滬科版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)期末復(fù)習(xí)考題猜想 專(zhuān)題03 三角形中的邊角關(guān)系（易錯(cuò)必刷28題5種題型）

專(zhuān)題03三角形中的邊角關(guān)系（易錯(cuò)必刷28題5種題型專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練）目錄TOC\o"1-3"\h\u【題型一】三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用（共5題） 1【題型二】與三角形中三線的綜合探究問(wèn)題（共5題） 5【題型三】與角平分線有關(guān)的三角形內(nèi)角和問(wèn)題（共5題） 14【題型四】與角平分線有關(guān)的三角形外角問(wèn)題（共7題） 24【題型五】三角形中新定義型問(wèn)題（共6題） 37【題型一】三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用（共5題）1．（23-24七年級(jí)下·黑龍江哈爾濱·期末）如果a、b、c為一個(gè)三角形的三邊，那么點(diǎn)在第象限．2．（23-24七年級(jí)下·四川成都·期末）已知、、為的三邊長(zhǎng)，、滿足，為方程的解，則的周長(zhǎng)為．3．（22-23八年級(jí)上·河北廊坊·期末）在中，，．(1)若是整數(shù)，求的長(zhǎng)；(2)已知是的中線，若的周長(zhǎng)為10，求的周長(zhǎng)．4．（23-24七年級(jí)下·江蘇宿遷·期末）已知：、、為的三邊長(zhǎng)，且、滿足．(1)求的取值范圍；(2)在（1）的條件下，若，求的取值范圍．5．（23-24八年級(jí)上·四川達(dá)州·期末）（1）如圖，在中，，，，為AB邊上一點(diǎn)，且與的周長(zhǎng)相等，求AD的長(zhǎng)．（2）如圖，在中，，，，為邊上一點(diǎn)，且與的周長(zhǎng)相等；為邊上一點(diǎn)，且與的周長(zhǎng)相等，求（用含，的式子表示）．【題型二】與三角形中三線的綜合探究問(wèn)題（共5題）6．（23-24七年級(jí)下·重慶萬(wàn)州·期末）如圖，在銳角中，兩條高線相交于點(diǎn)O．(1)如圖1，若，求的度數(shù)；(2)如圖2，，，與的角平分線交于點(diǎn)M，求的度數(shù)；(3)如圖3，對(duì)任意的銳角，與的角平分線交于點(diǎn)M，直接寫(xiě)出的度數(shù)是__________．7．（21-22七年級(jí)下·陜西漢中·期末）小明在學(xué)習(xí)過(guò)程中，對(duì)教材中的一個(gè)有趣問(wèn)題做如圖探究：

【習(xí)題回顧】：(1)已知：如圖1，在中，，是角平分線，是高，、相交于點(diǎn)．試說(shuō)明：；【變式思考】：(2)如圖2，在中，，是邊上的高，的外角的平分線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，的反向延長(zhǎng)線與邊的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，若，求和的度數(shù)．8．（22-23七年級(jí)下·四川遂寧·期末）如圖，已知：點(diǎn)分別在的邊上，連接與交于點(diǎn)，．

(1)如圖1，當(dāng)都是的角平分線時(shí)，求的度數(shù)；(2)如圖2，當(dāng)都是的高時(shí)，求的度數(shù)；(3)如圖3，當(dāng)時(shí)，探究與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．9．（22-23七年級(jí)下·河南南陽(yáng)·期末）【圖形定義】有一條高線相等的兩個(gè)三角形稱(chēng)為等高三角形．例如：如圖（1）．在和中，和分別是和邊上的高線，且，則和是等高三角形．

【性質(zhì)探究】如圖（1），用分別表示和的面積．則，∵∴．【性質(zhì)應(yīng)用】(1)如圖②，是的邊上的一點(diǎn)．若，則__________；(2)如圖③，在中，分別是和邊上的點(diǎn)．若，，求和的面積．10．（22-23七年級(jí)下·廣東深圳·期末）“等面積法”是解決三角形內(nèi)部線段長(zhǎng)度的常用方法．如圖1，在中，，作，若，，，可列式：，解得．

(1)在題干的基礎(chǔ)上，①如圖2，點(diǎn)為上一點(diǎn)，作，，設(shè)，，求證：；②如圖3，當(dāng)點(diǎn)在延長(zhǎng)線上時(shí)，猜想、之間又有什么樣的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)證明你的猜想；(2)如圖4，在中，，，，若點(diǎn)是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且，過(guò)點(diǎn)作，點(diǎn)是直線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是直線上一動(dòng)點(diǎn)，連接、，求的最小值．【題型三】與角平分線有關(guān)的三角形內(nèi)角和問(wèn)題（共5題）11．（23-24七年級(jí)下·四川內(nèi)江·期末）如圖，在中，點(diǎn)在上，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，平分，交的平分線于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，的平分線與相交于點(diǎn)．(1)若，，則，；(2)若，當(dāng)?shù)亩葦?shù)發(fā)生變化時(shí)，、的度數(shù)是否發(fā)生變化?若要變化，說(shuō)明理由；若不變化，求出、的度數(shù)(用的代數(shù)式表示)；(3)若中存在一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)內(nèi)角的三倍，請(qǐng)求出的度數(shù)．12．（23-24七年級(jí)下·河北邢臺(tái)·期末）如圖1，圖2，在中，是的角平分線．(1)若，的長(zhǎng)為偶數(shù)，則符合條件的共有個(gè)；(2)如圖1，若F為線段上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F作于點(diǎn)E，，．①求的度數(shù)；②如圖2，若F為線段延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，其余條件不變，直接寫(xiě)出的度數(shù)．13．（24-25八年級(jí)上·全國(guó)·期末）如圖1，線段AD與相交于點(diǎn)O，連接，我們把這樣的圖形稱(chēng)為“8字形”，數(shù)學(xué)興趣課上，老師安排同學(xué)們探索“8字形”中相關(guān)角度的數(shù)量關(guān)系．(1)請(qǐng)通過(guò)觀察、測(cè)量，猜想圖1中與之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)如圖2，奮斗小組在圖1的基礎(chǔ)上，分別作與的平分線交于點(diǎn)P，若，求的度數(shù)；(3)智慧小組在圖1的基礎(chǔ)上，分別作射線，使得，，兩條射線交于點(diǎn)P，請(qǐng)直接寫(xiě)出之間的數(shù)量關(guān)系．14．（23-24七年級(jí)下·遼寧盤(pán)錦·期末）綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以“三角形的角與三角形的特殊線段”為主題開(kāi)展數(shù)學(xué)活動(dòng)．(1)【初步探究】在中，，作的平分線交于點(diǎn)D．在圖1中，作于E，求的度數(shù)；(2)【遷移探究】在中，，作的平分線交于點(diǎn)D．如圖2，在上任取點(diǎn)F，作，垂足為點(diǎn)E，直接寫(xiě)出的度數(shù)；(3)【拓展應(yīng)用】如圖③，在中，平分，點(diǎn)F在的延長(zhǎng)線上，于E，求出與之間的數(shù)量關(guān)系．15．（23-24七年級(jí)下·江蘇徐州·期末）分析探究．(1)如圖1，已知，求證：．(2)如圖2，已知，求證：．(3)如圖3，已知，平分，平分，若，求的度數(shù)．(4)如圖4，已知，平分，平分，平分，平分，平分，平分，若，則的度數(shù)為_(kāi)__________；（用含的代數(shù)式表示）【題型四】與角平分線有關(guān)的三角形外角問(wèn)題（共7題）16．（23-24八年級(jí)上·甘肅酒泉·期末）如圖，是的外角，的平分線與的平分線交于點(diǎn)，的平分線與的平分線交于點(diǎn)．(1)試確定與之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)若，求的度數(shù)．17．（23-24七年級(jí)上·全國(guó)·期末）如圖，在中，點(diǎn)是延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，平分，平分，與交于點(diǎn)．(1)如圖，若，求的度數(shù)；(2)如圖，連結(jié)，若，試說(shuō)明：．18．（23-24八年級(jí)上·四川達(dá)州·期末）已知，點(diǎn)E是的邊上的一點(diǎn)，．請(qǐng)?jiān)谙旅娴腁，B兩題中任選一題作答，我選擇．A．如圖1，若平分，交于點(diǎn)D，交于點(diǎn)F．求證：；B．如圖2，若平分的外角，交邊的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．19．（23-24七年級(jí)下·湖南衡陽(yáng)·期末）如圖，已知線段相交于點(diǎn)，連接，則我們把形如這樣的圖形稱(chēng)為“字型”．(1)求證：；(2)如圖所示，，則的度數(shù)為_(kāi)_____；(3)如圖，若和的平分線和相交于點(diǎn)，且與，分別相交于點(diǎn)，，，若，，求的度數(shù)．20．（23-24八年級(jí)下·全國(guó)·期末）（1）如圖1，在中，，是角平分線，是高，、相交于點(diǎn)F，與的數(shù)量關(guān)系為．（2）如圖2，在中，，是邊上的高，若的外角的平分線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，其反向延長(zhǎng)線與邊的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E．探究與的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由；（3）如圖3，在中，邊上存在一點(diǎn)D，使得，的平分線交于點(diǎn)F，交于E．的外角的平分線所在直線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M．請(qǐng)補(bǔ)全圖形并直接寫(xiě)出與的數(shù)量關(guān)系．21．（23-24七年級(jí)下·江蘇淮安·期末）長(zhǎng)方形紙帶（足夠長(zhǎng)）上，如圖1中，頂點(diǎn)落在邊上，頂點(diǎn)落在邊上，使，，的平分線交邊于點(diǎn)，的平分線交邊于點(diǎn)．

(1)如圖1，若時(shí)，則________°；(2)點(diǎn)在邊上、在邊上移動(dòng)過(guò)程過(guò)程中，的值是否變化，如不變化，請(qǐng)寫(xiě)出這個(gè)定值并說(shuō)明理由；(3)如圖2，的外角中，射線和交于點(diǎn)，且分別使得，，當(dāng)四邊形中，有一邊與平行時(shí)，直接寫(xiě)出的度數(shù)________°．22．（22-23七年級(jí)下·江蘇徐州·期末）已知在中，，過(guò)點(diǎn)D作，垂足為E，為的一條角平分線，為的平分線．(1)如圖1，若，點(diǎn)G在邊上且不與點(diǎn)B重合．①判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由，②判斷與的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)如圖2，若，點(diǎn)G在邊上，與交于點(diǎn)M，用含有的代數(shù)式表示，則；(3)如圖3，若，點(diǎn)G在邊上，與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)H，用含有的代數(shù)式表示，并說(shuō)明理由．【題型五】三角形中新定義型問(wèn)題（共6題）23．（23-24七年級(jí)下·河南南陽(yáng)·期末）【概念認(rèn)識(shí)】如圖①，在中，若，則、叫做的“三分線”，其中，是“鄰三分線”，是“鄰三分線”．【問(wèn)題解決】

(1)如圖①，，、是的“三分線”，則；(2)如圖②，在中，，，若的“三分線”交于點(diǎn)D，則；(3)如圖③，在中，、分別是鄰“三分線”和鄰“三分線”，且，求的度數(shù)．24．（23-24七年級(jí)下·遼寧朝陽(yáng)·期末）我們定義：在一個(gè)三角形中，如果有一個(gè)角的度數(shù)是另一個(gè)角度數(shù)的3倍，那么這樣的三角形我們稱(chēng)之為“完美三角形”．如：三個(gè)內(nèi)角分別為的三角形是“完美三角形”．(1)如圖1，，在射線上找一點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)A作交于點(diǎn)B．則______°，______“完美三角形”（填“是”或“不是”）；(2)如圖2，為鈍角，點(diǎn)D在的邊上，連接，作的平分線交于點(diǎn)E，在上取一點(diǎn)F，使，，請(qǐng)問(wèn)與是否平行？并說(shuō)明理由．(3)若是“完美三角形”，求的度數(shù)．25．（23-24七年級(jí)下·廣東深圳·期末）定義：在一個(gè)三角形中，如果有一個(gè)角是另一個(gè)角的，我們稱(chēng)這兩個(gè)角互為“和諧角”，這個(gè)三角形叫做“和諧三角形”．例如：在中，如果，，那么與互為“和諧角”，為“和諧三角形”．(1)如圖1，中，，，點(diǎn)D是線段上一點(diǎn)（不與A、B重合），連接．①_______（填“是”或“不是”）“和諧三角形”；②若，請(qǐng)判斷是否為“和諧三角形”？并說(shuō)明理由．(2)如圖2，中，，，點(diǎn)D是線段上一點(diǎn)（不與A、B重合），連接，若是“和諧三角形”，請(qǐng)直接寫(xiě)出_______．26．（23-24七年級(jí)下·江蘇泰州·期末）定義：在一個(gè)三角形中，如果一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)比另一個(gè)內(nèi)角度數(shù)大，那么這樣的三角形我們稱(chēng)為“似黃金三角形”，其中稱(chēng)為“黃金角”．例如：一個(gè)三角形三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別是，這個(gè)三角形就是“似黃金三角形”，其中為“黃金角”．(1)一個(gè)“似黃金三角形”的一個(gè)內(nèi)角為，若“黃金角”為銳角，則這個(gè)“黃金角”的度數(shù)為_(kāi)_____．(2)如圖，在中，，，為線段上一點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)、點(diǎn)重合）．若是“似黃金三角形”，求的度數(shù)．(3)如圖，中，點(diǎn)在邊上，平分交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，且．若和都是“似黃金三角形”，直接寫(xiě)出的度數(shù)．27．（23-24七年級(jí)下·湖南衡陽(yáng)·期末）【定義】如果兩個(gè)角的差為，就稱(chēng)這兩個(gè)角互為“創(chuàng)新角”，其中一個(gè)角叫做另一個(gè)角的“創(chuàng)新角”．例如：，，，則和互為“創(chuàng)新角”，即是的“創(chuàng)新角”，也是的“創(chuàng)新角”．(1)已知和互為“創(chuàng)新角”，且，若和互補(bǔ)，則___________；(2)如圖1所示，在中，，過(guò)點(diǎn)作的平行線，的平分線分別交、于、兩點(diǎn)．①若，且和互為“創(chuàng)新角”，則___________；②如圖2所示，過(guò)點(diǎn)作的垂線，垂足為，、相交于點(diǎn)．若與互為“創(chuàng)新角”，求的度數(shù)；③如圖3所示，的平分線交于點(diǎn)，當(dāng)和互為“創(chuàng)新角”時(shí)，則__________．28．（23-24七年級(jí)下·北京房山·期末）在平面內(nèi)，對(duì)于和，給出如下定義：若存在一個(gè)常數(shù)，使得，則稱(chēng)∠Q是∠P的“t系數(shù)補(bǔ)角”．例如，，有，則是的“5系數(shù)補(bǔ)角”．

(1)若，在中，的“3系數(shù)補(bǔ)角”是________；(2)在平面內(nèi)，，點(diǎn)E為直線上一點(diǎn)，點(diǎn)F為直線上一點(diǎn)．①如圖1，點(diǎn)G為平面內(nèi)一點(diǎn)，連接，，若是的“6系數(shù)補(bǔ)角”，求的大?。谌鐖D2，連接．若H為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)H不在直線上），與兩個(gè)角的平分線交于點(diǎn)M．若，，是的“2系數(shù)補(bǔ)角”，直接寫(xiě)出的大小的所有情況（用含和的代數(shù)式表示），并寫(xiě)出其中一種情況的求解過(guò)程．

專(zhuān)題03三角形中的邊角關(guān)系（易錯(cuò)必刷28題5種題型專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練）目錄TOC\o"1-3"\h\u【題型一】三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用（共5題） 1【題型二】與三角形中三線的綜合探究問(wèn)題（共5題） 5【題型三】與角平分線有關(guān)的三角形內(nèi)角和問(wèn)題（共5題） 14【題型四】與角平分線有關(guān)的三角形外角問(wèn)題（共7題） 24【題型五】三角形中新定義型問(wèn)題（共6題） 37【題型一】三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用（共5題）1．（23-24七年級(jí)下·黑龍江哈爾濱·期末）如果a、b、c為一個(gè)三角形的三邊，那么點(diǎn)在第象限．【答案】二【知識(shí)點(diǎn)】三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用、判斷點(diǎn)所在的象限【分析】本題考查了三角形的三邊關(guān)系及點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，首先根據(jù)三角形的三邊關(guān)系判斷點(diǎn)P的縱坐標(biāo)的符號(hào)，然后根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)的特點(diǎn)確定點(diǎn)P的位置即可．【詳解】解：∵a、b、c為一個(gè)三角形的三邊，∴，∴，∴點(diǎn)在第二象限，故答案為：二．2．（23-24七年級(jí)下·四川成都·期末）已知、、為的三邊長(zhǎng)，、滿足，為方程的解，則的周長(zhǎng)為．【答案】12【知識(shí)點(diǎn)】有理數(shù)冪的概念理解、絕對(duì)值非負(fù)性、三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用、絕對(duì)值方程【分析】本題考查了三角形三邊關(guān)系以及絕對(duì)值的性質(zhì)和偶次方的性質(zhì)等知識(shí)，利用絕對(duì)值的性質(zhì)以及偶次方的性質(zhì)得出b、c的值，再解絕對(duì)值方程可得a的值，進(jìn)而利用三角形三邊關(guān)系得出a的值，進(jìn)而求出的周長(zhǎng)．【詳解】解∶∵，∴，，∴，，∵為方程的解，∴或2，又，∴，∴的周長(zhǎng)為，故答案為∶12．3．（22-23八年級(jí)上·河北廊坊·期末）在中，，．(1)若是整數(shù)，求的長(zhǎng)；(2)已知是的中線，若的周長(zhǎng)為10，求的周長(zhǎng)．【答案】(1)；(2)17【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)三角形中線求長(zhǎng)度、三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用【分析】本題考查的是三角形的三邊關(guān)系、三角形的中線的定義，掌握三角形兩邊之和大于第三邊、兩邊之差小于第三邊是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)三角形的三邊關(guān)系解答即可；（2）根據(jù)三角形的中線的定義得到，根據(jù)三角形的周長(zhǎng)公式計(jì)算，得到答案．【詳解】（1）解：由題意得：，，是整數(shù)，；（2）解：是的中線，，的周長(zhǎng)為10，，，，的周長(zhǎng)4．（23-24七年級(jí)下·江蘇宿遷·期末）已知：、、為的三邊長(zhǎng)，且、滿足．(1)求的取值范圍；(2)在（1）的條件下，若，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】求不等式組的解集、三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用、絕對(duì)值非負(fù)性、加減消元法【分析】本題考查絕對(duì)值的非負(fù)性、平方的非負(fù)性和三角形三邊關(guān)系，解一元一次不等式，解題的關(guān)鍵是利用非負(fù)性求出，的值．（1）利用非負(fù)性求出，的值，再利用三角形三邊關(guān)系，即可求解；（2）根據(jù)第題意，列出不等式求解即可．【詳解】（1）解：∵，，解得a=2，，，，∴．（2）解：∵，．5．（23-24八年級(jí)上·四川達(dá)州·期末）（1）如圖，在中，，，，為AB邊上一點(diǎn)，且與的周長(zhǎng)相等，求AD的長(zhǎng)．（2）如圖，在中，，，，為邊上一點(diǎn)，且與的周長(zhǎng)相等；為邊上一點(diǎn)，且與的周長(zhǎng)相等，求（用含，的式子表示）．【答案】（1）；（2）．【知識(shí)點(diǎn)】三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用、其他問(wèn)題(一元一次方程的應(yīng)用)、運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行運(yùn)算、計(jì)算多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式【分析】（1）根據(jù)與的周長(zhǎng)相等可得出，再由，聯(lián)立求解方程組即可解出AD的長(zhǎng)；（2）設(shè)，則，根據(jù)與的周長(zhǎng)相等得出，從而設(shè)，可得出的表達(dá)式，設(shè)，可得出的表達(dá)式，進(jìn)而求出的值．【詳解】解：（1）∵與的周長(zhǎng)相等，∴，即，∴，∵，∴，解得；（2）設(shè)，則，∵與的周長(zhǎng)相等，∴，設(shè)，∴，∴，設(shè)，同理可得，∴，∵即，∴．【點(diǎn)睛】此題考查了一元一次方程的應(yīng)用，完全平方公式及多項(xiàng)式的乘法以及線段的和差關(guān)系，解答本題的關(guān)鍵是仔細(xì)審題，細(xì)化解題思路，難度較大．【題型二】與三角形中三線的綜合探究問(wèn)題（共5題）6．（23-24七年級(jí)下·重慶萬(wàn)州·期末）如圖，在銳角中，兩條高線相交于點(diǎn)O．(1)如圖1，若，求的度數(shù)；(2)如圖2，，，與的角平分線交于點(diǎn)M，求的度數(shù)；(3)如圖3，對(duì)任意的銳角，與的角平分線交于點(diǎn)M，直接寫(xiě)出的度數(shù)是__________．【答案】(1)的度數(shù)為；(2)；(3)【知識(shí)點(diǎn)】與角平分線有關(guān)的三角形內(nèi)角和問(wèn)題、與三角形的高有關(guān)的計(jì)算問(wèn)題【分析】本題考查了與角平分線有關(guān)的三角形內(nèi)角和定理，三角形的高．（1）利用垂直的性質(zhì)求得，，再利用三角形內(nèi)角和定理即可求解；（2）利用垂直的性質(zhì)結(jié)合角平分線有關(guān)的三角形內(nèi)角和定理，計(jì)算即可求解；（3）同（2）計(jì)算即可求解．【詳解】（1）解：∵銳角中，兩條高線相交于點(diǎn)O，∴，，∴，答：的度數(shù)為；（2）解：∵，，∴，，∵與的角平分線交于點(diǎn)M，∴，，∴；∴；（3）解：∵銳角中，兩條高線相交于點(diǎn)O，∴，，∵與的角平分線交于點(diǎn)M，∴，，∴；∴．7．（21-22七年級(jí)下·陜西漢中·期末）小明在學(xué)習(xí)過(guò)程中，對(duì)教材中的一個(gè)有趣問(wèn)題做如圖探究：

【習(xí)題回顧】：(1)已知：如圖1，在中，，是角平分線，是高，、相交于點(diǎn)．試說(shuō)明：；【變式思考】：(2)如圖2，在中，，是邊上的高，的外角的平分線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，的反向延長(zhǎng)線與邊的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，若，求和的度數(shù)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)，【知識(shí)點(diǎn)】與三角形的高有關(guān)的計(jì)算問(wèn)題、三角形的外角的定義及性質(zhì)、與角平分線有關(guān)的三角形內(nèi)角和問(wèn)題【分析】（1）先證明，，再結(jié)合三角形的外角的性質(zhì)可得結(jié)論；（2）先求解，結(jié)合角平分線可得，證明，再利用三角形的內(nèi)角和定理可得答案．【詳解】（1）解：，是高，，，，是角平分線，，，，．（2），，，為的角平分線，，為邊上的高，，，又，，．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的高，角平分線的含義，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，三角形的外角的性質(zhì)，熟練的利用三角形的外角的性質(zhì)解題是關(guān)鍵．8．（22-23七年級(jí)下·四川遂寧·期末）如圖，已知：點(diǎn)分別在的邊上，連接與交于點(diǎn)，．

(1)如圖1，當(dāng)都是的角平分線時(shí)，求的度數(shù)；(2)如圖2，當(dāng)都是的高時(shí)，求的度數(shù)；(3)如圖3，當(dāng)時(shí)，探究與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)(3)，見(jiàn)解析【知識(shí)點(diǎn)】與角平分線有關(guān)的三角形內(nèi)角和問(wèn)題、與三角形的高有關(guān)的計(jì)算問(wèn)題、三角形的外角的定義及性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義可得，結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理，得出，，進(jìn)而推出，即可求解；（2）根據(jù)BD，CE都是的高，可得出，進(jìn)而得出，根據(jù)，則，求解即可；（3）根據(jù)三角形的外角定理可得，，根據(jù)，，得出，求出，，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：∵BD，CE都是的角平分線，∴，，∴，∵，，∴∴；（2）解：∵BD，CE都是的高，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴．（3）解：，理由如下：∵，∴，∴．∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∴．【點(diǎn)睛】此題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理、三角形的外角的性質(zhì)、三角形角平分線的定義、四邊形的內(nèi)角和、三角形的高等知識(shí)，熟練掌握角之間的相互轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵．9．（22-23七年級(jí)下·河南南陽(yáng)·期末）【圖形定義】有一條高線相等的兩個(gè)三角形稱(chēng)為等高三角形．例如：如圖（1）．在和中，和分別是和邊上的高線，且，則和是等高三角形．

【性質(zhì)探究】如圖（1），用分別表示和的面積．則，∵∴．【性質(zhì)應(yīng)用】(1)如圖②，是的邊上的一點(diǎn)．若，則__________；(2)如圖③，在中，分別是和邊上的點(diǎn)．若，，求和的面積．【答案】(1)(2)，【知識(shí)點(diǎn)】與三角形的高有關(guān)的計(jì)算問(wèn)題【分析】（1）根據(jù)等高的兩三角形面積的比等于底的比，直接求出答案．（2）根據(jù)和是等高三角形和和是等高三角形即可知道三角形的面積比即底的比，從而求出面積，【詳解】（1）3∶4；

解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作，則．（2）和是等高三角形，，；和是等高三角形，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形的面積公式，理解等高的兩個(gè)三角形的面積比等于底的比是解題的關(guān)鍵．10．（22-23七年級(jí)下·廣東深圳·期末）“等面積法”是解決三角形內(nèi)部線段長(zhǎng)度的常用方法．如圖1，在中，，作，若，，，可列式：，解得．

(1)在題干的基礎(chǔ)上，①如圖2，點(diǎn)為上一點(diǎn)，作，，設(shè)，，求證：；②如圖3，當(dāng)點(diǎn)在延長(zhǎng)線上時(shí)，猜想、之間又有什么樣的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)證明你的猜想；(2)如圖4，在中，，，，若點(diǎn)是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且，過(guò)點(diǎn)作，點(diǎn)是直線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是直線上一動(dòng)點(diǎn)，連接、，求的最小值．【答案】(1)①見(jiàn)解析；②猜想：，證明見(jiàn)解析(2)【知識(shí)點(diǎn)】與三角形的高有關(guān)的計(jì)算問(wèn)題、垂線段最短【分析】（1）①根據(jù)，代入數(shù)據(jù)即可求解；②作，，根據(jù)，代入數(shù)據(jù)即可求解；（2）作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，則，，過(guò)作于，過(guò)作于，根據(jù)求得，進(jìn)而根據(jù)求得，由，可得當(dāng)，，共線，且時(shí)，和最小，最小值為的長(zhǎng)，即可求解．【詳解】（1）①∵∴即

∴②猜想：理由如下：，作，，∵即即∴

（2）作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，∴，∵點(diǎn)在延長(zhǎng)線上，則、、、共線，∴，過(guò)作于，過(guò)作于，∵∴∴∵即∴∵當(dāng)，，共線，且時(shí)，和最小，最小值為的長(zhǎng)，此時(shí)

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形高的定義，垂線段最短，熟練掌握等面積法求線段的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．【題型三】與角平分線有關(guān)的三角形內(nèi)角和問(wèn)題（共5題）11．（23-24七年級(jí)下·四川內(nèi)江·期末）如圖，在中，點(diǎn)在上，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，平分，交的平分線于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，的平分線與相交于點(diǎn)．(1)若，，則，；(2)若，當(dāng)?shù)亩葦?shù)發(fā)生變化時(shí)，、的度數(shù)是否發(fā)生變化?若要變化，說(shuō)明理由；若不變化，求出、的度數(shù)(用的代數(shù)式表示)；(3)若中存在一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)內(nèi)角的三倍，請(qǐng)求出的度數(shù)．【答案】(1)；(2)；(3)或或或【知識(shí)點(diǎn)】與平行線有關(guān)的三角形內(nèi)角和問(wèn)題、與角平分線有關(guān)的三角形內(nèi)角和問(wèn)題【分析】本題考查平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)．利用數(shù)形結(jié)合和分類(lèi)討論的思想是解題關(guān)鍵．（1）由平行線的性質(zhì)，角平分線的定義結(jié)合三角形內(nèi)角和定理即可求解；（2）同理由平行線的性質(zhì)，角平分線的定義結(jié)合三角形內(nèi)角和定理即可求解；（3）設(shè)，由（2）可知，．再由不變，即可分類(lèi)討論①當(dāng)時(shí)，②當(dāng)時(shí)，③當(dāng)時(shí)和④當(dāng)時(shí)，分別列出關(guān)于的等式，解出即可．【詳解】（1）解：∵，，∴．∵平分，∴．∵，∴，．∵平分，∴．∴；∴．∵平分，平分，∴，．∵，∴，即，∴．故答案為：，；（2）解：∵，∴．∵，∴，．∵平分，平分，∴，．∴．∴．由（）可知不變，∴．（3）解：設(shè)，由（2）可知，．∵，∴可分類(lèi)討論：①當(dāng)時(shí)，∴，解得：，∴；②當(dāng)時(shí)，∴，解得：，∴；③當(dāng)時(shí)，∴，解得：，∴；④當(dāng)時(shí)，∴，解得：，∴．綜上可知或或或．12．（23-24七年級(jí)下·河北邢臺(tái)·期末）如圖1，圖2，在中，是的角平分線．(1)若，的長(zhǎng)為偶數(shù)，則符合條件的共有個(gè)；(2)如圖1，若F為線段上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F作于點(diǎn)E，，．①求的度數(shù)；②如圖2，若F為線段延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，其余條件不變，直接寫(xiě)出的度數(shù)．【答案】(1)2(2)①；②【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)平行線判定與性質(zhì)求角度、與角平分線有關(guān)的三角形內(nèi)角和問(wèn)題、確定第三邊的取值范圍【分析】本題考查了三角形三條邊的關(guān)系，（1）先三角形三邊的關(guān)系求出的取值范圍，再根據(jù)的長(zhǎng)為偶數(shù)求解即可；（2）①過(guò)點(diǎn)A作于M，先求出，由角平分線的定義得，進(jìn)而可求出，求出，進(jìn)而可求出的度數(shù)；②過(guò)點(diǎn)A作于M，由①可知，根據(jù)可求出的度數(shù)．【詳解】（1）∵，∴，∴，∵的長(zhǎng)為偶數(shù)，∴或6，∴符合條件的共有2個(gè)，故答案為：2；（2）①如圖1，過(guò)點(diǎn)A作于M，在中，，∵是的角平分線，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴；②過(guò)點(diǎn)A作于M，由①可知，∵，∴，∴．13．（24-25八年級(jí)上·全國(guó)·期末）如圖1，線段AD與相交于點(diǎn)O，連接，我們把這樣的圖形稱(chēng)為“8字形”，數(shù)學(xué)興趣課上，老師安排同學(xué)們探索“8字形”中相關(guān)角度的數(shù)量關(guān)系．(1)請(qǐng)通過(guò)觀察、測(cè)量，猜想圖1中與之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)如圖2，奮斗小組在圖1的基礎(chǔ)上，分別作與的平分線交于點(diǎn)P，若，求的度數(shù)；(3)智慧小組在圖1的基礎(chǔ)上，分別作射線，使得，，兩條射線交于點(diǎn)P，請(qǐng)直接寫(xiě)出之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)，理由見(jiàn)解析(2)(3)【知識(shí)點(diǎn)】角n等分線的有關(guān)計(jì)算、與角平分線有關(guān)的三角形內(nèi)角和問(wèn)題、角平分線的有關(guān)計(jì)算【分析】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，角平分線定義，對(duì)頂角相等，理解題意靈活運(yùn)用題中得出的“字形”性質(zhì)，是解答本題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和對(duì)頂角相等結(jié)合等式性質(zhì)即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)角平分線的定義得到，，再根據(jù)“8字形”得到，兩等式相減得到，即，即可求解；（3）根據(jù)，可得，，再由三角形內(nèi)角和定理和對(duì)頂角相等，可得，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：，證明：，，又，；（2）解：平分，平分，，，由“8字形”得到，兩等式相減得到，即，，；（3）解：，，，，，由“8字形”得到，，，，．14．（23-24七年級(jí)下·遼寧盤(pán)錦·期末）綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以“三角形的角與三角形的特殊線段”為主題開(kāi)展數(shù)學(xué)活動(dòng)．(1)【初步探究】在中，，作的平分線交于點(diǎn)D．在圖1中，作于E，求的度數(shù)；(2)【遷移探究】在中，，作的平分線交于點(diǎn)D．如圖2，在上任取點(diǎn)F，作，垂足為點(diǎn)E，直接寫(xiě)出的度數(shù)；(3)【拓展應(yīng)用】如圖③，在中，平分，點(diǎn)F在的延長(zhǎng)線上，于E，求出與之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)(2)(3)【知識(shí)點(diǎn)】與角平分線有關(guān)的三角形內(nèi)角和問(wèn)題、直角三角形的兩個(gè)銳角互余、角平分線的有關(guān)計(jì)算【分析】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，角平分線性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，可求得，由平分，得到，又根據(jù)，可得，由此可求得；（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，可求得，由平分，得到，由三角形內(nèi)角和定理求得，再根據(jù)，利用直角三角形兩銳角互余，即可求得；（3）同理，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和平分，得到，，再結(jié)合，利用直角三角形兩銳角互余，即可求得．【詳解】（1）解：在中，，，平分，，，，，，．（2）解：在中，，，平分.，，在中，，，，，．（3）解：在中，，平分，，在中，，.15．（23-24七年級(jí)下·江蘇徐州·期末）分析探究．(1)如圖1，已知，求證：．(2)如圖2，已知，求證：．(3)如圖3，已知，平分，平分，若，求的度數(shù)．(4)如圖4，已知，平分，平分，平分，平分，平分，平分，若，則的度數(shù)為_(kāi)__________；（用含的代數(shù)式表示）【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析(3)(4)【知識(shí)點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用、角平分線的有關(guān)計(jì)算、根據(jù)平行線判定與性質(zhì)證明、圖形類(lèi)規(guī)律探索【分析】此題考查了平行線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理及圖形的變化類(lèi)，解答此題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確識(shí)圖，熟練掌握平行線的性質(zhì)，難點(diǎn)是用類(lèi)比的思想解決第（3）、（4）小題，以及歸納總結(jié)出，，，……，之間的規(guī)律．（1）過(guò)點(diǎn)A作．利用平行線的性質(zhì)得出．根據(jù)平角等于180度，即可得出結(jié)論；（2）過(guò)點(diǎn)B作，則，根據(jù)平行線的性質(zhì)得，，據(jù)此結(jié)合圖形可得出結(jié)論；（3）根據(jù)角平分線的定義得，，再由（2）的結(jié)論得，然后根據(jù)四邊形的內(nèi)角和等于得，則，據(jù)此可求出的度數(shù)；（4）根據(jù)（2）的結(jié)論可知，，據(jù)此可得，再由（3）可知，據(jù)此得，同理，……，以此類(lèi)推可得出的度數(shù)．【詳解】（1）過(guò)點(diǎn)A作．∴．∵，∴．（2）過(guò)點(diǎn)B作，∵，∴，∴，，∴，即：．（3）∵平分，平分，∴，，由（2）可知：，∴，由四邊形的內(nèi)角和等于得：，即：，∴，∵，∴；（4）∵平分，平分，∴，，由（2）可知：，，，由（3）可知：，又，，，同理，，……，以此類(lèi)推，．故答案為：．【題型四】與角平分線有關(guān)的三角形外角問(wèn)題（共7題）16．（23-24八年級(jí)上·甘肅酒泉·期末）如圖，是的外角，的平分線與的平分線交于點(diǎn)，的平分線與的平分線交于點(diǎn)．(1)試確定與之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)若，求的度數(shù)．【答案】(1)，理由見(jiàn)解析(2)【知識(shí)點(diǎn)】三角形的外角的定義及性質(zhì)、角平分線的有關(guān)計(jì)算【分析】本題考查了角平分線，三角形外角的性質(zhì)等知識(shí)．熟練掌握角平分線，三角形外角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）由是的平分線，是的平分線可得，，由，可得，進(jìn)而可得；（2）同理（1）可得，進(jìn)而可求的度數(shù)．【詳解】（1）解：，理由如下；∵是的平分線，是的平分線，∴，，又∵，∴，∴；（2）解：同理（1）可得，∴，∴，∴的度數(shù)為．17．（23-24七年級(jí)上·全國(guó)·期末）如圖，在中，點(diǎn)是延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，平分，平分，與交于點(diǎn)．(1)如圖，若，求的度數(shù)；(2)如圖，連結(jié)，若，試說(shuō)明：．【答案】(1)(2)見(jiàn)解析【知識(shí)點(diǎn)】三角形的外角的定義及性質(zhì)、根據(jù)平行線判定與性質(zhì)證明、角平分線的有關(guān)計(jì)算【分析】本題考查了平行線的判定及性質(zhì)、角平分線的定義以及三角形外角的性質(zhì)，利用平行線的性質(zhì)找出相等（或互補(bǔ)）的角是關(guān)鍵．（1）在圖中添加點(diǎn)M，由結(jié)合外角的性質(zhì)可得出，再根據(jù)角平分線的定義可得出，由此可得出，從而得出，根據(jù)的度數(shù)即可得出結(jié)論；（2）由（1）知：，，再結(jié)合已知．即可得出，根據(jù)平行線的判定定理即可證明．【詳解】（1）解：如圖1所示．∵，∴，．∵平分，平分，∴，，∴，∴．（2）證明：如圖2，

由（2）知：，，∵，∴．18．（23-24八年級(jí)上·四川達(dá)州·期末）已知，點(diǎn)E是的邊上的一點(diǎn)，．請(qǐng)?jiān)谙旅娴腁，B兩題中任選一題作答，我選擇．A．如圖1，若平分，交于點(diǎn)D，交于點(diǎn)F．求證：；B．如圖2，若平分的外角，交邊的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【答案】選擇A：證明見(jiàn)解析；選擇B：，理由見(jiàn)解析【知識(shí)點(diǎn)】三角形的外角的定義及性質(zhì)、角平分線的有關(guān)計(jì)算【分析】本題主要考查了三角形外角的性質(zhì)，角平分線的定義：選擇A：首先根據(jù)角平分線的定義可得，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得，進(jìn)而得到；選擇B：首先根據(jù)角平分線的定義可得，再根據(jù)等量代換可得，然后再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得，進(jìn)而得．【詳解】證明：選擇A：∵平分，∴，∵，，，∴；選擇B：，理由如下：∵平分，∴，∵

∴，∵，，，∴．19．（23-24七年級(jí)下·湖南衡陽(yáng)·期末）如圖，已知線段相交于點(diǎn)，連接，則我們把形如這樣的圖形稱(chēng)為“字型”．(1)求證：；(2)如圖所示，，則的度數(shù)為_(kāi)_____；(3)如圖，若和的平分線和相交于點(diǎn)，且與，分別相交于點(diǎn)，，，若，，求的度數(shù)．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)；(3)．【知識(shí)點(diǎn)】角平分線的有關(guān)計(jì)算、三角形的外角的定義及性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用【分析】（）根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可得到結(jié)論；（）由三角形外角性質(zhì)得，，則，由三角形外角性質(zhì)得，則，所以，又由三角形外角性質(zhì)得，則，即可求解；（）根據(jù)角平分線的定義得到，，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到，，兩等式相加得到，即，然后把，代入計(jì)算即可；本題考查了三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義，三角形的外角性質(zhì)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）證明：∵，，∵，∴；（2）如圖，∵，，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，故答案為：；（3）解：以為交點(diǎn)“字型”中，有，以為交點(diǎn)“字型”中，有，∴，∵分別平分和，∴，，∴，∵，，∴．20．（23-24八年級(jí)下·全國(guó)·期末）（1）如圖1，在中，，是角平分線，是高，、相交于點(diǎn)F，與的數(shù)量關(guān)系為．（2）如圖2，在中，，是邊上的高，若的外角的平分線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，其反向延長(zhǎng)線與邊的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E．探究與的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由；（3）如圖3，在中，邊上存在一點(diǎn)D，使得，的平分線交于點(diǎn)F，交于E．的外角的平分線所在直線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M．請(qǐng)補(bǔ)全圖形并直接寫(xiě)出與的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）（2），詳見(jiàn)解析（3）詳見(jiàn)解析，【知識(shí)點(diǎn)】三角形的外角的定義及性質(zhì)、與角平分線有關(guān)的三角形內(nèi)角和問(wèn)題【分析】本題考查的是三角形的外角的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，掌握三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)證明；（2）根據(jù)角平分線的定義、直角三角形的性質(zhì)解答；（3）根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)，角平分線的定義、直角三角形的性質(zhì)解答即可；【詳解】（1）解：，是高，是角平分線，故答案為：；（2）解：，理由如下：為的角平分線，是邊上的高，，，；（3）解：，理由如下：如圖：三點(diǎn)共線，為角平分線，，，，21．（23-24七年級(jí)下·江蘇淮安·期末）長(zhǎng)方形紙帶（足夠長(zhǎng)）上，如圖1中，頂點(diǎn)落在邊上，頂點(diǎn)落在邊上，使，，的平分線交邊于點(diǎn)，的平分線交邊于點(diǎn)．

(1)如圖1，若時(shí)，則________°；(2)點(diǎn)在邊上、在邊上移動(dòng)過(guò)程過(guò)程中，的值是否變化，如不變化，請(qǐng)寫(xiě)出這個(gè)定值并說(shuō)明理由；(3)如圖2，的外角中，射線和交于點(diǎn)，且分別使得，，當(dāng)四邊形中，有一邊與平行時(shí)，直接寫(xiě)出的度數(shù)________°．【答案】(1)(2)的值不會(huì)變化，理由見(jiàn)詳解(3)60°或或【知識(shí)點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用、角平分線的有關(guān)計(jì)算、三角形的外角的定義及性質(zhì)、根據(jù)平行線的性質(zhì)求角的度數(shù)【分析】本題主要考查平行線的性質(zhì)，角平分線，三角形內(nèi)角和外角和定理，解一元一次方程等知識(shí)的綜合，掌握平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和外角和定理，角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)平角的性質(zhì)可得，，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，由此可得的度數(shù)，在中，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可求解；（2）由（1）的證明可得是定值，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可求解；（3）根據(jù)題意，分類(lèi)討論：當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)；根據(jù)平行線的性質(zhì)，等腰三角形的的性質(zhì)，解一元一次方程的方法即可求解．【詳解】（1）解：根據(jù)圖示，點(diǎn)三點(diǎn)共線，點(diǎn)共線，∵，∴，∵平分，平分，，∴，，∴，∴，在中，，∴，故答案為：；（2）解：，這個(gè)值不會(huì)變化，理由如下，由（1）可知，，∵，，∴，即是定值，∴，不會(huì)發(fā)生變化；（3）解：當(dāng)時(shí)，如圖所示，∴，∵平分，∴，∵四邊形是長(zhǎng)方形，∴，∴；當(dāng)時(shí)，如圖所示，設(shè)，由（2）可知，（Ⅰ），∵，平分，∴，即是等腰三角形，∴①，∵，，∴，∵，∴②，把②代入①得，，整理得，（Ⅱ），由（Ⅰ），（Ⅱ）聯(lián)立方程組得，，解得，，∴；當(dāng)時(shí)，如圖所示，同理，是等腰三角形，，，∴，∴，解得，，∴；當(dāng)時(shí)，，∵，∴，即，∴該種情況不符合題意，舍去；綜上所述，的度數(shù)為60°或或．22．（22-23七年級(jí)下·江蘇徐州·期末）已知在中，，過(guò)點(diǎn)D作，垂足為E，為的一條角平分線，為的平分線．(1)如圖1，若，點(diǎn)G在邊上且不與點(diǎn)B重合．①判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由，②判斷與的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)如圖2，若，點(diǎn)G在邊上，與交于點(diǎn)M，用含有的代數(shù)式表示，則；(3)如圖3，若，點(diǎn)G在邊上，與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)H，用含有的代數(shù)式表示，并說(shuō)明理由．【答案】(1)①，見(jiàn)解析；②，見(jiàn)解析(2)(3)，見(jiàn)解析【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)平行線判定與性質(zhì)證明、角平分線的有關(guān)計(jì)算、三角形的外角的定義及性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用【分析】（1）①利用角平分線的定義及直角三角形的性質(zhì)即可解答；②利用三角形外角的性質(zhì)可求得，即可證明與的位置關(guān)系；（2）根據(jù)四邊形內(nèi)角和等于可求出，，根據(jù)角平分線的定義可得出，，進(jìn)而得到，再進(jìn)行等量代換即可；（3）根據(jù)三角形外角的性質(zhì)先得到，，，再利用角平分線的定義和四邊形內(nèi)角和等于進(jìn)行等量代換即可求出．【詳解】（1）①，理由如下∵，，∴．又∵，∴，即，∴．②，理由如下∵，，∴，∴．（2）三角形內(nèi)角和為，則四邊形可以看作是兩個(gè)三角形拼接而成，即有四邊形內(nèi)角和為：，∵，∴．又∵，，，∴，∴．將其代入，得．故答案為：．（3），理由如下∵，，∴，∴．∵，，，∴．又∵，，∴，整理得，∴．將其代入，得．【點(diǎn)睛】本題考查三角形外角的性質(zhì)，四邊形內(nèi)角和，平行線的性質(zhì)和判定，角平分線的定義，直角三角形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是找到各相關(guān)角之間的等量關(guān)系進(jìn)行等量代換．【題型五】三角形中新定義型問(wèn)題（共6題）23．（23-24七年級(jí)下·河南南陽(yáng)·期末）【概念認(rèn)識(shí)】如圖①，在中，若，則、叫做的“三分線”，其中，是“鄰三分線”，是“鄰三分線”．【問(wèn)題解決】

(1)如圖①，，、是的“三分線”，則；(2)如圖②，在中，，，若的“三分線”交于點(diǎn)D，則；(3)如圖③，在中，、分別是鄰“三分線”和鄰“三分線”，且，求的度數(shù)．【答案】(1)(2)75或90(3)【知識(shí)點(diǎn)】角n等分線的有關(guān)計(jì)算、三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用【分析】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，直角三角形兩銳角互余，理解“三分線”的定義是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)“三分線”的定義，得到，即可求出的度數(shù)；（2）由三角形內(nèi)角和定理，得到，再根據(jù)“三分線”的定義，分兩種情況求出的度數(shù)；（3）根據(jù)直角三角形兩銳角互余，得到，再根據(jù)“三分線”的定義，得到，，進(jìn)而求出，即可得到的度數(shù)．【詳解】（1）解：，、是的“三分線”，，；故答案為：40；（2）解：在中，，，，當(dāng)是的“鄰三分線”，

，；當(dāng)是的“鄰三分線”，

，；綜上分析可知：或；故答案為：75或90；（3）解：，，，、分別是鄰“三分線”和鄰“三分線”，，，，，．24．（23-24七年級(jí)下·遼寧朝陽(yáng)·期末）我們定義：在一個(gè)三角形中，如果有一個(gè)角的度數(shù)是另一個(gè)角度數(shù)的3倍，那么這樣的三角形我們稱(chēng)之為“完美三角形”．如：三個(gè)內(nèi)角分別為的三角形是“完美三角形”．(1)如圖1，，在射線上找一點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)A作交于點(diǎn)B．則______°，______“完美三角形”（填“是”或“不是”）；(2)如圖2，為鈍角，點(diǎn)D在的邊上，連接，作的平分線交于點(diǎn)E，在上取一點(diǎn)F，使，，請(qǐng)問(wèn)與是否平行？并說(shuō)明理由．(3)若是“完美三角形”，求的度數(shù)．【答案】(1)；是(2)平行，理由見(jiàn)解析(3)的度數(shù)是【知識(shí)點(diǎn)】垂線的定義理解、三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用、根據(jù)平行線判定與性質(zhì)證明【分析】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，平行線的性質(zhì)與判定，“完美三角形”的概念，用分類(lèi)討論的思想解決問(wèn)題是解本題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)垂直的定義、三角形內(nèi)角和定理求出的度數(shù)，根據(jù)“完美三角形”的概念判斷；（2）根據(jù)同角的補(bǔ)角相等得到，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，推出；（3）根據(jù)得到，根據(jù)角平分線的定義得到，求得，根據(jù)“完美三角形”的定義求解即可．【詳解】（1）解：∵，∴，又，∴，∴，∴為“完美三角形”，故答案為：；是；（2）解：∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∴；（3）解：∵，∴，∵平分，∴，又，∴，∵是“完美三角形”，且為鈍角，∴，∵，∴，因此的度數(shù)是．25．（23-24七年級(jí)下·廣東深圳·期末）定義：在一個(gè)三角形中，如果有一個(gè)角是另一個(gè)角的，我們稱(chēng)這兩個(gè)角互為“和諧角”，這個(gè)三角形叫做“和諧三角形”．例如：在中，如果，，那么與互為“和諧角”，為“和諧三角形”．(1)如圖1，中，，，點(diǎn)D是線段上一點(diǎn)（不與A、B重合），連接．①_______（填“是”或“不是”）“和諧三角形”；②若，請(qǐng)判斷是否為“和諧三角形”？并說(shuō)明理由．(2)如圖2，中，，，點(diǎn)D是線段上一點(diǎn)（不與A、B重合），連接，若是“和諧三角形”，請(qǐng)直接寫(xiě)出_______．【答案】(1)①是；②是“和諧三角形”，理由見(jiàn)解析(2)或【知識(shí)點(diǎn)】三角形的外角的定義及性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用【分析】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)等知識(shí)．理解題意，熟練掌握三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）①由題意知，，則，進(jìn)而可得是“和諧三角形”；②由，可得，則，由，可得是“和諧三角形”；（2）由題意知，，則，，由，，可知當(dāng)是“和諧三角形”，分或兩種情況求解即可．【詳解】（1）①解：由題意知，，∵，∴是“和諧三角形”，故答案為：是；②解：是“和諧三角形”，理由如下；∵，∴，∴，∵，∴是“和諧三角形”；（2）解：由題意知，，∴，∴，又∵，，∴當(dāng)是“和諧三角形”，分或兩種情況求解；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，∵，∴；綜上所述，的值為或；故答案為：或．26．（23-24七年級(jí)下·江蘇泰州·期末）定義：在一個(gè)三角形中，如果一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)比另一個(gè)內(nèi)角度數(shù)大，那么這樣的三角形我們稱(chēng)為“似黃金三角形”，其中稱(chēng)為“黃金角”．例如：一個(gè)三角形三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別是，這個(gè)三角形就是“似黃金三角形”，其中為“黃金角”．(1)一個(gè)“似黃金三角形”的一個(gè)內(nèi)角為，若“黃金角”為銳角，則這個(gè)“黃金角”的度數(shù)為_(kāi)_____．(2)如圖，在中，，，為線段上一點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)、點(diǎn)重合）．若是“似黃金三角形”，求的度數(shù)．(3)如圖，中，點(diǎn)在邊上，平分交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，且．若和都是“似黃金三角形”，直接寫(xiě)出的度數(shù)．【答案】(1)；(2)或；(3)或．【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)平行線的性質(zhì)求角的度數(shù)、角平分線的有關(guān)計(jì)算、三角形的外角的定義及性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用【分析】（）設(shè)“黃金角”的度數(shù)，則另一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為，由三角形內(nèi)角和定理可得，解方程即可求解；（）由三角形內(nèi)角和定理得，再分為“黃金角”、為“黃金角”和為“黃金角”三種情況解答即可求解；（）由平行線的性質(zhì)和角平分線的定義可得，進(jìn)而由三角形外角性質(zhì)得到，設(shè)，根據(jù)“黃金角”及“似黃金三角形”的定義分和兩種情況解答即可求解；本題考查了三角形的內(nèi)角和定理和外角性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，一