人教版中考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：三角形與角有關(guān)的壓軸題訓(xùn)練（解析版）

專題02三角形與角有關(guān)的壓軸題訓(xùn)練

多邊形角度問題

角之間數(shù)量關(guān)系問題

定值問題

多邊形內(nèi)角和

1.如圖1六邊形的內(nèi)角和/1+/2+/3+/4+/5+/6為加度，如圖2六邊形的內(nèi)角和

/1+/2+/3+/4+/5+/6為力度，貝!]"?-〃=,

【分析】將兩個(gè)六邊形分別進(jìn)行拆分，再結(jié)合三角形的內(nèi)角和和四邊形的內(nèi)角和計(jì)算即可得出答

案.

【詳解】如圖1所示，將原六邊形分成了兩個(gè)三角形和一個(gè)四邊形,

m=Z1+Z2+Z3+Z4+Z5+Z6=180°x2+360o=720°

如圖2所示，將原六邊形分成了四個(gè)三角形

.?.〃=N1+N2+N3+N4+N5+N6=180°x4=720°

.,?m-n=0

故答案為0.

【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的內(nèi)角和和四邊形的內(nèi)角和，難度適中，解題關(guān)鍵是將所求六邊形拆

分成幾個(gè)三角形和四邊形的形式進(jìn)行求解.

2.(1)如圖1所示，zL4+Z5+ZC+ZZ>+Z￡+ZF=。；

(2)如果把圖1稱為二環(huán)三角形，它的內(nèi)角和為NN+NB+ZC+NO+NE+N/；圖2稱為二環(huán)四

邊形，它的內(nèi)角和為N4+/3+/C+/D+/E+/尸+/G+/”,則二環(huán)四邊形的內(nèi)角和為

。；二環(huán)五邊形的內(nèi)角和為°；二環(huán)〃邊形的內(nèi)角和為。.

R

【答案】360°720°1080°360°(?-2)

【分析】(1)結(jié)合題意，根據(jù)對(duì)頂角和三角形內(nèi)角和的知識(shí)，得NE+NF=NADE+NE4D,再根據(jù)

四邊形內(nèi)角和的性質(zhì)計(jì)算，即可得到答案；

(2)連接NE,FE交于點(diǎn)〃，根據(jù)三角形內(nèi)角和和對(duì)頂角的知識(shí)，得

ZMAE+ZMEA=ZF+ZG+ZH-180°；結(jié)合五邊形內(nèi)角和性質(zhì)，得

ZBAM+ZB+ZC+ZD+ZMED+ZF+ZG+ZH=120°；結(jié)合(1)的結(jié)論，根據(jù)數(shù)字規(guī)律的性質(zhì)

分析，即可得到答案.

【詳解】(1)如圖所示，連接AF交DE于點(diǎn)M

???ZAMD=ZEMF,ZAMD+ZFAD+ZADE=180°,+NF+=180°

ZE+ZF=/ADE+ZFAD

NBAF+ZB+ZC+乙CDE+ZE+ZF=/BAD+/ADC+ZS+ZC=360°;

故答案為：360°

(2)如圖，連接NE,FE交AH于點(diǎn)、M

ZF+ZG+ZH+ZFMH=360°,ZAME+ZMAE+ZMEA=180°

???ZAME=NFMH

"+NG+N"+(180°-NMAE-ZMEA)=360°

:.ZMAE+ZMEA=ZF+ZG+ZH-18Q0

ZBAM+ZB+ZC+ZD+ZMED+ZMEA+ZMAE=(5-2)xlS00=540

ZBAM+ZB+ZC+ZD+ZMED+(ZF+ZG+ZH-180°)=540

ZBAM+ZB+ZC+ZD+ZMED+ZF+ZG+ZH=540+180°=y20°

???二環(huán)四邊形的內(nèi)角和為：720°

???二環(huán)三角形的內(nèi)角和為：360°=360°x(3-2)

二環(huán)四邊形的內(nèi)角和為：720°=360°x2=360°x（4-2）

??二環(huán)五邊形的內(nèi)角和為：360°X(5-2)=1080°

???二環(huán)”邊形的內(nèi)角和為:360°(?-2)

故答案為：720°,1080°,360°(n-2).

【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形內(nèi)角和、對(duì)頂角、數(shù)字規(guī)律的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形內(nèi)角

和、多邊形內(nèi)角和、數(shù)字規(guī)律的性質(zhì)，從而完成求解.

3.如圖，NACP=NPCD,ZABP=/PBD,且N/=80。，ZZ)=120°,則一尸的度數(shù)為°.

【答案】100

【分析】設(shè)乙4"=/尸CD=x,ZABP=NPBD=y,根據(jù)三角形內(nèi)角和公式可求得

ZAEC=100°-2x,/?！?=60。-2〉，推得x=20+了，根據(jù)三角形內(nèi)角和公式可求得

ZP=120°-x+y,將x=20+y代入即可求解.

【詳解】解：設(shè)44。=/尸CD=x,ZABP=ZPBD=y,如圖：

???//=80。，ND=120。，

在中，ZL4EC=180o-Z^C￡-Z^=180°-80o-2x=100°-2x,

在ADBE中，^DEB=180°-ADBE-ZZ>=180°-120°-2>>=60°-ly,

XvAAEC=ADEB,100°-2x=60°-2y,故x=20+y,

在ADBF中，NDFB=180°-/DBF-ZD=180°-120°-y=60°-y,

在AOBF中，NPFC=NDFB=60。-y,

/尸=180°—/PCE-N。尸8=180°-x-（60°-y）=120°-x+y,

將工=20+了代入可得/尸=120。-20=100。；故答案為：100.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵.

4.(1)如圖①，你知道乙BOC=乙B+NC+41的奧秘嗎？請(qǐng)用你學(xué)過的知識(shí)予以證明;

⑵如圖②，設(shè)》=乙4+乙8+/。+〃>+/￡,運(yùn)用⑴中的結(jié)論填空.

⑶如圖③，一個(gè)六角星，其中48。。=70。，則々+

【答案】(1)證明見解析.(2)180；180；180；(3)140

【分析】(1)首先延長(zhǎng)BO交AC于點(diǎn)D,可得BOCNBDC+NC,然后根據(jù)NBDCNA+NB,判斷出

NBOC=NB+NC+NA即可.

(2)a、首先根據(jù)外角的性質(zhì)，可得N1NA+NB,N2=NC+ND,然后根據(jù)N1+N2+NE=180。，可得

X=/A+/B+4c+4D+NE=180,據(jù)此解答即可.

b、首先根據(jù)外角的性質(zhì)，可得N1NA+NB,N2=NC+ND,然后根據(jù)Nl+N2+NE=180。，可得

X=NA+NB+NC+4D+NE=180,據(jù)此解答即可.

C、首先延長(zhǎng)EA交CD于點(diǎn)F,EA和BC交于點(diǎn)G,然后根據(jù)外角的性質(zhì)，可得ZGFC=ND+NE,

ZFGC=ZA+ZB,再根據(jù)NGFC+ZFGC+NC=180°,可得X=ZA+NB+/C+ND+NE=180°,據(jù)此解答即可.

(3)根據(jù)NBOD=70°,可得NA+NC+NE=70°,ZB+ZD+ZF=700,據(jù)此求出ZLA+NB+NC+ND+NE+NF的度

數(shù)是多少即可.

【詳解】(1)證明：如圖，延長(zhǎng)30交/C于點(diǎn)。，則乙BOC=N8DC+NC,

又,：乙BDC=KA+4B,.■?Z5(9C=Z5+ZC+Z^.

(2)180；180；180；(3)140

【點(diǎn)睛】(])此題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：三角

形的內(nèi)角和是180。.

(2)此題還考查了三角形的外角的性質(zhì)和應(yīng)用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：①三角

形的外角和為360。.②三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.③三角形的一個(gè)外角

大于和它不相鄰的任何一個(gè)內(nèi)角.

角度之間的數(shù)量關(guān)系

5.【問題背景】

03c中，8c是角平分線，點(diǎn)E是N8邊上的一動(dòng)點(diǎn).

【初步探索】

如圖1,當(dāng)點(diǎn)￡與點(diǎn)/重合時(shí)，48瓦)的平分線交8。于點(diǎn)。

(1)若ZB/C=50。，AABC=60°,貝UNEO。=°；

(2)若/C=?t。，貝！|/E0￡)=°；(用含加的代數(shù)式表示)

圖1圖2圖3

【變式拓展】

當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)/不重合時(shí)，連接ED,設(shè)ZADE=a,ZACB=p.

(1)如圖2,ABED的平分線交2。于點(diǎn)O.

①當(dāng)&=50°,夕=80。時(shí)，NEOD=°；

②用。、用的代數(shù)式表示NEOD=.

(2)如圖3,//C8的平分線與AD相交于點(diǎn)O,與24ED的平分線所在的直線相交于點(diǎn)尸(點(diǎn)尸

與點(diǎn)E不重合)，直接寫出點(diǎn)尸在不同位置時(shí)N尸與ZCOD之間的數(shù)量關(guān)系.(用含夕、尸的代數(shù)式

表示)

【答案】初步探索(1)55；(2)(90-1m);變式拓展(1)①75；②90。+9-1月；(2)

NF+NCOD=180。-ga+；6或NF-NCOD=ga-g力

【分析】初步探索(1)根據(jù)角平分線的定義，得到/胡。=25。、NABD=30。，再根據(jù)三角形外角

的性質(zhì)，即可求出/EOD的度數(shù)；

(2)根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，得到NB/C+N/8C=180。-加。，再根據(jù)角平分線的定義和三角形外角

的性質(zhì)，即可求出/EOD的度數(shù)；

變式拓展（1）①延長(zhǎng)8c交于點(diǎn)G,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，得到NG=30。，

NEBC+NBED=150°，再根據(jù)角平分線的定義和三角形外角的性質(zhì)，即可求出的度數(shù)；

②同①理，即可表示出/EOD；

（2）分兩種情況討論：點(diǎn)尸在“3C內(nèi)部和點(diǎn)尸在。3c外部，利用角平分線的定義，三角形內(nèi)角

和定理以及三角形外角的性質(zhì)分別求解，即可得到答案.

【詳解】初步探索

解：（1）AA8C中，8。是角平分線，點(diǎn)E是4B邊上的一動(dòng)點(diǎn).

?:NB4C=5。°,/O平分/8/C,

ZBAO=-ZBAC=15°,

2

VZABC=60°,BD平分/ABC,

:.NABD=L/ABC=3Q0,

2

ZEOD=ZABD+ZBAO=300+25°=55°,

故答案為：55；

（2）VZC=m°,

ABAC+/ABC=180°-ZC=l80°-m°,

???ZO平分/5/C,BD平分/ABC,

/./BAO=-ABAC,/ABD=-/ABC,

22

...ZEOD=/ABD+/BAO=^ZABC+^ZBAC=+ABAC）=1（180°-加。）=90°-1m°,

故答案為：（90-1m）；

變式拓展

解：（1）①如圖，延長(zhǎng)瓦）、BC交于點(diǎn)G,

???/ADE=a=50。，

/.ZCDG=50°,

???NACB=0=80。,

ZACG=180°-ZACB=100°,

/.NG=180°-ZCDG-ZACG=180°-50°-100°=30°,

ZEBC+/BED=180°-ZG=150°,

QBD平分/ABC,EO平分/BED,

ZABD=~ZABC,ZBEO=-ABED

22

ZEOD=NABD+ZBEO=^(ZABC+ABED)=75°,

故答案為：75；

A

BCG

②；NADE=a,ZACB=p,

:.ZCDG=a,N4CG=180°-6，

ZG=1SO0-^CDG-ZACG=J3-a,

:.ZABG+ZBEG=lS00-ZG=lS00+a-/3,

Q8。平分/48C,EO平分NBED,

ZABD=-ZABC,ZBEO=-ABED

22

ZEOD=ZABD+ZBEO=^(ZABC+NBEO)=g(180°+a-￡)=90°+,

故答案為：90。+:1-3尸；

(2)如圖，當(dāng)點(diǎn)尸在“BC內(nèi)部時(shí)，令CF于ED的交點(diǎn)、為H,

A

BC

ZACB=(3,CF平分

:.NACF=；NACB=；0,

ZADE=ZACF+ZCHD=a,

ZCHD=a-ZACF=a,

:.NEHF=a-；。,

ZAED+ZA+ZADE=180°,

ZAED=1800-ZA-a,

;EF平分/AED,

ZDEF=-ZAED=-(1800-ZA-a]=90°--ZA--a,

22、722

?/NF+ZDEF+ZEHF=180°,

N尸=180°_(90°_(戊一；6]=90°+,

QBD平分N4BC,CF平分2/C3

ZCBO=-ZABC,ZBCO=-ZACB,

22

/ABC+ZACB=\80°-/4,

次。=9。。-*

.?.NF+NCOD=(90°+；N/-；a+；￡1+(90°-；ZN]=180°-ga+；￡；

如圖，當(dāng)點(diǎn)尸在。3C外部時(shí)，令CF于48的交點(diǎn)為K,

A

ZACB=p,CF平分/ACB,

.-.ZACF=^ZACB=^fl,

:.NCKB=N4+N4c尸=N4+gj3,

AAKF=AA+^/3,

■：ZAED=1800-ZA-ZADE=180°-N/-a,FL平分ZAED,

NAEL=-ZAED=-(180°-Z^-a)=90°--zL4--a,

22、'22

ZFEK=90°--ZA--a,

22

NF+ZFEK+NAKF=180°,

N尸=180。一(90。=90。一;

???ZCOD=90°--ZA,

2

:.ZF-ZCOD=^90°-^ZA+^a-^j0^-^9O°-^ZA^=^a-^j3,

綜上可知，ZF與NCOD之間的數(shù)量關(guān)系NF+ZCOD=180。-；a+或ZF-NCW=

【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，理解題意，找出角

度之間的數(shù)量關(guān)系是解題關(guān)鍵.

6.如圖1,是平面鏡，若入射光線與水平鏡面夾角為N1,反射光線與水平鏡面夾角為/2,則

Nl=N2.

(D如圖2,一束光線DE射到平面鏡N8上，被48反射到平面鏡BC上，又被8c反射，若被3C反

射出的光線可(與光線。E平行，且/即M=120。，則N4ED=。，NB=°；

(2)如圖3,有三塊平面鏡48,BC,CH,入射光線。E與鏡面48的夾角//￡￡>=35。，鏡面AB,

2C的夾角N2=115。，當(dāng)光線DE經(jīng)過平面鏡4B,BC,CH的三次反射后，入射光線DE與反射

光線平行時(shí)，請(qǐng)求出/FW的度數(shù)；

⑶如圖4,在(2)的條件下，在4E,OE之間再照射一條光線GE,經(jīng)過平面鏡BC兩次反

射后反射光線與MN交于點(diǎn)。，請(qǐng)?zhí)骄緼AEG與2PQM的數(shù)量關(guān)系.

【答案】⑴60,90

(2)ZFW=130°

(3)ZPQM-ZAEG=15°

【分析】(1)根據(jù)題中平面鏡反射角度之間的關(guān)系，結(jié)合EDII可的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理即可

得到答案；

(2)過尸作尸G〃E。，如圖所示，根據(jù)題中平面鏡反射角度之間的關(guān)系，結(jié)合EDII月0的性質(zhì)及

三角形內(nèi)角和定理即可得到答案；

（3）根據(jù)題中平面鏡反射角度之間的關(guān)系，在（2）的基礎(chǔ)上，得出相關(guān)角度，再結(jié)合四邊形月/。/

內(nèi)角和NFIQ+ZEFM+ZFMN+ZPQM=360。、四邊形PBEI內(nèi)角和

NBEI+ZEIP+ZQPB+ZB=360°,列方程組求解即可得到答案.

【詳解】（1）解：如圖所示：

圖2

根據(jù)題意，ZAED=ZBEF,NEFB=NCFM,

VNEFM=120°,

ZEFB=ZCFM=18。。-120。=3?！?

2

ED\\FM,

/?！?=180°—120°=60°,

ZAED=ZBEF=—。一。。=6()0,

2

在xBEF中，由三角形內(nèi)角和定理可得=180。-30。-60。=90。,

故答案為：60,90；

（2）解：過尸作尸G〃ED,如圖所示:

圖3

?.?即|MN,

ED\\FG\\MN,

NDEF+NEFG=180°,NNMF+ZMFG=180°,

ZDEF+ZEFM+ZFMN=360°,

■：NAED=35°,

ZBEF=ZAED=35°,則ZDEF=180°-35°x2=110°,

在尸中，ZBEF=35。,48=115。，則由三角形內(nèi)角和定理可得/瓦花=180。一35。-115。=30。,

ZMFC=NBFE=30°,則NEFM=180。-30。x2=120°,

ZFW=360°-120°-110°=130°；

（3）解:如圖所示：

圖4

由（2）知/EFN=120°,NFMN=130。,NBEF=35°,Z5=115°,

由于一個(gè)四邊形可以分成兩個(gè)三角形，由三角形內(nèi)角和定理可知，在四邊形尸〃。/中，

ZFIQ+ZEFM+ZFMN+NPQM=360°,

ZAEG=ZBEP,48=115。，

NBPE=180°-115°-NAEG=65°-NAEG,則NQPF=NBPE=65°-NAEG,

ZQPB=180。-（65。-ZAEG）=115。+NAEG,

由于一個(gè)四邊形可以分成兩個(gè)三角形，由三角形內(nèi)角和定理可知，在四邊形中，

NBEI+ZEIP+ZQPB+NB=360°,

AE1P=AFIQ,

.?.由NF/Q+NE7詼f+NFAW+N尸QM=360。與NBE/+NE7P+NQP8+NB=360。，代入已知角度有

AFIQ+120°+130°+NPQM=360°與ZEIP+35°+NQPB+115°=360°,可得ZQPB-ZPQM=100°,

（115°+ZAEG）-ZPQM=100°,ZPQM-ZAEG=15°.

【點(diǎn)睛】本題考查利用數(shù)學(xué)知識(shí)探尋平面鏡反射中角度關(guān)系，涉及平行線的性質(zhì)、平面鏡反射角度

關(guān)系、三角形內(nèi)角和定理、四邊形內(nèi)角和為360。及恒等變形等知識(shí)，讀懂題意，理解平面鏡反射角

度之間的關(guān)系，數(shù)形結(jié)合，準(zhǔn)確表示各個(gè)角之間的和差倍分關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵.

7.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)N為x軸負(fù)半軸上一點(diǎn),點(diǎn)B為x軸正半軸上一點(diǎn)，C（0,a）,

D（b,a）,其中6滿足關(guān)系式,+2|+僅一a+iy=0-

圖1圖2圖3

（l）a=，b=；

（2）如圖2,若8。平分交NC于點(diǎn)。，交。C于點(diǎn)P,求證：/CPQ=/CQP；

⑶如圖3,若點(diǎn)A、點(diǎn)8分別在x軸負(fù)半軸和正半軸上運(yùn)動(dòng)，//C8的角平分線交x軸于點(diǎn)點(diǎn)

N在x軸上，且NBCM=NDCN,請(qǐng)補(bǔ)全圖形，探究笑萼的值的變化情況，并直接寫出結(jié)論（不

/ACN

要求寫出探究過程）.

【答案】⑴-2,-3

（2）見解析

ZOCM

⑶見解析,

ZACN

【分析】（1）根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可得。和6的值，

（2）根據(jù)角平分線的定義可得=再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得48尸。=/。。尸,

最后由對(duì)頂角相等和等量代換可得結(jié)論，

（3）首先證明44CD=4CE,推出NDCE=2N/CD,再證明,

ZBEC=ZDCE=2NACD,即可解決問題.

【詳解】（1）解：+2|+（6—a+1）=0,

?,.〃+2=0,b-a+l=O,

故答案為：-2,-3；

BQ平分NCBA,

.?"OBP=/CBQ,

QAC1BC.

ZACB=90°,

??.ZBOP=ZBCQ=90°f

ZBPO=ZCQP,

vZCPQ=ZBPO,

：,ZCPQ=ZCQP.

理由：QACLBC,

:?NACB=90。,

.-.ZACD+ZBCF=90°,

CB平分/ECF,

ZECB=/BCF,

:.ZACD+ZECB=90°,

ZACE+ZECB=90°,

ZACD=ZACE,

ZDCE=2ZACD,

■.■ZACD+ZACO=90°,ZBCO+ZACO=90°,

ZACD=ZBCO,

C（0,—3）,D（-4,-3）,

CD//AB,

NBEC=ZDCE=2NACD,

NBEC=2Z5CO,

ZOCM.

------=2.

NACN

【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，三角形的角平分線，三角形的面積，三角形的內(nèi)角和定理，

三角形的外角性質(zhì)等知識(shí)，熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵.

8.如圖直線與尸。相交于點(diǎn)。，點(diǎn)A在射線ON上，點(diǎn)B在射線OP上連接AB,NB/O的平分

線與外角的平分線所在直線相交于點(diǎn)C.

P

Q?

圖1圖2

⑴如圖①，若乙4。8=90。，求/C的度數(shù)；

(2)若4408=〃，則/C=(結(jié)果用含"的代數(shù)表示)；

(3)如圖②，若點(diǎn)E是射線OM上一點(diǎn)，連接BE,BF、環(huán)為ABOE的角平分線.

①隨著點(diǎn)4B、E的移動(dòng)，/C與乙即Z存在什么樣的數(shù)量關(guān)系，；

②過點(diǎn)、F作FK〃MN交BE于卓、K,貝U/3G0,ZKFE,/C三個(gè)角之間的數(shù)量關(guān)系為

【答案】(1)45。

(2)ZC=1n

⑶①/C+/B式￡=180。；(2)ZBGO-ZKFE=ZC

【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義可知=/DBA=；/ABP,再根據(jù)三角形外角的

性質(zhì)即可解答；

（2）根據(jù)角平分線的定義==再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可解答

（3）①根據(jù)角平分線的定義及三角形內(nèi)角和定理可知/8尸￡=90。+3/8?！?再根據(jù)三角形外角

的性質(zhì)即可解答；②根據(jù)角平分線的定義及平行線的性質(zhì)可知

/FBE+/BEF=1ZO^+1ABEO=^ZOBE+ZBEO）,再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理及三角形的

外角的性質(zhì)即可解答.

【詳解】（1）解：???/C、8。分別是48/。、尸角平分線，

ABAC=-ZBAO,ZDBA=-ZABP,

22

?；/DBA=/C+/BAC,

ZABP=ZC+-ZBAO,

22

???ZC=-AABP--ZBAO,

22

???/ABP=ZAOB+/BAO,

:.ZAOB=ZABP-ZBAO,

???-ZAOB=-ZABP--NBAO,

222

：.AC=-AAOB,

2

-ZAOB=90°,

???-AABP--ZBAO=45。，

22

.*.ZC=45°；

（2）解：???/C、BD分別是NR40、/ZBP的角平分線，

.?.ABAC=-/BAO,/DBA=-AABP,

22

???NDBA=NC+NBAC,

ZABP=ZC+-ZBAO,

22

：.AC=-AABP--ABAO,

22

?；NABP=/AOB+/BAO,

ZAOB=/ABP-/BAO,

：,-AAOB=-AABP--ABAO,

222

：.AC=-AAOB,

2

vZAOB=n,

-AABP--ABAO=-n,

222

1

ZC——n-

2

(3)解：①尸、￡尸為一OE的角平分線，

AFBE=-AOBE,ABEF=-ABEO,

22

???/FBE+ZBEF=1/OBE+1ABEO=1(/OBE+NBEO),

??./BFE=180°-(/FBE+ABEF)=180°-1(NOBE+ZBEO),

vZOBE+ZBEO=180°-/BOE,

??./BFE=180?！?/OBE+ZBEO)=180°-1180°-/BOE=90°+1/BOE,

-AC.AD分別是48/0、/4BP角平分線，

ABAC=-ABAO,/DBA=-AABP,

22

???/DBA=NC+NBAC,

/ABP=ZC+-NBAO,

22

ZC=-/ABP--NBAO,

22

???ZABP=AAOB+/BAO,

/.ZAOB=ZABP-ZBAO,

???-ZAOB=-AABP--NBAO,

222

：.ZC=-ZAOB,

2

0。*"9。。+”。"。?

："C+NBFE=-ZAOB+900+-/BOE=90°+

22

?.?/4OB+/BO￡=180。，

.?.NC+NBFE=180。,

故答案為ZC+ZBFE=180°；

(2)--FK//MN,

ZKFE=ZFEG,ZKFG=ZFGO,

ZFGO-ZKFE=ZGFE,

?:BF、防為ABQE的角平分線,

ZFBE=-NOBE,ABEF=-ABEO,

22

NFBE+NBEF=；AOBE+1NBEO=g(/OBE+NBEO),

ABFE=180°-(ZFSE+ZBEF)=180°-；(NOBE+NBEO),

■■ZOBE+ZBEO=180°-ZBOE,

ZBFE=180。-；(NOBE+4EO)=180。一；180。-NBOE=90°+|NBOE,

ZGFE=180°-NBFE=180°-|90°+-ZBOE1=90°--ZBOE,

I2J2

?；NAOB=18?！阋籒BOE,

.■.-ZAOB=90°--ZBOE=ZGFE,

22

ZBGO-ZFEG=ZEFG=-ZAOB,

2

ZBGO-NKFE=ZEFG=-ZAOB,

2

■-AC,8。分別是N8/。、ZA8P的角平分線,

ABAC=-NBAO,NDBA=-ZABP,

22

?；NDBA=NC+NBAC,

NABP=ZC+-ZBAO,

22

.-.ZC=-ZABP--NBAO,

22

???ZABP=ZAOB+ZBAO,

：.ZAOB=NABP-ZBAO,

.■.-ZAOB=-ZABP--ZBAO,

222

.-.ZC=-ZAOB,

2

.-.ZBGO-ZKFE=ZC,

故答案為ZBGO-ZKFE=ZC.

【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，三角形的外角的性質(zhì),

掌握角平分線的定義是解題的關(guān)鍵.

題型03定值問題

9.已知（如圖1）在AASC中，ZB>ZC,AD平分/BAC,點(diǎn)E在4D的延長(zhǎng)線上，過點(diǎn)E作

EF工BC于點(diǎn)、F,設(shè)NB=a,NC=￡

（1）當(dāng)a=80。，〃=30。時(shí)，求-E的度數(shù)；

（2）試問ZE與/8、/C之間存在著怎樣的數(shù)量關(guān)系，試用名分表示一￡,并說明理由

⑶若NEFB與NB4E平分線交于點(diǎn)P（如圖2）,當(dāng)點(diǎn)￡在4D線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，一尸是否發(fā)生變化，若

不變，請(qǐng)用a,4表示NP；若變化，請(qǐng)說明理由

【答案】⑴25。

⑵NE=；（a-0

31

⑶不會(huì)，=

【分析】（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和求出N8/C,再根據(jù)角平分線的定義求出N84D,從而得到

ZEDF,利用垂直的定義即可得到結(jié)果；

（2）表示出/磯甲，ACAD,得到4。尸=90。-；&-￡）,進(jìn)一步可得結(jié)果；

（3）設(shè)/尸與BC交于G,根據(jù)角平分線的定義得到4/。=；（180。-"0,4/尸=；（180。-"夕），

31

根據(jù)三角形的內(nèi)角和求出N尸6尸=乙463=135。-了。+:〃，最后利用角平分線的定義和三角形內(nèi)角和

44

即可求出/P,即可得到結(jié)果.

【詳解】（1）解：?.?48=80。，ZC=30°,

ABAC=180°-80°-30°=70°,

平分/A4C,

/BAD=L/BAC=35。,

2

ZEDF=ZADB=180°-35°-80°=65°,

???EF1BC,

/EFD=9G。,

/.ZE=90°-65°=25°；

(2)?;NEDF=NC+NCAD,ZG4D=1z^C=|(180°-a-^),

ZEDF=ZC+90°=90°,

???ZEFD=90°,

/./DEF=；(a—0)；

(3)設(shè)ZP與3C交于G,

???/。平分/A4C,

/BAD=|ABAC=g(180。一°一乃)，

???AP平分NBAE,

/BAP=；/BAD=；(180。一a—0,

131

ZPGF=ZAGB=180°-Z5-ZBAP=180°-a一一(180°-cr-Z7)=135°一一a+-B,

444

QPF平分NEFB,

NPFB=45°,

3131

...ZP=180°-ZPFB-ZPGF=180°-45°-(135°——a+-B)=-a——B,

4444

故/P不會(huì)發(fā)生變化.

圖2

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和，角平分線的定義，熟練掌握三角形的內(nèi)角和是解題的關(guān)鍵.

10.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，/（。，0）是x軸正半軸上一點(diǎn)，C是第四象限內(nèi)一點(diǎn)，軸

交y軸負(fù)半軸于8（0,6）,且卜-3|+（6+4）2=0%-=16.

（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo).

⑵如圖2,設(shè)。為線段03上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)NOL/C時(shí)，/OZM的角平分線與/C4E的角平分線的反

向延長(zhǎng)線交于點(diǎn)尸，求ZXPD的度數(shù)；（點(diǎn)E在x軸的正半軸）

⑶在（2）的基礎(chǔ)上，如果將"/?？?的角平分線與/C4E的角平分線的反向延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，'條件

ZODP=|ZODA,ZEAF=^ZEAC",求乙的度數(shù)；（點(diǎn)E在x軸的正半軸）

（4）如圖3,當(dāng)點(diǎn)。在線段03上運(yùn)動(dòng)時(shí)，作。初，40交8。于M點(diǎn)，NBMD、NEMO的平分線交

于N點(diǎn)，則點(diǎn)。在運(yùn)動(dòng)過程中，/N的大小是否會(huì)發(fā)生變化？若不變化，求出其值；若變化，請(qǐng)說

明理由.

【答案】⑴（5,-4）

⑵/"。=90°

⑶/"。=90°

⑷見解析

【分析】（1）過點(diǎn)/作于點(diǎn)G,根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出。=3,b=-4,得出04=3,

03=4,根據(jù)矩形性質(zhì)得出4G=08=4,BG=OA=3f求出S矩形工的；=3x4=12,根據(jù)

s四a物8c=16,得出S“GC=；CGx/G=16-12,求出CG=2,得出8C=8G+GC=5,即可得出

答案；

（2）設(shè)/4DP=x,根據(jù)角平分線的定義得出/4D0=2/4D尸=2x,得出NO4D=90。-2x,求

出/C4E=2x,得出/C4尸=1/C/E=x,求出=180。一/C4。一/C4尸=90。一x,最后

2

根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可得出答案；

（3）設(shè)/ODP=a,則/=方，得出/CMD=90。-當(dāng)，根據(jù)NG4￡>=90。，得出

ZCAE=90°-（90°-^）=^,求出//。尸=//。。一/。。2=力，得出

ZAPD=180°-ZADP-ZDAP=90°；

(4)連接/M,設(shè)NOAN=ZDAN=x,N8MN=NO兒W=y,根據(jù)平行線的性質(zhì)得出

ZBMA+ZOAM=180°,BP2x+2y+ADAM+AMD=\^°,求出2x+2y=90°,

根據(jù)/N=180O-ZDMN-ZAMD-ADAM-ADAN求出結(jié)果即可.

【詳解】(1)解：過點(diǎn)工作/GL2C于點(diǎn)G,如圖所示：

,.,|tz-3|+(Z)+4)"=0,

.“—3=0,6+4=0,

解得：a=3,6=-4,

;./(3,0),5(0,-4),

OA—3,OB=4,

???ZAOB=ZOBG=ZAGB=90°,

???四邊形/08G為矩形，

.?./G=OB=4,BG=OA=3,

,-■S矩形405G=3x4=12S四邊形NO5C=]6,

...S」CGx/G=16-12,

t^AGC2

即工X4XCG=4,

2

解得：CG=2,

BC=BG+GC=5,

.??點(diǎn)C的坐標(biāo)為(5,-4).

(2)解：設(shè)=

???OP平分N/OO,

：.NADO=2NADP=2x,

.■.ZOAD=90°-2x,

VADLAC,

??.ACAD=90°,

???/CAE=180。-ZCAD-ZDAO

=180°-90°-（90°-2x）

=2x,

?.?"平分/?！?

.-.ZCAF=-ZCAE=x,

2

??.ZPAD=180?！猌CAD-ZCAF=90°-x,

??.ZAPD=180°-ZADP-ZPAD

=180°-x-（900-x）

=90。；

（3）解：?：/ODP=；/ODA,

???設(shè)NODP=a,則=9,

；"OAD=9G?！?,

vADLAC,

??.ZCAD=90°,

???NG4￡=90。-（90。-方）=為，

?;/EAF=L/E