滬科版九年級數(shù)學(xué)上冊期末復(fù)習(xí)考點 第26章 概率初步知識歸納與題型突破（9類題型清單）

第26章概率初步知識歸納與題型突破（題型清單）01思維導(dǎo)圖01思維導(dǎo)圖0202知識速記一、確定事件與隨機事件1、確定事件（1）不可能事件在一定條件下，有些事情我們事先能肯定它一定不會發(fā)生，這樣的事情是不可能事件．（2）必然事件在一定條件下，有些事情我們事先能肯定它一定會發(fā)生，這樣的事情是必然事件．必然事件和不可能事件都是確定事件.2.隨機事件在一定條件下，很多事情我們事先無法確定它會不會發(fā)生，這樣的事情是隨機事件.二、用頻率估計概率通常，在多次重復(fù)實驗中，一個隨機事件發(fā)生的頻率會在某一個常數(shù)附近擺動，并且隨著試驗次數(shù)增多，擺動的幅度會減小，這個性質(zhì)稱為頻率的穩(wěn)定性.一般地，在一定條件下大量重復(fù)進行同一試驗時，隨機事件發(fā)生的頻率會在某一個常數(shù)附近擺動.在實際生活中，人們常把試驗次數(shù)很大時，事件發(fā)生的頻率作為其概率的估計值.三、初步認識概率1.概率隨機事件發(fā)生的可能性有大有小.一個事件發(fā)生的可能性大小的數(shù)值，稱為這個事件的概率(probability).如果用字母A表示一個事件，那么P(A)表示事件A發(fā)生的概率.事件A的概率是一個大于等于0，且小于等于1的數(shù)，即，其中P(必然事件)=1，P(不可能事件)=0，0＜P(隨機事件)＜1.所以有：P(不可能事件)＜P(隨機事件)＜P(必然事件).一個隨機事件發(fā)生的概率是由這個隨機事件自身決定的，并且是客觀存在的.概率是隨機事件自身的屬性，它反映這個隨機事件發(fā)生的可能性大小.四、用列舉法求概率常用的列舉法有兩種：列表法和畫樹狀圖法.1.列表法當(dāng)一次試驗要涉及兩個因素，并且可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)目較多時，為不重不漏地列出所有可能的結(jié)果，通常采用列表法.列表法是用表格的形式反映事件發(fā)生的各種情況出現(xiàn)的次數(shù)和方式，以及某一事件發(fā)生的可能的次數(shù)和方式，并求出概率的方法.2.樹狀圖當(dāng)一次試驗要涉及3個或更多個因素時，為了不重不漏地列出所有可能的結(jié)果，通常采用樹形圖，也稱樹形圖、樹圖.樹形圖是用樹狀圖形的形式反映事件發(fā)生的各種情況出現(xiàn)的次數(shù)和方式，以及某一事件發(fā)生的可能的次數(shù)和方式，并求出概率的方法.0303題型歸納題型一確定事件和隨機事件例題：（24-25八年級上·四川成都·開學(xué)考試）下列說法中正確的是（

）A．打開電視機，正在播放廣告是隨機事件B．某種彩票的中獎概率為千分之一，說明每買1000張彩票，一定有1張中獎C．拋擲1枚質(zhì)地均勻的硬幣一次，出現(xiàn)正面朝上的概率為D．任意一個三角形，其內(nèi)角和為是必然事件鞏固訓(xùn)練1．（23-24九年級上·浙江杭州·階段練習(xí)）下列事件中，屬于必然事件的是（）A．小明買彩票中獎B．任意拋擲一只紙杯，杯口朝下C．任意三角形的兩邊，其差小于第三邊D．在一個沒有紅球的盒子里摸球，摸到了紅球2．（24-25九年級上·浙江杭州·期中）下列事件中，屬于隨機事件的是（

）A．明天太陽從西方升起B(yǎng)．從裝有6個白球的袋中摸出一個紅球C．奧運射擊冠軍楊倩射擊一次，命中靶心D．?dāng)S一次骰子，朝上一面的點數(shù)大于03．（2024九年級上·全國·專題練習(xí)）下列說法正確的是（

）A．兩個負數(shù)相乘，積是正數(shù)是不可能事件B．“煮熟的鴨子飛了”是隨機事件C．射擊運動員射擊一次，命中十環(huán)是必然事件D．“擲一次骰子，向上一面的點數(shù)是”是隨機事件題型二用列舉法求概率例題：（24-25九年級上·全國·單元測試）在的正方形網(wǎng)格格點上放三枚棋子，按如圖所示的位置已放置了兩枚棋子，若第三枚棋子隨機放在其他格點上，則以這三枚棋子所在的格點為頂點的三角形是直角三角形的概率為鞏固訓(xùn)練1．（2024九年級下·遼寧·專題練習(xí)）如圖，電路圖上有4個開關(guān)A，B，C，D和1個小燈泡，同時閉合開關(guān)A，B或同時閉合開關(guān)C，D都可以使小燈泡發(fā)光．現(xiàn)隨機閉合兩個開關(guān)，小燈泡不發(fā)光的概率為2．（2023·廣東佛山·模擬預(yù)測）從，，這三個數(shù)中隨機抽取兩個數(shù)分別記為x，y，把點的坐標(biāo)記為，若點為，則在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)直線經(jīng)過第二象限的概率為．3．（23-24九年級上·貴州黔南·開學(xué)考試）小麗在學(xué)習(xí)法制和安全知識時遇到這樣一個題：王某在清明節(jié)祭祀焚燒紙錢引起周邊草場著火，導(dǎo)致草場燒毀面積達900余畝，王某被依法予以行政拘留．此事件給我們什么啟示？A春游時可以在野外燒烤；B不在山上玩火、烤火取暖；C不帶火種進入林區(qū)；D不在山上燒黃蜂、燒山趕野生動物．此題的正確答案為BCD，小麗在四個選項中隨機選擇三個選項，那么答對的概率是4．（2024·山東濰坊·中考真題）小瑩在做手抄報時，用到了紅色、黃色、藍色三支彩筆，這三支彩筆的筆帽和筆芯顏色分別一致．完成手抄報后，她隨機地將三個筆帽分別蓋在三支彩筆上，每個筆帽和筆芯的顏色都不匹配的概率是．題型三幾何求概率例題：（24-25九年級上·江蘇南京·期中）如圖，正方形內(nèi)接于，隨機向該圓形區(qū)域投擲飛鏢1次，假設(shè)飛鏢投中圓形區(qū)域中的每一點是等可能的（若投中邊界或沒有投中，則重投1次），則飛鏢恰好投中在正方形區(qū)域內(nèi)的概率是．鞏固訓(xùn)練1．（24-25九年級上·江蘇宿遷·期中）如圖，將一個飛鏢隨機投擲到的方格紙中，則飛鏢落在陰影部分的概率為．2．（2024九年級上·全國·專題練習(xí)）如果小球在如圖所示的地板上自由地滾動，并隨機停留在某塊方磚上，那么小球最終停留在黑色區(qū)域的概率是．3．（24-25九年級上·四川成都·階段練習(xí)）如圖，在中，，，，將繞點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)30°后得到，現(xiàn)隨機地向該圖形內(nèi)擲一枚小針，則針尖落在陰影部分概率為．4．（24-25九年級上·四川成都·階段練習(xí)）如圖，四個全等的直角三角形圍成一個大正方形，中間是個小正方形，這個圖形是我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”，現(xiàn)分別連接大、小正方形的四組頂點得到圖2的“風(fēng)車”圖案（陰影部分），若圖1中的四個直角三角形的較長直角邊為7，較短直角邊為4，現(xiàn)隨機向圖2大正方形內(nèi)擲一枚小針，則針尖落在陰影區(qū)域的概率為；題型四列表法或樹狀圖法求概率例題：（24-25九年級上·河北保定·期中）如圖1，一枚質(zhì)地均勻的正四面體骰子，它有四個面并分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4．如圖2，正方形頂點處各有一個圈．跳圈游戲的規(guī)則為：游戲者每擲一次骰子，骰子著地一面上的數(shù)字是幾，就沿正方形的邊順時針方向連續(xù)跳幾個邊長．如：若從圈起跳，第一次擲得3，就順時針連續(xù)跳3個邊長，落到圈；若第二次擲得2，就從開始順時針連續(xù)跳2個邊長，落到圈；…設(shè)游戲者從圈起跳．(1)嘉嘉隨機擲一次骰子，落回到圈的概率為________；(2)淇淇隨機擲兩次骰子，用列表法求最后落回到圖的概率．鞏固訓(xùn)練1．（24-25九年級上·浙江杭州·期中）下圖是用幾個電子元件組成的一個電路系統(tǒng)，當(dāng)且僅當(dāng)從A到B的電路為通路狀態(tài)時，系統(tǒng)正常工作，系統(tǒng)正常工作的概率稱為該系統(tǒng)的可靠，每個元件正常工作的概率均為，當(dāng)某元件不能正常工作時，該元件在電路中將形成斷路．(1)如圖1，只用1個電子元件①，該電路為斷路的概率為________；(2)如圖2，用2個電子元件①、②組成一個電路系統(tǒng)，求系統(tǒng)正常工作的概率．（用畫樹狀圖或列表方法求解）2．（24-25九年級上·山東青島·期中）某校科學(xué)社團開展“我愛科學(xué)，強基有我”的分享活動，先將“A燃料燃燒”“B電池充電”“C鏡花水月”“D冰雪消融”的圖案制成顏色、質(zhì)地、大小都相同的4張卡片（其中A、B主要為化學(xué)變化，C、D主要為物理現(xiàn)象）．活動時學(xué)生根據(jù)所抽取的卡片分享相關(guān)科學(xué)知識．抽取規(guī)則如下：4張卡片背面朝上洗勻，小云先從中隨機抽取一張，記錄下抽取的卡片，放回洗勻，小南再從中隨機抽取一張．若他們抽取的兩張卡片上都是化學(xué)變化，則由小云分享；若他們?nèi)〕龅膬蓮埧ㄆ隙际俏锢憩F(xiàn)象，則由小南分享；其他情況重抽．這個規(guī)則對小云和小南公平嗎？請用列表或畫樹狀圖法說明理由．3．（24-25九年級上·浙江湖州·階段練習(xí)）一起感悟讀書之美，推廣全民閱讀，建設(shè)“書香中國”，不負韶華夢，讀書正當(dāng)時！我校對A．《三國演義》、B．《紅樓夢》、C．《西游記》、D．《水滸傳》四大名著開展“傳統(tǒng)文化經(jīng)典著作”推薦閱讀活動．(1)小胡從這4部名著中，隨機選擇1部閱讀，他選中《紅樓夢》的概率為_____．(2)我校計劃從這4部名著中，選擇2部作為課外閱讀書籍，求《紅樓夢》被選中的概率．（請用畫樹狀圖或列表等方法說明理由）4．（24-25九年級上·山東青島·期中）某省運動會如期舉行，其中第二個比賽日包含排球、足球、體操以及藝術(shù)體操4個項目．現(xiàn)有四張關(guān)于運動項目的門票，門票的正面分別印有的圖案為A．“排球”、B．“足球”、C．“體操”和D．“藝術(shù)體操”．將這四張卡片背面朝上（這四種門票的背面完全相同，A、B、C、D作為代號），洗勻：(1)從中隨機抽取一張門票，抽到C的概率為________；(2)從中隨機抽取兩張，請你利用畫樹狀圖或列表格的方法，求兩張門票恰好是B和D的概率．5．（24-25九年級上·陜西咸陽·期中）置換反應(yīng)是一種單質(zhì)與一種化合物反應(yīng)，生成另一種單質(zhì)和另一種化合物的反應(yīng)，包括金屬與金屬鹽的反應(yīng)，金屬與酸的反應(yīng)等．某次化學(xué)實驗課上，老師帶來了四種金屬．這四種金屬分別用四個相同的不透明的容器裝著，讓同學(xué)們隨機選擇一種金屬與鹽酸反應(yīng)來制取氫氣．（根據(jù)金屬活動順序可知，可以置換出氫氣，而不能置換出氫氣）(1)若從四種金屬中隨機選擇一種，選到的概率是；(2)甲同學(xué)從四種金屬中隨機選擇一種金屬進行實驗，將四個容器的順序打亂，然后乙同學(xué)從四種金屬中再隨機選擇一種金屬進行實驗，請用畫樹狀圖法或列表法，求兩人所選金屬均能置換出氫氣的概率．題型五利用概率判定游戲的公平性例題：（24-25九年級上·云南文山·期中）為了舉薦九年級一班的小明和小亮代表班級在周一升旗時致辭，老師準備了如圖所示的兩個可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤、?，每個轉(zhuǎn)盤被分成面積相等的幾個扇形，并在每一個扇形內(nèi)標(biāo)上數(shù)字．規(guī)定：同時轉(zhuǎn)動兩個轉(zhuǎn)盤，但轉(zhuǎn)盤停止后，兩個指針?biāo)竻^(qū)域的數(shù)字之和為奇數(shù)時，小明致辭；數(shù)字之和為偶數(shù)時，小亮致辭，如果指針恰好停在分割線上，那么重轉(zhuǎn)一次，直到指針指向某一區(qū)域為止．(1)用列表或畫樹狀圖的方法表示出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果；(2)這個規(guī)則公平嗎？請說明理由．鞏固訓(xùn)練1．（24-25九年級上·河北保定·期中）4張相同的卡片分別寫有數(shù)字1，2，3，4，將卡片的背面朝上，洗勻后從中任意抽取1張，將卡片上的數(shù)字作為被減數(shù)；一只不透明的袋子中裝有標(biāo)號為1，2，3的3個小球，這些球除標(biāo)號外都相同，攪勻后從中任意摸出一個球，將摸到的球的標(biāo)號作為減數(shù)．(1)求這兩個數(shù)的差為0的概率；（用列表法或樹狀圖說明）(2)如果游戲規(guī)則規(guī)定：當(dāng)抽到的這兩個數(shù)的差為非負數(shù)時，則甲獲勝；否則，乙獲勝．你認為這樣的規(guī)則公平嗎？請說明理由．12341012320123012．（24-25九年級上·山西運城·期中）游戲是生活中有趣味的社交活動，是人類終身不可缺少的伴侶，更是家庭歡樂的源泉．小剛父親和小剛二叔玩一種游戲，游戲規(guī)則：兩人只可以說出“木棒”、“老虎”、“公雞”、“小蟲”中的任何一個，同時各說出一個后定勝負，其中“木棒”勝“老虎”、“老虎”勝“公雞”、“公雞”勝“小蟲”、“小蟲”勝“木棒”．其它情況，則為平局．例如，小剛父親說“老虎”，小剛二叔說“公雞”，則小剛父親勝；又如，兩人同時說“蟲子”，則為平局；再如，一人說“公雞”，一人說“木棒”，則為平局．(1)每一次小剛父親說出“老虎”的概率是_____；(2)如果用，，，分別表示小剛父親說的“木棒”、“老虎”、“公雞”、“小蟲”；用，，，分別表示小剛二叔說的“木棒”、“老虎”、“公雞”、“小蟲”，那么某一次說出時小剛父親勝小剛二叔的概率是多少？用列表法或畫樹狀圖法加以說明；(3)你認為這個游戲?qū)π偢赣H和小剛二叔公平嗎？為什么？3．（24-25九年級上·陜西咸陽·期中）如圖是一個轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)盤被等分成三等份，分別標(biāo)注數(shù)字“1”“2”“3”，轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤，待轉(zhuǎn)盤自動停止后，指針指向一個扇形的內(nèi)部，則該扇形內(nèi)的數(shù)字即為轉(zhuǎn)出的數(shù)字，此時稱為轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤一次（若指針指向兩個扇形的交線，則不計轉(zhuǎn)動的次數(shù)，重新轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤，直到指針指向一個扇形的內(nèi)部為止）．(1)轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤一次，轉(zhuǎn)盤停止后，指針指向奇數(shù)的概率是_______；(2)嘉嘉和淇淇一起玩轉(zhuǎn)盤游戲，規(guī)則如下：兩人各轉(zhuǎn)一次轉(zhuǎn)盤，若兩次轉(zhuǎn)出的數(shù)字均為奇數(shù)，則嘉嘉獲勝；若兩次轉(zhuǎn)出的數(shù)字為一個奇數(shù)一個偶數(shù)（不分先后），則淇淇獲勝．請通過畫樹形圖或列表的方法說明該游戲規(guī)則對雙方是否公平．題型六概率在轉(zhuǎn)盤抽獎中的應(yīng)用例題：（24-25九年級上·河北滄州·期末）為了回饋顧客，某商場在“五一”期間對一次購物超過200元的顧客進行抽獎返券活動．活動方案有二：方案一：顧客分別轉(zhuǎn)動甲、乙兩個轉(zhuǎn)盤各一次（甲盤的白色區(qū)域占，乙盤的白色區(qū)域占，其余均為黑色區(qū)域），若轉(zhuǎn)盤停止時指針的指向為下表中的組合，則可按下表獲得贈券．兩轉(zhuǎn)盤顏色（甲，乙）（黑，黑）（黑，白）（白，黑）（白，白）中獎券金額0元10元20元50元方案二：尊重顧客意愿，可以不經(jīng)過抽獎，直接領(lǐng)取10元贈券．問題：(1)方案一中，顧客獲得10元和50元贈券的概率分別是多少？(2)如果你是顧客，你會選擇兩種方案中的哪一種？試通過計算給出合理理由．鞏固訓(xùn)練1．（2024七年級下·全國·專題練習(xí)）一次抽獎活動設(shè)置如下的翻獎牌，翻獎牌的正面、背面如下，如果你只能在9個數(shù)字中選擇一個數(shù)字翻牌，請解決下面的問題：(1)直接寫出翻牌得到“手機”獎品的可能性的大小；(2)請你根據(jù)題意設(shè)計翻獎牌反面的獎品，包含（手機、微波爐、球拍、電影票，謝謝參與）使得最后抽到“球拍”的可能性大小是．2．（24-25九年級上·遼寧錦州·期中）某商場舉行有獎促銷活動，顧客購買一定金額的商品后即可抽獎．抽獎規(guī)則如下：1．抽獎方案有以下兩種：方案A，從裝有1個紅球、2個白球（僅顏色不同）的甲袋中隨機摸出1個球，若是紅球，則獲得獎金15元，否則，沒有獎金，兌獎后將摸出的球放回甲袋中；方案B，從裝有2個紅、1個白球（僅顏色不同）的乙袋中隨機摸出1個球，若是紅球，則獲得獎金10元，否則，沒有獎金，兌獎后將摸出的球放回乙袋中．2．抽獎條件是：顧客購買商品的金額每滿100元，可根據(jù)方案A抽獎一次：每滿足200元，可根據(jù)方案B抽獎一次（例如某顧客購買商品的金額為310元，則該顧客采用的抽獎方式可以有以下三種，根據(jù)方案A抽獎三次或方案A，B各抽獎一次）．已知某顧客在該商場購買商品的金額為230元．若該顧客只選擇根據(jù)方案A進行抽獎，求其所獲獎金為15元的概率；3．（22-23九年級上·河南平頂山·期末）某商場，為了吸引顧客，在“元旦”當(dāng)天舉辦了商品有獎酬賓活動，凡購物滿200元者，有兩種獎勵方案供選擇：方案一：是直接獲得20元的禮金卷；方案二：是得到一次播獎的機會．規(guī)則如下：已知如圖是由轉(zhuǎn)盤和箭頭組成的兩個轉(zhuǎn)盤A、B，這兩個轉(zhuǎn)盤除了顏色不同外，其它構(gòu)造完全相同，搖獎?wù)咄瑫r轉(zhuǎn)動兩個轉(zhuǎn)盤，指針分別指向一個區(qū)域（指針落在分割線上時重新轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤），根據(jù)指針指向的區(qū)域顏色（如表）決定送禮金券的多少．指針指向兩紅一紅一藍兩藍禮金券（元）27927(1)請你用列表法（或畫樹狀圖法）求兩款轉(zhuǎn)盤指針分別指向一紅區(qū)和一藍區(qū)的概率．(2)如果一名顧客當(dāng)天在本店購物滿200元，若只考慮獲得最多的禮品券，請你幫助分析選擇哪種方案較為實惠．題型七用頻率估計概率例題：（24-25九年級上·浙江衢州·期中）下表記錄了某種蘋果樹苗在一定條件下移植成活的情況：由此估計這種蘋果樹苗的移植成活的概率為．移植的棵數(shù)10020050010002000成活的棵數(shù)811563958001600成活的頻率0.810.780.790.800.80鞏固訓(xùn)練1．（24-25九年級上·江西景德鎮(zhèn)·期中）對一批燈泡進行抽檢，統(tǒng)計合格燈泡的只數(shù)，得到合格燈泡的頻率見下表：抽取只數(shù)/只5010002000合格頻率估計從該批次燈泡中任抽一只燈泡是合格品的概率為．2．（24-25九年級上·福建漳州·期中）在不透明袋子中有1個黃球、2個白球和7個紅球，這些球除顏色外無其他差別．從袋子中隨機取出一個球，某種顏色的球出現(xiàn)的頻率如圖所示，則該球最有可能是．3．（24-25九年級上·陜西商洛·期中）興趣學(xué)習(xí)小組對某品種的小麥在相同條件下進行發(fā)芽試驗，結(jié)果如表所示：試驗的麥粒數(shù)10020050010002000發(fā)芽的麥粒數(shù)911784509001820發(fā)芽的頻率0.910.890.900.900.91通過試驗，估計在這批麥粒中任取1粒能發(fā)芽的概率為．（精確到0.1）題型八已知概率求數(shù)量例題：（24-25九年級上·廣東珠海·期中）袋子里裝有紅、黃兩種顏色的小球，除了顏色之外小球的形狀、大小、材質(zhì)完全相同，攪拌均勻后從袋中隨機摸出一個球是紅球的概率為15，如果袋中有紅球有3個，則袋中的黃球有鞏固訓(xùn)練1．（2023·湖南岳陽·模擬預(yù)測）一個紙箱中混裝有75顆白棋子和若干顆黑棋子，現(xiàn)將紙箱中棋子攪勻，并從中取出36顆棋子，數(shù)得黑棋子有9顆，據(jù)此估計該紙箱裝有黑棋子約有顆．2．（24-25九年級上·浙江金華·階段練習(xí)）在一個不透明的箱子里裝有個球，其中紅球4個，這些球除顏色外都相同，每次將球攪拌均勻后，任意摸出一個球記下顏色后再放回，大量重復(fù)試驗后發(fā)現(xiàn)，摸到紅球的頻率在，那么可以估算出的值為．3．（24-25九年級上·陜西咸陽·階段練習(xí)）在一個不透明的袋子里裝有3個黑球和若干個白球，它們除顏色不同外其余都相同．若每次搖勻后，從中隨機摸出一球，記下顏色后放回袋中，大量重復(fù)上述實驗后，發(fā)現(xiàn)摸到黑球的頻率穩(wěn)定在，則袋子中白球有個．4．（23-24九年級上·陜西渭南·階段練習(xí)）一個盒子中裝有20顆藍色幸運星，若干顆紅色幸運星和15顆黃色幸運星，這些幸運星除顏色外都相同．小明從中隨機摸出一顆幸運星記下顏色并放回，發(fā)現(xiàn)摸到紅色幸運星的頻率穩(wěn)定在0.5，則可估計盒中紅色幸運星的顆數(shù)為顆．題型九頻率和概率的綜合應(yīng)用例題：（24-25九年級上·陜西咸陽·期中）下表是某校生物興趣小組在相同的實驗條作下，對某植物種子發(fā)芽率進行研究時所得到的數(shù)據(jù)：試驗的種子數(shù)100200500100020005000發(fā)芽的粒數(shù)9447595419064748發(fā)芽頻率0.940.9550.950.9530.9496(1)上表中的________，________．(2)任取一粒這種植物種子，估計它能發(fā)芽的概率是________．（結(jié)果精確到0.01）(3)若該校勞動基地需要這種植物幼苗9500棵，試估計需要準備多少粒種子進行發(fā)芽培育？鞏固訓(xùn)練1．（24-25九年級上·全國·課后作業(yè)）某射擊運動員在同一條件下進行練習(xí)，結(jié)果如下表所示：射擊次數(shù)10205010020050010002000擊中10環(huán)次數(shù)81944931784538991802擊中10環(huán)頻率(1)計算表中擊中10環(huán)的各個頻率；(2)這名運動員射擊一次，擊中10環(huán)的概率約為多少？2．（24-25九年級上·陜西西安·階段練習(xí)）在一個不透明的口袋里裝有顏色不同的黑、白兩種顏色的球共5個，這些球除顏色不同外，其他均相同．某學(xué)習(xí)小組做摸球試驗，將球攪勻后，從中隨機摸出一個球記下顏色，再把它放回袋中，不斷重復(fù)．下表是活動中的統(tǒng)計數(shù)據(jù)．摸球的次數(shù)n1001502005008001000摸到白球的次數(shù)m5896116295484601摸到白球的頻率0.580.640.580.590.6050.601(1)請估計：當(dāng)n很大時，摸到白球的頻率將會接近___________（精確到0.1）．(2)試估算口袋中白球的個數(shù)．3．（24-25九年級上·貴州貴陽·階段練習(xí)）閱讀下列材料：模擬試驗是利用替代物模擬實際事物而進行的試驗．例如我們在估計6個人中有2個人生肖相同的概率時，可以用12個編有號碼、大小相同的球代替12種不同的生肖，這樣每個人的生肖都對應(yīng)著一個球，6個人中有2個人生肖相同，就意味著6個球中有2個球的號碼相同．因此可在口袋中放入這樣的12個球，從中摸出1個球，記下它的號碼，放回去；再從中摸出1個球，記下它的號碼，放回去，……，直至摸到第6個球，記下第6個號碼，到此為一次模擬試驗．重復(fù)多次這樣的試驗，即可估計6人中2人生肖相同的概率……；小明所在的數(shù)學(xué)興趣小組按照材料中所述的方法進行了模擬試驗，他們重復(fù)了多次這樣的模擬實驗，根據(jù)實驗結(jié)果制成的統(tǒng)計表如下：實驗總次數(shù)5010020030050010001500“有2個小球號碼相同”的次數(shù)38751602343958101185“有2個小球號碼相同”的頻率00.750.800.780.79k(1)表格中的值為_____．(2)根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)可估算6個人中有2個人生肖相同的概率大約是______．（精確到0.1）(3)若要估計“5人中3人出生月份相同的概率”也利用上面的模擬試驗方法，則需要準備__________個球，一次模擬試驗需要記錄__________個號碼．4．（24-25九年級上·江蘇南通·開學(xué)考試）在一個不透明的口袋里裝有顏色不同的黃、白兩種顏色的球共5只，某學(xué)習(xí)小組做摸球?qū)嶒?，將球攪勻后從中隨機摸出一個球記下顏色，再把它放回袋中，不斷重復(fù)．下表是活動中的一組統(tǒng)計數(shù)據(jù)：摸球的次數(shù)n1001502005008001000摸到白球的次數(shù)m5896116295484601摸到白球的頻率0.580.640.580.590.6050.601(1)請估計：當(dāng)n很大時，摸到白球的頻率將會接近________；（精確到0.1）(2)試估算口袋中白球有多少只？(3)請你設(shè)計一個增（減）袋中白球或黃球球個數(shù)的方案，使得從袋中摸出一個球，這只球是黃球的概率大于是白球的概率．

第26章概率初步知識歸納與題型突破（題型清單）01思維導(dǎo)圖01思維導(dǎo)圖0202知識速記一、確定事件與隨機事件1、確定事件（1）不可能事件在一定條件下，有些事情我們事先能肯定它一定不會發(fā)生，這樣的事情是不可能事件．（2）必然事件在一定條件下，有些事情我們事先能肯定它一定會發(fā)生，這樣的事情是必然事件．必然事件和不可能事件都是確定事件.2.隨機事件在一定條件下，很多事情我們事先無法確定它會不會發(fā)生，這樣的事情是隨機事件.二、用頻率估計概率通常，在多次重復(fù)實驗中，一個隨機事件發(fā)生的頻率會在某一個常數(shù)附近擺動，并且隨著試驗次數(shù)增多，擺動的幅度會減小，這個性質(zhì)稱為頻率的穩(wěn)定性.一般地，在一定條件下大量重復(fù)進行同一試驗時，隨機事件發(fā)生的頻率會在某一個常數(shù)附近擺動.在實際生活中，人們常把試驗次數(shù)很大時，事件發(fā)生的頻率作為其概率的估計值.三、初步認識概率1.概率隨機事件發(fā)生的可能性有大有小.一個事件發(fā)生的可能性大小的數(shù)值，稱為這個事件的概率(probability).如果用字母A表示一個事件，那么P(A)表示事件A發(fā)生的概率.事件A的概率是一個大于等于0，且小于等于1的數(shù)，即，其中P(必然事件)=1，P(不可能事件)=0，0＜P(隨機事件)＜1.所以有：P(不可能事件)＜P(隨機事件)＜P(必然事件).一個隨機事件發(fā)生的概率是由這個隨機事件自身決定的，并且是客觀存在的.概率是隨機事件自身的屬性，它反映這個隨機事件發(fā)生的可能性大小.四、用列舉法求概率常用的列舉法有兩種：列表法和畫樹狀圖法.1.列表法當(dāng)一次試驗要涉及兩個因素，并且可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)目較多時，為不重不漏地列出所有可能的結(jié)果，通常采用列表法.列表法是用表格的形式反映事件發(fā)生的各種情況出現(xiàn)的次數(shù)和方式，以及某一事件發(fā)生的可能的次數(shù)和方式，并求出概率的方法.2.樹狀圖當(dāng)一次試驗要涉及3個或更多個因素時，為了不重不漏地列出所有可能的結(jié)果，通常采用樹形圖，也稱樹形圖、樹圖.樹形圖是用樹狀圖形的形式反映事件發(fā)生的各種情況出現(xiàn)的次數(shù)和方式，以及某一事件發(fā)生的可能的次數(shù)和方式，并求出概率的方法.0303題型歸納題型一確定事件和隨機事件例題：（24-25八年級上·四川成都·開學(xué)考試）下列說法中正確的是（

）A．打開電視機，正在播放廣告是隨機事件B．某種彩票的中獎概率為千分之一，說明每買1000張彩票，一定有1張中獎C．拋擲1枚質(zhì)地均勻的硬幣一次，出現(xiàn)正面朝上的概率為D．任意一個三角形，其內(nèi)角和為是必然事件【答案】A【知識點】事件的分類【分析】本題考查了必然事件、不可能事件、隨機事件的概念．必然事件指在一定條件下一定發(fā)生的事件．不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件．不確定事件即隨機事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件．據(jù)此對各選項分析判斷求解．【詳解】解：A、打開電視機，正在播放廣告是隨機事件，故本選項符合題意；B、某種彩票的中獎概率為千分之一，說明每買1000張彩票不一定會中獎，故本選項不符合題意；C、拋擲1枚質(zhì)地均勻的硬幣一次，出現(xiàn)正面朝上的概率為，故本選項不符合題意；D、任意一個三角形，其內(nèi)角和為是不可能事件，故本選項不符合題意；故選：A．鞏固訓(xùn)練1．（23-24九年級上·浙江杭州·階段練習(xí)）下列事件中，屬于必然事件的是（）A．小明買彩票中獎B．任意拋擲一只紙杯，杯口朝下C．任意三角形的兩邊，其差小于第三邊D．在一個沒有紅球的盒子里摸球，摸到了紅球【答案】C【知識點】事件的分類【分析】本題考查了隨機事件，理解事件的分類是解題的關(guān)鍵．根據(jù)隨機事件，必然事件，不可能事件的概念求解．【詳解】解：A：小明買彩票中獎屬于隨機事件；B：任意拋擲一只紙杯，杯口朝下屬于隨機事件；C：任意三角形的兩邊之差都小于第三邊，是必然事件；D：在一個沒有紅球的盒子里摸到紅球是不可能事件．故選：C．2．（24-25九年級上·浙江杭州·期中）下列事件中，屬于隨機事件的是（

）A．明天太陽從西方升起B(yǎng)．從裝有6個白球的袋中摸出一個紅球C．奧運射擊冠軍楊倩射擊一次，命中靶心D．?dāng)S一次骰子，朝上一面的點數(shù)大于0【答案】C【知識點】事件的分類【分析】本題考查的是隨機事件的分類，掌握必然事件、不可能事件、隨機事件的概念是解題的關(guān)鍵，必然事件指在一定條件下，一定發(fā)生的事件；不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件；不確定事件即隨機事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件；根據(jù)事件發(fā)生的可能性大小判斷相應(yīng)事件的類型即可．【詳解】解：A、明天太陽從西方升起是不可能事件，不符合題意；B、從裝有6個白球的袋中摸出一個紅球是不可能事件，不符合題意；C、奧運射擊冠軍楊倩射擊一次，命中靶心是隨機事件，符合題意；D、擲一次骰子，朝上一面的點數(shù)大于0是必然事件，不符合題意；故選：C．3．（2024九年級上·全國·專題練習(xí)）下列說法正確的是（

）A．兩個負數(shù)相乘，積是正數(shù)是不可能事件B．“煮熟的鴨子飛了”是隨機事件C．射擊運動員射擊一次，命中十環(huán)是必然事件D．“擲一次骰子，向上一面的點數(shù)是”是隨機事件【答案】D【知識點】事件的分類【分析】本題考查了不可能事件、隨機事件和必然事件，根據(jù)事件發(fā)生的可能性大小判斷即可求解，掌握不可能事件、隨機事件和必然事件的定義是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：、兩個負數(shù)相乘，積是正數(shù)是必然事件，故本選項說法錯誤，不符合題意；、“煮熟的鴨子飛了”是不可能事件，故本選項說法錯誤，不符合題意；、射擊運動員射擊一次，命中十環(huán)是隨機事件，故本選項說法錯誤，不符合題意；、“擲一次骰子，向上一面的點數(shù)是”是隨機事件，說法正確，符合題意；故選：．題型二用列舉法求概率例題：（24-25九年級上·全國·單元測試）在的正方形網(wǎng)格格點上放三枚棋子，按如圖所示的位置已放置了兩枚棋子，若第三枚棋子隨機放在其他格點上，則以這三枚棋子所在的格點為頂點的三角形是直角三角形的概率為【答案】/0.75【知識點】列舉法求概率【分析】本題主要考查了幾何概率，勾股定理的逆定理，先將第三枚棋子可能落在其余四個位置的格點位置找到．再找出與已知格點構(gòu)成直角三角形的3種情況，然后根據(jù)概率計算公式求解即可．【詳解】解：如圖所示，第三枚棋子一共有A，B，C，D四個位置可以放置，其中能與已知兩枚棋子構(gòu)成直角三角形的點是B、C、D三個點，∴以這三枚棋子所在的格點為頂點的三角形是直角三角形的概率為，故答案為：．鞏固訓(xùn)練1．（2024九年級下·遼寧·專題練習(xí)）如圖，電路圖上有4個開關(guān)A，B，C，D和1個小燈泡，同時閉合開關(guān)A，B或同時閉合開關(guān)C，D都可以使小燈泡發(fā)光．現(xiàn)隨機閉合兩個開關(guān)，小燈泡不發(fā)光的概率為【答案】【知識點】列舉法求概率【分析】本題考查列舉法求概率，根據(jù)題意，隨機閉合兩個開關(guān)共有，6種情況，其中小燈泡不發(fā)光的情況有共4種情況，進行計算即可．【詳解】解：隨機閉合兩個開關(guān)共有，6種情況，其中小燈泡不發(fā)光的情況有共4種情況，∴；故答案為：．2．（2023·廣東佛山·模擬預(yù)測）從，，這三個數(shù)中隨機抽取兩個數(shù)分別記為x，y，把點的坐標(biāo)記為，若點為，則在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)直線經(jīng)過第二象限的概率為．【答案】【知識點】判斷一次函數(shù)的圖象、列舉法求概率【分析】本題考查了求概率、一次函數(shù)的圖像，正確找出當(dāng)直線經(jīng)過第二象限時，點的所有符合條件的坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．【詳解】解：由題意得：點的坐標(biāo)共有種：，，，，，2,3，點為，直線經(jīng)過第二象限，點的坐標(biāo)有，，，2,3，共四種情況；在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)直線經(jīng)過第二象限的概率為，故答案為：．3．（23-24九年級上·貴州黔南·開學(xué)考試）小麗在學(xué)習(xí)法制和安全知識時遇到這樣一個題：王某在清明節(jié)祭祀焚燒紙錢引起周邊草場著火，導(dǎo)致草場燒毀面積達900余畝，王某被依法予以行政拘留．此事件給我們什么啟示？A春游時可以在野外燒烤；B不在山上玩火、烤火取暖；C不帶火種進入林區(qū)；D不在山上燒黃蜂、燒山趕野生動物．此題的正確答案為BCD，小麗在四個選項中隨機選擇三個選項，那么答對的概率是【答案】/0.25【知識點】根據(jù)概率公式計算概率、列舉法求概率【分析】此題考查了概率，寫出所以等可能結(jié)果，根據(jù)概率公式進行解答即可．【詳解】解：由題意可得，共有、、、這4種等可能的結(jié)果，其中符合條件的結(jié)果只有1種，∴答對的概率是，故答案為：4．（2024·山東濰坊·中考真題）小瑩在做手抄報時，用到了紅色、黃色、藍色三支彩筆，這三支彩筆的筆帽和筆芯顏色分別一致．完成手抄報后，她隨機地將三個筆帽分別蓋在三支彩筆上，每個筆帽和筆芯的顏色都不匹配的概率是．【答案】1【知識點】列舉法求概率【分析】本題考查了用列舉法求概率，列出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果，再找出每個筆帽和筆芯的顏色都不匹配的結(jié)果，利用概率公式計算即可求解，正確列出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：由題意可得，共有種結(jié)果：紅紅，黃黃，藍藍；紅紅，藍黃，黃藍；黃紅，紅黃，藍藍；黃紅，藍黃，紅藍；藍紅，紅黃，黃藍；藍紅，黃黃，紅藍；其中每個筆帽和筆芯的顏色都不匹配的有種結(jié)果，∴每個筆帽和筆芯的顏色都不匹配的概率是，故答案為：13題型三幾何求概率例題：（24-25九年級上·江蘇南京·期中）如圖，正方形內(nèi)接于，隨機向該圓形區(qū)域投擲飛鏢1次，假設(shè)飛鏢投中圓形區(qū)域中的每一點是等可能的（若投中邊界或沒有投中，則重投1次），則飛鏢恰好投中在正方形區(qū)域內(nèi)的概率是．【答案】【知識點】幾何概率【分析】本題考查了幾何概率．設(shè)正方形的邊長為a，則圓的直徑為，求出正方形的面積為，圓的面積為，然后用正方形的面積除以圓的面積即可求解．【詳解】解：設(shè)正方形的邊長為a，則圓的直徑為，∴正方形的面積為，圓的面積為，∴飛鏢恰好投中在正方形區(qū)域內(nèi)的概率是．故答案為：．鞏固訓(xùn)練1．（24-25九年級上·江蘇宿遷·期中）如圖，將一個飛鏢隨機投擲到的方格紙中，則飛鏢落在陰影部分的概率為．【答案】【知識點】幾何概率【分析】本題主要考查了幾何概率，確定陰影部分的面積在整個圖形中占的比例成為解題的關(guān)鍵．用陰影部分的面積除以總面積即可解答．【詳解】解：∵的方格紙的面積為，陰影部分面積為，∴飛鏢落在陰影區(qū)域的概率是．故答案為：．2．（2024九年級上·全國·專題練習(xí)）如果小球在如圖所示的地板上自由地滾動，并隨機停留在某塊方磚上，那么小球最終停留在黑色區(qū)域的概率是．【答案】【知識點】幾何概率【分析】本題考查的是幾何概率．先求出黑色方磚在整個地板中所占的比值，再根據(jù)其比值即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵由圖可知，黑色方磚可拼成3塊，共有9塊方磚，∴黑色方磚在整個地板中所占的比值，∴小球最終停留在黑色區(qū)域的概率是，故答案為：．3．（24-25九年級上·四川成都·階段練習(xí)）如圖，在中，，，，將繞點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)30°后得到，現(xiàn)隨機地向該圖形內(nèi)擲一枚小針，則針尖落在陰影部分概率為．【答案】【知識點】用勾股定理解三角形、幾何概率【分析】本題考查幾何概率，勾股定理，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題．證明陰影部分的面積三角形的面積，求出三角形的面積，可得結(jié)論．【詳解】解：如圖，過點作于點．，，，，由旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)可知，，，，，，現(xiàn)隨機地向該圖形內(nèi)擲一枚小針，則針尖落在陰影部分概率為．故答案為：．4．（24-25九年級上·四川成都·階段練習(xí)）如圖，四個全等的直角三角形圍成一個大正方形，中間是個小正方形，這個圖形是我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”，現(xiàn)分別連接大、小正方形的四組頂點得到圖2的“風(fēng)車”圖案（陰影部分），若圖1中的四個直角三角形的較長直角邊為7，較短直角邊為4，現(xiàn)隨機向圖2大正方形內(nèi)擲一枚小針，則針尖落在陰影區(qū)域的概率為；【答案】【知識點】以弦圖為背景的計算題、幾何概率【分析】此題主要考查了幾何概率及勾股定理，用到的知識點為：概率相應(yīng)的面積與總面積之比．根據(jù)題意易得，則圖中陰影部分是由中間的小正方形和四個全等三角形組成的，利用三角形和正方形的面積公式計算即可．【詳解】解：如圖，由題意可知，，，∴，，則中間小正方形的面積為，小正方形的外陰影部分的，陰影部分的面積為，針尖落在陰影區(qū)域的概率為．故答案為：．題型四列表法或樹狀圖法求概率例題：（24-25九年級上·河北保定·期中）如圖1，一枚質(zhì)地均勻的正四面體骰子，它有四個面并分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4．如圖2，正方形頂點處各有一個圈．跳圈游戲的規(guī)則為：游戲者每擲一次骰子，骰子著地一面上的數(shù)字是幾，就沿正方形的邊順時針方向連續(xù)跳幾個邊長．如：若從圈起跳，第一次擲得3，就順時針連續(xù)跳3個邊長，落到圈；若第二次擲得2，就從開始順時針連續(xù)跳2個邊長，落到圈；…設(shè)游戲者從圈起跳．(1)嘉嘉隨機擲一次骰子，落回到圈的概率為________；(2)淇淇隨機擲兩次骰子，用列表法求最后落回到圖的概率．【答案】(1)(2)最后落回到圈A的概率為．【知識點】列表法或樹狀圖法求概率【分析】本題主要考查了用畫樹狀圖法求概率．（1）根據(jù)概率公式求解即可；（2）畫樹狀圖求出所有等可能的結(jié)果，再求得淇淇隨機擲兩次骰子，最后落回到圈A的概率，比較即可解決．【詳解】（1）解：∵一枚質(zhì)地均勻的正四面體骰子，它有四個面并分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，且落回到圈A時，需擲得4，∴隨機擲一次骰子，落回到圈A的概率；故答案為：；（2）解：畫樹狀圖如解圖：∵共有16種等可能的結(jié)果，最后落回到圈A的有4種情況，∴最后落回到圈A的概率．鞏固訓(xùn)練1．（24-25九年級上·浙江杭州·期中）下圖是用幾個電子元件組成的一個電路系統(tǒng)，當(dāng)且僅當(dāng)從A到B的電路為通路狀態(tài)時，系統(tǒng)正常工作，系統(tǒng)正常工作的概率稱為該系統(tǒng)的可靠，每個元件正常工作的概率均為，當(dāng)某元件不能正常工作時，該元件在電路中將形成斷路．(1)如圖1，只用1個電子元件①，該電路為斷路的概率為________；(2)如圖2，用2個電子元件①、②組成一個電路系統(tǒng)，求系統(tǒng)正常工作的概率．（用畫樹狀圖或列表方法求解）【答案】(1)(2)【知識點】根據(jù)概率公式計算概率、列表法或樹狀圖法求概率【分析】本題考查的是畫樹狀圖或列表法求解隨機事件的概率，熟練的列表是解本題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)概率公式得出只用1個電子元件①，得出該電路為斷路的概率；（2）先列表得到用2個電子元件①，②組成一個電路系統(tǒng)時，所有等可能的結(jié)果數(shù)與符合條件的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式計算即可．【詳解】（1）解：只用1個電子元件①，該電路為斷路的概率為；故答案為：；（2）解：每個元件正常工作分別記為：，，每個元件不能正常工作分別記為：，，用2個電子元件①，②組成一個電路系統(tǒng)，所有情況如下表：

∵從到的電路共4種等可能結(jié)果，其中該電路為正常狀態(tài)的有1種，∴該電路為正常狀態(tài)的概率為．2．（24-25九年級上·山東青島·期中）某校科學(xué)社團開展“我愛科學(xué)，強基有我”的分享活動，先將“A燃料燃燒”“B電池充電”“C鏡花水月”“D冰雪消融”的圖案制成顏色、質(zhì)地、大小都相同的4張卡片（其中A、B主要為化學(xué)變化，C、D主要為物理現(xiàn)象）．活動時學(xué)生根據(jù)所抽取的卡片分享相關(guān)科學(xué)知識．抽取規(guī)則如下：4張卡片背面朝上洗勻，小云先從中隨機抽取一張，記錄下抽取的卡片，放回洗勻，小南再從中隨機抽取一張．若他們抽取的兩張卡片上都是化學(xué)變化，則由小云分享；若他們?nèi)〕龅膬蓮埧ㄆ隙际俏锢憩F(xiàn)象，則由小南分享；其他情況重抽．這個規(guī)則對小云和小南公平嗎？請用列表或畫樹狀圖法說明理由．【答案】這個規(guī)則對小云和小南公平．【知識點】列表法或樹狀圖法求概率【分析】本題考查了用樹狀圖或列表法求概率，游戲的公平性．畫出樹狀圖，求出小云和小南分享的概率即可判斷求解．【詳解】解：這個規(guī)則對小云和小南公平，理由：畫樹狀圖如下，由樹狀圖可得，共有種等結(jié)果，其中兩張卡片上都是化學(xué)變化的結(jié)果有種，兩張卡片上都是物理現(xiàn)象的結(jié)果有種，∴，，∵，∴這個規(guī)則對小云和小南公平．3．（24-25九年級上·浙江湖州·階段練習(xí)）一起感悟讀書之美，推廣全民閱讀，建設(shè)“書香中國”，不負韶華夢，讀書正當(dāng)時！我校對A．《三國演義》、B．《紅樓夢》、C．《西游記》、D．《水滸傳》四大名著開展“傳統(tǒng)文化經(jīng)典著作”推薦閱讀活動．(1)小胡從這4部名著中，隨機選擇1部閱讀，他選中《紅樓夢》的概率為_____．(2)我校計劃從這4部名著中，選擇2部作為課外閱讀書籍，求《紅樓夢》被選中的概率．（請用畫樹狀圖或列表等方法說明理由）【答案】(1)(2)1【知識點】根據(jù)概率公式計算概率、列表法或樹狀圖法求概率【分析】本題主要考查用列表法或畫樹狀圖法求隨機事件的概率，掌握概率的計算方法是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)概率公式的計算方法即可求解；（2）用列表法或畫樹狀圖法把所有等可能結(jié)果表示出來，再根據(jù)概率的計算方法即可求解．【詳解】（1）解：4部名著A．《三國演義》、B．《紅樓夢》、C．《西游記》、D．《水滸傳》中，隨機選擇1部，∴選中《紅樓夢》的概率為，故答案為：；（2）解：用列表法或畫樹狀圖法把所有等可能結(jié)果表示如下，∴共有12種等可能結(jié)果，其中B．《紅樓夢》被選中的有6種，∴《紅樓夢》被選中的概率為．4．（24-25九年級上·山東青島·期中）某省運動會如期舉行，其中第二個比賽日包含排球、足球、體操以及藝術(shù)體操4個項目．現(xiàn)有四張關(guān)于運動項目的門票，門票的正面分別印有的圖案為A．“排球”、B．“足球”、C．“體操”和D．“藝術(shù)體操”．將這四張卡片背面朝上（這四種門票的背面完全相同，A、B、C、D作為代號），洗勻：(1)從中隨機抽取一張門票，抽到C的概率為________；(2)從中隨機抽取兩張，請你利用畫樹狀圖或列表格的方法，求兩張門票恰好是B和D的概率．【答案】(1)(2)【知識點】根據(jù)概率公式計算概率、列表法或樹狀圖法求概率【分析】本題考查列表法或樹狀圖法求簡單隨機事件的概率，列舉出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果情況是解決問題的關(guān)鍵．（1）直接根據(jù)概率公式求解即可；（2）由樹狀圖得出所有等可能結(jié)果，從中找到符合條件的結(jié)果數(shù)，再根據(jù)概率公式求解即可．【詳解】（1）解：從中隨機抽取一張，抽得的卡片恰好為“體操”的概率為，故答案為：；（2）解：用樹狀圖法表示所有可能出現(xiàn)的結(jié)果如下：共有12種能可能出現(xiàn)的結(jié)果情況，其中兩次抽取的卡片圖案上是是B和D的有2種結(jié)果，所以兩次抽取的卡片圖案上是是B和D的的概率為．5．（24-25九年級上·陜西咸陽·期中）置換反應(yīng)是一種單質(zhì)與一種化合物反應(yīng)，生成另一種單質(zhì)和另一種化合物的反應(yīng)，包括金屬與金屬鹽的反應(yīng)，金屬與酸的反應(yīng)等．某次化學(xué)實驗課上，老師帶來了四種金屬．這四種金屬分別用四個相同的不透明的容器裝著，讓同學(xué)們隨機選擇一種金屬與鹽酸反應(yīng)來制取氫氣．（根據(jù)金屬活動順序可知，可以置換出氫氣，而不能置換出氫氣）(1)若從四種金屬中隨機選擇一種，選到的概率是；(2)甲同學(xué)從四種金屬中隨機選擇一種金屬進行實驗，將四個容器的順序打亂，然后乙同學(xué)從四種金屬中再隨機選擇一種金屬進行實驗，請用畫樹狀圖法或列表法，求兩人所選金屬均能置換出氫氣的概率．【答案】(1)(2)【知識點】列表法或樹狀圖法求概率【分析】本題考查列表法與樹狀圖法、隨機事件、概率公式，熟練掌握列表法與樹狀圖法、不可能事件的定義、概率公式是解答本題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)不可能事件的定義可得答案．（2）列表可得出所有等可能的結(jié)果數(shù)以及兩人所選金屬均能置換出氫氣的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式可得出答案．【詳解】（1）解：由題意知，從四種金屬中隨機選擇一種，共有四種可能，選到有一種可能，選到的概率是．故答案為：．（2）解：列表如下：共有16種等可能的結(jié)果，其中兩人所選金屬均能置換出氫氣的結(jié)果有：，，，，共4種，兩人所選金屬均能置換出氫氣的概率為．題型五利用概率判定游戲的公平性例題：（24-25九年級上·云南文山·期中）為了舉薦九年級一班的小明和小亮代表班級在周一升旗時致辭，老師準備了如圖所示的兩個可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤、?，每個轉(zhuǎn)盤被分成面積相等的幾個扇形，并在每一個扇形內(nèi)標(biāo)上數(shù)字．規(guī)定：同時轉(zhuǎn)動兩個轉(zhuǎn)盤，但轉(zhuǎn)盤停止后，兩個指針?biāo)竻^(qū)域的數(shù)字之和為奇數(shù)時，小明致辭；數(shù)字之和為偶數(shù)時，小亮致辭，如果指針恰好停在分割線上，那么重轉(zhuǎn)一次，直到指針指向某一區(qū)域為止．(1)用列表或畫樹狀圖的方法表示出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果；(2)這個規(guī)則公平嗎？請說明理由．【答案】(1)見解析(2)公平，理由見解析【知識點】根據(jù)概率公式計算概率、列表法或樹狀圖法求概率、游戲的公平性【分析】本題考查的是游戲公平性的判斷，（1）根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得兩個指針?biāo)竻^(qū)域的數(shù)字之和即可；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果并利用概率公式分別求得小明致辭、小亮致辭的概率，比較大小，即可得這個游戲規(guī)則對小明、小亮雙方是否公平；解題的關(guān)鍵是掌握：判斷游戲公平性就要計算每個事件的概率，概率相等就公平，否則就不公平．【詳解】（1）解：畫樹狀圖得：∵共有種等可能的結(jié)果，分別為：、、、、、、、、、、、；（2）公平．理由：∵兩個指針?biāo)竻^(qū)域的數(shù)字之和為奇數(shù)有種情況，數(shù)字之和為偶數(shù)有種情況，∴（小明致辭），（小亮致辭），∴（小明致辭）＝（小亮致辭），∴這個游戲規(guī)則對小明、小亮雙方公平．鞏固訓(xùn)練1．（24-25九年級上·河北保定·期中）4張相同的卡片分別寫有數(shù)字1，2，3，4，將卡片的背面朝上，洗勻后從中任意抽取1張，將卡片上的數(shù)字作為被減數(shù)；一只不透明的袋子中裝有標(biāo)號為1，2，3的3個小球，這些球除標(biāo)號外都相同，攪勻后從中任意摸出一個球，將摸到的球的標(biāo)號作為減數(shù)．(1)求這兩個數(shù)的差為0的概率；（用列表法或樹狀圖說明）(2)如果游戲規(guī)則規(guī)定：當(dāng)抽到的這兩個數(shù)的差為非負數(shù)時，則甲獲勝；否則，乙獲勝．你認為這樣的規(guī)則公平嗎？請說明理由．【答案】(1)；(2)不公平，理由見解析．【知識點】列表法或樹狀圖法求概率、游戲的公平性【分析】本題考查的是概率的應(yīng)用—游戲公平性的判斷，熟練掌握概率的計算公式：概率所求情況數(shù)總情況數(shù)，并通過計算每個參與者獲勝的概率是否相等來判定游戲公平性是解題的關(guān)鍵．（1）畫出列表法列出所有可能，得到12種等可能的情況，兩個數(shù)的差為0的情況占3種，依據(jù)概率公式計算即可得出結(jié)果；（2）利用概率公式分別計算甲、乙獲勝的概率，再判斷概率是否相等，相等即公平，否則不公平，即可得出答案．【詳解】（1）解：根據(jù)題意，列表如下：1234101232012301共有12種等可能的情況，其中兩個數(shù)的差為0的情況占3種，P（兩個數(shù)的差為0）．答：這兩個數(shù)的差為0的概率為．（2）這樣的規(guī)則不公平，理由如下：兩個數(shù)的差為非負數(shù)的情況有9種，P（甲獲勝），P（乙獲勝），P（甲獲勝）P（乙獲勝），這樣的規(guī)則不公平．2．（24-25九年級上·山西運城·期中）游戲是生活中有趣味的社交活動，是人類終身不可缺少的伴侶，更是家庭歡樂的源泉．小剛父親和小剛二叔玩一種游戲，游戲規(guī)則：兩人只可以說出“木棒”、“老虎”、“公雞”、“小蟲”中的任何一個，同時各說出一個后定勝負，其中“木棒”勝“老虎”、“老虎”勝“公雞”、“公雞”勝“小蟲”、“小蟲”勝“木棒”．其它情況，則為平局．例如，小剛父親說“老虎”，小剛二叔說“公雞”，則小剛父親勝；又如，兩人同時說“蟲子”，則為平局；再如，一人說“公雞”，一人說“木棒”，則為平局．(1)每一次小剛父親說出“老虎”的概率是_____；(2)如果用，，，分別表示小剛父親說的“木棒”、“老虎”、“公雞”、“小蟲”；用，，，分別表示小剛二叔說的“木棒”、“老虎”、“公雞”、“小蟲”，那么某一次說出時小剛父親勝小剛二叔的概率是多少？用列表法或畫樹狀圖法加以說明；(3)你認為這個游戲?qū)π偢赣H和小剛二叔公平嗎？為什么？【答案】(1)(2)(3)公平，見解析【知識點】游戲的公平性、列表法或樹狀圖法求概率、根據(jù)概率公式計算概率【分析】本題考查列表法或畫樹狀圖法的概率計算，得到所有的等可能的結(jié)果是解答的關(guān)鍵．（1）直接利用概率公式求解即可；（2）先畫樹狀圖法得到所有的等可能的結(jié)果，再找出小剛勝小明的可能結(jié)果數(shù)，然后利用概率公式求解即可；（3）首先求出某一次說出時小剛二叔勝小剛父親的概率為，然后判斷即可．【詳解】（1）解：∵共有“木棒”、“老虎”、“公雞”、“小蟲”4種情況，∴每一次小剛父親說出“老虎”的概率為；（2）解：列表如下：小剛二叔小剛父親ABCD由表格可知，共出現(xiàn)了16種等可能的結(jié)果，其中小剛父親勝小剛二叔的結(jié)果有4種，∴某一次說出時小剛父親勝小剛二叔的概率為；（3）解：由表格可知某一次說出時小剛二叔勝小剛父親的概率為，∵∴兩人獲勝的概率相等，這個游戲?qū)π偢赣H和小剛二叔是公平的．3．（24-25九年級上·陜西咸陽·期中）如圖是一個轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)盤被等分成三等份，分別標(biāo)注數(shù)字“1”“2”“3”，轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤，待轉(zhuǎn)盤自動停止后，指針指向一個扇形的內(nèi)部，則該扇形內(nèi)的數(shù)字即為轉(zhuǎn)出的數(shù)字，此時稱為轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤一次（若指針指向兩個扇形的交線，則不計轉(zhuǎn)動的次數(shù)，重新轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤，直到指針指向一個扇形的內(nèi)部為止）．(1)轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤一次，轉(zhuǎn)盤停止后，指針指向奇數(shù)的概率是_______；(2)嘉嘉和淇淇一起玩轉(zhuǎn)盤游戲，規(guī)則如下：兩人各轉(zhuǎn)一次轉(zhuǎn)盤，若兩次轉(zhuǎn)出的數(shù)字均為奇數(shù)，則嘉嘉獲勝；若兩次轉(zhuǎn)出的數(shù)字為一個奇數(shù)一個偶數(shù)（不分先后），則淇淇獲勝．請通過畫樹形圖或列表的方法說明該游戲規(guī)則對雙方是否公平．【答案】(1)(2)樹狀圖見解析，該游戲?qū)Χ斯健局R點】根據(jù)概率公式計算概率、列表法或樹狀圖法求概率、游戲的公平性【分析】本題主要考查了簡單的概率計算，樹狀圖法或列表法求解概率，游戲的公平性：（1）直接根據(jù)概率計算公式求解即可；（2）先畫出樹狀圖得到所有等可能性的結(jié)果數(shù)，再找到兩次轉(zhuǎn)出的數(shù)字均為奇數(shù)的結(jié)果數(shù)和兩次轉(zhuǎn)出的數(shù)字為一個奇數(shù)一個偶數(shù)的結(jié)果數(shù)，進一步求出二人獲勝的概率即可得到結(jié)論．【詳解】（1）解：∵一共有3個區(qū)域，每個區(qū)域被轉(zhuǎn)到的概率相同，且奇數(shù)有2個區(qū)域，∴轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤一次，轉(zhuǎn)盤停止后，指針指向奇數(shù)的概率是，故答案為：；（2）解：畫樹狀圖如下：由樹狀圖可知，一共有9種等可能性的結(jié)果數(shù)，其中兩次轉(zhuǎn)出的數(shù)字均為奇數(shù)的結(jié)果數(shù)有4種，兩次轉(zhuǎn)出的數(shù)字為一個奇數(shù)一個偶數(shù)的結(jié)果數(shù)有4種，∴二人獲勝的概率都為，∴該游戲?qū)Χ斯剑}型六概率在轉(zhuǎn)盤抽獎中的應(yīng)用例題：（24-25九年級上·河北滄州·期末）為了回饋顧客，某商場在“五一”期間對一次購物超過200元的顧客進行抽獎返券活動．活動方案有二：方案一：顧客分別轉(zhuǎn)動甲、乙兩個轉(zhuǎn)盤各一次（甲盤的白色區(qū)域占，乙盤的白色區(qū)域占，其余均為黑色區(qū)域），若轉(zhuǎn)盤停止時指針的指向為下表中的組合，則可按下表獲得贈券．兩轉(zhuǎn)盤顏色（甲，乙）（黑，黑）（黑，白）（白，黑）（白，白）中獎券金額0元10元20元50元方案二：尊重顧客意愿，可以不經(jīng)過抽獎，直接領(lǐng)取10元贈券．問題：(1)方案一中，顧客獲得10元和50元贈券的概率分別是多少？(2)如果你是顧客，你會選擇兩種方案中的哪一種？試通過計算給出合理理由．【答案】(1)顧客獲得10元和50元贈券的概率分別是，；(2)方案一，見解析【知識點】游戲的公平性【分析】本題考查游戲的公平性；根據(jù)乘法法則得到相應(yīng)的概率是解決本題的關(guān)鍵．（1）第一次轉(zhuǎn)得是黑色的概率為，第二次轉(zhuǎn)得是白色的概率為，相乘即為獲得10元的概率，同法可得獲得50元的概率；（2）算出方案一中可能的概率，可獲得資金為相應(yīng)的錢數(shù)與概率的積的和，和10比較即可．【詳解】（1）解：設(shè)獲得0元，10元，20元和50元獎券的概率分別為，，，，出現(xiàn)（黑，白）的概率，獲得10元獎券的概率為，出現(xiàn)（白，白）的概率為，獲得50元獎券的概率為；（2）解：應(yīng)選方案一設(shè)獲得0元，10元，20元和50元獎券的概率分別為，，，，中獎券金額與其概率的對應(yīng)關(guān)系為：中獎券金額0元10元20元50元概率中獎額的預(yù)期為元，．應(yīng)該選擇方案一．鞏固訓(xùn)練1．（2024七年級下·全國·專題練習(xí)）一次抽獎活動設(shè)置如下的翻獎牌，翻獎牌的正面、背面如下，如果你只能在9個數(shù)字中選擇一個數(shù)字翻牌，請解決下面的問題：(1)直接寫出翻牌得到“手機”獎品的可能性的大?。?2)請你根據(jù)題意設(shè)計翻獎牌反面的獎品，包含（手機、微波爐、球拍、電影票，謝謝參與）使得最后抽到“球拍”的可能性大小是．【答案】(1)(2)設(shè)計九張牌中有四張寫著球拍，其它的五張牌中手機、微波爐、電影票各一張，謝謝參與兩張（答案不唯一）【知識點】根據(jù)概率公式計算概率、概率在轉(zhuǎn)盤抽獎中的應(yīng)用【分析】本題主要考查了隨機事件的可能性，掌握可能性的計算公式是解題的關(guān)鍵．（1）先確定所有等可能結(jié)果數(shù)、翻到“手機”的結(jié)果數(shù)，然后運用概率公式計算即可；（2）設(shè)計一個有等可能結(jié)果數(shù)為9，翻到“球拍”的結(jié)果數(shù)為4的方案即可．【詳解】（1）解：由題意可知一共有9張牌，其中“手機”有2張，則抽到“手機”獎品的可能性是：．（2）解：設(shè)計九張牌中有四張寫著球拍，其它的五張牌中手機、微波爐、電影票各一張，謝謝參與兩張．（答案不唯一）2．（24-25九年級上·遼寧錦州·期中）某商場舉行有獎促銷活動，顧客購買一定金額的商品后即可抽獎．抽獎規(guī)則如下：1．抽獎方案有以下兩種：方案A，從裝有1個紅球、2個白球（僅顏色不同）的甲袋中隨機摸出1個球，若是紅球，則獲得獎金15元，否則，沒有獎金，兌獎后將摸出的球放回甲袋中；方案B，從裝有2個紅、1個白球（僅顏色不同）的乙袋中隨機摸出1個球，若是紅球，則獲得獎金10元，否則，沒有獎金，兌獎后將摸出的球放回乙袋中．2．抽獎條件是：顧客購買商品的金額每滿100元，可根據(jù)方案A抽獎一次：每滿足200元，可根據(jù)方案B抽獎一次（例如某顧客購買商品的金額為310元，則該顧客采用的抽獎方式可以有以下三種，根據(jù)方案A抽獎三次或方案A，B各抽獎一次）．已知某顧客在該商場購買商品的金額為230元．若該顧客只選擇根據(jù)方案A進行抽獎，求其所獲獎金為15元的概率；【答案】【知識點】列表法或樹狀圖法求概率【分析】本題主要考查了用樹狀圖或列表法求等可能事件的概率，方法是用樹狀圖或列表法列舉出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果總數(shù)，找出符合條件的結(jié)果數(shù)，用分數(shù)表示即可，注意每種情況發(fā)生的可能性相等．利用畫樹狀圖或列表的方法，得出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果總數(shù)，從中找到符合條件的結(jié)果數(shù)，進而求出概率即可．【詳解】解：由于某顧客在該商場購買商品的金額為230元，只選擇方案一進行抽獎，因此可以抽2次，由抽獎規(guī)則可知，兩次抽出的結(jié)果為一紅一白的可獲得獎金15元，從1個紅球，2個白球中有放回抽2次，所有可能出現(xiàn)的結(jié)果情況如下：∵共有9種等可能出現(xiàn)的結(jié)果，其中一紅一白，即可獲獎金15元的有4種，∴該顧客只選擇根據(jù)方案A進行抽獎，獲獎金為15元的概率為．3．（22-23九年級上·河南平頂山·期末）某商場，為了吸引顧客，在“元旦”當(dāng)天舉辦了商品有獎酬賓活動，凡購物滿200元者，有兩種獎勵方案供選擇：方案一：是直接獲得20元的禮金卷；方案二：是得到一次播獎的機會．規(guī)則如下：已知如圖是由轉(zhuǎn)盤和箭頭組成的兩個轉(zhuǎn)盤A、B，這兩個轉(zhuǎn)盤除了顏色不同外，其它構(gòu)造完全相同，搖獎?wù)咄瑫r轉(zhuǎn)動兩個轉(zhuǎn)盤，指針分別指向一個區(qū)域（指針落在分割線上時重新轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤），根據(jù)指針指向的區(qū)域顏色（如表）決定送禮金券的多少．指針指向兩紅一紅一藍兩藍禮金券（元）27927(1)請你用列表法（或畫樹狀圖法）求兩款轉(zhuǎn)盤指針分別指向一紅區(qū)和一藍區(qū)的概率．(2)如果一名顧客當(dāng)天在本店購物滿200元，若只考慮獲得最多的禮品券，請你幫助分析選擇哪種方案較為實惠．【答案】(1)(2)方案一比較實惠【知識點】列表法或樹狀圖法求概率、概率在轉(zhuǎn)盤抽獎中的應(yīng)用【分析】（1）根據(jù)題意列出表格，然后根據(jù)概率公式求出結(jié)果即可；（2）先分別算出指針指在兩個紅色區(qū)域，兩個藍色區(qū)域的概率，算出按方案二獲得禮金券的平均值，最后進行比較即可得出答案．【詳解】（1）解：列表格如下：藍藍紅藍（藍，藍）（藍，藍）（藍，紅）紅（紅，藍）（紅，藍）（紅，紅）紅（紅，藍）（紅，藍）（紅，紅）∵由表格可知，共有9種等可能結(jié)果，其中轉(zhuǎn)盤指針分別指向一紅區(qū)和一藍區(qū)的情況數(shù)有5種，∴兩款轉(zhuǎn)盤指針分別指向一紅區(qū)和一藍區(qū)的概率．（2）解：∵，∴如果選擇方案二，獲得禮金券的平均值為：（元），∵，∴選擇方案一比較實惠．【點睛】本題主要考查了列表法或畫樹狀圖法求概率，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意列出表格或畫出樹狀圖，熟練掌握概率的基本公式．題型七用頻率估計概率例題：（24-25九年級上·浙江衢州·期中）下表記錄了某種蘋果樹苗在一定條件下移植成活的情況：由此估計這種蘋果樹苗的移植成活的概率為．移植的棵數(shù)10020050010002000成活的棵數(shù)811563958001600成活的頻率0.810.780.790.800.80【答案】【知識點】由頻率估計概率【分析】本題考查了由頻率估計概率，解題的關(guān)鍵是熟知大量反復(fù)試驗下頻率的穩(wěn)定值即為概率值．【詳解】解：由表格的數(shù)據(jù)可知，隨著試驗次數(shù)的增加，該蘋果樹苗的成活的頻率穩(wěn)定在左右，估計這種蘋果樹苗的移植成活的概率為，故答案為：．鞏固訓(xùn)練1．（24-25九年級上·江西景德鎮(zhèn)·期中）對一批燈泡進行抽檢，統(tǒng)計合格燈泡的只數(shù)，得到合格燈泡的頻率見下表：抽取只數(shù)/只5010002000合格頻率估計從該批次燈泡中任抽一只燈泡是合格品的概率為．【答案】【知識點】由頻率估計概率【分析】本題考查了用頻率估計概率，觀察表格合格的頻率趨近于0.84，從而由此得到燈泡合格的概率即可．【詳解】解：∵隨著抽樣的增大，合格的頻率趨近于，估計從該批次口罩中任抽一只燈泡是合格品的概率為．故答案為：．2．（24-25九年級上·福建漳州·期中）在不透明袋子中有1個黃球、2個白球和7個紅球，這些球除顏色外無其他差別．從袋子中隨機取出一個球，某種顏色的球出現(xiàn)的頻率如圖所示，則該球最有可能是．【答案】白球【知識點】根據(jù)概率公式計算概率、由頻率估計概率【分析】本題主要考查了由頻率估計概率，概率的計算，熟練掌握概率計算方法是解題的關(guān)鍵．觀察統(tǒng)計圖得該球得頻率穩(wěn)定在0.20左右，進而計算抽到每種顏色球的概率即可判斷．【詳解】解：觀察統(tǒng)計圖可知，該球得頻率穩(wěn)定在0.20左右，∴抽到該球的概率為0.20，∵抽到黃球概率為，抽到白球概率為，抽到紅球概率為，∴該球最有可能是白球，故答案為：白球．3．（24-25九年級上·陜西商洛·期中）興趣學(xué)習(xí)小組對某品種的小麥在相同條件下進行發(fā)芽試驗，結(jié)果如表所示：試驗的麥粒數(shù)10020050010002000發(fā)芽的麥粒數(shù)911784509001820發(fā)芽的頻率0.910.890.900.900.91通過試驗，估計在這批麥粒中任取1粒能發(fā)芽的概率為．（精確到0.1）【答案】0.9【知識點】由頻率估計概率【分析】本題考查了由頻率估計概率，根據(jù)表格可知：隨著實驗麥粒數(shù)的增加，其發(fā)芽的頻率穩(wěn)定在0.9左右，據(jù)此解答．【詳解】解：由表格可知，隨著實驗麥粒數(shù)的增加，其發(fā)芽的頻率穩(wěn)定在0.9左右，故答案為：0.9．題型八已知概率求數(shù)量例題：（24-25九年級上·廣東珠海·期中）袋子里裝有紅、黃兩種顏色的小球，除了顏色之外小球的形狀、大小、材質(zhì)完全相同，攪拌均勻后從袋中隨機摸出一個球是紅球的概率為15，如果袋中有紅球有3個，則袋中的黃球有【答案】12【知識點】分式方程的實際應(yīng)用、已知概率求數(shù)量【分析】本題考查了概率公式的應(yīng)用．注意掌握方程思想的應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵．設(shè)黃球共個，利用概率公式列式求得的值即可．【詳解】解：設(shè)黃球共個，根據(jù)題意得：，解得：，經(jīng)檢驗是原方程的解，所以黃球共有12個，故答案為：12．鞏固訓(xùn)練1．（2023·湖南岳陽·模擬預(yù)測）一個紙箱中混裝有75顆白棋子和若干顆黑棋子，現(xiàn)將紙箱中棋子攪勻，并從中取出36顆棋子，數(shù)得黑棋子有9顆，據(jù)此估計該紙箱裝有黑棋子約有顆．【答案】25【知識點】分式方程的實際應(yīng)用、由樣本所占百分比估計總體的數(shù)量、已知概率求數(shù)量【分析】設(shè)有顆黑棋子，根據(jù)樣本估計總體得到方程，再解方程即可求解；本題主要考查用樣本估計總體的統(tǒng)計思想、頻率的意義與作用、分式方程的解法．【詳解】解：設(shè)有顆黑棋子，依題意得：解得經(jīng)檢驗：是原方程的解．故答案為：25．2．（24-25九年級上·浙江金華·階段練習(xí)）在一個不透明的箱子里裝有個球，其中紅球4個，這些球除顏色外都相同，每次將球攪拌均勻后，任意摸出一個球記下顏色后再放回，大量重復(fù)試驗后發(fā)現(xiàn)，摸到紅球的頻率在，那么可以估算出的值為．【答案】【知識點】已知概率求數(shù)量、由頻率估計概率【分析】此題主要考查了利用頻率估計概率，已知概率求數(shù)量，解答此題的關(guān)鍵是利用紅球的個數(shù)除以總數(shù)等于頻率．在同樣條件下，大量反復(fù)試驗時，隨機事件發(fā)生的頻率逐漸穩(wěn)定在概率附近，可以從比例關(guān)系入手，根據(jù)紅球的個數(shù)除以總數(shù)等于頻率，求解即可．【詳解】解：∵大量重復(fù)試驗后發(fā)現(xiàn)，摸到紅球的頻率在，∴任意摸出一個球，摸到紅球的概率為，∴，∴．經(jīng)檢驗符合題意；故答案為：．3．（24-25九年級上·陜西咸陽·階段練習(xí)）在一個不透明的袋子里裝有3個黑球和若干個白球，它們除顏色不同外其余都相同．若每次搖勻后，從中隨機摸出一球，記下顏色后放回袋中，大量重復(fù)上述實驗后，發(fā)現(xiàn)摸到黑球的頻率穩(wěn)定在，則袋子中白球有個．【答案】【知識點】解分式方程、根據(jù)概率公式計算概率、已知概率求數(shù)量【分析】本題考查了分式方程，頻率估算概率，概率的計算，根據(jù)題意，設(shè)白球有個，則袋子中的球有個，根據(jù)摸到黑球的頻率穩(wěn)定在，列式求解即可．【詳解】解：根據(jù)題意，設(shè)白球有個，則袋子中的球有個，∴，解得，，檢驗，當(dāng)時，原分式方程的分母不為，∴是原分式方程的解，∴袋子中白球有個，故答案為：．4．（23-24九年級上·陜西渭南·階段練習(xí)）一個盒子中裝有20顆藍色幸運星，若干顆紅色幸運星和15顆黃色幸運星，這些幸運星除顏色外都相同．小明從中隨機摸出一顆幸運星記下顏色并放回，發(fā)現(xiàn)摸到紅色幸運星的頻率穩(wěn)定在0.5，則可估計盒中紅色幸運星的顆數(shù)為顆．【答案】35【知識點】已知概率求數(shù)量【分析】本題主要考查了已知頻率求相關(guān)數(shù)量，正確列出方程是解題的關(guān)鍵．設(shè)袋中紅色幸運星有顆，根據(jù)“摸取到紅色幸運星的頻率穩(wěn)定在0.5左右”列出關(guān)于的方程，解之可得袋中紅色幸運星的個數(shù)．【詳解】設(shè)袋中紅色幸運星有顆，根據(jù)題意，得：，解得：．故答案為：35．題型九頻率和概率的綜合應(yīng)用例題：（24-25九年級上·陜西咸陽·期中）下表是某校生物興趣小組在相同的實驗條作下，對某植物種子發(fā)芽率進行研究時所得到的數(shù)據(jù)：試驗的種子數(shù)100200500100020005000發(fā)芽的粒數(shù)9447595419064748發(fā)芽頻率0.940.9550.950.9530.9496(1)上表中的________，________．(2)任取一粒這種植物種子，估計它能發(fā)芽的概率是________．（結(jié)果精確到0.01）(3)若該校勞動基地需要這種植物幼苗9500棵，試估計需要準備多少粒種子進行發(fā)芽培育？【答案】(1)191，(2)(3)需要準備10000粒種子進行發(fā)芽培育．【知識點】由頻率估計概率【分析】本題考查了頻數(shù)、頻率、總數(shù)之間的關(guān)系，用頻率估計概率，掌握頻數(shù)、頻率、總數(shù)之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)種子數(shù)、發(fā)