福建省福州市十校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1福建省福州市十校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.直線的傾斜角是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】直線的方程化為，其斜率，傾斜角滿足，所以.故選：D.2.圓的圓心坐標(biāo)和半徑分別為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，即可得圓心坐標(biāo)為，半徑為.故選：B.3.過點，且垂直于直線的直線方程是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】根據(jù)垂直關(guān)系得所求直線的斜率為，又過點所以所求直線方程為，即.故選：A.4.如圖，在平行六面體中，以頂點A為端點的三條棱長均為3，且它們彼此的夾角都是，則對角線長為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】如圖，由已知，，，∵，∴，∴，即，故選：A.5.直線的圖象可能是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由直線，得：，直線的斜率，直線在y軸上的截距為，當(dāng)時，，則直線經(jīng)過第一象限和第三象限，且與軸相交于軸下方；當(dāng)時，，則直線經(jīng)過第二象限和第四象限，且與軸相交于軸上方；只有B選項的圖象符合題意，故選：B.6.過直線上一點作圓的兩條切線，切點分別為，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題設(shè)，圓中，半徑為1，又，故只需最小，則最小，圓心到直線的距離，當(dāng)時，，所以.故選：D7.在三棱錐中，平面BCD，，且，M為AD的中點，則異面直線BM與CD夾角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】四面體是由正方體的四個頂點構(gòu)成的，如下圖所示建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為因為異面直線夾角的范圍為，所以異面直線BM與CD夾角的余弦值為.故選：B.8.是圓上兩點，，若在圓上存在點恰為線段的中點，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】圓，圓心，，由是弦的中點，且，則由圓的幾何性質(zhì)，，所以，故點在以為圓心，以為半徑的圓上.又在圓上存在點滿足題設(shè)，且其圓心，半徑，則由兩圓有公共點，得，即，解得，或.故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.以下關(guān)于直線的表述正確的是（）A.斜率為，在y軸上的截距為3的直線方程為B.經(jīng)過點且在x軸和y軸上截距相等的直線方程為C.點斜式方程可用于表示過點且不與軸垂直的直線D.已知直線和以，為端點的線段相交，則實數(shù)k的取值范圍為【答案】AC【解析】對A，斜率為，在y軸上的截距為3的直線斜截式方程為，A正確；對B，經(jīng)過點和原點的直線也滿足題意，故B錯誤；對C，點斜式方程適用于斜率存在直線，C正確；對D，易知直線過定點，可得，由圖和正切函數(shù)性質(zhì)可知，或，D錯誤.故選：AC.10.如圖，在棱長為2的正方體中，為線段的中點，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.直線到平面的距離為2C.點到直線的距離為D.平面截正方體截面的面積為【答案】ABC【解析】依題意，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，，,對于A，，則，故A正確；對于B，易得平面的法向量為，而，所以，又平面，所以平面，所以點到平面的距離即直線到平面的距離，即，故B正確；對于C，，，所以，則點到直線的距離為，故C正確；對于D，記的中點為，連接，則，所以，顯然，即，所以四點共面，即平行四邊形為平面截正方體的截面，由勾股定理易得，故平行四邊形是菱形，又，所以，，所以，故D錯誤.故選：ABC.11.古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯（約公元前262~前190）發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個定點的距離之比為定值的點的軌跡是圓.后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，動點滿足，直線，則（）A.直線過定點B.動點的軌跡方程為C.動點到直線的距離的最大值為D.若點的坐標(biāo)為，則的最小值為【答案】ABD【解析】對A,直線，，所以直線過定點，A正確；對B，設(shè)，因為動點滿足，所以，整理可得，即，所以動點的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，動點的軌跡方程為圓，B正確；對于C，當(dāng)直線與垂直時,動點到直線距離最大，且最大值為，C錯誤；對于D，由，得，所以，又因為點在圓內(nèi)，點在圓外，所以，當(dāng)且僅當(dāng)為線段與圓的交點時取等號.故選：ABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分（14題第一空2分，第二空3分）.12.已知直線，直線，若，則=________.【答案】-2【解析】，則；.若，則存在斜率，方程可化為，則且，解得.故答案為：.13.在空間直角坐標(biāo)系中，已知點，若點在平面內(nèi)，寫出一個符合題意的點的坐標(biāo)__________.【答案】（答案不唯一）【解析】點在平面內(nèi)，所以四點共面，則，所以，所以，則，所以滿足即可令，滿足，所以符合題意的點的坐標(biāo)可以為.故答案為：（答案不唯一）.14.如圖，在三棱錐中，，，，平面平面，則三棱錐的體積的最大值為_______；二面角的正弦值的最小值為__________.【答案】；【解析】第一空：取的中點，因為，所以，又因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，因為，，，所以，所以三棱錐的體積為，因為，所以，則；當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，故三棱錐的體積的最大值為.第二空：由平面，又平面，所以，過作于，連接，因為平面，，所以平面，又平面，所以，所以為二面角的平面角，在中，，因為，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以的最小值為2.此時取得最小值，故二面角的正弦值的最小值為.故答案為：；.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知的三個頂點是，，.（1）求邊上的高所在的直線方程；（2）求的面積.解：（1）由題意可得：直線AC的斜率則AC邊上的高所在直線的斜率，又這條直線過點，所以直線方程為，即.（2）（方法一）因為，所以，所以，所以，因為，所以，（方法二）由(1)知直線AC的斜率，則直線AC的方程為，即，點到直線的距離，因為，，（方法三）因為，所以，所以，因為，所以.16.如圖，在三棱柱中，，，平面.（1）求證：；（2）若，直線與平面所成的角為，求平面與平面的夾角的余弦值.解：（1）因為，，且，所以四邊形為菱形，則,又因為平面，平面，所以，又，、平面，所以平面，又平面，所以.（2）（方法一）因為平面，所以直線與平面所成的角為，即，因為平面，平面，則，則，令，由四邊形為菱形，，則是邊長為的等邊三角形，所以，，，，因為平面，，以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、、，則，，設(shè)平面的法向量，則，取，則，，故，易知平面的一個法向量為，，故平面與平面的夾角余弦值為.（方法二）因為平面，所以直線與平面所成的角為，即，因為平面，平面，則，則，令，由四邊形為菱形，，則是邊長為的等邊三角形，所以，，，，所以，，取中點，連接、，等腰直角中，且，由勾股定理得，因為，則，且，因為，，平面平面，所以平面與平面的夾角即，在中，，，，則，即，，故平面與平面的夾角余弦值為.17.已知圓過兩點、，且圓心在直線上.（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知點，①判斷點與圓的位置關(guān)系，并說明理由；②若點在圓內(nèi)，求過點的最短弦長及其所在的直線方程；若點在圓上或圓外，求過點的圓的切線方程.解：（1）（方法一）因為圓心在直線上，設(shè)圓心為，因為點、在圓上，所以，即，整理得，解得，所以圓心，半徑，即圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（方法二）因為點、在圓上，則，的中點（2,2）所以的中垂線方程為，即，聯(lián)立，解得，圓心，半徑，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）①由（1）可得圓，則圓心，半徑，因為，則點在圓外，②當(dāng)過點的直線斜率不存在時，則直線方程為，圓心到直線的距離為，故直線為圓的切線；當(dāng)過點的直線斜率存在時，可設(shè)直線方程，即，由圓心到該直線的距離，由直線與圓相切，則，即，可得，解得，此時，直線方程為，即，綜上，切線的方程為或.18.在四棱錐中，平面平面，，，，，，.（1）求證：平面；（2）在棱上是否存在點，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.解：（1）∵面面，面面，，面，∴面，∵面，∴，又，，面，面∴面，（2）取中點為，連結(jié)，∵，∴，∵，∴∵面面，面面，兩兩垂直，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，易知P0,0,1，，，，則，，，，設(shè)為面的法向量，令.則假設(shè)存在點使得面，設(shè)，，又，P0,0,1，，，有∴∵面，為的法向量，∴，即，得綜上，存在點，即當(dāng)時，點即為所求.19.新定義：已知，.空間向量的叉積.若在空間直角坐標(biāo)系中，直線的方向向量為，且過點，直線的方向向量為，且過點，則與方向