(huà)出可行域,從而經(jīng)過(guò)平移確定直線z=2x+y過(guò)可行域內(nèi)的點(diǎn)A時(shí)z取得最小值是解題的關(guān)鍵.19.(2013湖北文,9,5分)某旅行社租用A、B兩種型號(hào)的客車(chē)支配900名客人旅行,A、B兩種車(chē)輛的載客量分別為36人和60人,租金分別為1600元/輛和2400元/輛,旅行社要求租車(chē)總數(shù)不超過(guò)21輛,且B型車(chē)不多于A型車(chē)7輛.則租金最少為()A.31200元B.36000元C.36800元D.38400元答案C設(shè)旅行社租用A型客車(chē)x輛,B型客車(chē)y輛,租金為z元,則線性約束條件為x+y畫(huà)出可行域:當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z=1600x+2400y經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(5,12)時(shí),zmin=1600×5+2400×12=36800.選C.20.(2012課標(biāo),5,5分)已知正三角形ABC的頂點(diǎn)A(1,1),B(1,3),頂點(diǎn)C在第一象限,若點(diǎn)(x,y)在△ABC內(nèi)部,則z=-x+y的取值范圍是()A.(1-3,2)B.(0,2)C.(3-1,2)D.(0,1+3)答案A由題意知可行域?yàn)椤鰽BC(不含邊界).當(dāng)直線-x+y-z=0過(guò)點(diǎn)C(1+3,2)時(shí),zmin=1-3;當(dāng)過(guò)點(diǎn)B(1,3)時(shí),zmax=2.故選A.評(píng)析本題考查了簡(jiǎn)潔的線性規(guī)劃,考查了數(shù)形結(jié)合的思想.正確理解直線的斜率、截距的幾何意義是求解的關(guān)鍵.21.(2016浙江,3,5分)在平面上,過(guò)點(diǎn)P作直線l的垂線所得的垂足稱(chēng)為點(diǎn)P在直線l上的投影.由區(qū)域x-2≤0,x+y≥0,A.22B.4C.32D.6答案C由不等式組畫(huà)出可行域,如圖中的陰影部分所示.因?yàn)橹本€x+y-2=0與直線x+y=0平行,所以可行域內(nèi)的點(diǎn)在直線x+y-2=0上的投影構(gòu)成的線段的長(zhǎng)|AB|即為|CD|.易得C(2,-2),D(-1,1),所以|AB|=|CD|=(2+1)2+(-222.(2016江蘇,12,5分)已知實(shí)數(shù)x,y滿意x-2y+4≥0,2x+答案4解析畫(huà)出不等式組x-2由x-2y+4=0及3x-y-3=0得A(2,3),由x2+y2表示可行域內(nèi)的點(diǎn)(x,y)與點(diǎn)(0,0)的距離的平方可得(x2+y2)max=22+32=13,(x2+y2)min=d2=252=45,其中d表示點(diǎn)(0,0)到直線2x+y-2=0的距離,所以x2+y2解后反思對(duì)于線性規(guī)劃問(wèn)題,要正確作出可行域,并理解目標(biāo)函數(shù)的幾何意義,分清常規(guī)的“距離型”“斜率型”與“截距型”是解題的關(guān)鍵.23.(2024課標(biāo)Ⅱ文,15,5分)若x,y滿意約束條件x+y≥-1答案8解析作出約束條件表示的可行域,如圖所示.由圖可知直線z=x+2y過(guò)點(diǎn)A(2,3)時(shí),z取得最大值,最大值為2+2×3=8.24.(2024課標(biāo)Ⅱ文,13,5分)若變量x,y滿意約束條件2x+3y-6≥0答案9解析本題考查簡(jiǎn)潔的線性規(guī)劃問(wèn)題;以二元一次不等式組作為約束條件考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想及運(yùn)算求解實(shí)力;考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).作出可行域(如圖陰影部分所示).易得A(3,0),B(1,2),C(0,2).將z=3x-y化為y=3x-z,由圖知,當(dāng)直線y=3x-z經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(3,0)時(shí),截距-z取得最小值,從而z取得最大值.zmax=3×3=9.易錯(cuò)警示因?yàn)槟繕?biāo)函數(shù)中y的系數(shù)為負(fù)值,所以簡(jiǎn)潔理解為在點(diǎn)C處取得最大值,導(dǎo)致錯(cuò)誤.25.(2024課標(biāo)Ⅲ文,15,5分)若變量x,y滿意約束條件2x+y+3≥0,x-答案3解析本題考查簡(jiǎn)潔的線性規(guī)劃.解法一:依據(jù)約束條件作出可行域,如圖所示.z=x+13y可化為求z的最大值可轉(zhuǎn)化為求直線y=-3x+3z縱截距的最大值,明顯當(dāng)直線y=-3x+3z過(guò)A(2,3)時(shí),縱截距最大,故zmax=2+13解法二:畫(huà)出可行域(如上圖),由圖知可行域?yàn)槿切螀^(qū)域,易求得頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為(2,3),(2,-7),(-2,1),將三點(diǎn)坐標(biāo)代入,可知zmax=2+1326.(2024浙江,12,6分)若x,y滿意約束條件x-y≥0,2x+y答案-2;8解析本小題考查簡(jiǎn)潔的線性規(guī)劃.由約束條件得可行域是以A(1,1),B(2,2),C(4,-2)為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域(含邊界),如圖.當(dāng)直線y=-13x+z3過(guò)點(diǎn)C(4,-2)時(shí),z=x+3y取得最小值-2,過(guò)點(diǎn)B(2,2)時(shí),z=x+3y思路分析(1)作出可行域,并求出頂點(diǎn)坐標(biāo).(2)平移直線y=-13x,當(dāng)在y軸上的截距最小時(shí),z=x+3y取得最小值,當(dāng)在y軸上的截距最大時(shí),z=x+3y取得最大值27.(2016課標(biāo)Ⅲ,13,5分)設(shè)x,y滿意約束條件2x-y+1≥0,答案-10解析可行域如圖所示(包括邊界),直線2x-y+1=0與x-2y-1=0相交于點(diǎn)(-1,-1),當(dāng)目標(biāo)函數(shù)線過(guò)(-1,-1)時(shí),z取最小值,zmin=-10.28.(2