球的切、接問(wèn)題（學(xué)生版）-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專(zhuān)練（新高考專(zhuān)用）

重難點(diǎn)18球的切、接問(wèn)題【十大題型】

【新高考專(zhuān)用】

?題型歸納

【題型1定義法求外接球問(wèn)題】.................................................................4

【題型2補(bǔ)形法求外接球問(wèn)題】.................................................................4

【題型3截面法求外接球問(wèn)題】.................................................................5

【題型4棱切球模型問(wèn)題】.....................................................................6

【題型5內(nèi)切球模型問(wèn)題】.....................................................................6

【題型6多球相切問(wèn)題】.......................................................................7

【題型7外接球之二面角模型】.................................................................8

【題型8與球的切、接有關(guān)的最值問(wèn)題】........................................................9

【題型9與球的切、接有關(guān)的截面問(wèn)題】.......................................................10

【題型10多面體與球體內(nèi)切外接綜合問(wèn)題】....................................................11

?命題規(guī)律

1、球的切、接問(wèn)題

球的切、接問(wèn)題是歷年高考的重點(diǎn)、熱點(diǎn)內(nèi)容，一般以客觀題的形式出現(xiàn)，考查空間想象能力、計(jì)算

能力.其關(guān)鍵點(diǎn)是利用轉(zhuǎn)化思想，把球的切、接問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題或特殊幾何體來(lái)解決或轉(zhuǎn)化為特殊幾何

體的切、接問(wèn)題來(lái)解決.

?方法技巧總結(jié)

【知識(shí)點(diǎn)1正方體與球、長(zhǎng)方體與球】

1.正方體與球的切、接問(wèn)題

(1)內(nèi)切球：內(nèi)切球直徑2火=正方體棱長(zhǎng)。

(2)棱切球：棱切球直徑2尺=正方體的面對(duì)角線長(zhǎng)，.

(3)外接球：外接球直徑2尺=正方體體對(duì)角線長(zhǎng)，.

2.長(zhǎng)方體與球

外接球：外接球直徑2R=體對(duì)角線長(zhǎng)十七+(的分別為長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高).

【知識(shí)點(diǎn)2正棱錐與球】

1.正棱體與球的切、接問(wèn)題

⑴內(nèi)切球：睢棱錐=；S表底（等體積法），/?是內(nèi)切球半徑，/?為正棱錐的高.

（2）外接球：外接球球心在其高上，底面正多邊形的外接圓圓心為E,半徑為八相=（〃—火）2+/（正

棱錐外接球半徑為七高為初

【知識(shí)點(diǎn)3正四面體的外接球、內(nèi)切球】

1.正四面體的外接球、內(nèi)切球

若正四面體的棱長(zhǎng)為a,高為h,正四面體的外接球半徑為R,內(nèi)切球半徑為r,則〃=卓a,R=^-a,

【知識(shí)點(diǎn)4正三棱柱的外接球】

1.正三棱柱的外接球

球心到正三棱柱兩底面的距離相等，正三棱柱兩底面中心連線的中點(diǎn)為其外接球球心.

6

【知識(shí)點(diǎn)5圓柱、圓錐的外接球】

1.圓柱的外接球

R=4是圓柱外接球的半徑，/?是圓柱的高，r是圓柱底面圓的半徑）.

2.圓錐的外接球

—玲2+1（尺是圓錐外接球的半徑，〃是圓錐的高，：.是圓錐底面圓的半徑）.

【知識(shí)點(diǎn)6幾何體與球的切、接問(wèn)題的解題策略】

1.常見(jiàn)的幾何體與球的切、接問(wèn)題的解決方案：

常見(jiàn)的與球有關(guān)的組合體問(wèn)題有兩種：一種是內(nèi)切球，另一種是外接球.

常見(jiàn)的幾何體與球的切、接問(wèn)題的解決方案：

空間幾何體外接球問(wèn)題的處理關(guān)鍵是確定球心的位置，常見(jiàn)的求解方法有如下幾種：

（1）定義法：利用平面幾何體知識(shí)尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系，或只畫(huà)內(nèi)切、外接的幾何體的直觀圖,

確定球心的位置，弄清球的半徑（直徑）與該幾何體已知量的關(guān)系，列方程（組）求解.

（2）補(bǔ)形法：若球面上四點(diǎn)尸/,民。構(gòu)成的三條線段兩兩垂直，且以=a,PB=b,PC=c,一般

把有關(guān)元素“補(bǔ)形”成為一個(gè)球內(nèi)接長(zhǎng)方體，根據(jù)軌2=4+必+02求解.

（3）截面法：涉及球與棱柱、棱錐的切、接問(wèn)題時(shí)，一般過(guò)球心及多面體的特殊點(diǎn)（一般為接、切點(diǎn)）或線

作截面，把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題求解.

3.內(nèi)切球問(wèn)題的求解策略：

（1）找準(zhǔn)切點(diǎn)，通過(guò)作過(guò)球心的截面來(lái)解決.

（2）體積分割是求內(nèi)切球半徑的通用方法.

?舉一反三

【題型1定義法求外接球問(wèn)題】

【例1】（2024?新疆烏魯木齊?三模）三棱錐A—BCD中，4D1平面力BC,NR4c=60。，4B=1,AC=2,

AD=4,則三棱錐A-BCD外接球的表面積為（）

A.10TTB.20TTC.25TTD.30TT

【變式1-1］（2024?海南?模擬預(yù)測(cè)）已知正方體力BCD-4/?%的棱長(zhǎng)為2,點(diǎn)N為側(cè)面四邊形CDD?

的中心，則四面體NCBiM的外接球的表面積為（）

A.2nB.4TTC.6TTD.8TT

【變式1-2］（2024?河南周口?模擬預(yù)測(cè)）已知圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半徑為2,面積為g的扇形，則該圓

錐的外接球的面積為（）

A.—B.—C.—D.9TT

842

【變式1-3］（2024?青海?二模）如圖，已知在四棱錐P-ABCD中，底面四邊形4BCD為等腰梯形，BC//AD,

PD=2AD=4BC=4,底面積為平，PD，力。且PB=回，則四棱錐P—ABCD外接球的表面積為（）

4

P

A.9nB.12V3TTC.39TlD.2On

【題型2補(bǔ)形法求外接球問(wèn)題】

【例2】（2024?內(nèi)蒙古錫林郭勒盟?模擬預(yù)測(cè)）在空間直角坐標(biāo)系中，已知

4（030），B（0,0,0）,C（4,0,0）,D（0,3,2）,則四面體4HCQ外接球的表面積為（）

A.29TTB.28nC.32nD.30K

【變式2-1］（2024?江西?模擬預(yù)測(cè)）現(xiàn)為一球形玩具設(shè)計(jì)一款球形的外包裝盒（盒子厚度忽略不計(jì)）.已

知該球形玩具的直徑為2,每盒需放入4個(gè)玩具球，則該種外包裝盒的直徑的最小值為（）

A.2—B.2+V3C.V6—2D.2+V6

【變式2-2］（2024?重慶?模擬預(yù)測(cè)）已知四面體中，AB=CD=AC=BD=2,4。=BC,若四面體

48。的外接球的表面積為7m則四面體/BCD的體積為（）

48

A.1B.2C.-D.-

33

【變式2-3］（2024?四川雅安?模擬預(yù)測(cè)）如圖是以正方體的各條棱的中點(diǎn)為頂點(diǎn)的多面體，這是一個(gè)有八

個(gè)面為正三角形，六個(gè)面為正方形的“阿基米德多面體”，若該多面體的棱長(zhǎng)為VL則該多面體外接球的表

【題型3截面法求外接球問(wèn)題】

【例3】（2024?江蘇南通?三模）已知一個(gè)正四棱臺(tái)的上、下底面邊長(zhǎng)分別為2,8,側(cè)棱長(zhǎng)為3遍，則該正

四棱臺(tái)內(nèi)半徑最大的球的表面積為（）

A.12nB.27TTC.—D.—

93

【變式3-1］（23-24高三下?河南?階段練習(xí)）已知圓臺(tái)。的上、下底面半徑分別為勺，r2,且q=2q,若

半徑為次的球與。的上、下底面及側(cè)面均相切，則。的體積為（）

A.7V3TTB.8伍C.D.等

【變式3-2］（2024?湖北?二模）已知圓錐尸。的頂點(diǎn)為P,其三條母線為，PB,尸C兩兩垂直，且母線長(zhǎng)

為6,則圓錐尸O的內(nèi)切球表面職與圓錐側(cè)面積之和為（）

A.12（10-3V6）TTB.24（20-7V6）TTC.60（8-3V6）nD.3（40-7V6）TT

【變式3-3］（2024?四川成都?三模）已知正四棱臺(tái)A8CD-EFGH的上底面積為16,下底面積為64,且其

各個(gè)頂點(diǎn)均在半徑/?=商的球。的表面上，則該四棱臺(tái)的高為（）

A.2B.8C.8或12D.2或12

【題型4棱切球模型問(wèn)題】

【例4】（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）正四面體/BCD的棱長(zhǎng)為2,其棱切球的體積為（）

A.2nB.V6TTC.—TTD.—TT

【變式4-1］（2024?山東日照?二模）已知棱長(zhǎng)為1的正方體4BCD-4%的￡?1，以正方體中心為球心的球。

與正方體的各條棱相切，若點(diǎn)P在球。的正方體外部（含正方體表面）運(yùn)動(dòng)，則萬(wàn)?麗的最大值為（）

731

A.2B.-C.-D.-

444

【變式4-2］（2024?廣東佛山?模擬預(yù)測(cè)）已知正三棱柱的所有棱長(zhǎng)均相等，其外接球與棱切球（該球與其

所有棱都相切）的表面積分別為Si，S2,則費(fèi)=.

【變式4-3］（2024?黑龍江哈爾濱?模擬預(yù)測(cè)）若將正方體沿交于一頂點(diǎn)的三條棱的中點(diǎn)截去一個(gè)三棱錐，

八個(gè)頂點(diǎn)共截去八個(gè)三棱錐，可得到一個(gè)有十四個(gè)面的多面體.它的各棱長(zhǎng)都相等，其中八個(gè)面為正三角形,

六個(gè)面為正方形，如圖所示，已知該多面體過(guò)/,B,。三點(diǎn)的截面面積為6舊，則其棱切球（球與各棱相

切）的表面積為.

【題型5內(nèi)切球模型問(wèn)題】

【例5】（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知四棱錐P-4BCD的底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，。為AC,8D的交點(diǎn),

P。1平面4BCD,NPB4=NA8C=60。，則四棱錐P-2BCD的內(nèi)切球的體積為（）

V6nV6n

816

【變式5-1］（2024?陜西西安?一模）六氟化硫，化學(xué)式為SF6,在常壓下是一種無(wú)色、無(wú)臭、無(wú)毒、不燃的

穩(wěn)定氣體，有良好的絕緣性，在電器工業(yè)方面具有廣泛用途.六氟化硫結(jié)構(gòu)為正八面體結(jié)構(gòu)，如圖所示，

硫原子位于正八面體的中心，6個(gè)氟原子分別位于正八面體的6個(gè)頂點(diǎn)，若相鄰兩個(gè)氟原子之間的距離為m,

則該正八面體結(jié)構(gòu)的內(nèi)切球表面積為（）

Q

A.urn2B.2urn2C.D.

33

【變式5-2］（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知圓臺(tái)。1。2存在內(nèi)切球。（與圓臺(tái)的上、下底面及側(cè)面都相切的球）,

若圓臺(tái)。1。2的上、下底面面積之和與它的側(cè)面積之比為5:8,設(shè)圓臺(tái)。1。2與球。的體積分別為％〃2,則凸=

（）

A.-B.-C.-D.-

341113

【變式5?3】（2024?江蘇宿遷?三模）若一個(gè)多面體的各面都與一個(gè)球的球面相切，則稱(chēng)這個(gè)球是這個(gè)多面

體的內(nèi)切球.在四棱錐P-/BCD中，側(cè)面P/B是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，底面/BCD為矩形，且平面P4B1

平面ZBCD.若四棱錐尸-存在一個(gè)內(nèi)切球，設(shè)球的體積為匕，該四棱錐的體積為匕，則富的值為（）

AV3K口V3TTCV3HCV3TT

A.JD.C.D.

6121854

【題型6多球相切問(wèn)題】

【例6】（2024高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）在一個(gè)半徑為2的半球形封閉容器內(nèi)放入兩個(gè)半徑相同的小球，則這

兩個(gè)小球的表面積之和最大為（）

A.（96-64V2）irB.（24—16位C.8nD.16TT

【變式6-1］（2024?河北滄州?模擬預(yù)測(cè)）某包裝設(shè)計(jì)部門(mén)為一球形塑料玩具設(shè)計(jì)一種正四面體形狀的外包

裝盒（盒子厚度忽略不計(jì)），已知該球形玩具的直徑為2,每盒需放入10個(gè)塑料球，則該種外包裝盒的棱

長(zhǎng)的最小值為（）

A.2+2V6B.2+4V6C..4+2V6D.4+4V6

【變式6-2］（2024?湖南益陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，4個(gè)球兩兩外切形成的幾何體，稱(chēng)為一個(gè)“最密堆壘”.顯

然，即使是“最密堆壘”，4個(gè)球之間依然存在著空隙.材料學(xué)研究發(fā)現(xiàn)，某種金屬晶體中4個(gè)原子的“最密

堆壘”的空隙中如果再嵌入一個(gè)另一種金屬原子并和原來(lái)的4個(gè)原子均外切，則材料的性能會(huì)有顯著性變

化.記原金屬晶體的原子半徑為以，另一種金屬晶體的原子半徑為「B，則以和的關(guān)系是（）

A.2rB=B.2rB=巫TA

C.2TB=（V3—l^rAD.2TB=（V6—2）rA

【變式6-3］（2024?浙江溫州?二模）如今中國(guó)被譽(yù)為基建狂魔，可謂是逢山開(kāi)路，遇水架橋.公路里程、高鐵

里程雙雙都是世界第一.建設(shè)過(guò)程中研制出用于基建的大型龍門(mén)吊、平衡盾構(gòu)機(jī)等國(guó)之重器更是世界領(lǐng)先.如

圖是某重器上一零件結(jié)構(gòu)模型，中間最大球?yàn)檎拿骟w4BCD的內(nèi)切球，中等球與最大球和正四面體三個(gè)面

均相切，最小球與中等球和正四面體三個(gè)面均相切，已知正四面體ABCD棱長(zhǎng)為2乃，則模型中九個(gè)球的表

面積和為（）

2In

A.6nB.9TTC.——4D.

【題型7外接球之二面角模型】

【例7】（2024?陜西寶雞?三模）△力BC與△48。都是邊長(zhǎng)為2的正三角形，沿公共邊AB折疊成60。的二面

角，若點(diǎn)/,B,C,。在同一球。的球面上，則球。的表面積為（）

.13_208K?52r112n

A.—TTB.-----C.—TTD.------

9993

【變式7-1］（2024?山東?模擬預(yù)測(cè)）如圖①，將兩個(gè)直角三角形拼在一起得到四邊形4BCD,且AC=BC=

\AD=1,ACLAD,現(xiàn)將△ACD沿4c折起，使得點(diǎn)。到達(dá)點(diǎn)P處，且二面角P—力?！狟的大小為60。，連接

BP,如圖②，若三棱錐P-ABC的所有頂點(diǎn)均在同一球面上，則該球的表面積為（）

D

P

C.6nD.7n

【變式7-2］（2024?陜西榆林?模擬預(yù)測(cè)）如圖，△ZBC是邊長(zhǎng)為4的正三角形，。是的中點(diǎn)，沿將

折疊，形成三棱錐Z-BCD.當(dāng)二面角8-ZD-C為直二面角時(shí)，三棱錐"-BCD外接球的表面積為（）

D20碣

.3

【變式7-3］（2024?上海徐匯?二模）三棱錐P-4BC各頂點(diǎn)均在半徑為2魚(yú)的球。的表面上，AB=AC=

2y/2,/.BAC=90°,二面角P-BC-4的大小為45,則對(duì)以下兩個(gè)命題，判斷正確的是（）

①三棱錐。-HBC的體積為*②點(diǎn)P形成的軌跡長(zhǎng)度為2后.

A.①②都是真命題

B.①是真命題，②是假命題

C.①是假命題，②是真命題

D.①②都是假命題

【題型8與球的切、接有關(guān)的最值問(wèn)題】

【例8】（2024?湖北?模擬預(yù)測(cè)）已知四棱錐P-HBCD的底面為矩形，AB=2?BC=4,側(cè)面P4B為正

三角形且垂直于底面力BCD,M為四棱錐P-4BCD內(nèi)切球表面上一點(diǎn)，則點(diǎn)M到直線CD距離的最小值為（）

A.V10-2B.V10-1C.2V3-2D.2V3-1

【變式8-1］（2024?陜西安康?模擬預(yù)測(cè)）在四棱錐P—力BCD中，底面四邊形力BCD為正方形，四棱錐P-4BCD

外接球的表面積為16m則當(dāng)四棱錐P-A8CD的體積最大時(shí)，4B=（）

o

A.V3B.2C.D.3

【變式8-2］（2024?福建泉州?一模）泉州花燈技藝源于唐朝中期從形式上有人物燈、宮物燈、宮燈，繡房

燈、走馬燈、拉提燈、錫雕元宵燈等多種款式.在2024年元宵節(jié)，小明制做了一個(gè)半正多面體形狀的花燈,

他將正方體沿交于一頂點(diǎn)的三條棱的中點(diǎn)截去一個(gè)三棱錐，共截去八個(gè)三棱錐，得到一個(gè)有十四個(gè)面的半

正多面體，如圖所示.已知該半正多面體的體積為g,M為△A8C的中心，過(guò)M截該半正多面體的外接球

的截面面積為S,則S的最大值與最小值之比（）

A.8B.：9C.3D.9

【變式8-3］（2024?福建南平?模擬預(yù)測(cè)）某雕刻師在切割玉料時(shí)，切割出一塊如圖所示的三棱錐型邊料，

測(cè)得在此三棱錐4-BCD中，側(cè)面ABC_L底面BCD,且AB=AC=DB=DC=AD=2cm,該雕亥!!師計(jì)戈lj將

其打磨成一顆球形玉珠，則磨成的球形玉珠的直徑的最大值為（）

C.2近（2-V3）cmD.a（2-V3）cm

【題型9與球的切、接有關(guān)的截面問(wèn)題】

［例9］（2024?云南曲靖?模擬預(yù)測(cè)）正方體4BCD-外接球的體積為4V3n,E、F、G分別為棱A4、

A/i、的中點(diǎn)，則平面EFG截球的截面面積為（）

A.巴B.如C.史D.E

3333

【變式9-1］（2024?江蘇南京?模擬預(yù)測(cè)）已知SO】=2,底面半徑。遇=4的圓錐內(nèi)接于球。，則經(jīng)過(guò)S和。M

中點(diǎn)的平面截球。所得截面面積的最小值為（）

A.—25IlB.2竺5nC.2—5nD.5n

234

【變式9-2］（2024?湖北武漢?模擬預(yù)測(cè)）四棱錐P-A8CD各頂點(diǎn)都在球心。為的球面上，且P力，平面A8CD,

底面力BCD為矩形，PA=AD=2,AB=2五,設(shè)M,N分別是PD,CD的中點(diǎn)，則平面4MN截球。所得截面的面

積為（）

A.nB.3nC.4TlD.2n

【變式9-3］（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）在正方體力BCD-中，E,尸分別為棱&Bi，￡）小的中點(diǎn)，過(guò)

直線昉的平面截該正方體外接球所得的截面面積的最小值為s,最大值為S,貝1］工=（）

S

A.西B.。C.至D.9

2255

【題型10多面體與球體內(nèi)切外接綜合問(wèn)題】

【例10】（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知圓臺(tái)。1。2的內(nèi)切球半徑為2,圓臺(tái)。1。2的體積為28%，則圓臺(tái)0。2

外接球的表面積為（）

【變式10-1］（23-24高二下?湖南長(zhǎng)沙?期中）已知正四棱錐外接球的半徑為3,內(nèi)切球的半徑為1,則該正

四棱錐的高為（）

A.4+V3B.4+V2C.4±V3D.4±V2

【變式10-2】（2024?甘肅金昌?模擬預(yù)測(cè)）在底面是邊長(zhǎng)為4的正方形的四棱錐P-4BCD中，點(diǎn)P在底面的

射影H為正方形超CD的中心，異面直線PB與4。所成角的正切值為|,則四棱錐P-力BCD的內(nèi)切球與外接球

的半徑之比為（）

A.—B.—C.—D.—

17161318

【變式10-3】（2024?云南大理?模擬預(yù)測(cè)）六氟化硫，化學(xué)式為SF6,在常壓下是一種無(wú)色、無(wú)臭、無(wú)毒、

不燃的穩(wěn)定氣體，有良好的絕緣性，在電器工業(yè)方面具有廣泛用途.六氟化硫分子結(jié)構(gòu)為正八面體結(jié)構(gòu)（正

八面體每個(gè)面都是正三角形，可以看作是將兩個(gè)棱長(zhǎng)均相等的正四棱錐將底面粘接在一起的幾何體）.如

圖所示，正八面體的棱長(zhǎng)為a,此八面體的外接球與內(nèi)切球的體積之比為（）

A.3V3B.2V3C.3V2D.2V2

?過(guò)關(guān)測(cè)試

一、單選題

1.（2024?遼寧?一模）已知正四棱錐P-A8CD各頂點(diǎn)都在同一球面上，且正四棱錐底面邊長(zhǎng)為4,體積為

則該球表面積為（）

4TT

A.97rB.36TTC.4TTD.—

3

2.（2024?山東濟(jì)南?二模）已知正三棱錐P-ABC的底面邊長(zhǎng)為2百，若半徑為1的球與該正三棱錐的各

棱均相切，則三棱錐P-ABC的體積為（）

A.2B.2V2C.3D.2V3

3.（2024?寧夏吳忠?模擬預(yù)測(cè)）已知正三棱錐A-BCD的外接球是球。，正三棱錐底邊BC=3,側(cè)棱=2舊,

點(diǎn)E在線段BD上，且BE=DE,過(guò)點(diǎn)E作球。的截面，則所得截面圓面積的最大值是（）

91T

A.2nB.—C.3TTD.4TT

4

4.（2024?廣東廣州?模擬預(yù)測(cè)）已知球。內(nèi)切于圓臺(tái)（即球與該圓臺(tái)的上、下底面以及側(cè)面均相切），且圓

臺(tái)的上、下底面半徑分別為勺，r2,且「2=4勺=4,則圓臺(tái)的體積與球的體積之比為（）

A.-B.—C.-D.—

4828

5.（2024?陜西寶雞?三模）△A8C與△力BD都是邊長(zhǎng)為2的正三角形，沿公共邊力B折疊成三棱錐且CD長(zhǎng)為

V3,若點(diǎn)4B,C,D在同一球。的球面上，則球。的表面積為（）

A13「2087r1127rC52

A.—nD.---------D.—71

99?39

6.（2024?陜西榆林?模擬預(yù)測(cè)）如圖，△ABC是邊長(zhǎng)為4的正三角形，。是8C的中點(diǎn)，沿/。將△ABC

折疊，形成三棱錐Z-BCD.當(dāng)二面角8-2。-C為直二面角時(shí)，三棱錐Z-BCD外接球的體積為（）

「5V5nD20碣

A.5nB.20nc-

?3

7.（2024?天津和平?二模）如圖，一塊邊長(zhǎng)為10cm的正方形鐵片上有四塊陰影部分，將這些陰影部分裁下

去，然后用余下的四個(gè)全等的等腰三角形加工成一個(gè)正四棱錐形容器，則這個(gè)正四棱錐的內(nèi)切球（球與正

四棱錐各面均有且只有一個(gè)公共點(diǎn)）的體積為（）

8.（2024?安徽安慶?三模）如圖，在一個(gè)有蓋的圓錐容器內(nèi)放入兩個(gè)球體，已知該圓錐容器的底面圓直徑

A.這兩個(gè)球體的半徑之和的最大值為萼

B.這兩個(gè)球體的半徑之和的最大值為g

C.這兩個(gè)球體的表面積之和的最大值為（6+3點(diǎn)）11

D.這兩個(gè)球體的表面積之和的最大值為當(dāng)

二、多選題

9.（2024?黑龍江?模擬預(yù)測(cè)）圖柱的軸截面為正方形，則下列結(jié)論正確的有（）

A.圓柱內(nèi)切球的半徑與圖柱底面半徑相等

B.圓柱內(nèi)切球的表面積與圓柱表面積比為；

C.圓柱內(nèi)接圓錐的表面積與圓柱表面積比為［

D.圓柱內(nèi)切球的體積與圓柱體積比為:

10.（2024?河北衡水?三模）已知在正方體43。。一力/1的。1中，力&=2,點(diǎn)M為4的中點(diǎn)，點(diǎn)P為正方

形為B1C1D1內(nèi)一點(diǎn)（包含邊界）,且8P〃平面球。為正方體ABCD-AiBiCiOi的內(nèi)切球，下列說(shuō)法

正確的是（）

A.球。的體積為段B.點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為2/

C.異面直線CC1與所成角的余弦值取值范圍為[日,W]D.三棱錐外接球與球。內(nèi)切

11.（2024?江蘇無(wú)錫?模擬預(yù)測(cè)）在平面四邊形A8CD中，ABBC1,AB1BC,將△力CD沿力C折起，使。

到達(dá)點(diǎn)P的位置.已知三棱錐P-4