河北省石家莊市部分重點(diǎn)高中2024屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河北省石家莊市部分重點(diǎn)高中2024屆高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一?選擇題1.復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限C第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】由題意知，所以該復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，該點(diǎn)在第二象限．故B正確.故選：B.2.若集合，則集合的子集的個(gè)數(shù)為（）A.2 B.3 C.4 D.8【答案】C【解析】，所以集合A的子集的個(gè)數(shù)為4．故選：C.3.已知直線，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】當(dāng)時(shí)，，解得或．當(dāng)時(shí)，與重合，不符合；當(dāng)時(shí)，與不重合，符合，故“”是“”的充要條件．故選：C4.已知，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】，故．故選：D.5.已知分別是橢圓的左?右焦點(diǎn)，是橢圓上一點(diǎn)．若，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)?，則，因?yàn)椋?，解得，即橢圓的離心率為．故選：A.6.在等邊中，，則向量在向量上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題可知，，所以向量在向量上的投影向量為．故選：B7.某圓錐的軸截面是一個(gè)邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，在該圓錐中內(nèi)接一個(gè)圓柱，則該圓柱的側(cè)面積的最大值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意作圖如下：由題設(shè)可知該圓錐的高．設(shè)在該圓錐中內(nèi)接一個(gè)高為的圓柱，該圓柱的底面半徑為，由，則，即，所以，故該圓柱的側(cè)面積，當(dāng)時(shí)，側(cè)面積取得最大值．故選：C.8.已知是圓上的一點(diǎn)，是圓上的一點(diǎn)，直線，過點(diǎn)作與的夾角為的直線，交于點(diǎn)，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，則，所以．因?yàn)榈淖钚≈禐樽鴺?biāo)原點(diǎn)到的距離減去，所以的最小值為，則的最小值為．故C正確.故選：C.二?多選題9.已知，則（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】對(duì)A、B：因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故A正確，B錯(cuò)誤；對(duì)C：若，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故C正確.對(duì)D：若，則，所以，由及，可知，則當(dāng)，即時(shí)，，故D正確.故選:ACD．10.古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯通過研究正五邊形和正十邊形的作圖，發(fā)現(xiàn)了黃金分割率，黃金分割率的值也可以用表示．下列結(jié)果等于黃金分割率的值的是（）A. B.C. D.【答案】AB【解析】，故A正確；故B正確；，故C錯(cuò)誤；．故D錯(cuò)誤；故選：AB.11.已知函數(shù)，且對(duì)恒成立，則（）A.B.的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C.若方程在上有2個(gè)實(shí)數(shù)解，則D.的圖象與直線恰有5個(gè)交點(diǎn)【答案】BCD【解析】對(duì)于A，因?yàn)閷?duì)恒成立，所以的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則，即，解得，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)樵谏嫌?個(gè)實(shí)數(shù)解，所以，解得，故C正確；對(duì)于D，直線經(jīng)過點(diǎn)與，而與分別是函數(shù)的零點(diǎn)與其圖象的最高點(diǎn)，如圖所示：結(jié)合圖象可知的圖象與直線恰有5個(gè)交點(diǎn)，故D正確.故選：BCD．12.在邊長(zhǎng)為1的正方體中,動(dòng)點(diǎn)滿足．下列說法正確的是（）A.四面體的體積為B.若，則的軌跡長(zhǎng)度為C.異面直線與所成角的余弦值的最大值為D.有且僅有三個(gè)點(diǎn)，使得【答案】AC【解析】如圖所示，連接，由，可得點(diǎn)的軌跡在內(nèi)（包括邊界）．因?yàn)槠矫嫫矫?，所以，故A正確．易知平面，設(shè)與平面相交于點(diǎn)．由于，則點(diǎn)到平面的距離為．若，則，即點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，如圖所示，在中，，，設(shè)，由余弦定理得，解得，則，所以的軌跡長(zhǎng)度為，故B錯(cuò)誤．因?yàn)?，所以為異面直線與所成的角，則，所以，故C正確．由三垂線定理可知，又平面，要使得，則點(diǎn)在以為直徑的圓上，所以存在無數(shù)個(gè)點(diǎn)，使得，故D錯(cuò)誤．故選：AC.三?填空題13.已知是等比數(shù)列的前項(xiàng)和，，則__________．【答案】【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，由，可得，即，所以．故答案為：14.點(diǎn)到直線的距離為1，且與圓相切，寫出一個(gè)滿足條件的的方程：__________．【答案】（或，填其中一個(gè)即可）【解析】圓可化為．設(shè)，則．以為圓心，1為半徑作圓，以為圓心，2為半徑作圓，點(diǎn)到直線的距離為1，即直線是圓的切線，又這兩圓相交，所以這兩圓有2條公切線，即符合條件的直線有2條．顯然當(dāng)公切線的斜率存在時(shí)，設(shè)公切線的方程為，則有，得，且，所以或（舍去）．由，得，則公切線的方程為或，所以直線的方程為或．故答案為：（或，填其中一個(gè)即可）.15.若為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與函數(shù)的圖象交于兩點(diǎn)，則__________．【答案】4【解析】因?yàn)?，所以是函?shù)圖象的對(duì)稱中心，則為線段的中點(diǎn)，可得，則．故答案為：4.16.關(guān)于的方程有3個(gè)不等實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是__________．【答案】【解析】由，可得．令，則，因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又當(dāng)趨于時(shí)，趨于0，當(dāng)趨于時(shí)，趨于，當(dāng)時(shí)，，故可作的草圖如圖，記方程的兩根為，，易知，若是方程的根，則，不滿足題意.因?yàn)榉匠逃?個(gè)不等實(shí)數(shù)根，所以，或，當(dāng)時(shí)，得，所以，即異號(hào)，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，則有，得．故的取值范圍為．故答案為：.四?解答題17.在中，邊上一點(diǎn)．（1）若，求的面積；（2）若，求．解：（1）由余弦定理得，即，解得，所以的面積為．（2）因?yàn)椋?，所以?8.在直四棱柱中,,,．（1）證明：平面平面．（2）求平面與平面夾角的余弦值．（1）證明：由題意可知底面，因?yàn)榈酌?，所以．在梯形中，，，可得，又，所以，又，由余弦定理可得，所以，故．因?yàn)?，平面，所以平面，又平面，所以平面平面．?）解：由題意底面，底面，所以，又因?yàn)?，，所以，所以兩兩互相垂直，以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，，．所以．取為平面的一個(gè)法向量．設(shè)平面的法向量為，則，得取，則，得，所以．故平面與平面夾角的余弦值為．19.已知函數(shù)．（1）若函數(shù)的值域?yàn)椋蟮娜≈捣秶?；?）若過點(diǎn)可以作曲線的兩條切線，求的取值范圍．解：（1）令函數(shù)的值域?yàn)椋驗(yàn)榈闹涤驗(yàn)?，所以．?dāng)時(shí)，，符合題意；當(dāng)時(shí)，，解得．綜上，的取值范圍為．（2）在曲線上任取一點(diǎn)，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即．由題意可知，點(diǎn)在直線上，可得．令，則．當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減，所以，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．由題意可知，直線與曲線的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，則，所以的取值范圍為．20.已知數(shù)列滿足．（1）若為等差數(shù)列，求的通項(xiàng)公式；（2）記的前項(xiàng)和為，不等式對(duì)恒成立，求的取值范圍．解：（1）因?yàn)?，所以，兩式相減得．因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，所以的公差．又，所以，解得，則，即的通項(xiàng)公式為．（2）由（1）得，所以不等式可化為，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，則，即，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，則．綜上，的取值范圍為．21.已知橢圓的上?下頂點(diǎn)分別是，點(diǎn)（異于兩點(diǎn)）在橢圓上，直線與的斜率之積為，橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6．（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知，直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，且直線與相交于點(diǎn)，證明：點(diǎn)在定直線上．（1）解：由題意可得，設(shè)，則，所以．因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，所以，則．因?yàn)椋?，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）證明：設(shè)，顯然直線不垂直于軸，設(shè)直線的方程為．由消去得．因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓的內(nèi)部，所以．設(shè)直線的方程為，直線的方程為，所以．由（1）知，可得因此，即點(diǎn)直線上．22.已知，，是關(guān)于x的方程的三個(gè)不同的根，且