三角形面積最值問題-2024年中考數(shù)學(xué)二次函數(shù)壓軸題

專題05三角形面積最值問題

一、知識導(dǎo)航

求三角形的面積是幾何題中常見問題之一，可用的方法也比較多，比如面積公式、割補、等積變形、三角

函數(shù)甚至海倫公式，本文介紹的方法是在二次函數(shù)問題中常用的一種求面積的方法——鉛垂法.

【問題描述】在平面直角坐標系中，已知4(1,1)、8(7,3)、C(4,7),求AABC的面積.

【分析】顯然對于這樣一個位置的三角形，面積公式并不太好用，割補倒是可以一試，比如這樣:

構(gòu)造矩形ADEF,用矩形面積減去三個三角形面積即可得△ABC面積.

這是在“補”，同樣可以采用“割”：

}

^ABC=S^CD+StfiCD=^CD-AE+iCD.BF=^CD（AE+BF）

此處AE+AF即為A、8兩點之間的水平距離.

由題意得：AE+BF=6.

下求CD:

19

根據(jù)4、2兩點坐標求得直線AB解析式為：y=-x+-

-33

由點C坐標（4,7）可得。點橫坐標為4,

將4代入直線解析式得。點縱坐標為2,

故。點坐標為（4,2）,CD=5,

【方法總結(jié)】

作以下定義：

A、8兩點之間的水平距離稱為“水平寬”；

過點C作無軸的垂線與AB交點為D,線段C。即為A8邊的“鉛垂高”.

,團1衿?水平寬x鉛垂高

如圖可行：S“BC=-------------------------

八y

c

【解題步驟】

（1）求A、5兩點水平距離，即水平寬;

(2)過點C作x軸垂線與AB交于點。，可得點。橫坐標同點C;

(3)求直線A3解析式并代入點。橫坐標，得點。縱坐標；

(4)根據(jù)C、。坐標求得鉛垂高；

(5)利用公式求得三角形面積.

【思考】如果第3個點的位置不像上圖一般在兩定點之間，如何求面積？

鉛垂法其實就是在割補，重點不在三個點位置，而是取兩個點作水平寬之后，能求出其對應(yīng)的鉛垂高！因

此，動點若不在兩定點之間，方法類似：

【鉛垂法大全】

(1)取A8作水平寬，過點C作鉛垂高CO.

(2)取AC作水平寬，過點5作5。軸交直線AC于點。，即對應(yīng)的鉛垂高,

q=qq=水平寬x鉛垂高

^AABC~^AABD-、ABCD-Z

(3)取BC作水平寬，過點A作鉛垂高AD

甚至，還可以橫豎互換，在豎直方向作水平寬，在水平方向作鉛垂高.

(4)取8C作水平寬，過點A作鉛垂高AO.

ky

C

水

平

寬

//-—、

A鉛蠡#

0

(5)取AC作水平寬，過點3作鉛垂高跳).

p

C

水

平

寬

A

(6)取AB作水平寬，過點C作鉛垂高CD.

二、典例精析

例一、

如圖，已知拋物線、=依2+法+5經(jīng)過A(-5,0),3(T,-3)兩點，與x軸的另一個交點為C.

(1)求該拋物線的表達式；

(2)點P為該拋物線上一動點(與點3、C不重合)，設(shè)點P的橫坐標為m.當點P在直線BC的下方運

動時，求APBC的面積的最大值.

【分析】

(1)y=x2+6x+5,

(2)取BC兩點之間的水平距離為水平寬，過點P作PQJ_尤軸交直線BC于點。，則P。即為鉛垂高.

根據(jù)2、C兩點坐標得8、C水平距離為4,

根據(jù)2、C兩點坐標得直線8C解析式：y=x+l,

設(shè)尸點坐標為(〃2,源+6加+5),則點。(771,771+1),

得PQ=r廬5機-4,

考慮到水平寬是定值，故鉛垂高最大面積就最大.

527

當-一時，△BCP面積最大，最大值為一.

28

【小結(jié)】選兩個定點作水平寬，設(shè)另外一個動點坐標來表示鉛垂高.

例二、

在平面直角坐標系中，將二次函數(shù)〉=辦2(。＞0)的圖像向右平移1個單位，再向下平移2個單位，得到如

圖所示的拋物線，該拋物線與x軸交于點A、B(點A在點3的左側(cè))，04=1,經(jīng)過點A的一次函數(shù)

y=Ax+6(左70)的圖像與y軸正半軸交于點C,且與拋物線的另一個交點為￡),AA皮)的面積為5.

(1)求拋物線和一次函數(shù)的解析式；

(2)拋物線上的動點石在一次函數(shù)的圖像下方，求AACE面積的最大值，并求出此時點E的坐標.

【分析】

13

(1)拋物線解析式：y=-^2-x--;

22

一次函數(shù)解析式：丫=：%+；.

(2)顯然，當AACE面積最大時，點E并不在AC之間.

已知A(-1,0)、c[o，g],

設(shè)點E坐標為[加,；加2-加-|[,過點E作EFLx軸交直線于f點,

F點橫坐標為m,代入一次函數(shù)解析式得(租,gm+g)

13

可得EF=--nr+-m+2

22

考慮到水平寬是定值，故鉛垂高最大面積最大.

既然都是固定的算法，那就可以總結(jié)一點小小的結(jié)論了，

對坐標系中已知三點A（X1,yJ、B（%，%）、,

按鉛垂法思路，可得：

S^ABC—%%一三%一尤必|

如果能記住也不要直接用，可以當做是檢驗的方法咯.

【總結(jié)】鉛垂法是求三角形面積的一種常用方法，尤其適用于二次函數(shù)大題中的三角形面積最值問題，弄

明白方法原理，熟練方法步驟，加以練習(xí)，面積最值問題輕輕松松.

三、中考真題演練

1.（2023?遼寧阜新?中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y=-V+6x-c的圖象與x軸交于點

4（-3,0）和點3（1,0）,與y軸交于點C.

圖1圖2

⑴求這個二次函數(shù)的表達式.

⑵如圖1,二次函數(shù)圖象的對稱軸與直線AC：y=x+3交于點，若點M是直線AC上方拋物線上的一個動

點，求△MCD面積的最大值.

【詳解】（1）解：由題意得,

y=—(%+3)(%—1)=一/―+3；

(2)解：如圖1,

圖1

作MQ_LAC于Q,作于b，交AC于￡,

-OA=OC=3,ZAOC=90°,

:.ZCAO=ZACO=45°,

/.ZMEQ=ZAEF=90°-ZCAO=45°,

拋物線的對稱軸是直線：彳==已=-1,

2

y=x+3=—1+3=2,

?.0(1,2),

VC(0,3),

CD=\f2，

故只需△MCD的邊CD上的高最大時，△MCD的面積最大,

設(shè)過點以與AC平行的直線的解析式為：y=x+m,

當直線y=x+機與拋物線相切時，△MCD的面積最大，

由x+m=-x2一2%+3得，

x2+3x+(m-3)=0,

由4=0得，

32-4(m一3)=0得，

09

m-5=—,

4

9

x9+3%H——0

4f

33

y=%+3=----F3=一,

22

“廠1539

ME=----=一,

424

9V2_9A/2

?.MQ=ME.sin/ME。=ME?sin45°=-x-----,

2-----8

.e」x拒/9及_9.

2.（2023?湖南婁底?中考真題）如圖，拋物線y=Y+a+c過點A（T,0）、點3（5,0）,交y軸于點C.

⑵點PR,%）（O<Xo<5）是拋物線上的動點

①當不取何值時，APBC的面積最大？并求出APBC面積的最大值;

【詳解】（1）解:將A（-l,0）、3（5,0）代入拋物線y=/+bx+c中,

1—Z?+c=0b=-4

可得:解得:

25+5。+c=0c=-5

即：Z?=-4,c=-5；

（2）①由（1）可矢口：y=x2-4x-5,

當尤=0時，、=一5,即C（0,-5）,

設(shè)2c的解析式為：y=kx+b,

將3（5,0）,C（0,—5）代入產(chǎn)反+人中,

5k+b=0k=l

可得V，解得:

b7=-5b=-5

二?JBC的解析式為：y=x-5,

過點尸作尸軸，交BC于點E,交x軸于點Q,

???點E的橫坐標也為與,則縱坐標為力=%。-5,

p==X-22

?*-^yE~yo(O5)-(XO-4XO-5)=-XO+5XO,

△PBC的面積=§△PEC+S4PEB

5

231

2

'?當/=彳5時，5BC的面積有最大值，最大值為12一5；

2o

3.（2023?黑龍江牡丹江?中考真題）如圖，拋物線y=f+fex+c與1軸交于點A（-l,0）,B（4,0）,與y軸交

于點C.

(1)求拋物線對應(yīng)的函數(shù)解析式，并直接寫出頂點P的坐標;

⑵求ABCP的面積.

2

bHzizj.-HIb4ac-b

注：拋物線y=口2+區(qū)+c(〃W0)的對稱軸是直線x=—五，頂點坐"-五，-丁

2a

【答案】⑴拋物線對應(yīng)的解析式y(tǒng)=/-3x-4,P

(2)SABCP=3

【分析】(1)利用待定系數(shù)法求出拋物線的表達式，再根據(jù)解析式求點尸的坐標即可；

(2)求出點C(0,f和拋物線頂點尸］|,-彳)A(TO),8(4,0)利用S4CP=SAOCP+SAOBP-SABOC即可

得到答案.

【詳解】(1)?.?拋物線》=*+云+,經(jīng)過點4(-1,0),5(4,0),

Jl-Z?+c=O

,116+46+c=0'

解這個方程組，得『二一「

拋物線對應(yīng)的解析式y(tǒng)=%2-3x-4.

點是拋物線的頂點坐標,

33

b,4農(nóng)一與,即.b-:;；4a一64xlx(T)-(—3)225

2a4aj2a2x124〃4*]4

(2)如圖，連接。P.

vA（-I,o）,5（4,0）,C（0,-4）,P

13

?*-S^OCP=-x4x—=3,

Q_1.25_25

S^OBP=5*4*彳=萬,

=-X4X4=8.

SRBCP~S^OCP+S^OBP'△BOC'

S^BCP=3+/-8=5?

【點睛】此題考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)等知識，掌握數(shù)形結(jié)合的思想和

割補法求三角形面積是解題的關(guān)鍵.

4.（2023?山東青島?中考真題）如圖，在菱形A5C。中，對角線AC,3。相交于點O,AB=10cm,

BD=4^cm.動點尸從點A出發(fā)，沿A5方向勻速運動，速度為lcm/s；同時，動點。從點A出發(fā)，沿AD

方向勻速運動，速度為2cm/s.以AP，A。為鄰邊的平行四邊形APMQ的邊尸M與AC交于點E.設(shè)運動時

間為《s）（Ov，K5）,解答下列問題：

⑵連接助.設(shè)△FEB的面積為S（cm2）,求s與/的函數(shù)關(guān)系式和S的最大值;

【分析】⑴證明皿…”則等=上，即可求解；

(2)由S=即可求解;

【詳解】(1)???平行四邊形APMQ,

AAQ//PM,AQ=PM,QM//AP,QMAP

由題意得：DQ=10-2t,PM=2t,PB=10-t,QM=AP=t,

如下圖，點加在班)上時，

/.ZDQM=ZDAB=ZMPQ,ZDMQ=ZMBP,

八DQMs^MPB,

則然篝即10—2才t

2t—10一

解得：?=y

(2)如上圖,

?；AQ//PM,

：.ZAEP=ZEAQ,

?.?四邊形ABCD是菱形,

則ZQAE=NEAP,

,ZAEP=ZEAP,

?..VAPE為等腰三角形，則PE=AP=t

過點。作DH_LA?于點H,

則\ABD=|XABZ)H=|XAODB

即10DH=Ji。?-"扃*4區(qū)解得：DH=8,

e./八…DH84

貝UsmZDAH=---=——=一,

AD105

設(shè)VPE5中PB邊上的高為力，則

1114/2

S=-PBh=-(10-t)sinZDHAAE=-(10-t)-=--t2+4t

2

即：5=--(f-5)9+10(0<?<5)

v-1<0,故S有最大值，

當r=5時，s的最大值為10；

5.(2023?湖南張家界?中考真題)如圖，在平面直角坐標系中，己知二次函數(shù)y=af+6x+c的圖象與X軸交

于點A(-2,0)和點3(6,0)兩點，與y軸交于點C(0,6).點。為線段3c上的一動點.

⑴求二次函數(shù)的表達式；

(3)如圖2,過動點。作DP〃AC交拋物線第一象限部分于點P,連接PAM,記右/^￡)與的面積和

為S,當S取得最大值時，求點尸的坐標，并求出此時S的最大值.

【分析】(1)根據(jù)題意設(shè)拋物線的表達式為丁=。(％+2)(尤-6),將(0,6)代入求解即可；

(3)由待定系數(shù)法確定直線BC的表達式為y=-x+6,直線AC的表達式為y=3x+6,設(shè)

p[m-^m2+2m+6^,然后結(jié)合圖形及面積之間的關(guān)系求解即可.

【詳解】(1)解:由題意可知，設(shè)拋物線的表達式為y=a(x+2)(x-6),

將(0,6)代入上式得：6=o(0+2)(0-6),

1

a=——

2

所以拋物線的表達式為y=-；尤2+2尤+6；

(3)由已知點4(一點0),B(6,0),C(0,6),

設(shè)直線BC的表達式為y^kx+n,

{yl—0(——1

將3(6,0),。(0,6)代入丫=丘+〃中，一，解得一，

〃=0n=6

直線BC的表達式為y=-x+6,

同理可得：直線AC的表達式為y=3x+6,

PD//AC,

；?設(shè)直線尸〃表達式為y^x+h,

由（1）設(shè)尸[九-；療+2^+6，代入直線PO的表達式

1

得：h=——m9—m+6,

2

?,?直線尸。的表達式為：y=3x-^m2-m+6,

乙[121

ry=—x+ox=—m+—m

,84

由212得1,,

y=3x——m-m+o121

y7y=——m——m+or

iZ184

21121八

D\—m+—m,——m——m+o,

（8484）

VP,。都在第一象限，

,?S=S^PAD+S^PBD=S^PAB—SRDAB

“孤一3）2+§,

???當機=3時，此時尸點為3,T

27

2

【點睛】題目主要考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，包括待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，周長最短問題及面積問題,

理解題意，熟練掌握運用二次函數(shù)的綜合性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

6.(2023?山東聊城?中考真題)如圖①，拋物線>=依2+版-9與x軸交于點A(-3,0),3(6,0),與y軸交于

點C,連接AC,點P是x軸上任意一點.

圖①圖②

(1)求拋物線的表達式；

(3)如圖②，當點P(機,0)從點A出發(fā)沿x軸向點8運動時(點尸與點A,8不重合)，自點P分別作PE〃3C,

交AC于點E,作PDLBC,垂足為點。.當初為何值時，VPED面積最大，并求出最大值.

13

【答案】⑴尸/-]…

⑵點。坐標(3,-9),或4+華7,9)或(|-華乎，9)；

31

(3)機=不時，S△.有最大值，最大值為1()6.

2o

【分析】(1)將4(-3,0),3(6,0)代入〉=0?+法-9,待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式;

(3)如圖，過點。作。GLAB,過點E作EFJ.AB,垂足為G,F,

可證？FPE?DBP,1PDG?DBP；運用待定系數(shù)法求直線AC解析式y(tǒng)=-3x-9,直線3C解析式

333

y=-x-9；設(shè)點E（P，-3p-9）,D（q,-q-9）,則PF=m-p,PG=q-m,EF=3p+9,DG=--q+9,

____________3

運用解直角三角形，RUBOC中，BC=JOC2+OB2=后,tan?OBCRtZkPE/中，

tan?FPE—=可得p=」（m-6）,PF=~（m+3）,PE=PF>^^-=3）;RtAPDG中，

PF23369

tan?P￡>G怒，，可得，4=2（4加+54）,PG--^（m-6）,PD=PG?^~=-6）,于

1131

是凡尸留二7尸。?尸石二-彳（根+3）（根-6）,從而確定根=彳時，最大值為10三?

2228

【詳解】（1）將A（—3,0）,5（6，。）代入〉=以2+法—9,得

1

ci———

9a-3b-9=02

36a+6b-9=0,解得'

b=-3

2

13

二拋物線解析式為：y=-x2-^x-9

（3）如圖，過點。作。GLAB,過點石作石FLAB,垂足為G,F,

：.?DPE?PDB90?

?FPE?DPB90?

?DPB1DBP90?

?FPE?DBP,同理可得？尸QG2DBP

設(shè)直線AC的解析式為：y=kx+h

—3k+h=0k=-3

則,解得

h=-9h=-9

?,?直線AC：y=-3x-9

3

同理由點3(6,0),C(0,-9),可求得直線BC：y=1x-9

3

設(shè)點石(p,-3p-9),D(q,-q-9),

3

則PF=m-p,PG=q-m9EF=3P+9,DG=-+9

中，03=6,OC=9

BC=yj0C2+OB2=A/62+92=yflll

93

工tan?OBC———,

62

EF3

RtAPEF中，tan?FPE----=tan?OBC

PF2

解得P

:?S=],=4〃”6),

m-p23

2

PF=m-p=—(m+3)

PFOB6

Vcos?FPE---二cos?OBC

PEBC-TH?

PE=PF巫L巫7(m+3);

69

PG3

RtAPDG中,tan?PDGtan?OBC-

2

q-m=3

=3,解得,q-^(4m+54)

PG=q-m=--(m-6)

PG9

sin?PDG——=sin?OBC~^=

PD屈

??PD=PG+-----=----------(m-6)

913

11

S11^17

--(m-6)?J；7(.+3)=-j(加+3)(m-6),

22

13

113

即SPDE=--(^+3)(根-6)=--(m--)9+

??1/

?—<

2

31

???加=7時，-3＜機＜6,S△曲有最大值，最大值為101

2o

【點睛】本題考查待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，平行四邊形的性質(zhì)，一元二次方程求解，解直角三角形,

結(jié)合動點運動情況，分類討論是解題的關(guān)鍵.

7.（2023?湖北荊州?中考真題）已知：V關(guān)于無的函數(shù)y=（a-2）x2+g+i）x+b.

⑴若函數(shù)的圖象與空橋釉有兩個公共點，且。=4》，則。的值是；

（2）如圖，若函數(shù)的圖象為拋物線，與x軸有兩個公共點A（-2,0）,8（4,0）,并與動直線/:x=m（0＜機＜4）交

于點P,連接24,PB,PC,BC,其中R4交，軸于點。，交BC于點、E.設(shè)△P3E的面積為Sj,CDE

的面積為S?.

①當點P為拋物線頂點時，求APBC的面積；

②探究直線/在運動過程中，邑是否存在最大值？若存在，求出這個最大值；若不存在，說明理由.

【答案】（1）0或2或

（2）①6,②存在，y

【分析】（1）根據(jù)函數(shù)與坐標軸交點情況，分情況討論函數(shù)為一次函數(shù)和二次函數(shù)的時候，按照圖像的性

質(zhì)以及與坐標軸交點的情況即可求出?值.

（2）①根據(jù)A和3的坐標點即可求出拋物線的解析式，即可求出頂點坐標尸，從而求出P”長度，再利用A

和B的坐標點即可求出2C的直線解析式，結(jié)合號=4即可求出P點坐標，從而求出尸尸長度，最后利用面

積法即可求出APBC的面積.

②觀察圖形，用機值表示出點尸坐標，再根據(jù)平行線分線段成比例求出長度，利用割補法表示出M和”,

將二者相減轉(zhuǎn)化成關(guān)于加的二次函數(shù)的頂點式，利用機取值范圍即可求出S,-S2的最小值.

【詳解】（1）解：?.?函數(shù)的圖象與半橋軸有兩個公共點，

(a—2)f+(a+])x+/7=0,

a=4-b,

(a-2)Y+(〃+])%+]=0,

當函數(shù)為一次函數(shù)時，a-2=0,

:.a=2.

當函數(shù)為二次函數(shù)時，

(a-2)x2+(〃+1)%+^=。，

若函數(shù)的圖象與空橋觸有兩個公共點，即與x軸，y軸分別只有一個交點時，

A=b2—4QC=(Q+1)?—4(Q—2)?1=4a+1=0,

1

ci——.

4

當函數(shù)為二次函數(shù)時，函數(shù)的圖象與半標軸有兩個公共點，即其中一點經(jīng)過原點,

Z?=0,

?/a=4b,

..a=0.

綜上所述，〃=2或0.

故答案為：。或2或-1.

4

(2)解：①如圖所示，設(shè)直線/與BC交于點/，直線/與A8交于點

拋物線的解析式為：y=+2x+8=-(尤-1)?+9.

???點尸為拋物線頂點時，P(L9),C(0,8),

:.PH=9,%尸=1,

由3（4,0）,C（0,8）得直線BC的解析式為y=-2x+8,

在直線5C上，且在直線/上，則尸的橫坐標等于尸的橫坐標，

/.F（l,6）,

:.FH=6,OH=1,

PF=PH-FH=9-6=3,BH=OB-OH=4-1=3

Spn-Sr+SPFR=—x?OH-\—HB,PF=—x3x1—x3x3=6.

r△Prrrtt^rfD2廠p22H2

故答案為：6.

②W-s?存在最大值，理由如下：

如圖，設(shè)直線x=，”交X軸于H.

由①得：03=4,AO=2,AB=6,OC=8,AH=2+m,P（m,-m2+2/77+8）

PH=—m2+2機+8，

■：ODYx,PHrAB,

:.OD//PH,

AOOP

2OD

即----=-5------------,

2+m—m+2m+8

/.OD=8—2m

1*'_q_qS-S-S

Si=Q四邊形皮>03，°2一?AOBCQ四邊形EDO5，

6（-m+2m+8）2（8-2m）4x82

?s-S—S—S—s------------------------------=-3m+8m,

,?°1°2PAB222

「.S]—Sz=_3(m_j+?,

Q-3<0,0<m<4,

???當時,SY有最大值，最大值為學(xué).

故答案為：.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及到函數(shù)與坐標軸交點問題，二次函數(shù)與面積問題，平行線

分線段成比例，解題的關(guān)鍵在于分情況討論函數(shù)與坐標軸交點問題，以及二次函數(shù)最值問題.

8.(2023?湖南?中考真題)如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=o?+x+c經(jīng)過點人(-2,0)和點3(4,0),

且與直線/：>=-尤-1交于E兩點(點。在點E的右側(cè)),點M為直線/上的一動點，設(shè)點M的橫坐標為

(1)求拋物線的解析式.

⑵過點"作x軸的垂線，與拋物線交于點N.若0</<4,求ANED面積的最大值.

【分析】(I)待定系數(shù)法求解析式即可求解；

(2)根據(jù)題意，聯(lián)立拋物線與直線，求得點的橫坐標，表示出的長，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得

的最大值，根據(jù)即可求解；

【詳解】(1)解：：拋物線y=-2+x+c經(jīng)過點A(-2,0)和點3(4,0),

.\4a-2+c=0

|16Q+4+C=0'

1

a=——

解得：2,

c=4

，拋物線解析式為：y=~x2+x+4-

(2)解：?.?拋物線了=一;d+x+4與直線/：y=f_i交于。、E兩點,(點。在點E的右側(cè))

y=—兀？+%+4

聯(lián)立2

〔，=—X—1

X=2+A/14尤=2-舊

解得：＜或＜

y=-3—J14y=-3+V14

D(2+^,-714-3),￡(2-714,5^4-3),

.?.”“(2+啊_(2_炳=2/5,

:點M為直線/上的一動點，設(shè)點M的橫坐標為J

則f—1),N^t,——t2+t+4^,

1119

：.MN=--t2+t+4-[-t-^=--f+2t+5=--(t-2y+l,當/=2時，MN取得最大值為7,

?S"ND=5(*D-XE)XMN,

當MN取得最大值時，S?END最大，

???S?D=；X2亞x7=79，

ANED面積的最大值7舊；

9.(2023?湖南懷化?中考真題)如圖一所示，在平面直角坐標系中，拋物線y=ox2+bx-8與x軸交于

A(T,0)、3(2,0)兩點，與y軸交于點C.

(1)求拋物線的函數(shù)表達式及頂點坐標；

(2)點P為第三象限內(nèi)拋物線上一點，作直線AC,連接24、