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高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河南省開封市五校2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題考生注意:1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分,考試時間120分鐘.2.答題前,考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項(xiàng)目填寫清楚.3.考生作答時,請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后,用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑;非選擇題請用直徑0.5毫米黑色.墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效,在試題卷、草稿紙上作答無效.4.本卷命題范圍:人教A版選擇性必修第一冊,選擇性必修第二冊.一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知數(shù)列滿足,若,則()A.-1 B. C.1 D.2【答案】B【解析】因?yàn)閿?shù)列滿足,所以,所以數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列,所以.故選:B2.已知拋物線C關(guān)于x軸對稱,且焦點(diǎn)在直線上,則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A. B. C. D.【答案】D【解析】直線與軸的交點(diǎn)為,所以拋物線的焦點(diǎn)為,故,解得,拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選:D.3.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為,且,則()A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)椋?,令,則,.故選:C4.已知圓經(jīng)過點(diǎn),且圓心在直線上,則圓的面積為()A. B. C. D.【答案】D【解析】由圓經(jīng)過點(diǎn)和,可知圓心在直線上,又圓心在直線上,所以的坐標(biāo)為,半徑,所以圓的面積為.故選:D.5.記為等比數(shù)列的前項(xiàng)和,若,則()A21 B.18 C.15 D.12【答案】A【解析】因?yàn)闉榈缺葦?shù)列的前項(xiàng)和且,所以成等比數(shù)列,即3,6,成等比數(shù)列,所以,所以.故選:A.6.已知點(diǎn)是雙曲線上一點(diǎn),則點(diǎn)到雙曲線的兩條漸近線的距離之積為()A. B. C. D.【答案】C【解析】由雙曲線的方程知,漸近線方程為,即,設(shè),由題意,得,即,點(diǎn)到漸近線的距離,點(diǎn)到漸近線的距離,所以.故選:C.7.定義“等方差數(shù)列”:如果一個數(shù)列從第二項(xiàng)起,每一項(xiàng)的平方與它的前一項(xiàng)的平方的差都等于同一個常數(shù),那么這個數(shù)列就叫做等方差數(shù)列,這個常數(shù)叫做該數(shù)列的方公差.設(shè)數(shù)列是由正數(shù)組成的等方差數(shù)列,且方公差為2,,則數(shù)列的前60項(xiàng)和()A. B.5 C.59 D.60【答案】B【解析】因?yàn)槭欠焦顬?的等方差數(shù)列,所以是公差為2的等差數(shù)列,所以,解得,又,所以,所以,所以所以.故選:B.8.設(shè),,,則、、的大小關(guān)系為()A. B. C. D.【答案】A【解析】令,則,當(dāng)時,,則單調(diào)遞增,所以,即,則;令,則,當(dāng)時,,單調(diào)遞增,所以,即,即.綜上所述,.故選:A.二、選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分,部分選對的得2分,有選錯的得0分.9.已知直線l與直線垂直,且與圓相切,則直線l的方程可以是()A. B.C. D.【答案】CD【解析】直線與直線垂直,可設(shè)直線為,圓的圓心為,半徑為,點(diǎn)到直線的距離為.因?yàn)橹本€與圓相切,所以,解得或,所以直線的方程是或.故選:CD.10.如圖,在四棱錐中,底面是平行四邊形,,若,則()A. B.C. D.【答案】AC【解析】,故A正確;,故B錯誤;,故C正確;,故D錯誤.故選:AC11.某高中通過甲、乙兩家餐廳給1920名學(xué)生提供午餐,通過調(diào)查發(fā)現(xiàn):開學(xué)后第一天有的學(xué)生到甲餐廳就餐,剩余的學(xué)生到乙餐廳就餐,從第二天起,在前一天選擇甲餐廳就餐的學(xué)生中,次日會有的學(xué)生繼續(xù)選擇甲餐廳,在前一天選擇乙餐廳就餐的學(xué)生中,次日會有的學(xué)生選擇甲餐廳.設(shè)開學(xué)后第天選擇甲餐廳就餐的學(xué)生比例為,則()A.B.是等比數(shù)列C.第100天選擇甲餐廳就餐的學(xué)生比例約為D.開學(xué)后第一個星期(7天)中在甲餐廳就過餐的有5750人次【答案】BCD【解析】對于A,由題意,得,故A錯誤;對于B,,又,所以,所以是以為首項(xiàng),為公比的等比數(shù)列,故B正確;對于C,,即,所以,故C正確;對于D,,又有1920名學(xué)生,所以開學(xué)后第一個星期(7天)中在甲餐廳就過餐的有人次,故D正確.故選:BCD.12.已知函數(shù),則()A.曲線在點(diǎn)處的切線方程是B.函數(shù)有極大值,且極大值點(diǎn)x0C.D.函數(shù)只有1個零點(diǎn)【答案】BD【解析】對A,由,得,則,故曲線在點(diǎn)處的切線方程是,即,故A錯誤;對B,令,則,所以在上單調(diào)遞減,又,所以存在x0∈1,2,使得,即即時,,時,,則在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,所以有極大值,且極大值點(diǎn),故B正確;對C,由以上分析知在上單調(diào)遞減,故,故C錯誤;對D,當(dāng)時,單調(diào)遞增,又在內(nèi)有唯一一個零點(diǎn),當(dāng)時,,則,則在上無零點(diǎn),即只有一個零點(diǎn),故D正確.故選:BD.三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.13.已知橢圓的兩個焦點(diǎn)分別為,點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn),則______.【答案】12【解析】由題意知,所以,又由橢圓的定義,得.故答案為:1214.已知點(diǎn)分別是直線與直線上的點(diǎn),則的取值范圍是______.【答案】【解析】由可知直線,所以當(dāng)且時,有最小值,其最小值為平行直線與的距離,直線的方程可化為,所以,即的取值范圍是.故答案為:15.若函數(shù)在上有且僅有一個極值點(diǎn),則實(shí)數(shù)的最小值是______.【答案】【解析】,令,得,由題意知在區(qū)間上只有一個變號的根,令,則,令,得,當(dāng)時,單調(diào)遞減;當(dāng)時,單調(diào)遞增.又,如圖:所以當(dāng)時,在區(qū)間上只有一個變號的根,即函數(shù)在上有且僅有一個極值點(diǎn)時,的最小值為.故答案為:.16.已知點(diǎn)是離心率為2的雙曲線上的三點(diǎn),直線的斜率分別是,點(diǎn)分別是線段的中點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn),直線的斜率分別是,若,則______.【答案】15【解析】因?yàn)殡p曲線的離心率為2,所以,不妨設(shè),因?yàn)辄c(diǎn)在上,所以,兩式相減,得,因?yàn)辄c(diǎn)是的中點(diǎn),所以,所以,即,所以,同理,因?yàn)椋裕蚀鸢笧椋?5四、解答題:本題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.在等差數(shù)列中,是和的等差中項(xiàng).(1)求的通項(xiàng)公式;(2)若的前項(xiàng)和為,求使成立的最大正整數(shù)的值.解:(1)設(shè)數(shù)列的公差為,因?yàn)?,又是和的等差中?xiàng),所以,即,解得,所以.(2)因?yàn)椋?,由,得,又,所以使成立的最大正整?shù)為44.18.已知函數(shù),且當(dāng)時,有極值-5.(1)求的值;(2)求在上的值域.解:(1)由,得,又當(dāng)時,有極值-5,所以,解得所以,當(dāng)時,單調(diào)遞減;當(dāng)時,單調(diào)遞增.所以當(dāng)時,有極小值.所以.(2)由(1)知.令,得,的值隨的變化情況如下表:-4-134+0-0+單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值-5單調(diào)遞增由表可知在上的最大值為,最小值為,即在上的值域?yàn)椋?9.如圖,在四棱錐中,平面,四邊形是矩形,,,點(diǎn)是的中點(diǎn),點(diǎn)分別是線段上的點(diǎn),且.(1)求證:;(2)求平面與平面夾角的余弦值.解:(1)因?yàn)槠矫妫矫?,且四邊形是矩形,所以兩兩垂直,以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),所在直線分別為軸,軸,軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,根據(jù)題意,因?yàn)?,?所以.因?yàn)?,所以,即.?)由(1)得.設(shè)是平面的一個法向量,則,令,得,所以.因平面,所以平面,所以平面的一個法向量為.因?yàn)?,結(jié)合圖形可得:平面與平面夾角的余弦值為.20.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,且滿足,等差數(shù)列滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)設(shè),求數(shù)列的前項(xiàng)和.解:(1)當(dāng)時,,又,所以.由,得,兩式相減,得,即,所以是首項(xiàng)為2,公比為的等比數(shù)列,因此的通項(xiàng)公式,設(shè)等差數(shù)列的公差為,則由,得,又,所以,解得,所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.(2)由及,得,所以設(shè)前項(xiàng)和為,則.設(shè)的前項(xiàng)和為,則,兩式相減,得,所以.所以.21.已知離心率為的橢圓與拋物線有共同的焦點(diǎn)是橢圓上任意一點(diǎn),且的最小值是1.(1)求橢圓和拋物線的方程;(2)過點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn),與拋物線相交于兩點(diǎn),若,求直線的方程.解:(1)設(shè)橢圓的焦距為,由橢圓的離心率是,得,因?yàn)榈淖钚≈禐?,所以,所以橢圓的方程為.因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為,橢圓與拋物線有共同的焦點(diǎn),所以,所以拋物線的方程為.(2)當(dāng)直線的斜率不存在時,直線的方程為,此時,不符合條件,舍去.當(dāng)直線的斜率存在時,設(shè)直線的方程為,聯(lián)立得,,.所以.聯(lián)立,得,,則,因,所以,解得.所以直線的方程為或.22.已知函數(shù).(1)若在定義域內(nèi)單調(diào)遞增,求
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