人教版選擇性必修一冊高中數(shù)學(xué)講義：拓展之二面角的傳統(tǒng)法與向量法（含探索性問題）（學(xué)生版+解析）

第09講拓展三：二面角的傳統(tǒng)法與向量法（含探索性問題）

知識清單

1、定義法

在二面角的棱上任取一點（通常都是取特殊點，如中點，端點），過該點在兩個半平面內(nèi)作二面角棱的垂

線，兩垂線所成的角就是二面角的平面角.

2、三垂線法

三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線如果和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直.

三垂線定理的逆定理：在平面內(nèi)的一條直線如果和這個平面的一條斜線垂直，那么它和這條斜線的射影垂

直.

具體操作步驟（如圖在三棱錐P-ABC中）求二面角P—AB—C：

①第一垂：過點P向平面ABC引垂線PO（一般是找+證，證明尸ABC）

②第二垂：在平面ABC中，過點。作。。，A3,垂足為0

③第三垂：連接尸。1（解答題需證明PGLAB）

3、射影面積法（COSq=平）

凡二面角的圖形中含有可求原圖形面積和該圖形在另一個半平面上的射影圖形面積的都可利用射影面積公

s

式（COS。=三鼠）求出二面角的大小.

3斜

4、用向量運算求平面與平面的夾角

如圖，若于A，PB工戶于B,平面Q4B交/于￡,則為二面角。一/一夕的平面角,

若々?%分別為面&，尸的法向量

①COS<4,〃2>="1?%

1nliI%|

②cos。根據(jù)圖形判斷二面角為銳二面角還是頓二面角;

若二面角為銳二面角（取正），貝!］cos。=|cos<小%>|；

若二面角為鈍二面角（取負），則cos9=—|cos<4,%>］；

02題型精講

題型01求二面角（傳統(tǒng)法）

【典例1］（23-24高一下?四川成都?階段練習(xí)）在三棱柱ABC-44G中，AB=AC=BC=AA}=AClt

若AQLBC,則二面角4-AC-8的余弦值為.

【典例2］（23-24高一下?浙江?階段練習(xí)）如圖，在直三棱柱ABC-中，AB=BBX=\,AC=^，

四邊形4BC￡為正方形.

(1)求證：平面A耳CJ_平面耳BCG；

(2)求二面角的余弦值.

【變式1】(23-24高一下?廣西南寧?階段練習(xí))如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面243,平面ABCD,

|AB|=2,|BC|=|CD|=1,AB1/CD,ZABC=90°,ZAP3=90。，|以卜歸國

⑴求點D到平面PAC的距離;

(2)求二面角A-BD-P的正切值.

【變式2］（23-24高一下?黑龍江大慶?階段練習(xí)）如圖，在四棱錐尸-ABCD中，底面A3CD是菱形,

ZBAD=120°,AB=2,ACn3Z）=O,PO_L底面A3CD,點E在棱PD上.

P

⑴求證：AC_L平面PBO;

（2）若O尸=2,點石為PD的中點，求二面角P—AC—E的余弦值.

【變式3】（2024?四川成都?二模）如圖，在正四面體P-ABC中，瓦尸是棱PC的兩個三等分點.

p

（1）證明：ABLPC；

⑵求出二面角P-AB-E,E-AB-/，尸-AB-C的平面角中最大角的余弦值.

題型02利用面積投影法求二面角（定值）

【典例1］（23-24高一下?河南安陽?階段練習(xí)）在棱長為2的正方體ABC。-44GA中，E是棱。2的中

點,則平面A.EC截該正方體所得截面面積為；平面A.EC與底面ABCD所成銳二面角的余弦值為.

【典例2］（23-24高一下?河南新鄉(xiāng)?階段練習(xí)）如圖，已知直角三角形A8C的斜邊3C〃平面4，A在平

面。上，AB,AC分別與平面。成30。和45。的角，BC=6.

（1）求8C到平面a的距離；

⑵求平面ABC與平面"的夾角.（提示：射影面積公式cos9=”=?山）

J金L.ARC

【典例3】（2024?河南?模擬預(yù)測）如圖，在長方體ABC。-44GA中，點MN分別是的中點.

⑴求證：BG〃平面4MN；

(2)若AB=2,朋=4,且底面ABCD為正方形，求平面用感與平面BCG用夾角的余弦值.

【變式11(23-24高一下?浙江紹興?期中)如圖，已知直角三角形ABC的斜邊3c〃平面0,4在平面。上,

AB,AC分別與平面a成30。和45。的角，BC=6.

⑴求BC到平面。的距離;

(2)求平面A3C與平面戊的夾角.

題型03利用向量法求二面角（定值）

【典例1］（23-24高三上?廣西南寧?階段練習(xí)）如圖，四棱錐尸-ABCD內(nèi)，平面ABCD,四邊形ABCZ）

為正方形，AS=2,BP=2日過P的直線/交平面ABCD于正方形ABCD內(nèi)的點V,且滿足平面

平面PBM.

（1）求點/的軌跡長度；

（2）當點M到面PBC的距離為|■時，求二面角AP-3的余弦值.

【典例2］（2025?甘肅張掖?模擬預(yù)測）在三棱柱ABC-中，側(cè)面AACC」平面ABC,AC=BC=AAt=4,

-TTTT

NAC3=1,側(cè)面ACC0為菱形，且=為CG中點.

(1)證明：a。，平面gBCG；

(2)求二面角D-A.B-C的余弦值.

【變式1】(23-24高二下?云南保山?階段練習(xí))如圖，三棱錐P-ABC中，正三角形上4c所在平面與平面

ABC垂直，。為AC的中點，G是APBC的重心，AB1BC,AC=46，AB=6.

P

⑴證明：ABII

(2)求平面E4B與平面PBC夾角的余弦值.

【變式2]（2024?河北秦皇島?三模）如圖，在三棱柱ABC-A用G中，CA=CB,四邊形用A為菱形,

ZABBt=-,Aql^C.

C

（1）證明：BC=BB].

⑵已知平面A3CJ1平面,求二面角B-CCj-A的正弦值.

【變式3】（23-24高二下?甘肅武威?階段練習(xí)）如圖所示，在四棱錐尸-ABCD中，平面ABCD,底

―.1—.

面ABCD是正方形，9=4。/是尸D的中點，N在線段PC上，且CNqCP.

p

⑴求證：AC±BM

（2）求平面3A1N與平面ABCD所夾二面角余弦值.

題型04利用向量法求二面角（最值或范圍）

【典例1】（2024?山東?模擬預(yù)測）如圖，在直三棱柱ABC-中，AB=BC=2,ABIBC,CC；=2右,

屁=4甌（0＜彳＜1）.

(1)當2時，求證：CE_L平面ABC1；

⑵設(shè)二面角B-AE-C的大小為0,求cos。的取值范圍.

【典例2】(23-24高二下?浙江金華?期中)在如圖所示的直三棱柱ABC-A4G中，A3=8C=2,=2,2E

分別是線段BC,4坊上的動點.

⑴若DE//平面ACGA，耳石：嗎=3：2,求CD:BD的值；

(2)若三棱柱是正三棱柱，。是BC的中點，求二面角O-8E-A余弦值的最小值.

【典例3】(2024?福建南平?二模)如圖，在四棱錐P-ASCD中，24,平面ABCD,AB//CD,

AB=BC=AD<CD,ZABC=^.M,N分別為棱CO,PO上的動點(與端點不重合)，且空=空

3CDDP

P

⑴求證：">_L平面APC；

(2)若=設(shè)平面與平面APC所成的角為a,求cosa的最大值.

【變式1】(2024?江蘇南通?三模)如圖，在直三棱柱A3C-4與，中，AB=BC=2,AB±BC,CC}=2^/3,

屁=彳甌(0<彳<1).

(1)當幾=；時，求證：CEL平面A8G；

(2)設(shè)二面角的大小為凡求sin。的取值范圍.

【變式2】(23-24高二下?上海?階段練習(xí))已知在直三棱柱ABC-AB。1中，側(cè)面的與避為正方形,

AB=BC=2,E,尸分別為AC和CG的中點，。為棱44上的點，BFV^B].

(1)證明：BF±DE；

(2)當B}D為何值時,平面BB&C與平面DFE夾角的正弦值最小?

【變式3J(2024周二下?全國,專題練習(xí))已知直二棱柱ABC-AlBiCx中，側(cè)面大^^/?為正方形，AB=BC=2,

E,尸分別為AC和CG的中點，。為棱4片上的點.BF±AB,

4D§

(1)證明：BFYDE-,

(2)當B.D為何值時，平面BB&C與平面所成的二面角的正弦值最小?

題型05已知二面角求參數(shù)

【典例1】(2024高三?全國?專題練習(xí))如圖，在正四棱柱A3。-4BCQ中，AB=2,AAi=4,點

4,82,。2,。2分別在棱明,3練。。1,上，=1,BB2=DD2=2,CC2=3,若點?在棱8片上，當二面

角P—4G—。2為150。時，則為P=.

【典例2］（23-24高二上?黑龍江哈爾濱?階段練習(xí)）四棱錐P-ABCD中，241.平面A3CD,^BAD=90°,

PA=AB=BC=^AD=1,BC//AD,己知。是四邊形A3CD內(nèi)部一點，且二面角A的平面角大小

為B，則動點Q的軌跡的長度為____.

6

【變式1】（23-24高二上?寧夏?階段練習(xí)）如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A與GA中，M,N分別是

都是矩形，E是C。的中點，DtElCD,鉆=23C=2.若平面BCC4與平面BE，所成的銳二面角的大小

為則線段2E的長度為

題型06二面角中的探索性問題

【典例1］（23-24高三下?云南?階段練習(xí)）如圖，已知四邊形A3CD為矩形，AB=4,4）=2,E為DC

的中點，將VADE沿AE進行翻折，使點。與點P重合，且尸2=26.

⑴證明：PAYBE；

⑵設(shè)AE,BC的延長線交于點N,則線段PN上是否存在點0,使得平面PEC與平面ECQ所成角的余弦值

為〉

【典例2］（2024-山東荷澤?模擬預(yù)測）如圖，在正四棱錐S-ABCD中，已知SA=AB=夜,SO_L平面ABCD,

點。在平面A3CD內(nèi)，點尸在棱山上.

⑴若點P是SO的中點，證明：平面SAD,平面P4C；

⑵在棱SD上是否存在一點尸，使得二面角S-AC-P的余弦值為《？若存在，求出點P的位置；若不存

在，說明理由.

【典例3](2024?北京?模擬預(yù)測)如圖,在四棱錐P-ABCD中，AB//CD,AB=4,BC=CD=2,BP=DP=回,

ZBCD^6O0,ADrPD.

(1)求證：平面尸BD_L平面A3CD；

(2)若線段PC上存在點F,滿足#=彳而，且平面5r不與平面45尸的夾角的余弦值為畫，求實數(shù)幾的

140

值.

【典例4】(2024?河北張家口?三模)如圖，在三棱錐A-BCD中，BC，8,△A3。是邊長為2的等邊三

角

于。，AP±BC,已知BC=8,PO=4,AO=3,OD=2.

p

(1)證明：尸01平面ABC；

TT

(2)在線段AP上是否存在點救,使得二面角A-MC-3的大小為:？若存在，求出A"的長；若不存在,

4

請說明理由.

【變式3](2024?山東聊城?三模)如圖，在正三棱柱ABC-A4G中，⑨=2AB=2,點。E,尸分別是

棱AC,CG，G用的中點，點尸滿足1?=彳通+〃離，其中Xe[0,l],〃e[0,l].

(1)當4=時，求證：0Pzz平面4EF；

(2)當4=1時，是否存在點P使得平面ACP與平面\EF的夾角的余弦值是乎?若存在，指出點P的位置,

若不存在，請說明理由.

【變式4](2024?廣東廣州?模擬預(yù)測)在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，CD//AB,ZABC=90°,

AB=2CD,三棱錐PCD的體積為逆，平面PAD與平面PBC的交線為/.

3

(1)求四棱錐尸-ABCD的體積，并在答卷上畫出交線/(注意保留作圖痕跡)；

(2)若AB=23C=4,PA=PD,且平面PAD_L平面ABC。，在/上是否存在點N,使平面PAC與平面。CN

所成角的余弦值為逅？若存在，求PN的長度；若不存在，請說明理由.

3

第09講拓展三：二面角的傳統(tǒng)法與向量法（含探索性問題）

知識清單

1、定義法

在二面角的棱上任取一點（通常都是取特殊點，如中點，端點），過該點在兩個半平面內(nèi)作二面角棱的垂

線，兩垂線所成的角就是二面角的平面角.

2、三垂線法

三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線如果和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直.

三垂線定理的逆定理：在平面內(nèi)的一條直線如果和這個平面的一條斜線垂直，那么它和這條斜線的射影垂

直.

具體操作步驟（如圖在三棱錐P-ABC中）求二面角P—A3—C：

①第一垂：過點尸向平面ABC引垂線PO（一般是找+證，證明POLA3C）

②第二垂：在平面ABC中，過點。作垂足為0

③第三垂：連接尸。（解答題需證明

3、射影面積法（COSq=爭）

凡二面角的圖形中含有可求原圖形面積和該圖形在另一個半平面上的射影圖形面積的都可利用射影面積公

s

式（以）$6二薩）求出二面角的大小.

3斜

4、用向量運算求平面與平面的夾角

如圖，若于A，PB工戶于B,平面Q4B交/于￡,則為二面角。一/一夕的平面角,

若々?%分別為面&，尸的法向量

①COS<4,〃2>="1?%

I%||n2|

②cos。根據(jù)圖形判斷二面角為銳二面角還是頓二面角;

若二面角為銳二面角（取正），貝!］cos。=|cos<小%>|；

若二面角為鈍二面角（取負），則cos9=—|cos<4,%>］；

____________

題型精講

題型01求二面角（傳統(tǒng)法）

【典例1］（23-24高一下?四川成都?階段練習(xí)）在三棱柱ABC-A與G中，AB=AC=BC=AAi=ACl,

若AQLBC,則二面角4-AC-B的余弦值為

【答案呼

【分析】連接AG，a（交于點E,連接4員4片交于點/，連接班'，可證明，平面平面AG瓦，過

點用作有4V，平面4cB過點/作于N,連接與N,則/旦NM即為二面角

4-AC-B的平面角，過點￡8分別作fWLACBQLAC,計算可求二面角4-4C-B的余弦值.

【詳解】連接AG，4C交于點￡,連接A5A用交于點尸，連接E尸.

ACj1AC,AC]±BC,AtCp|BC=C,:.AC,±平面AXCB,又QAC】u平面

AGBI,

平面平面AC4.

?.■平面AC內(nèi)口平面ACB=所，.?.過點用作印尸有與ML平面ACB；此時FM=EE.

過點M作于N,連接用N,則/與MW即為二面角4-4C-8的平面角，

不妨設(shè)A內(nèi)=2,經(jīng)計算可得：BXM=CXE=\.

過點F,B分別作FH±ACBQLA.C.

■:廠是EM中點，且為48中點，，“N=29=3。，

「八BCxAB2x2夜2屈……，屈’…，2722

..BQ=------------=-----『—=---=A/2V,..B、N--------,..cos/gNM---------.

21^/33311

.??二面角4-AC-B的余弦值為2叵.

11

故答案為：漢里.

11

【典例2］（23-24高一下?浙江?階段練習(xí)）如圖，在直三棱柱ABC-中，AB=BBt=l,AC=拒,

四邊形g為正方形.

(1)求證：平面AB。，平面

(2)求二面角A-B.C-B的余弦值.

【答案】(1)證明見解析

(2)g

3

【分析】(1)先證明平面旦BCG，然后結(jié)合面面垂直的判定定理即可得證；

(2)根據(jù)定義得出NAO3為二面角A-qC-8的平面角，結(jié)合解三角形知識即可得解.

【詳解】(1)由平面用BCG為正方形，因為四=1,所以BC=1,

又因為84=1,AC=0，所以AB2+BC2=AC2,

所以AB/3C,又3B|nBC=B,且8與，BCu平面48CG，

所以AB工平面用3CG，

因為4耳//48,所以A4J_平面B[BCC],

因為Agu平面A4C,平面AgC,平面43C￡.

(2)因為直角三角形B4c中，BBi=AB=l.

所以蝴=0,所以VAB。為等邊三角形.

又因為△880為等腰三角形.

所以取80得中點0,連結(jié)AO,B0,則AOLBC，BO±BtC,

所以-AOB為二面角A-8。-B的平面角.

因為直角三角形54c中，BO=-BC=—.

2X12

在等邊三角形中，AO=2AC①

22

二匚［、［正一'7TZAZ^DUt/AcnA。？+80?—A3?5y3

所以在二角形496中，cosZAOB=---------------=—.

2AOBO3

所以二面角A-BC-B的余弦值為更.

3

【變式1］（23-24高一下?廣西南寧?階段練習(xí)）如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面R4B，平面A3CD,

\AB\=2,|BC|=|CD|=1,AB1/CD,ZABC=90°,ZAPB=90°,|PA|=|PB|

P

⑴求點D到平面PAC的距離；

（2）求二面角A-BD-P的正切值.

【答案】（1）手

（2）72

【分析】（1）利用等積法/"C=%一皿即可求解;

（2）構(gòu)造二面角的平面角并求出正切值即可.

【詳解】（1）因為平面平面ABCD,平面上c平面ABCD=AB,旦NABC=90。，即BC_LAB,

3Cu面ABCD,

所以3C1平面R4B,而APu平面上4B,所以3C_LAP,

又/AP3=90°,所以AP_LBP,又BCCBP=B,8C,3Pu平面P3C,

所以24,平面PBC,BP,PCu面PBC,即APLBRAPLPC,

由3尸u面B4B,則3c_LBP,

X|B4|=|PB|,|AB|=2,|BC|=|CD|=1,

所以|以|=怛明=及，|PC|=^|PB|2+|BC|2=A/3,

貝!]PC2+Ap2=A82+3c2=Ac2,故PC_LAP,

所以24=34斗忸1=手應(yīng)皿=3口/忸。=3,

又因為平面R4B_L平面ABCD,平面R4Bc平面ABCD=AB,

所以點尸到平面ABCD的距離即為點P到直線AB的距離；

設(shè)點尸到平面ABCD的距離為4,則々=1,

設(shè)點。到平面PAC的距離為人2，則44?7=匕）-皿，

xx

所以§S3ABe-/?!=—5AApc也,HP—x—l=jxh2,

解得為二逅，即點O到平面PAC的距離為逅.

■66

(2)

如圖：取A3中點連結(jié)2D,取3。中點0,連結(jié)DM,PM,M0,P0,

因為|/訓(xùn)=|/狎，A/為AB中點，所以

又平面加5_L平面ABCD，平面PABc平面MCZ)=AB,PMu面BIB,

所以ZW平面ABCD,又/AP3=90。，|AB|=2,

所以|PM|=J=1,怛⑼=^\BCf+\CDf=V2,

由題設(shè)易知BCDM為正方形，貝=且Affi_LMD,

所以MO_L8￡>且|M?|=g忸必=g,

則BD±MO,BDLPM,MO[}PM=M,MO,PMu平面POM,

所以目□人平面尸。Af,POu平面POM,所以尸OJ_BD,

所以在直角三角形POM中，/POM即為二面角的平面角，

tanZPOM=—=^=>/2

MOV2

【變式2](23-24高一下?黑龍江大慶?階段練習(xí))如圖，在四棱錐尸-ASCD中，底面ABCD是菱形,

/R4D=120°,AB=2,ACn3D=O,尸底面ABC。，點E在棱上.

P

⑴求證：AC_L平面PBD；

(2)若0P=2,點E為尸D的中點，求二面角P—AC—E的余弦值.

【答案】⑴證明見解析

【分析】(1)先根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理得POLAC,再結(jié)合菱形性質(zhì)利用線面垂直的判定定理證明即

可.

(2)根據(jù)二面角的平面角定義作出二面角的平面角，然后利用直角三角形的邊角關(guān)系求解即可.

【詳解】(1)因為尸(91平面ABCD,ACu平面所以PO_LAC,

因為A3CD為菱形，所以AC/3D,

又即。PO=0,3Du平面尸8￡),P。u平面PM,

所以AC_L平面尸B￡).

(2)如圖，連接0E,則OEu平面ACE,

由ACJ_平面PB。，OEu平面PBD,OPu平面尸5D,得AC_LOE,AC_LOP,

故/POE即為二面角P—AC-E的平面角,

在菱形ABC。中，AB=AZ)=2,ZBAD=120°,

所以BD=2瓜OD=5

又PO=2,所以尸8=PD=也*符'=⑺，

由點￡為尸￡＞的中點，得OE=LpD=&PE=LpD=H

2222

所以△尸OE為等腰三角形，在△尸OE內(nèi)過點E作高，垂足為反，則HO=1,

所以cosNPOE=cosZHOE=嘿*=粵,即二面角P_AC-E的余弦值為正.

k7

【變式3】(2024?四川成都,二模)如圖，在正四面體P-ABC中，E,尸是棱PC的兩個三等分點.

(1)證明：AB1PC；

⑵求出二面角「-48-￡,石-48-尸,尸-48-。的平面角中最大角的余弦值.

【答案】⑴證明見解析

(2)—

19

【分析】

(1)根據(jù)題意，由線面垂直的判定定理即可證明平面PTC,從而證明AB,PC；

(2)根據(jù)題意，由二面角的定義，結(jié)合余弦定理代入計算，即可得到結(jié)果.

【詳解】(1)

取A3的中點為T,連接尸T,CT.???四面體P-ABC為正四面體，

為正三角形.又T為A8的中點，.?.PT_LAB.同理可得CT_LAB.

?.?尸7門。7=7,尸7,?^匚平面「兀，2平面PTC.

又尸Cu平面PTC,:.AB1PC.

取PC的中點為Q,連接ET,FT,QT,設(shè)24=6。.

由（1）得AB人平面PTC.?JET,FTu平面尸TC,，ABLET,A5,尸T.

.?.，P7石為二面角P-E的平面角，上￡7萬為二面角E-AB-尸的平面角,

NFTC為二面角尸-AB-C的平面角.由圖形對稱性可判斷NPTE=NFTC.

易得尸7=。7=36。,；.7。，尸（7.在4小。中，TQ=JPT2_pQ2=3缶.

在A￡TQ中，ET={EQ。+TO?=Ma.同理可得/T=M°.

PT?+ET?-PE,7A/57ET'+FT2-EF-17

cos^fPTE=-----,cos/七TP=---------------=—

2PTET-572ET?FT19

,/cos/PTE>cos/ETF,/PTE</ETF.

二面角E-AB-尸的平面角最大，其余弦值等于歷.

題型02利用面積投影法求二面角（定值）

【典例1］（23-24高一下?河南安陽?階段練習(xí)）在棱長為2的正方體A3。-4BGA中，E是棱。R的中

點,則平面AtEC截該正方體所得截面面積為；平面4EC與底面ABCD所成銳二面角的余弦值為

【分析】設(shè)平面4EC交8用于點尸，可知平面AEC截正方體ABCD-aqGD所得截面為AECP,推導(dǎo)

出點廠為B片的中點，計算得知四邊形4ECF是邊長為旨的菱形，并求出菱形4EC尸的對角線長，由此可

求得該截面的面積，再由二面角余弦公式求值即可.

【詳解】如圖，在正方體ABCD-ABGA中,

v平面ADQAH平面B￡CB,平面\ECQ平面A,D1DA=AtE,

平面AEcn平面用GCB=CF,〃庭，同理可證A尸〃CE,

四邊形4EC尸是平行四邊形，

ZBCF=ND&E,

又BC=AR=2,ZCBF=ZAi￡?1￡=90°,

:.AADE三&CBF,BF=RE=1,則b為2瓦的中點，：.CF=JBC。+BF?=石，同理CE=J^,

所以截面AEB是邊長為6的菱形，其對角線￡F=2D=20，4。=2右，

故截面面積S=；4cx砂=gx20x2石=2".

設(shè)平面AtEC與底面ABCD所成銳二面角為Q,

因為截面在底面的射影為正方形ABCD,

所以cos0=5正方形A"。。=m=逅.

S截面2娓3

故答案為：2蕊;-

【典例2](23-24高一下?河南新鄉(xiāng)?階段練習(xí))如圖，已知直角三角形A8C的斜邊BC〃平面々，A在平

面。上，AB,AC分別與平面“成30。和45。的角，BC=6.

(1)求8c到平面a的距離;

⑵求平面ABC與平面"的夾角.（提示：射影面積公式cos9=”=冷山）

【答案】（1）指

嗚.

【分析】（1）過氏。作平面a的垂線，利用直角三角形邊角關(guān)系及勾股定理建立方程求解.

（2）作出二面角的平面角，利用余弦定理、三角形面積公式求解即得.

【詳解】（1）過8作3E，。，垂足為E,過C作CFLa,垂足為P，連AE、AF、EF,

則ZBAE=30°,ZCAF=45°,

設(shè)BC到平面a的距離為d,由3C//平面得BE=CF=d,

在RtA3E4中，sin30°=—,則=1=在Rt^CA尸中，AC=6d，

AB2

在RtZVlBC中，BC2AB2+AC2,則36=2儲+4/，所以d=

（2）由（1）知，四邊形2CPE是矩形，過點A作直線旌E顯然以BC,

在平面a內(nèi)過點A作AOL阱于。，則AO，/,過。作OG//BE交BC于G,連接4G,

則OG，a,OGL跖，有0G，/,而40口0G=O,AO,OGu平面AOG,

于是/_!_平面AOG,又AG評面AOG,則/_LAG,即NGAO為平面A3C與平面a的夾角,

由（1）知，AB=2瓜AC=2拒,則S/BcuOM.ACuGg,

在ZXAE/中，AE=3A/2,AF=y/6,EF=6,則cosNEAF=4后一+丁尸一一斤一二

2AE-AF3

于是sinNE4F="，5,即=：AE-AF?sin=30

32

An-EFAOq1JTJT

因此cosNG4O=——2XO<ZGAO<-,則

AG1V

-BCAGMABC

2

所以平面A2C與平面a的夾角為:7T.

【典例3】（2024?河南?模擬預(yù)測）如圖，在長方體A5CD-4gCQ中，點M,N分別是AD。，的中點.

⑴求證：BG〃平面4MN；

（2）若42=2,朋=4,且底面ABCD為正方形，求平面與平面BCG4夾角的余弦值.

【答案】⑴證明見解析

⑵血

14

【分析】（1）連接A2，由線面平行的判定定理即可證明；

（2）方法一：以點。為原點，建立空間直角坐標系，結(jié)合空間向量的坐標運算，即可得到結(jié)果；方法二：

根據(jù)題意，由面面角的定義可得/用碼即為平面用“V與平面BCG用的夾角，代入計算，即可得到結(jié)果;

s

方法三：由條件可得為△gMN的射影，代入85。=產(chǎn)工計算，即可得到結(jié)果.

>"MN

【詳解】（1）如圖，連接A2,

因為點M,N分別是AD,DD1的中點，

所以MN//A，.

又由長方體的性質(zhì)知ABCQ,AB//CtDx,AB=ClDl,

所以四邊形ABG2為平行四邊形，

所以BC//AR,所以BCJ/MN.

又MNu平面B、MN,BCXcZ平面BXMN,

所以2G〃平面

（2）（射影法）：設(shè)平面與平面BCG4的夾角為6,如圖，過點N作MV'J.CG于點N',過點/作

MMU8C于點ML連接MN,BM，BN,

則△為WW'為△耳MN的射影.

由題易得耳N=26,MN=書,MB、=后,B、N'=2板,MN=4,B\M'=歷,

MM+BN-MBI21

所以cosNMNB]=

2MN?B[N岳'

J]4

所以sin/腦\有=^=

715

i1/i4,—

所以s八"MN=—B]NXMNxsinNMNB、=—x2正又＜5xW?

22-\/15

△鳳小

又SMN~S四邊形5CG4-SARBM，~SAB1cN-SMNC=8-2-2-]=3

所以cos人＞q3_3A/14

714-14

MN

所以平面B.MN與平面BCC、B1夾角的余弦值為曲.

14

【變式11（23-24高一下?浙江紹興?期中）如圖，已知直角三角形A8C的斜邊3C〃平面。，A在平面。上,

AB,AC分別與平面。成30。和45。的角，BC=6.

（1）求8C到平面a的距離;

⑵求平面ABC與平面a的夾角.

【答案】（1）訴；

【分析】（1）過B,C作平面a的垂線，利用直角三角形邊角關(guān)系及勾股定理建立方程求解.

（2）作出二面角的平面角，利用余弦定理、三角形面積公式求解即得.

【詳解】（1）過8作垂足為E,過C作CF，。，垂足為P，連AE、AF.EF,

則N3AE=30°,ZCAF=45",

設(shè)8c到平面a的距離為d,由BC〃平面。，得BE=CF=d,

在RtA^EA中，sin30"=y,則在RtZ\CA尸中，AC=y/2d，

在Rt^ABC中，BC2^AB2+AC2,則36=2笛+4相，所以d=#.

（2）由（1）知，四邊形3CFE是矩形，過點A作直線///EF,顯然///3C,

在平面a內(nèi)過點A作AO_LEF于0,則A0_U,過。作OG〃班■交8C于G,連接AG,

則0G，a,0GL砂，有0G，/,AOQOG=O,AO,OGcAOG,

于是平面AOG,又AGu平面AOG,貝i]/_LAG,即/GAO平面ABC與平面a的夾角,

由（1）知，AB=2娓,AC=2>j3,則S1sAsc=；AB-AC=60,

在△AE廳中，AE=30,AF=6,EF=46,貝Ucos/￡4尸=王上絲二,

2AE-AF3

于是sin/￡AF=L,s=-AE-AF-sinZEAF=342,

3△口FnArF

4c—EF?AOq]

因止匕cos/GAO=——-----------=^￡4F=_又0<NGAOW工，則NGAO=巴，

的IBC.AGS.ABC223

2

TT

所以平面ABC與平面a的夾角為

題型03利用向量法求二面角（定值）

【典例1］（23-24高三上?廣西南寧?階段練習(xí)）如圖，四棱錐P-ABCD內(nèi)，MJL平面ABCD,四邊形ABCD

為正方形，AB=2,BP=2也.過P的直線/交平面A3CD于正方形ABCD內(nèi)的點且滿足平面

平面PBM.

p

(1)求點/的軌跡長度；

(2)當點M到面PBC的距離為|■時，求二面角AP-5的余弦值.

【答案】⑴n

力3/

⑵干

【分析】(1)作出輔助線，由面面垂直的性質(zhì)定理得到BN_L平面,再由線面垂直推出3N_LAM,

利用線面垂直的判定得到AM上平面PBM,進而得到利用圓的性質(zhì)得動點的軌跡，進一步求

出軌跡長度；

(2)過點M作MN13C于點N,面PBC,建立空間直角坐標系，求得平面M4P的一個法向量，

平面APB得一個法向量，利用向量的夾角公式可求二面角P-M4-O的余弦值.

【詳解】(1)如圖所示，過點B作且8NnPM=N,

??,平面平面PBA7,且平面平面PfiW=尸”，

，3N_L平面又「AMu平面R4",

?.?尸2_1_平面ABCD,AMu平面ABCD,

：.PB±AM,又PB^BN=B,且尸8,3Nu平面P8A7,

平面PBM,?.?BA/u平面PSM,:.AMIBM,

由點M在正方形ABCD內(nèi)，

所以點Af在以AB為直徑的半圓上，r=^AB=l,

所以點河的軌跡長度為兀.

（2）過點〃作MN1BC于點N,

?.?正臺上平面筋⑦，肱Vu平面A3CD,.?.P8_LACV,

■.■PB^BC=B,P8,BCu平面PBC,MNI5??PBC,

故MN的長度即為點"到面PBC的距離，故MN=L

2

???由（1）可知點”在以A8為直徑的半圓上運動，

如圖所示建立空間直角坐標系，

??.M（g,2,O）,A（2,0,0）,網(wǎng)0,0,0）,P（0,0,2A/3）,

AM=.0，麗=卜2,0,2可

AM-fh=——x+X—y=0

設(shè)平面MAP的一個法向量為m=（x,y,z），貝！J<22

AP-m=-lx+2百z=0

令1=6,則z=1,y=3,m=(^3,3,1),

又平面何得一個法向量為E=（0,l,0）,記二面角以-針-3為為。,

由圖可知二面角尸—。為銳角,

所以二面角尸—M4—。的余弦值為竺1.

13

【典例2](2025?甘肅張掖?模擬預(yù)測)在三棱柱ABC-A旦G中，側(cè)面4ACCJ平面ABC,AC=BC=AA{=4,

jrTT

NACB=%側(cè)面ACC0為菱形，且N4AC=w，O為CC,中點.

(1)證明：平面片BCG；

(2)求二面角D-A.B-C的余弦值.

【答案】⑴證明見解析

⑵日

【分析】(1)由側(cè)面AACG，平面A3c和3C_LAC,可得3c人面AACC】，又CG_LAQ,再結(jié)合線

面垂直的判定定理得證；

(2)建立空間直角坐標系，利用兩平面夾角的向量公式求解.

7T

【詳解】(1)根據(jù)題意=即3C，AC,

又側(cè)面4ACG_L平面ABC,面AACQc平面ABC=AC,3Cu平面ABC,

所以3C，面AACG，而ADU面AACG，所以BC_LAQ,

側(cè)面ACC0為菱形，。為CG中點，所以CGLAQ,

CQnBC=C,CCPBCu平面BlBCCl,

所以平面用BCG；

（2）取AG中點E,連接CE,則CE^AG，而AC//AG，所以CELAC,

又側(cè)面4ACC[J_平面ABC,面AACC[c平面ABC=AC,（石匚平面人人^^],

所以。石_1面43。,

以點C為原點，分別以CB,CA,CE所在直線為x，%z軸，建立空間直角坐標系。-孫z.

由題知C（0,0,0）,3（4,0,0）,4（0,2,2^）,0（0,-2,2力），￡＞（0,-1,石）,

貝…=（4,-2,-2⑹，CB=（4,0,0）,麗=（-4,-1,⑹,

設(shè)平面D&B的法向量為n=（x,y,z）,

n-AB=4x-2y-=0,「（

則有‘取z3得"（I

設(shè)平面的法向量為歷=a，x，zj,

m-AB=4x-2y,-2y/3z,=0「/\

則有，二，取X=四，得比=0,胃,一1,

玩?CB=4X]=0\'

設(shè)二面角。-AB-C的夾角為。，

m-n2A/3V15

貝I]cos0=

2x.y/5-5'

即二面角D-A.B-C的余弦值為巫

5

【變式1】（23-24高二下?云南保山?階段練習(xí)）如圖，三棱錐尸-ABC中，正三角形上4c所在平面與平面

ABC垂直，。為AC的中點，G是APBC的重心，AB1BC,AC=4^3,AB=6.

(1)證明：4811平面「。6；

⑵求平面R4B與平面PBC夾角的余弦值.

【答案】⑴證明見解析

⑵晅

65

【分析】(1)作輔助線，可證OOUAB,結(jié)合線面平行的判定定理分析證明；

(2)根據(jù)面面垂直的判定定理可知尸平面ABC,過3作加'/AC于F,建系，利用空間向量求面面夾

角.

【詳解】(1)在三棱錐P-ABC中，連接PG并延長交BC于O,連接。。、OG,

由G為APBC的重心，則。為BC的中點，