第二章 流體的運動課件

2流體的運動1第二章

流體的運動

1．目的要求掌握流體運動的基本規(guī)律,了解血液流動的基本知識

2．教學內(nèi)容（6學時）:

理想流體,定常流動,連續(xù)性方程,柏努利方程及其應(yīng)用,粘性流體的流動,層流和湍流,泊肅葉公式,牛頓流體與非牛頓流體,血液的流動。斯托克斯定律。2流體的運動2

流體靜力學：研究靜止流體規(guī)律的學科稱為流體靜力學。流動性（fluidity)：物質(zhì)的各部分之間很容易發(fā)生相對運動的特性。流體（fluid）:

通常把具有流動性的物質(zhì)稱為流體。流體動力學：研究流體運動規(guī)律的學科稱為流體動力學。氣體和液體與固體不同，它們沒有固定的形狀，只要受到很小的力的作用，本身各部分之間就很容易發(fā)生相對運動。

例如，研究水在水管中的流動，煤氣在管道中的輸送，血液和淋巴液的循環(huán)以及動物呼吸系統(tǒng)中氣體的運動等，均屬于流體動力學的范疇。

因為人體中養(yǎng)分的輸送、廢物的排除、藥物在人體中的吸收等，都要通過血液的循環(huán)來完成，所以掌握流體運動的規(guī)律是了解人體生理過程的基礎(chǔ)。2流體的運動3方法實際流體（流動性、可壓縮性、粘性）理想流體（理想模型）柏努利方程（理論）流動性

數(shù)學方法基本規(guī)律泊肅葉定律（理論）應(yīng)用水流動應(yīng)用（醫(yī)學血液的流動、呼吸等）2流體的運動4一、理想流體(idealfluid)

§2-1

理想流體的運動2.理想流體

沒有內(nèi)摩擦,不可壓縮的流體,稱為理想流體3.函數(shù)表達式表達方式（1）拉格朗日(Lagrange)法：以無限小的質(zhì)元（流粒）為研究對象。（2）歐拉(Euler)法：以流速的空間分布為研究對象。類似于靜電場的研究方法。

v=f(x,y,z,t)=f(空間，時間)1.實際流體

水、油……可壓縮，具有粘滯性。2流體的運動54.幾何描述——流線(streamline)

(1)定義任意點的切線方向均與流粒在該點的速度方向一致的曲線。（2）性質(zhì)：

（a）任一點在同一時刻流線不能相交（速度僅有一個）。（b）流線的疏密程度代表流速的大小。

（c）一般情況下，流線的形狀隨時間變化。2流體的運動6除具流線的性質(zhì)(1)(2)外，還具有：二.定常流動(steadyflow)1.定義

流體流動時,流動空間各點的速度都不隨時間變化,這種流動稱為定常流動(或穩(wěn)定流動).下式可以表示定常流動的特點:2.性質(zhì)(1)流線的形狀固定，為流粒的運動軌跡。(2)流管(tubeofflow):在穩(wěn)定流動的流體中，由許多流線圍成的管狀區(qū)域稱為流管。其形狀固定，管內(nèi)外流體不交換。2流體的運動7設(shè)想流體作穩(wěn)定流動，在流管中任取兩個與管壁垂直的截面S1和S2，如圖。S1S2v1v2?t?t

若流體在兩截面處的平均速度分別為v1和v2

，經(jīng)過時間?t

，有：一.連續(xù)性方程的推導(deduceofcontinuityequation)§2-2

連續(xù)性方程1.質(zhì)量連續(xù)性方程質(zhì)量流量：單位時間內(nèi)流過管道任一截面的流體質(zhì)量，單位為kg/s2流體的運動8S1S2v1v2?t?t2.體積連續(xù)性方程理想流體：體積流量：單位時間內(nèi)流過管道任一截面的流體體積，單位為m3/s如果流體經(jīng)過面積為S的橫截面的體積流量為Q，則該截面處的平均流速為：2流體的運動9二.連續(xù)性方程的應(yīng)用(application0fcontinuityequation)1.分支流管2.血管中的流速動脈:截面積小,流速大.毛細血管:總截面積最大,流速最小.靜脈:截面積小,流速較大.v2S2S1v1S3v32流體的運動10一、柏努利方程(Bernoulli′sequation)

如右圖，設(shè)有理想流體在重力場中作穩(wěn)定流動。在一個截面不均勻的流管中，取其中的XY段作為研究對象?！?-3

理想流體的動力學方程h1h2F1F2v1?tv2?tXX'YY'Yh1h2F1F2v1?tv2?tXX'Y'設(shè)X處流管的截面積為S1，壓強為p1，流速為v1,距離參考水平面的高度為h1；設(shè)Y處流管的截面積為S2，壓強為p2，流速為v2,距離參考水平面的高度為h2。經(jīng)過時間?t后，流段的位置由XY移到了X'Y'

。下面分析在這段時間內(nèi)力對這一流段所作的功，以及由此而引起的機械能的變化。2流體的運動11作用于這段流體上的力只有四周流體對它的壓力。由于作用于流管側(cè)壁的壓力與管壁垂直，不作功。則?t內(nèi)外力作的總功為：h1h2F1F2v1?tv2?tXX'YY'Yh1h2F1F2v1?tv2?tXX'Y'是包圍在XX'和YY'之間的流體體積。整個過程中，流段變化的僅是XX'部分被YY'部分所代替。二者的質(zhì)量相等，則動能與重力勢能的增量分別為根據(jù)功能原理，應(yīng)有：2流體的運動12故：h1h2F1F2v1?tv2?tXX'YY'整理得：——柏努利方程由于X、Y這兩個截面是在流管上任意選取的，所以對同一流管的任一截面來說：用V除各項得：——柏努利方程上式表明，理想流體穩(wěn)定流動時，在同一流管中任一截面處，每單位體積的動能和重力勢能以及該處的壓強能三者可以互相轉(zhuǎn)化，其總和保持不變。這是機械能守恒定律在理想流體定常流動中的應(yīng)用。從壓強的量綱來說，p是靜壓強，是動壓強，是位壓強。2流體的運動13所以選取A水平面為零勢能面，則解：根據(jù)連續(xù)性方程可知例：如圖所示，設(shè)在流管中的流量為0.12m3·s-1,A點的壓強為，截面積為100cm2,B點的截面積為60cm2，假定水是理想流體，求A、B兩點的流速和B點的壓強。2mBAvBvA又根據(jù)柏努利方程，可得2流體的運動14二、柏努利方程的應(yīng)用1.水平管中流體的壓強與流速的關(guān)系在很多問題中，流體往往是在水平管中流動的。當流體在水平管中流動時，高度相等h1=h2，即，則柏努利方程可簡化為：再聯(lián)合理想流體的連續(xù)性方程式可得：當理想流體在粗細不同的水平管中作穩(wěn)定流動時，截面積大處流速小靜壓強大，截面積小處流速大靜壓強小?？瘴饔茫寒敊M截面小的地方的流速達到或超過某一值時，該處的靜壓強會小于外面流體的靜壓強，從而使該處表現(xiàn)出能吸入外面流體的作用，稱這種作用為空吸作用。2流體的運動15如右圖，是空吸作用的原理圖。容器中的液體受大氣壓p0的作用，沿D管上升到C處，被水平管中的流體帶走，這種作用叫做空吸作用。圖中C處的管截面積小，流速大；而A、B處的管截面積大，流速較小。由柏努利方程可知，在A、B兩處的靜壓強較大，而C處的靜壓強較小。ABCp0D請解釋：為什么同一方向平行并進的兩只船會彼此靠攏甚至導致兩船相撞？2流體的運動16

航空中，在速度較快的一側(cè)出現(xiàn)一個“負壓”，這樣使得物體兩側(cè)出現(xiàn)“壓力差”，對飛機就是一種升力。V1V02流體的運動17比托管（Pitortube）比托管是測量流體流速的儀器。如圖是比托管的原理圖，A管的開口與B管的開口在同一水平面上，并且A管的開口與流線垂直，形成流速為零的滯止區(qū)，使A處的流速為零。而B管的開口與流線平行，故它對流體的流動無影響，即B點處的流速就是待測流體的流速，則利用柏努利方程得:AB?hv在A點處動壓全部轉(zhuǎn)化為靜壓。2流體的運動18改進型的流速測量儀（1）液體流速測量儀，如圖(a)。（2）氣體流速測量儀，如圖(b)。B?hvA（a）?hBAv（b）2流體的運動19分丘里流量計分丘里流量計是測量流體的體積流量的儀器。由連續(xù)性方程如圖為分丘里流量計的原理圖，測量時將它水平地連接到被測管路中。在其水平中線上取A、B兩點，利用柏努利方程有:?hAB解上述兩式可得：由體積流量公式有：所以根據(jù)測得的液面高度差及已知的橫截面面積SA和SB，由上式即可以求出流體的體積流量。2流體的運動202.壓強與高度的關(guān)系（勻速管）假設(shè)理想流體在粗細均勻(即流速保持不變)或者流速的改變可不必考慮，而高度不同的管中流動,則柏努利方程為：上式表明，在流速不變的前提下，處于高處的液體壓強較小，處于低處的液體壓強較大。這種關(guān)系，可以用來解釋體位對血壓的影響。（如圖P35）2流體的運動213.流速與高度的關(guān)系（勻壓管）假設(shè)理想流體在管中作定常流動時,其各處的壓強保持不變或可以不考慮壓強的變化，則柏努利方程為：上式表明，當同一流管中各處的壓強相等時，隨著高度的逐漸降低，流速逐漸增加。水從高處自由下落就屬于這種情況（自由落體）。2流體的運動224.小孔流速一開口大容器裝滿液體，在容器底部有一小孔。如圖，計算液體從小孔中流出的速度。由柏努利方程有hvp0S0S解上二式有：2流體的運動23

病房輸液管流速(如右圖)虹吸管如右圖所示，假設(shè)S1?S2,則v1

=0,設(shè)v2=v,所以S1S2vhhv2流體的運動24

例：一個頂部開口的大圓形容器，現(xiàn)有一橫截面積為1cm2的小孔開在底部中心，當水從圓形容器頂部以100cm3/s的流量注入時，則容器中水面的最大高度為多少？(g取10m/s2)已知：S孔=1cm2

，Q=100cm3/s求：水面的最大高度h=?解：當從小孔流出的流體的流量等于從圓形容器頂部注入的流量時，容器的水面達到最大高度，即2流體的運動25

例：在一個大圓形容器里，盛有深度為H的水，在容器的一側(cè)水面下h深處開一小孔，則水從小孔流出。問在容器同一側(cè)何處再開一小孔，可使兩孔射出的水流有相同的射程。解：根據(jù)小孔流速公式，當小孔開在水面下h時，則從小孔流出的流速：Hhh'假設(shè)另一孔開在水面下h'處，則同樣，射程為：所以射程為：據(jù)題意有：2流體的運動26

例：如圖，有一大容器，其截面積為S，水位高度為H，若容器底部開一截面積為a的小孔，則水從小孔中流出。求：（1）當水位降到h時需多長時間？（2）當水全部流完時，總共需多長時間？解：（1）如圖建立坐標軸Oy，坐標原點位于開始時的水位。當水位降低了y時，根據(jù)小孔流速公式，從小孔流出的流體的流速為：設(shè)在dt時間內(nèi)，水位降低了dy，則其體積減少量應(yīng)為S·dy，根據(jù)流量守恒，此體積減少量應(yīng)等于在dt時間內(nèi)從小孔流出的體積，即：HhSaOyydy設(shè)水位降到h時所需用的時間為t1，則有：（2）當水全部流完時，即取h=0，則所需用的時間t2為：2流體的運動27一、層流、湍流1.層流(laminarflow)：當粘性流體的速度較小時，出現(xiàn)分層流動，各層流體互不混合保持自己的流動速度，稱為層流，也叫片流?！?-4

粘性流體的流動規(guī)律2.湍流(turbulentfolw):當粘性流體的速度較大時，各流層互相混合，有時出現(xiàn)漩渦，顯得雜亂無章，稱為湍流。2流體的運動28二、牛頓粘滯定律（Newton′slawofviscousflow）1.粘滯現(xiàn)象如右圖，設(shè)想在兩塊玻璃板之間放上一層甘油。Fvabcd在上面板上施加一恒定的力F使之移動，上板的移動速度增加到某一數(shù)值v以后就不再增加了，它將以速度v勻速前進。粘附在上面玻璃板里側(cè)的一層液體也以速度v運動，粘附在下板上的一層液體則靜止不動。液體的速度從上板到下板是逐漸減小的，因此，可以把這液體分成許多平行于玻璃板、速度不同的薄層a、b、c、d···等。a層液體不動，b層以不大的速度沿a層滑動，b層給a層一個向前的拉力，而a層給b層一個向后的阻力，這一對力與接觸面平行，大小相等而方向相反，稱為內(nèi)摩擦力(internalfriction)或粘滯力(viscousforce)。2流體的運動292.速度梯度（velocitygradient）當流體在管道中作層流時，其速度分布如圖。速度的逐層變化可以用速度梯度來表示。如圖，若相距為?x的兩流層的速度差為?v，則?v/?x表示這兩層之間速度的平均變化率，當?x->0時，則速度梯度表示為：Ox?v?xxx+?x速度梯度：流體速度沿半徑方向(x軸方向)的變化率,稱為速度梯度。單位：s-1.速度梯度表示x處相鄰流層間速度在x方向上的變化快慢程度。2流體的運動303.牛頓粘滯定律（Newton'slawofviscousflow）定律內(nèi)容：當流體作層流時，相鄰兩層流體間的粘滯阻力(內(nèi)摩擦力)F與速度梯度dv/dx成正比，與兩層間的接觸面積S成正比。式中,

是流體的粘滯系數(shù)。關(guān)于粘滯系數(shù)

(b)特性：(a)性質(zhì)：反映流體粘度大小的物理量，決定于流體性質(zhì)和溫度。(c)單位：牛頓流體(Newtonianfluid)：遵循牛頓粘滯定律的流體稱為牛頓流體。如水和血漿。非牛頓流體：不遵循牛頓粘滯定律的流體稱為非牛頓流體。如血液。2流體的運動31三、層流與湍流的判別Re稱為雷諾數(shù)，它是用來判斷層流或湍流的經(jīng)驗公式。

設(shè)流體在粘滯系數(shù)為

，密度為ρ，圓管的半徑為r，流體在該圓管中的平均流速為v，則：Re是一個無量綱的純數(shù)。條件：直圓管.彎曲度↑,產(chǎn)生湍流的Re↓,急彎分支。層流是無聲的，而湍流則伴隨著有噪聲，頻率可達數(shù)百Hz，這在醫(yī)學上具有實用價值。例如，動、靜脈堵塞以及心臟瓣膜狹窄在血管中引起的雜音，都是湍流產(chǎn)生的。測量血壓時，在聽診器中所聽到的聲音，也是血液通過被壓扁的血管時，產(chǎn)生湍流所發(fā)生的。2流體的運動32四、粘性流體的流動規(guī)律1.粘性流體的柏努利方程粘滯流體流動時，由于存在內(nèi)摩擦力，必然有一部分機械能轉(zhuǎn)化為熱能，因而以理想流體作穩(wěn)定流動為前提導出的柏努利方程就不能直接應(yīng)用了，必須加入一個修正項。（1）方程實質(zhì)：能量守恒定律的具體表達式。對理想流體動力學方程的修正（逼近實際）。（2）物理意義：ω=Wf/V

表示單位體積的粘性流體在流管中從截面1流到截面2的過程中所為克服內(nèi)摩擦力而損失的機械能。2流體的運動33（3）ω的確定：（a)一般情況下，需用實驗方法(因為ω的大小一般與η、流動狀態(tài)和管道形狀等有關(guān)）。(b)特殊情況時（即粗細均勻S1=S2），可用公式計算：勻速管：勻速水平管：勻速勻壓管：表明：即使是在水平管中，也必須有一定的壓力差，才能使粘性流體克服內(nèi)摩擦力作定常流動，則通過流體體積為V時，其機械能損失量為：表明：在外界壓強相同的情況下，要使粘性流體沿管道作定常流動，必須有一定的高度差，以降低重力勢能的方式來彌補因內(nèi)摩擦力而所損失的機械能。2流體的運動342.泊肅葉定律（Poiseuillelaw）

法國醫(yī)師泊肅葉為了明確心臟和血流間的關(guān)系，研究了牛頓流體（水）在剛性管中流動的規(guī)律，得出了著名的泊肅葉實驗公式。公式指出，在粗細均勻的水平管中作層流的粘性流體，其流量Q和管道兩端的壓強差p1-p2

(p1>p2)之間有如下關(guān)系：式中：R—管子的半徑；L—是管子的長度；η—是流體的粘滯系數(shù)。LRp1p22流體的運動35泊肅葉公式的推導（1）條件：等截面水平管中勻速層流的粘性液體。即h1=h2,v1=v2=v,所以，ω＝△p=p1-p2≠0(理想流體ω＝

p1

-p2＝0）（2）對象：半徑為r，長度為L、與管共軸的等截面水平管中勻速層流的粘性流體。推導：LrRF1F2F3因為是勻速運動，所以有根據(jù)r=R,v=0的條件，可求得：2流體的運動36結(jié)果（1）速度分布

右圖為粘性流體在管中流動時，各流層在一個縱剖面上的的速度分布速度LrRF1F2F32流體的運動37（2）流體的流量LrRdrp1p2F3為了求出管中流體的流量，考慮一個內(nèi)徑為r,厚度為dr的管狀流層，因為這一流層的截面積為，所以它的流量為式中v是流體在半徑r處的流速。由此可見，泊肅葉公式不僅有實驗依據(jù)，而且可以從理論上加以推證。2流體的運動38注意幾點1.流阻（flowresistance）Rf稱為流阻，在醫(yī)學上習慣稱之為外周阻力，它的大小由流體的粘滯系數(shù)η和管道的幾何形狀決定。單位：Pa·s·m-3串聯(lián)時：并聯(lián)時：醫(yī)學上常用這些公式對心血管系統(tǒng)的心輸出量、血壓降和外周阻力之間的數(shù)量關(guān)系進行近似地分析。2流體的運動392.表明：粘性流體在圓管中作定常流動時，單位體積的機械能損失與管子的長度成正比，即損失的機械能均勻地分布在流動的路程上，稱為沿程能量損失。當流體通過橫截面積突變處、彎管處或各種閥門處時，流體的能量都要發(fā)生額外的損失，這種損失發(fā)生在某些局部的地方，稱為局部能量損失。所以，總的能量損失=沿程能量損失+局部能量損失2流體的運動40五、血液在循環(huán)系統(tǒng)中的流動1.血液循環(huán)系統(tǒng)整個血液循環(huán)系統(tǒng)可看作是由體循環(huán)、肺循環(huán)兩部分組成。右圖為簡單的物理模型。心臟收縮時，血液使左心房和左心室之間的瓣膜關(guān)閉，沖開左心室與主動脈間的瓣膜進入主動脈，再經(jīng)動脈、小動脈、微血管流入毛細血管。體循環(huán)肺循環(huán)右心房左心房右心室左心室心臟舒張時，血液使左心室與主動脈間的瓣膜關(guān)閉而不回流，此時另一端的血液則靠動、靜脈間壓強差的推動，使之由毛細血管逐漸匯流入小靜脈、靜脈、腔靜脈，最后回流入右心房。如圖，心房與靜脈相聯(lián)，心室則與動脈相聯(lián)，在心房和心室及心室和動脈之間均有只允許血液單向通過的瓣膜；而左、右心房和左、右心室則完全不相通。體循環(huán)：血液由左心室出發(fā)經(jīng)各種血管流回右心房的過程。也稱大循環(huán)。肺循環(huán)：血液從右心室進入肺動脈，經(jīng)肺毛細血管、肺靜脈流回左心房的過程。也稱小循環(huán)。2流體的運動412.外周阻力血液在血管中流動的流阻在醫(yī)學上叫做外周阻力。體循環(huán)的總流阻，稱為總外周阻力。在通常情況下，血液的循環(huán)流動從整體上看可視為層流。任一段血管兩端的血壓差?p、流量Q與流阻R之間的關(guān)系仍遵從泊肅葉公式，即可用公式R=?p/Q來計算外周阻力。這時?p取平均動脈壓，Q為每秒鐘的心輸出量。通常血管長度無變化，血液粘度的變化也不大，所以外周阻力的變化主要決定于血管內(nèi)徑的變化。血液雖然由心室斷續(xù)搏出，但由于主動脈管壁具有彈性、血液流動具有慣性和外周阻力的存在，血液在血管中的流動基本上是連續(xù)的。3.血流速度在心臟收縮期內(nèi)，血液大量射入原來已充滿血液的主動脈內(nèi)，由于外周阻力較大，血液不能及時流出，使得該處的彈性管壁被撐開而儲蓄血液；當心臟收縮停止，進入舒張期時，主動脈和左心室之間的瓣膜關(guān)閉，射血雖已停止，但由于管壁彈力回縮，被擴大的主動脈恢復原狀，推動所蓄血液繼續(xù)向前流動，結(jié)果使前面的血管擴張，依次類推。2流體的運動42根據(jù)測量和計算可知，主動脈的截面積僅為3cm2

，而彼此并聯(lián)的毛細血管的總截面積可達900cm2，腔靜脈的截面積則為18cm2

。單位時間內(nèi)由左心室射出的血量為90cm3·s-1（靜息狀態(tài)），根據(jù)連續(xù)性方程可計算出，主動脈中血流速度最大，可達30cm·s-1，毛細血管中流速最小，約為1mm·s-1（上述血液速度指血管截面上的平均速度），如右圖所示。血管的這種周期性擴張和收縮的運動狀態(tài)，沿著血管向前傳播，稱為脈搏波。脈搏波的傳播速度約為8~10m·s-1。血流速度總截面積大動脈小動脈毛細管靜脈4.血壓血壓是血管內(nèi)血液對管壁的側(cè)壓強，醫(yī)學上常用它高于大氣壓強的數(shù)值來表示，并以mmHg為單位。即它是計示壓強，它等于血液的絕對壓強p與大氣壓強p0之差。心血管系統(tǒng)的壓強（血壓）是隨著心臟的收縮和舒張而變化的。2流體的運動435.心臟作功血液在兩個循環(huán)中，沿途都要克服阻力消耗能量。要想血液循環(huán)不停的繼續(xù)下去，血液必須不斷地被補充能量，這部分能量是由心臟作功而來，故血液不停地循環(huán)是由心臟不斷地作功來維持的。體循環(huán)是由左心作功來補充能量，而肺循環(huán)則由右心作功來補充能量，所以心臟作的功等于左心室和右心室作功之和。心臟作的功，可應(yīng)用柏努利方程計算求得：所以，心臟作功為：單位體積血液離開心室時的能量為：單位體積血液進入心房時的能量為：由于h1和h2很接近，h1=h2=0，所以有：2流體的運動44例：