人教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修一復(fù)習(xí)講義：橢圓的簡單幾何性質(zhì)

第02講3.L2橢圓的簡單幾何性質(zhì)

學(xué)習(xí)目標(biāo)

課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)

①掌握橢圓的簡單幾何性質(zhì)，了解橢圓中〃，

b,c,e的幾何意義。通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，要求掌握橢圓的幾何量。，b,C,

②會根據(jù)橢圓的方程解決橢圓的幾何性質(zhì)，e的意義，會利用幾何量之間的關(guān)系，求相關(guān)幾何量的

會用橢圓的幾何意義解決相關(guān)問題。大小，會利用橢圓的幾何性質(zhì)解決與橢圓有關(guān)的點(diǎn)、弦、

③會判斷點(diǎn)與橢圓、直線與橢圓的位置關(guān)周長、面積等問題。

系，會求直線與橢圓相交的弦長。

思維導(dǎo)圖

①聯(lián)立直級方程與HBI方程.

②清元得出關(guān)于E或F）的一元二次方程.

③當(dāng)J>ow,直線與相交：當(dāng)4=0時(shí)，直線與HBI相切；

-J<<廿.直線與陋制相離.______________________________

含參直線如果過定點(diǎn)，找出定點(diǎn),判斷定點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)

直線與橢圓

的位置關(guān)系系，從而判斷線與橢圓的位置關(guān)系：點(diǎn)在橢圓內(nèi)-一相交：

點(diǎn)在橢圓上--相交或相切

|.4B|=A/1+lr?J(n+?):—4*i*i=+Ar)[(n+J1)1—.

點(diǎn)差法推導(dǎo)過程以焦點(diǎn)在x軸的林園為例

(1)設(shè)點(diǎn)：設(shè)直線與曲線兩交點(diǎn)坐標(biāo)A(\,力)8(》,力)

AB的中點(diǎn)坐標(biāo)M(Xo，yo)

(2)代曲:

⑶相■年+應(yīng)*=0整理的,一八』*2=~

■bX,-Xj玉。

(4)結(jié)論：

知識點(diǎn)01：橢圓的簡單幾何性質(zhì)

焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)在X軸上焦點(diǎn)在y軸上

JL

圖形

?MM少出無B\o\B2X

寸NZ

2222

標(biāo)準(zhǔn)方程=十1=1((2>Z?>0)'+三=1Ca>b>0)

a2b1a2b2

范圍-a<x<a,-b<y<b-b<x<b,-a<y<a

4(—a,0),4(a,0),A/0,-a)4(0,〃)

頂點(diǎn)

4(0,—A),不(。力)B1(-b,0)與(80)

軸長短軸長=2b,長軸長=2。

焦點(diǎn)(±c,0)(0,±c)

焦距|耳居|=2c

對稱性對稱軸：x軸、y軸對稱中心：原點(diǎn)

離心率e，,ee(0,l)

a

【即學(xué)即練1】（2023春?河北石家莊?高二正定中學(xué)校考階段練習(xí)）若橢圓C:二+匯=1的離心率為逅,

m23

則橢圓C的長軸長為.

【答案】2面或20

【詳解】因?yàn)闄E圓三+匕=1的離心率為逅，易知，〃>0,

m23

當(dāng)機(jī)>2時(shí)，橢圓焦點(diǎn)在入軸上，a2=m,b2=2,

所以￡-=生匚=9,解得根=6,則4="，所以橢圓的長軸長為26.

當(dāng)0〈根<2時(shí)，橢圓焦點(diǎn)在y軸上，4=2,b2=m,

所以￡-="=9,得相==，滿足題意，

a2293

此時(shí)a=0，所以橢圓的長軸長為20.

故答案為：2面或2a.

知識點(diǎn)02：橢圓的簡單幾何性質(zhì)

離心率：橢圓焦距與長軸長之比：e=*e=j—（與.（0<e<l）

當(dāng)e越接近1時(shí)，c越接近。，橢圓越扁；

當(dāng)e越接近0時(shí)，c越接近0,橢圓越接近圓；

當(dāng)且僅當(dāng)a=6時(shí)，圖形為圓，方程為/+,2=/

22

【即學(xué)即練2]（2023春?云南玉溪?高二云南省玉溪第三中學(xué)?？计谀┮阎獧E圓耳q+2=l（a〉b〉0）

ab

的右焦點(diǎn)為尸2,左頂點(diǎn)為A，若石上的點(diǎn)尸滿足尸工，1軸，tanNPAE=；，則￡的離心率為（）

1211

A.-B.-C.-D.一

2545

【答案】A

x=c

A2h2

【詳解】設(shè)工（c，0）,則直線尸K：%=c,由122,得|y|=2,^\PF2\=—,

—7+一=1aa

[a2b2

,,1PK12b2

而A（-〃,0）,4閭=〃+。，由tanNP4K=z，得??=彳,即〃+c=,

2|4人212a

有a+c=2（/一L）,又a>c，因止匕q=2c,

a

c1

所以E的離心率為e=￡=：.

a2

故選：A

知識點(diǎn)03：常用結(jié)論

2222

1、與橢圓二+==1（a>沙>0）共焦點(diǎn)的橢圓方程可設(shè)為：——+?—=i（M>一/）

aba+mb+m

/>2

2、有相同離心率:=k（左>0,焦點(diǎn)在1軸上）或2r+=k（左>0,焦點(diǎn)在工軸上）

a

22

3、橢圓j+4=1的圖象中線段的幾何特征（如下圖）：

a2b-

（1）|尸〉+|尸閭=2。；

(2)\BF^=\BF^=a,\OF^\OF^=c,4同=/邳=俄+/；

(3)RE1=%閶=a-c,/閶=%用=a+c,a-c<\PF^<a+c-

知識點(diǎn)04：直線與橢圓的位置關(guān)系

1、直線與橢圓的位置關(guān)系

y2

將直線的方程y=辰+b與橢圓的方程二+=1（a>b>0）聯(lián)立成方程組，消元轉(zhuǎn)化為關(guān)于X或y的一元

aF

二次方程，其判別式為△.

①A>0=直線和橢圓相交=直線和橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)（或兩個(gè)公共點(diǎn)）；

②A=0=直線和橢圓相切=直線和橢圓有一個(gè)切點(diǎn)（或一個(gè)公共點(diǎn)）；

③A<0=直線和橢圓相離=直線和橢圓無公共點(diǎn).

2

【即學(xué)即練3］（2023春?江西吉安?高二校考期中）直線y=x+l與橢圓苫2+乙=1的位置關(guān)系是（）

2

A.相離B.相切C.相交D.無法確定

【答案】C

y=x+1

【詳解】聯(lián)立，V2=>3X2+2X-1=0,

%+—=1

I2

則A=22+4X3=16>0

所以方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,

所以直線與橢圓相交

故選：C.

2、直線與橢圓的相交弦

直線與橢圓問題（韋達(dá)定理的運(yùn)用）

（1）弦長公式：若直線/：丁=丘+人與圓錐曲線相交與A、B兩點(diǎn),A（毛，%）,8（%2，為）則：

弦長|人q=一九+（%—乃尸=一%）2+（左％一]々產(chǎn)=J1+A|七-々|

=J]+左-J（X1+尤2『一

弦長|蝴=j+gN—刃

這里I%-%I,I%-%I，的求法通常使用韋達(dá)定理，需作以下變形：

22

M々|=J（XI+X2）-4X1X2；I乂一%卜yj（yl+y2）~4y1y2

22

（2）結(jié)論1：已知弦A3是橢圓二+[=1（a>b>0）的一條弦，中點(diǎn)/坐標(biāo)為（％，為），則A3的

ab

b2x

斜率為—

a%

運(yùn)用點(diǎn)差法求AB的斜率，設(shè)A（M，M）,3（%，%）；A、5都在橢圓上，9'

F+-

Ia

兩式相減得：立二+-2=0,、-1）%+々）_區(qū)-%）『+%）=0

a2b2a-b2

即"z&=—g.色—=_"，故&B=_"

菁一龍2a~3+%a~y0ay0

,2

結(jié)論2：弦AB的斜率與弦中心Mr和橢圓中心0的連線的斜率之積為定值：---

（3）.已知橢圓方程工+==1（4〉。〉0）,長軸端點(diǎn)為A，4，焦點(diǎn)為片，F(xiàn),,尸是橢圓上一點(diǎn),

ab"

ZFiPF2=a.求：的面積（用。、b>a表示）.

設(shè)尸（x,y）,由橢圓的對稱性，不妨設(shè)尸（x,y）,由橢圓的對稱性，不妨設(shè)P在第一象限.

由余弦定理知：山閭2=戶周2+戶閭2_2戶用.戶閭COSC=4C2①

由橢圓定義知：\PF\+\PFA=2a②，則②2一①得儼7訃儼居_

1+COS6Z

故臬"6=；戶制忖局sine=62tan^

221+cosa2

22

【即學(xué)即練4】（2023?全國,高三對口高考）通過橢圓上+乙=1的焦點(diǎn)且垂直于無軸的直線/被橢圓截得的

43

弦長等于（）

A.2』B.3C.幣D.6

【答案】B

【詳解】由題設(shè)，不妨設(shè)過焦點(diǎn)（1，。）且垂直于x軸的直線/:x=l,

代入橢圓方程得上+匕=1,可得y=±9,故被橢圓截得的弦長等于3.

432

故選：B

題型精講

題型01根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程研究其幾何性質(zhì)

2222

【典例1】（2023春?上海楊浦?高二校考期中）橢圓上+上=1與橢圓^+3^=1（〃?<9）的（）

A.長軸相等B.短軸相等C.焦距相等D.長軸、短軸、焦距均不相等

【典例2】（2023秋?高二課時(shí)練習(xí)）已知尸點(diǎn)是橢圓蘭+匕=1上的動點(diǎn)，A點(diǎn)坐標(biāo)為佶,。］,貝UIPAI的

最小值為（）

【典例3］（2023秋?浙江湖州?高二統(tǒng)考期末）橢圓4/+49/=196的長軸長、短軸長、離心率依次是（）

A.7,2,—B.14,4.—C.7,2,—D.14,4,—

7777

【變式1］（2023春?廣東茂名?高二統(tǒng)考期末）已知橢圓C，+/=l（a>6>0）的離心率為g,下頂點(diǎn)為

3,點(diǎn)M為C上的任意一點(diǎn)，貝（MB怕勺最大值是（）

A.孚6B.?C.瓜D.2b

【變式2］（2023?全國?高三專題練習(xí)）若橢圓C：《+d=l的離心率為池，則橢圓C的長軸長為（）

m23

2/Z

A.6B.--—或2*\/^C.2-\［QD.或2*\/^

22

【變式3］（2023秋,高二課時(shí)練習(xí)）橢圓上+匕=1的焦距為4,則機(jī)的值為

題型02根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)求其標(biāo)準(zhǔn)方程

【典例1］（2023秋?新疆烏魯木齊?高二烏魯木齊市第十九中學(xué)?？计谀┻^點(diǎn)（3,2）且與橢圓3d+89=24

有相同焦點(diǎn)的橢圓方程為（）

x2y2x2y2,x2y2.x1y2.

AA.——+—=1DB.—+—=1Cr.—+—=1D.—+—=1

51010151510105

【典例2】（2023春?四川瀘州?高二四川省瀘縣第四中學(xué)?？计谀┮阎獧E圓的對稱軸是坐標(biāo)軸，離心率為

g,長軸長為12,則橢圓方程為（）

22

【典例3】（2023秋?廣東江門?高二臺山市華僑中學(xué)?？计谥校┮阎獧E圓焦點(diǎn)在x軸，它與橢圓±+匕=1有

相同離心率且經(jīng)過點(diǎn)（2,-括），則橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為.

【變式1］（2022秋?高二課時(shí)練習(xí)）過點(diǎn)（3,-2）且與橢圓4犬+9丁=36有相同焦點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）.

--1--=

【變式2］（2023?陜西西安?長安一中?？级＃?蒙日圓"涉及幾何學(xué)中的一個(gè)著名定理，該定理的內(nèi)容為:

橢圓上兩條互相輸出垂直的切線的交點(diǎn)必在一個(gè)與橢圓同心的圓上，該圓稱為橢圓的蒙日圓.若橢圓C：

2

工f+上v=1（。＞0）的離心率為彳1，則橢圓C的蒙日圓的方程為（）

a+1a

A.x2+y2=19B.x2+y2=17C.x2+y2=15D.x2+y2=14

22

【變式3］（2023秋?江蘇泰州?高三統(tǒng)考期末）若橢圓C2的焦點(diǎn)在y軸上，且與橢圓G：乙+匕=1的離心

42

率相同，則橢圓C?的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程為.

題型03求橢圓的離心率的值

【典例1】（2023春?江西宜春?高二江西省宜豐中學(xué)?？计谀┯图垈闶侵袊鴤鹘y(tǒng)工藝品，至今已有1000

多年的歷史.為宣傳和推廣這一傳統(tǒng)工藝，某活動中將一把油紙傘撐開后擺放在戶外展覽場地上，如圖所示.

該傘的傘面是一個(gè)半徑為26的圓形平面，圓心到傘柄底端距離為2,當(dāng)光線與地面夾角為30。時(shí)，傘面在

地面形成了一個(gè)橢圓形影子，且傘柄底端正好位于該橢圓的長軸上，該橢圓的離心率0=（）

22

【典例2】（2023?河南新鄉(xiāng)?新鄉(xiāng)市第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知橢圓C:二+3=1（.>6>0）的左頂點(diǎn)為人，

ab

點(diǎn)M,N是橢圓c上關(guān)于y軸對稱的兩點(diǎn).若直線40,4V的斜率之積為耳，則C的離心率為（）

A.3B.交C.|D.昱

2223

22

【典例3】（2023?遼寧遼陽?統(tǒng)考二模）已知橢圓。:=+與=1伍>6>0）的右焦點(diǎn)為尸，過坐標(biāo)原點(diǎn)。的直

ab

―.2—.

線/與橢圓C交于P,Q兩點(diǎn)，點(diǎn)P位于第一象限，直線尸尸與橢圓C另交于點(diǎn)A,且P尸=若

cos/A尸。=；,|FQ|=2|E4|,則橢圓C的離心率為（）

A.2B.立C.也D.@

4234

22

【典例4】（2023春?浙江溫州,高二校聯(lián)考期末）已知橢圓+的左頂點(diǎn)為A,上頂點(diǎn)

為B,。為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓上的兩點(diǎn)〃（闖,乙），分別在第一，第二象限內(nèi)，若&OAN與AOBM

的面積相等，且總+右=3/，則橢圓C的離心率為.

22

【變式1］（2023春?廣東深圳?高二統(tǒng)考期末）已知橢圓C：3+2=l（a>b>0）的右焦點(diǎn)為歹，過原點(diǎn)的

ab

直線/與C交于兩點(diǎn)，若AFLBF,且|AF|=3|M，則C的離心率為（）

AVio口Mc3.ni

4553

22

【變式2X2023?海南?？?海南華僑中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知耳，外分別是橢圓C：「+2=l（a>6>0）

ab

的左，右焦點(diǎn)，尸是C上的一點(diǎn)，若3|「胤=2|耳巴且/尸用工=60。，則C的離心率為（）

A.7B.2-73C.77-2D.3-272

2

2

【變式3］（2023春?貴州遵義?高二統(tǒng)考期中）已知廠是橢圓丫點(diǎn)2+齊v=1（。>6>0）的右焦點(diǎn)，直線>=1與

7T

橢圓交于3,C兩點(diǎn)，若/BFC=G，則該橢圓的離心率是（）

2

A.@B.在C.巫D.互

3344

22

【變式4］（2023?陜西咸陽?武功縣普集高級中學(xué)?？寄M預(yù)測）己知M是橢圓E：1+2r=ig>b>0）的

cib

右焦點(diǎn)，過加作直線y=g尤的垂線，垂足為N,=則該橢圓的離心率為.

題型04求橢圓的離心率的最值或范圍

【典例1】（2023春?湖南益陽?高二統(tǒng)考期末）若橢圓上存在點(diǎn)尸，使得P到橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之比為2:1,

則稱該橢圓為“倍徑橢圓".則"倍徑橢圓"的離心率e的取值范圍是（）

A.

22

【典例2】（2023春?上海青浦?高二統(tǒng)考期末）點(diǎn)A為橢圓C:［+2=l（a>b>l）的右頂點(diǎn)，尸為橢圓C上

ab

一點(diǎn)（不與A重合），若所.弱=0（。是坐標(biāo)原點(diǎn)），則橢圓C的離心率的取值范圍是（）

PA（百］屋友〕

22

【典例3】（2023?陜西西安?統(tǒng)考一模）已知橢圓二+2=1（°>0力>0）上一點(diǎn)人，它關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為8,

ab

（7171I

點(diǎn)尸為橢圓右焦點(diǎn)，且滿足AFJL3F,設(shè)NAB尸=c,且則該橢圓的離心率的取值范圍

是.

【典例4】（2023?甘肅定西?統(tǒng)考模擬預(yù)測）過原點(diǎn)作一條傾斜角為e［w］的直線與橢圓

22

A+與=1（。>6>0）交于A,8兩點(diǎn)，尸為橢圓的左焦點(diǎn)，若的，則該橢圓的離心率e的取值范圍

ab

為.

【變式1］（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知。是橢圓j丫2+.V?=l（q>b>0）的半焦距，則b匕+取C最大值時(shí)

aba

橢圓的離心率是（）

A12a8

r\.DR.---U.

2323

【變式2]（2023?重慶萬州?重慶市萬州第三中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知點(diǎn)"（XQJ,N（/,%）?<9）為橢

圓c/+&l（a>"0）上的兩點(diǎn)，點(diǎn)哈0）滿足|PM|=|PN|,則C的離心率e的取值范圍為（）

22

【變式3]（2023秋?浙江嘉興?高二統(tǒng)考期末）已知點(diǎn)P是橢圓C：與+當(dāng)=1（4>6>0）的右焦點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)

ab

于直線>=質(zhì)的對稱點(diǎn)Q在C上，其中Ze1,2,則C的離心率的取值范圍為.

【變式4]（2023?重慶沙坪壩?重慶南開中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知尸為圓C:尤2+于一6y=40上一點(diǎn)，橢圓

22

M:「+4=l（a>b>0）焦距為6,點(diǎn)尸關(guān)于直線尤-y=。的對稱點(diǎn)在橢圓M上，則橢圓離心率的取值范圍

ab

為.

題型05根據(jù)橢圓離心率求參數(shù)

22

【典例1】（2023秋?高二單元測試）設(shè)橢圓G：二+丫2=1（°>1）6：±+/=1的離心率分別為"2.若

a4

e2=6q,貝！J。=（）

2A/3

A.B.72C.73D.屈

22

【典例2】（2023春,江蘇鎮(zhèn)江,高二江蘇省揚(yáng)中高級中學(xué)校考階段練習(xí)）橢圓C:2+方=1（a>6>0）

的左、右焦點(diǎn)分別是月，F(xiàn)2,斜率為1的直線/過左焦點(diǎn)可，交C于A,B兩點(diǎn)，且外的內(nèi)切圓的面

積是萬，若橢圓C的離心率的取值范圍為/，/,則線段AB的長度的取值范圍是（）

A.B.[1,2]C.[4,8]D.[4忘,8拒]

【典例3】（2023?全國?高二專題練習(xí)）橢圓C:=+^=15>6>。）的左、右焦點(diǎn)分別是々，8，斜率為1

ab/

"13-

的直線/過左焦點(diǎn)月且交C于A3兩點(diǎn)，且AAB居的內(nèi)切圓的周長是2兀，若橢圓的離心率為ee,

則線段A3的長度的取值范圍是

2

【變式1]（2023秋,重慶沙坪壩?高二重慶市第七中學(xué)校?？计谀┮阎獧E圓，f+乙V=1的離心率e=g1

k+593

則上的值可能是（）

-41.7

A.3B.7C.3或一D.7或一

84

22

【變式2]（2023春?上海松江?高三上海市松江二中?？茧A段練習(xí)）設(shè)a>力>0,橢圓二+二=1的離心

ab

22

率為雙曲線=-/2=1的離心率為若華g<1,則￡的取值范圍是_______.

b-a2*9-2b2b

22

【變式3]（2023?吉林長春?校聯(lián)考一模）已知橢圓C：=+2=1（°>6>0）的左、右焦點(diǎn)分別為月、F2,

ab

點(diǎn)A、8在橢圓C上，滿足印目?五耳=0,麗=4號后，若橢圓C的離心率ee[，弓，則實(shí)數(shù)入取值范

圍為?

題型06直線與橢圓的位置關(guān)系

【典例1】（2023,全國?高三對口高考）若直線y=x-l與橢圓/+3/=。有且只有一公共點(diǎn)，那么。的值為

123

A.-B.—C.—D.1

234

22

【典例2】（2023春?上海浦東新?高二統(tǒng)考期中）已知橢圓C:土+匕=1,直線

259

/:（m+2）%-（w+4）y+2-/n=0（M7eR）,則直線/與橢圓C的位置關(guān)系為（）

A.相交B.相切C.相離D.不確定

【變式11（2023?廣東廣州?統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知以耳（-2,0）,6（2,0）為焦點(diǎn)的橢圓與直線x+y+4=0有且

僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則橢圓的長軸長為（）

A.3拒B.276C.2回D.4及

22

【變式2】（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知直線履-丫+2=0與橢圓±+乙=1恒有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)力的取

9m

值范圍（）

A.（4,9]B.[4,+co）

C.[4,9）59,+°°）D.（9,+oo）

題型07直線與橢圓相切

【典例11（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知過圓錐曲線片+貴=1上一點(diǎn)尸（%,券）的切線方程為空+”=1.

mnmn

22

過橢圓3+3=1上的點(diǎn)A（3，T）作橢圓的切線/，則過A點(diǎn)且與直線/垂直的直線方程為（）

A.%—y—3=0B.x+y-2=0

C.2x+3y-3=0D.3x-^-10=0

【典例2】（2023春?河南周口?高二校聯(lián)考階段練習(xí)）己知橢圓C:二+y2=l的右頂點(diǎn)為4,上頂點(diǎn)為

4

則橢圓上的一動點(diǎn)M到直線A3距離的最大值為.

22

【變式1］（2023?全國?高二專題練習(xí)）橢圓,+q=l上的點(diǎn)P到直線x+2y-9=0的最短距離為（）

A.&B.拽C.拽D.

555

22

【變式2］（2023?廣西?統(tǒng)考一模）在平面直角坐標(biāo)系中，動點(diǎn)尸在橢圓C:土+匕=1上運(yùn)動，則點(diǎn)P到直

169

線x-y-5=0的距離的最大值為.

題型08弦長

丫2兀

【典例1】（2023?全國?高三對口高考）已知橢圓一+尸=：1,過左焦點(diǎn)尸作傾斜角為臺的直線交橢圓于A、

96

3兩點(diǎn)，則弦A3的長為.

22

【典例2】（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知橢圓E:±+匕=1,設(shè)直線》=辰-0被橢圓C截得的弦長為

42'

Q

求左的值.

【典例3】（2023秋?山東濱州?高二統(tǒng)考期末）已知橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)分別是片7^（1,0）,并且經(jīng)過

點(diǎn)P1，

⑴求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若直線/：y=x+w與橢圓C相交于A,8兩點(diǎn)，當(dāng)線段的長度最大時(shí)，求直線/的方程.

【變式1］（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知橢圓土+匕=l（a>b〉0）,過左焦點(diǎn)片的斜率為1的直線與橢

32、'

圓分別交于48兩點(diǎn)，求|熊|.

【變式2］（2023秋?青海西寧?高二期末）已知點(diǎn)A（0,-2）,橢圓E:；+］=l（a>b>0）的離心率為變,

ab2

P是橢圓E的右焦點(diǎn)，直線AF的斜率為2,。為坐標(biāo)原點(diǎn).

⑴求橢圓E的方程：

⑵設(shè)過橢圓E的左焦點(diǎn)且斜率為％=1的直線/與橢圓E交于不同的兩M、N,求的長.

【變式3］（2023?江蘇南通?統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知橢圓G：］+V=l的左、右頂點(diǎn)是雙曲線

G：4-4=K?>0,6>0）的頂點(diǎn)，。的焦點(diǎn)到C2的漸近線的距離為且.直線/：、=履+，與C?相交于A,

a2b23

8兩點(diǎn)，OAOB=-3.

（1）求證：8k2+t2=1

（2）若直線/與G相交于尸，0兩點(diǎn)，求|PQ|的取值范圍.

題型09中點(diǎn)弦和點(diǎn)差法

22

【典例1】（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知橢圓C：^-+^-=1,過點(diǎn)尸。,-1）的直線/與橢圓C交于4

8兩點(diǎn)，若點(diǎn)P恰為弦的中點(diǎn)，則直線/的斜率是（）

4334

A.--B.--C.一D.一

3443

22

【典例2】（2023?全國?高三對口高考）直線犬+>-1=0截橢圓乙+乙=1所得弦的中點(diǎn)M與橢圓中心連線

43

OM的斜率為.

22

【典例3】（2023春?新疆塔城?高二統(tǒng)考開學(xué)考試）已知過點(diǎn)WD的直線，與橢圓上+匕=1相交于A,

42

B兩點(diǎn)，且線段A8以點(diǎn)M為中點(diǎn)，則直線AB的方程是.

【典例4】（2023?全國?高三對口高考）中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)為片（0,50）的橢圓被直線y=3x-2截得弦

的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為則橢圓的方程為.

22

【變式11（2023春?湖北荊州?高二沙市中學(xué)校考階段練習(xí)）若橢圓點(diǎn)+A=1的弦AB被點(diǎn)P（l,l）平分，

則A2所在直線的方程為（）

A.4n+9y-13=0B.9x+4y-13=0

C.x+2y-3=0D.x+3y-4=0

22

【變式2］（2023?四川巴中?南江中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知橢圓C:1T+訝=1（。>6>0）四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊

形的面積為160，直線/"-2丫+6=0與橢圓C交于A,8兩點(diǎn)，且線段A3的中點(diǎn)為（-2,2）,則橢圓C的

方程是（）

AI-B

168324

「f/y2

C.1----=1D.1=1

3216642

丫2

【變式3］（2023?全國,高三專題練習(xí)）直線/與橢圓上+丁=1交于A,B兩點(diǎn)，已知直線/的斜率為1,則

4'

弦AB中點(diǎn)的軌跡方程是.

【變式4］（2023春?福建廈門?高二廈門一中校考階段練習(xí)）直線/不與x軸重合，經(jīng)過點(diǎn)N（〃,0）（〃K0）,

22

橢圓+上存在兩點(diǎn)A、5關(guān)于/對稱，A