求數(shù)列的通項(xiàng)公式（10題型分類）-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（原卷版）

專題29求數(shù)列的通項(xiàng)公式10題型分類

彩題如工總

題型10：前n項(xiàng)積型題型1：觀察法

彩和泅宏庫(kù)

1.數(shù)列的通項(xiàng)公式

如果數(shù)列｛斯｝的第n項(xiàng)斯與它的序號(hào)n之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系可以用一個(gè)式子來(lái)表示，那么這個(gè)式子叫做這

個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.

2.數(shù)列的遞推公式

如果一個(gè)數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)或多項(xiàng)之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子表示，那么這個(gè)式子叫做這個(gè)數(shù)列的遞推

公式，知道了首項(xiàng)和遞推公式，就能求出這個(gè)數(shù)列的每一項(xiàng).

觀察法

觀察法即根據(jù)所給的一列數(shù)、式、圖形等，通過(guò)觀察分析數(shù)列各項(xiàng)的變化規(guī)律，求其通項(xiàng).使用觀察

法時(shí)要注意：①觀察數(shù)列各項(xiàng)符號(hào)的變化，考慮通項(xiàng)公式中是否有(-1)"或者(-I)"一部分.②考慮各項(xiàng)的變

化規(guī)律與序號(hào)的關(guān)系.③應(yīng)特別注意自然數(shù)列、正奇數(shù)列、正偶數(shù)列、自然數(shù)的平方｛r｝、｛2"｝與(-1)"有

關(guān)的數(shù)列、等差數(shù)列、等比數(shù)列以及由它們組成的數(shù)列.

題型1:觀察法

1-L（2024.湖南長(zhǎng)沙.二模）南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法?商功》中出現(xiàn)了如圖所示的形狀，后人

稱為“三角垛”，“三角垛”的最上層有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球，……，則第十層有（）

個(gè)球.

A.12B.20C.55D.110

1-2.（2024?遼寧?三模）線性分形又稱為自相似分形，其圖形的結(jié)構(gòu)在幾何變換下具有不變性，通過(guò)不斷迭

代生成無(wú)限精細(xì)的結(jié)構(gòu).一個(gè)正六邊形的線性分形圖如下圖所示，若圖1中正六邊形的邊長(zhǎng)為1,圖“中正六

邊形的個(gè)數(shù)記為耳，所有正六邊形的周長(zhǎng)之和、面積之和分別記為C”,5“，其中圖〃中每個(gè)正六邊形的邊長(zhǎng)

是圖〃-1中每個(gè)正六邊形邊長(zhǎng)的;，則下列說(shuō)法正確的是（）

C.存在正數(shù)機(jī)，使得恒成立D.

13（2024高二上?山東聊城?期中）若數(shù)列｛q｝的前4項(xiàng)分別是:-g,則該數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為

（）

（-I）"-1（-1）"「（-1）"n（―1嚴(yán)

AA.a=---------nB.a=------C.a=-------D.a=-------

nnnn+1nnnn+1

71.（2024高三上.河北唐山?期中）若數(shù)列｛%｝的前6項(xiàng)為則數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式可以

為%=（）

D.(-l)n+1-

1.累加法：形如an+i=%+/(?)的解析式

形如%+i=%+/(〃)型的遞推數(shù)列(其中/(〃)是關(guān)于〃的函數(shù))可構(gòu)造:

將上述嗎個(gè)式子兩邊分別相加，可得：q=f(力-1)+/("-2)+.../(2)+穴1)+囚,(〃22)

①若f(n)是關(guān)于〃的一次函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求和；

②若/(〃)是關(guān)于"的指數(shù)函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和；

③若/(〃)是關(guān)于〃的二次函數(shù)，累加后可分組求和；

④若/(〃)是關(guān)于〃的分式函數(shù)，累加后可裂項(xiàng)求和.

2.累乘法：形如all+1=an-/(??)的解析式

-=/(?-1)

形如%+1=%?/(〃)〃的函數(shù))可構(gòu)造：

將上述機(jī)2個(gè)式子兩邊分別相乘，可得：??=f｛n-1)-f(n-2)??f(T)f(X)ax,(n>2)

有時(shí)若不能直接用，可變形成這種形式，然后用這種方法求解.

題型2:累加法

2-1.(2024.陜西安康?模擬預(yù)測(cè))在數(shù)列｛《,｝中，4=1,an+1=an+n+l,貝+7+…+—=()

2021「40442021-2022

A.------B.------C.------D.------

1011202320222023

2-2.(2024?新疆喀什?模擬預(yù)測(cè))若。〃=+〃-1,a1=1則=()

A.55B.56C.45D.46

2-3.（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）已知數(shù)列｛g｝滿足q=:c，??i=a?+，則｛?！埃耐?xiàng)為（）

2+n2+n

c31

A.--,n>l,neN*B.-+,n>1,nGN*

n2n

31c31

C.--------,n>1,neN*D.-------.>1,HeN*

2n2n

2-4.（2024?四川成都?模擬預(yù)測(cè)）已知S,是數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和，且對(duì)任意的正整數(shù)小都滿足:

11cc1

-----------=2〃+2,若％=］，則$2023二（)

4+1an

A20232022〃2021r1010

A.------B.c.----D.------

2024202320242023

題型3：累乘法

3-1.（2024高二.全國(guó)?課后作業(yè)）數(shù)列｛《,｝中，q=l,—（"為正整數(shù)），則％儂的值為（）

2021-2022

A)B」C.------D.------

2022202120222021

72+1

3-2.（2024高二上?陜西咸陽(yáng)?階段練習(xí)）已知％=2,。〃+]=d,則%022=()

nn

A.506B.1011C.2022D.4044

已知數(shù)列｛%｝滿足（"+2）a“+i=5+1）?！?，且的=；,則氏=（）

3-3.（2024高一下?青海西寧?階段練習(xí)）

n-1「1c」D.-L

A.-----B.-----

〃+12n-l2n-\〃+1

彩偏題祕(mì)籍（二）

待定系數(shù)法

（-）形如/（其中pg均為常數(shù)且p/0）型的遞推式:

（1）若p=l時(shí)，數(shù)列｛環(huán)｝為等差數(shù)列；

（2）若q=0時(shí)，數(shù)列｛七｝為等比數(shù)列；

（3）若pwl且q/O時(shí)，數(shù)列｛a,J為線性遞推數(shù)列，其通項(xiàng)可通過(guò)待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列來(lái)求.方法

有如下兩種：

法一：設(shè)an+i+X=p（an+2）,展開(kāi)移項(xiàng)整理得an+i=pan+（p-1）X,與題設(shè)an+l=pan+q比較系數(shù)（待

定系數(shù)法）得；1=—^,（0片0）=%+|+—^=p（a“+—^）+—=+—^），即構(gòu)

p-1p-1p-1p-1p-11p-lj

成以％+，_為首項(xiàng)，以p為公比的等比數(shù)列.再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出［“"+'一］的通項(xiàng)整理可

p-11P-1J

得％.

1

法二：由an+i=pan+q得a.=pan_x+儀〃22）兩式相減并整理得出~—=p,即｛a“+i-aj構(gòu)成以a,-q

為首項(xiàng)，以〃為公比的等比數(shù)列.求出｛。角-%｝的通項(xiàng)再轉(zhuǎn)化為類型回（累加法）便可求出％.

（二）形如%+i+/（幾）（pW1）型的遞推式：

（1）當(dāng)/（〃）為一次函數(shù)類型（即等差數(shù)列）時(shí)：

法一：^an+An+B=p\an_x+A（n-1）+B］,通過(guò)待定系數(shù)法確定A、B的值，轉(zhuǎn)化成以q+A+3為首

Fl!

項(xiàng)，以4"=滴而為公比的等比數(shù)列｛a，，+A〃+3｝，再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出｛氏+即+用的通項(xiàng)

整理可得為.

法二：當(dāng)/'（"）的公差為d時(shí)，由遞推式得：an+i=pan+f｛ri）,兩式相減得：

%+1-4=。（（一"”.1）+4，令b”=a.+「a”得:6,=。?！啊?”求出b,,再可求出

（2）當(dāng)/（〃）為指數(shù)函數(shù)類型（即等比數(shù)列）時(shí)：

法一：設(shè)%+2/（"）=p［a“T+兒/（〃-1）］,通過(guò)待定系數(shù)法確定2的值，轉(zhuǎn)化成以％+2/⑴為首項(xiàng)，以

4"=（1》為公比的等比數(shù)列｛氏+肛（必，再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出｛。"+A/'（明的通項(xiàng)整理可

得。

法二：當(dāng)/（〃）的公比為q時(shí)，由遞推式得：an+l=pan+/（n）---①，an=pan_x+f（n-1）,兩邊同時(shí)乘

以q得a〃q=pqafl-l+Qf（〃-l）—②，由①②兩式相減得q+i—%q=p（?！ㄒ换?）,即％—"■=〃，在求出

冊(cè)—q%

%.

法三：遞推公式為為+1=p%+/（其中p，q均為常數(shù)）或%+i=p%+nf（其中p,q,r均為常數(shù)）

時(shí)，要先在原遞推公式兩邊同時(shí)除以4角，得：名■=￡.2+▲,引入輔助數(shù)列抄J（其中勿=&）,得：

qqqqq

%+]=￡2+工再求出

qq

（3）當(dāng)/（〃）為任意數(shù)列時(shí)，可用通法：

在％=叫+/⑻兩邊同時(shí)除以*可得到%=3+噌，令之=2,則%=2+坐，在通過(guò)

ppppP

累加法，求出口之后得an=p"bn.

題型4:待定系數(shù)法

4-1.（2024?四川樂(lè)山?二模）已知數(shù)列｛4“｝滿足a,+]=2a“+2,4=1,則。,,=.

4-2.（2024高三.全國(guó)?專題練習(xí)）已知數(shù)歹（]｛為｝滿足。用=2?！?4-3"\%=-1,則數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式

為.

4-3.（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）已知：4=1,”22時(shí)，an=—an_x+2/2-1,求｛4｝的通項(xiàng)公式.

彩得41祕(mì)籍

（四）

同除法

對(duì)于a“+i=pa〃+cq"（其中p,q,c均為常數(shù)）型

方法一：觀察所給的遞推公式，它一定可以變形為a”+i+xq"+i=p（a“+xq"）,將遞推關(guān)系cz?+i=po?+cq"

CC

待入得pa〃+cq〃+xq〃+i=p（a〃+xq"懈得x=^q,則由原遞推公式構(gòu)造出了念+i+r力弓〃+1=p（〃〃+

之?q"）,而數(shù)歹[1｛。"+：勺"｝是以田+高q為首相以為公比的等比數(shù)列。（注：應(yīng)用待定系數(shù)法時(shí)，要

求pWq，否則待定系數(shù)法會(huì)失效）

方法二：將斯+i=pa“+cq"兩邊分別除以*1,則有耕=學(xué)+黯然后利用累加法求得。

方法三：將斯+i=pa〃+cq"兩邊分別除以q"L則有4詈=￡&+￡,然后利用待定系數(shù)法求解。

qqqq

題型5:同除法

5-1.（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）已知數(shù)列｛《｝滿足。"+1=2%+3-2",5=2,求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式.

5-2.（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）已知數(shù)列｛4｝滿足0用=34+2.3”+1,%=3,求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式.

彩做題秘籍（五）

取倒數(shù)法

對(duì)于。向=與」（*豐0）,取倒數(shù)得—=處空=---+-.

b+canan+laanaana

當(dāng)a=b時(shí)，數(shù)列是等差數(shù)列；

1be

當(dāng)4X6時(shí)，令b,J,貝1角=2以+￡,可用待定系數(shù)法求解.

anaa

題型6:取倒數(shù)法

6-1.（2024高三?全國(guó)?對(duì)口高考）數(shù)列｛?！埃校?+1=號(hào)］，4=2,則%=.

6-2.（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）已知數(shù)列｛%｝滿足：%=2,%=2。"；］（九N2）,求通項(xiàng)

nbci

6-3.（2024高三.全國(guó).專題練習(xí)）設(shè)b>。，數(shù)列｛%,｝滿足卬=6,??=—r±7（〃22）,求數(shù)列｛見(jiàn)｝的通項(xiàng)

公式.

（K）

取對(duì)數(shù)法

形如%M=cd（c>0,%>0）的遞推公式，則常常兩邊取對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解.

題型7:取對(duì)數(shù)法

7-1.（2024高三.全國(guó).專題練習(xí)）設(shè)正項(xiàng)數(shù)列｛%｝滿足4=1,o?=2<1（/i>2）,求數(shù)列｛q｝的通項(xiàng)公式.

72（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）設(shè)數(shù)列｛4｝滿足0=。（。>。），%,+1=2亞，證明：存在常數(shù)使得對(duì)

于任意的〃￡N*,都有44".

彩健題海籍

（七1）

已知通項(xiàng)公式%與前幾項(xiàng)的和S”關(guān)系求通項(xiàng)問(wèn)題

對(duì)于給出關(guān)于a“與S"的關(guān)系式的問(wèn)題，解決方法包括兩個(gè)轉(zhuǎn)化方向，在應(yīng)用時(shí)要合理選擇.一個(gè)方向

是轉(zhuǎn)化S“為明的形式，手段是使用類比作差法，使S"-S"T=a.（心2,MN*）,故得到數(shù)列｛4｝的相關(guān)

結(jié)論，這種方法適用于數(shù)列的前"項(xiàng)的和的形式相對(duì)獨(dú)立的情形；另一個(gè)方向是將氏轉(zhuǎn)化為（“22,

〃eN*）,先考慮S,,與Si的關(guān)系式,繼而得到數(shù)列｛S“｝的相關(guān)結(jié)論,然后使用代入法或者其他方法求解｛an｝

的問(wèn)題，這種情形的解決方法稱為轉(zhuǎn)化法，適用于數(shù)列的前〃項(xiàng)和的形式不夠獨(dú)立的情況.

簡(jiǎn)而言之，求解冊(cè)與S,的問(wèn)題，方法有二，其一稱為類比作差法，實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化S）,的形式為a”的形式，

適用于5“的形式獨(dú)立的情形，其二稱為轉(zhuǎn)化法，實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化％的形式為S,的形式，適用于S”的形式不夠獨(dú)

立的情形；不管使用什么方法，都應(yīng)該注意解題過(guò)程中對(duì)〃的范圍加以跟蹤和注意，一般建議在相關(guān)步驟后

及時(shí)加注”的范圍.

題型8:已知通項(xiàng)公式與前幾項(xiàng)的和關(guān)系求通項(xiàng)問(wèn)題

8-1.（2024?青海西寧?二模）已知S“為數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)和，4=1,a,1+1+2S,!=2?+l,貝ij與m=（）

A.2020B.2021C.2022D.2024

82（2024高三上?黑龍江哈爾濱?階段練習(xí)）已知數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S.，若S用+S,=2〃2（〃eN*）,且

4/0,al0=28,則％的值為

A.-8B.6C.-5D.4

8-3.（2024?陜西渭南.二模）已知數(shù)列｛風(fēng)｝中，%=1“>0,前”項(xiàng)和為S".若a"=病+卮（〃eN*,府2）,

則數(shù)列J」一的前2023項(xiàng)和為_(kāi)________.

aa

[??+i\

84（2024高三下?湖南?階段練習(xí)）已知數(shù)列｛?！埃凉M足4+3%+…+（2〃-1）%=〃.

（1）求｛4｝的通項(xiàng)公式；

------>n=2k—1

⑵已知％=19a,,%eN*,求數(shù)列｛c0｝的前20項(xiàng)和.

a?-an+2,n=2k

彩得題初籍

周期數(shù)列

（1）周期數(shù)列型一：分式型

（2）周期數(shù)列型二：三階遞推型

（3）周期數(shù)列型三：乘積型

（4）周期數(shù)列型四：反解型

題型9:周期數(shù)列

9-1.（2024高二上?黑龍江?期中）己知數(shù)列｛q｝滿足4=-3,%+i=&W，則。2022=（）

+1

A.—B.2C.—D.—3

32

92（2024?陜西咸陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列｛叫滿足4=3,??+1=1--,記數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)和為S"，貝卜）

an

31

A?〃2=]B.S3n+i-S3n=--

C.anan+ian+2=D.%=20

11

9-3.（2024高二上?河南周口?階段練習(xí)）已知數(shù)列｛2｝滿足〃用二^——，若則%021=（）

l~an2

A.-2B.-1

C.gD.2

2,?N*,“2023=（）.

9-4.（2024高二上?吉林?期末）已知數(shù)列｛q｝滿足：％=1,』=an+2=an+｝-an,e則

A.-2B.-1C.1D.2

彩僻題被籍（九）

前n項(xiàng)積型

類比前〃項(xiàng)和求通項(xiàng)過(guò)程：

(1)n=l9得%

(2)時(shí)，an--f—

題型10：前n項(xiàng)積型

10-1.（2024福建南平?模擬預(yù)測(cè)）設(shè)T,為數(shù)列｛q｝的前”項(xiàng)積.已知黑一祟=2.

（1）求｛%｝的通項(xiàng)公式；

⑵求數(shù)列的前〃項(xiàng)和.

[2K+3J

一,、1S-1

10-2.（2024高二上?山東威海?期末）設(shè)S“為數(shù)列｛。,｝的前n項(xiàng)和，％,為數(shù)列｛S,,｝的前w項(xiàng)積，已知元=、.

1n，

⑴求S1,邑；

⑵求證：數(shù)列為等差數(shù)列；

（3）求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式.

10-3.（2024?四川?模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為工，且滿足an>0,Sn=包學(xué)”，數(shù)列色｝的前〃項(xiàng)

積Z,=2*.

⑴求數(shù)列也｝和色｝的通項(xiàng)公式;

⑵求數(shù)列｛4勿｝的前〃項(xiàng)和.

媒習(xí)與置升

一、單選題

1.（2024高二上?浙江嘉興?期中）“中國(guó)剩余定理”又稱“孫子定理”，1852年英國(guó)來(lái)華傳教偉烈亞力將《孫子

算經(jīng)》中“物不知數(shù)”問(wèn)題的解法傳至歐洲1.1874年，英國(guó)數(shù)學(xué)家馬西森指出此法符合1801年由高斯得出的關(guān)

于同余式解法的一般性定理，因而西方稱之為“中國(guó)剩余定理”.“中國(guó)剩余定理”講的是一個(gè)關(guān)于整除的問(wèn)題,

現(xiàn)有這樣一個(gè)整除問(wèn)題：將正整數(shù)中能被3除余2且被7除余2的數(shù)按由小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)

列｛%｝，則。6=（）

A.17B.37C.107D.128

2.（2024.海南?模擬預(yù)測(cè)）大衍數(shù)列，來(lái)源于《乾坤譜》中對(duì)易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論，主要用于解釋中

國(guó)傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，數(shù)列中的每一項(xiàng)都代表太極衍生過(guò)程，是中華傳統(tǒng)文化中隱藏著的世界數(shù)

學(xué)史上第一道數(shù)列題，其各項(xiàng)規(guī)律如下：0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,...,記此數(shù)列為｛%｝,

則—<21）+（%—生）---（。50一。49）=（）

A.650B.1050C.2550D.5050

3.（2024?吉林?三模）大衍數(shù)列，來(lái)源于《乾坤譜》中對(duì)易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論，主要用于解釋中國(guó)傳

統(tǒng)文化中的太極衍生原理，數(shù)列中的每一項(xiàng)，都代表太極衍生過(guò)程中，曾經(jīng)經(jīng)歷過(guò)的兩儀數(shù)量總和，是中

華傳統(tǒng)文化中隱藏著的世界數(shù)學(xué)史上第一道數(shù)列題.其前10項(xiàng)依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,

50,則此數(shù)列的第25項(xiàng)與第24項(xiàng)的差為（）

A.22B.24C.25D.26

4.（2024.吉林通化?模擬預(yù)測(cè)）“楊輝三角”是中國(guó)古代重要的數(shù)學(xué)成就，如圖是由“楊輝三角”拓展而成的三

111

角形數(shù)陣，從第三行起，每一行的第三個(gè)數(shù)1,4,5,工，L構(gòu)成數(shù)列｛4｝,其前八項(xiàng)和為S“，則邑。=

3610

（）

1

11

111111

13TOT031

39「40-41一419

A.—B.—C.—D.-----

202121210

5.（2024高三?全國(guó)?對(duì)口高考）數(shù)列1,3,7,15,……的一個(gè)通項(xiàng)公式是（）

nx

A.a?=2"B.。“=2"+1C.an=2D.an=T-

n

6.（2024?四川南充?模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列｛g｝滿足：a-a<3,??-a?>91.3",則。23=（）

On+2n+6

A.——+—B.

2282

D.

2

7.（2024?河南?模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列｛%｝滿足%1乜=2",4=1,則%儂=（）

an+l~an

A.2023B.2024C.4045D.4047

8.（2024高二.全國(guó)?課后作業(yè)）已知弓=1,4=q）（weN+）,則數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式是%=（）

A.2n-lB.（空■）C.n2D.n

9.（2024高三.全國(guó)?專題練習(xí)）已知數(shù)列｛%｝中，％=1,如儲(chǔ)=2（q+%+…N*）,則數(shù)列｛4｝的

通項(xiàng)公式為（）

A.an=nB.an=2n-l

〃

-+1D-f〃+1,（幾.2）

10.（2024高二下.河南?期中）已知數(shù)列｛q｝滿足%=:，%=等〃cN*）,則數(shù)列｛0｝的通

32n+l

項(xiàng)?！?（）

A.-7—B.-7—

4n2-l2n2+l

]]

C（2n-l）（2n+3）D，（n+l）（n+3）

11.（2024高三下?安徽?階段練習(xí)）在數(shù)列｛■中，％=；且（〃+2）%+1二次小則它的前30項(xiàng)和S30=（）

A30n29「28n19

A.—B.—C.—D.—

31302929

12.（2024高三上?江蘇淮安?階段練習(xí)）天干地支紀(jì)年法源于中國(guó)，中國(guó)自古便有十天干與十二地支.十天干

即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、

酉、戌、亥.天干地支紀(jì)年法是按順序以一個(gè)天干和一個(gè)地支相配，排列起來(lái)，天干在前，地支在后，天干

由“甲”起,地支由“子”起，比如第一年為“甲子”，第二年為“乙丑”，第三年為“丙寅”，…，以此類推，排列

到“癸酉”后，天干回到“甲”重新開(kāi)始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新開(kāi)始，即“丙子”，…,以

此類推，2022年是壬寅年，請(qǐng)問(wèn)：在100年后的2122年為（）

A.壬午年B.辛丑年C.己亥年D.戊戌年

13.（2024?云南昆明?模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列｛%｝滿足q=1嗎=3,%=a〃_i+a〃+i（〃￡N*,〃>2）,則%022=（）

A.-2B.1C.4043D.4044

，、1

14.（2024?云南玉溪?模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列｛%｝滿足4+——=1,若%。=2,則4=（）

“〃+1

13

A.—1B.—C.-D.2

22

15.（2024高三上.福建龍巖?期末）數(shù)列也｝滿足％eZ,an+1+an=2n+3,且其前”項(xiàng)和為S”.若幾=4,

則正整數(shù)7〃=（）

A.99B.103C.107D.198

二、填空題

16.（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）已知數(shù)列｛%｝中，％=1,??+1=3??+4,則數(shù)列｛為｝的通項(xiàng)公式為.

17.（2024高三?全國(guó)?對(duì)口高考）已知數(shù)列｛〃"｝中，4=1,且a“=2a,i+3（H>2,且〃eN*）,則數(shù)列｛%｝

的通項(xiàng)公式為

18.（2024?山東泰安?模擬預(yù)測(cè)）數(shù)列｛0｝的前〃項(xiàng)和為S“，滿足S"+「2S"=l-〃，且岳=3,則｛a,｝的通項(xiàng)

公式是.

19.（2024高二上?河南?階段練習(xí)）若數(shù)列｛%｝滿足旦旦+嗅=左（％為常數(shù)），則稱數(shù)列｛七｝為等比和數(shù)列,

an+lan

左稱為公比和，已知數(shù)列｛%｝是以3為公比和的等比和數(shù)列，其中4=1,%=2,則旬。8=.

20.（2024高三上?貴州貴陽(yáng)?階段練習(xí)）若數(shù)列｛%｝滿足?！?%=+2+貝1^2“=.

21.（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）數(shù)列｛4｝滿足總+（T嚴(yán)==3"-1,前16項(xiàng)和為540,則%=_.

22.（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）數(shù)列｛4｝滿足a“+2+（T）"a"=3wT,前16項(xiàng)和為508,則％=

23.（2024高三.全國(guó)?專題練習(xí)）已知4=3,an+1=^—,則｛4｝的通項(xiàng)公式為_(kāi)___.

%一/

（、2a—1

24.（2024高三.全國(guó)?專題練習(xí)）已知數(shù)列｛%｝滿足弓=2,"用=丁=,則%=_____.

%十今

25.（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）已知數(shù)列H/滿足“=？，％,+]=-一則%=.

三、解答題

4=2,且對(duì)于力>1時(shí)恒有=：凡_1+1,求數(shù)列｛4“｝的通

26.（2024高三.全國(guó)?專題練習(xí)）已知數(shù)歹！]｛%｝,

項(xiàng)公式.

27.（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）已知數(shù)列｛%｝滿足：?！?]-2,“eN*,%=4,求生,.

28.（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）已知數(shù)列｛%｝是首項(xiàng)為4=2,%包=>,+2〃+g.

（1）求｛%｝通項(xiàng)公式；

⑵求數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和S”.

29.（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）已知數(shù)列｛劭｝中，4=2,4角=幺『，求｛劭｝的通項(xiàng).

30.（2024高三上?江蘇南通?階段練習(xí)）已知數(shù)列｛q｝中，％=1,滿足a“M=2q,+2〃-l（"eN*）,設(shè)S“為數(shù)

列｛%｝的前”項(xiàng)和.

（1）證明：數(shù)列｛4+2〃+1｝是等比數(shù)列；

（2）若不等式32"+*+4>0對(duì)任意正整數(shù)”恒成立，求實(shí)數(shù)2的取值范圍.

31.（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）在數(shù)列｛%｝中,%=-1,。3=24+4.3"\求通項(xiàng)公式％.

32.（2024高三.全國(guó)?專題練習(xí)）已知數(shù)列｛七｝滿足%+I=24+3-5"，4=6,求數(shù)列伍」的通項(xiàng)公式.

33.（2024高二.全國(guó)?專題練習(xí)）已知數(shù)列｛七｝滿足%+1=2/+4、3"7,4=1,求數(shù)列也,｝的通項(xiàng)公式.

34.（2024高三.全國(guó)?專題練習(xí)）在數(shù)列｛%｝中,3=1，%=-^，求知.

35.（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）已知見(jiàn)+1=/2嗎=1,求｛5｝的通項(xiàng)公式.

36.（2024高二?全國(guó)?專題練習(xí)）已知數(shù)列｛%｝滿足。用==]，%=1,求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式.

37.（2024.江蘇南通?模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列｛4｝中，=-,。“+1=土—.

（1）求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

（2）求證：數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和S“<L

38.（2024?廣東潮州?二模）已知數(shù)列｛4｝滿足4=3,。用=4-24+2.

⑴證明數(shù)列｛ln（a“-l）｝是等比數(shù)列，并求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

⑵若“=—+-數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和S“，求證：Sn<2.

an"〃一,

39.（2024高三.全國(guó).專題練習(xí)）己知數(shù)列也｝的前“項(xiàng)和為S“，且S“=2%-1（〃eN*）.

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式;

⑵設(shè)bn=anlog2an,求數(shù)列｛〃｝的前〃項(xiàng)和看.

40.(2024高三?全國(guó)?專題練習(xí))已知數(shù)歹!]｛%｝的前〃項(xiàng)和S“滿足S'=2a“+2〃.

⑴寫出數(shù)列的前3項(xiàng)

(2)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式.

41.(2024?河北衡水三模)已知數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S,，gs“=a"-2"T.

⑴證明:是等差數(shù)列;

(2)求數(shù)列的前〃項(xiàng)積.

42.(2024海南?？?一模)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列｛%｝滿足2￡=%+1,其中S“是數(shù)列｛《,｝的前〃項(xiàng)和.

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)若對(duì)任意〃eN+，且當(dāng)時(shí)，總有占+不二+三\+…+恒成立，求實(shí)數(shù)九的取值范圍.

4坊32T33T3〃T

43.(2024高三?全國(guó)?專題練習(xí))已知數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和為5",且5,=〃-5%-85,〃6e.證明：是

等比數(shù)列.

11

44.(2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)圮知｛叫是各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列，S"為其前"項(xiàng)和，且q=1,S“=Jan+—

an

⑴求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)％;

111r1>

⑵證明:——+——+???+<21-------

2S]3與5+1電

45.(2024高三下?河北石家莊?階段練習(xí))數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為E,,%=2,%=4且當(dāng)”22時(shí),

3S,T，2s”,5m+2"成等差數(shù)列.

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式;

⑵在?！昂停ブg插入〃個(gè)數(shù)，使這”+2個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為4的等差數(shù)列，在數(shù)列｛4｝中是否存在3項(xiàng)

(其中加Zp成等差數(shù)列)成等比數(shù)列？若存在，求出這樣的3項(xiàng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

46.(2024?陜西咸陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè))已知S”是數(shù)列｛q｝的前w項(xiàng)和，4=2,S?=a?+1+1.

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

,〃+3,、

⑵已知2=—,求數(shù)列｛2｝的前〃項(xiàng)和副

an

47.(2024高三.全國(guó).專題練習(xí))已知數(shù)列｛%｝,S“為數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和，且滿足q=1,3s“=(〃+2)%.

⑴求｛%｝的通項(xiàng)公式；

11111

(2)證明：—+—++—<T.

出/4%2

48.(2024?河北滄州?模擬預(yù)測(cè))已知正項(xiàng)數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為%滿足。,=2四_1.

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)若6.=ancos等,求數(shù)列出｝的前3"+1項(xiàng)和T3n+l.

49.(2024?江西.三模)已知各項(xiàng)為正數(shù)的數(shù)列｛%｝的前”項(xiàng)和為S"，滿足S,+i+S“=：a3，q=2.

⑴求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

⑵設(shè)2=參，求數(shù)列出｝的前〃項(xiàng)的和T,.

2V

50.(2024高三?全國(guó)?專題練習(xí))記S.為數(shù)列｛4｝的前w項(xiàng)和.已知一+"=2%+1.證明：｛外｝是等差數(shù)

n

列；

,、21

51.(2024高三上.江蘇南通?階段練習(xí))(為數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)積，且一+至=1.

(1)證明:數(shù)列｛北+1｝是等比數(shù)列；

(2)求｛4“｝的通項(xiàng)公式.

2

52.(2024.湖北.模擬預(yù)測(cè))已知數(shù)列｛%｝的前“項(xiàng)書積為“，且?+腎+…

(1)求數(shù)列［去］和｛為｝的通項(xiàng)公式；

⑵求〃")=2+bn+1+a+2+…+b2n_i+b2n的最大值.

53.(2024高三下?陜西西安?階段練習(xí))已知數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)積1=2其以

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)記2=log?%,數(shù)列他,｝的前〃項(xiàng)為S“，求S”的最小值.

54.(2024高三上?江蘇?階段練習(xí))已知(為數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)的積，且4=