山東濟(jì)寧某中學(xué)2024年高二年級上冊10月月考數(shù)學(xué)試卷

濟(jì)寧市第一中學(xué)2024-2025學(xué)年度第一學(xué)期

高二階段性測試

數(shù)學(xué)試卷2024.10

注意事項：

1.本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分.滿分150分.考試用時120分

鐘.

2.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填涂在答題卡規(guī)定的地方.

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符

合題目要求的

1.已知/（OU）,（1,1,4）,平面夕的法向量為（2J,6）,若ABHa,則/=（）

A.-10B.3C.4D.5

2.如圖，G是zUBC的重心，OA=a,OB=bfOC=c,則。4二)

1-2-2-2一2一1一

A.—a+—b+—cB.—bT—C

333333

-2-2T2-

C.—ClH—bH—CD.匕+匕+匕

333333

3.已知向量a=(2,-1,2),3=(-4,2,x),a//b>則\a卜+b+\可=()

A.3B.9C.27D.81

17

4.已知事件4,8是互斥事件，尸（/）=：，P（B）=-,則P（/U8）=()

6'73

142

A.—B.-D.

1893

5.已知點。在確定的平面內(nèi)，。是平面力5C外任意一點，若正實數(shù)無，》滿足

__?__?__?__?2x+y

OD=xOA+2yOB-OC,則——^的最小值為()

xy

5

A.-BC.2D.4

2-i

試卷第1頁，共4頁

6.已知1=（2,—1,3）,6=（-1,4,-2）,c=（7,5,2）,若鼠很,萬三向量不能構(gòu)成空間

向量的一組基底，則實數(shù)4的值為（）

65

A.0B.5C.9D.一

7

7.已知正三棱柱NBC-44cl的側(cè)面積是兩底面積的6退倍，點E為四邊形相瑪4的中心,

點廠為棱CG的中點，則異面直線3尸與CE所成角的余弦值為（）

D3a

B.叵

13,26

8.依次拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，記骰子向上的點數(shù).用x表示第一次拋擲骰子的點數(shù),

用V表示第二次拋擲骰子的點數(shù)，用（X/）表示一次試驗的結(jié)果.記“x+y=7”為事件A,

“孫=2a-l,eN*）”為事件3,“尤V3”為事件C,貝U（）

A.A與3相互獨立B.A與8對立

C.B與C相互獨立D.A與C相互獨立

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全選

對得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分

9.下述關(guān)于頻率與概率的說法中，錯誤的是（）

A.設(shè)有一大批產(chǎn)品，已知其次品率為01，則從中任取100件，必有10件是次品

B.利用隨機(jī)事件發(fā)生的頻率估計隨機(jī)事件的概率，即使隨機(jī)試驗的次數(shù)超過10000,所

估計出的概率也不一定很準(zhǔn)確.

C.隨機(jī)事件發(fā)生的頻率就是這個隨機(jī)事件發(fā)生的概率

D.做7次拋硬幣的試驗，結(jié)果3次出現(xiàn)正面，因此，拋一枚硬幣出現(xiàn)正面的概率是］

10.設(shè)空間兩個單位向量次=（風(fēng)〃,0）,礪=（0,〃,力與向量面=（1,1.1）的夾角都等于:，則

cosAAOB=（）

A2+73口1+V3

44

Q2—A/3D1—V3

?4?4

11.如圖，在邊長為1的正方體ABCD-44GA中，點E為線段的中點，點/為線段BBX

的中點，則（）

試卷第2頁，共4頁

A.點4到直線用￡的距離為好B.直線戶G到直線/￡的距離為我

35

C?點4到平面/2遂的距離為;D.直線尸G到平面的距離為:

第II卷(非選擇題)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.在一次擲硬幣試驗中，擲100次，其中有48次正面朝上，設(shè)反面朝上為事件4則事件

A出現(xiàn)的頻率為.

13.如圖，平面4BFE與平面CDE尸夾角為60°,四邊形/BFE,CAE/都是邊長為2的正

方形，則8,。兩點間的距離是.

14.如圖所示，在正方體48c中，48=3,M是側(cè)面3CC%'內(nèi)的動點，滿足

AMLBD，若與平面BCC%'所成的角。，貝hand的最大值為.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

15.（本小題13分）已知空間中三點4（2,0,-2）,80,T,-2）,C（3,0,-4）,^a=AB,b=AC

(1)已知他+碼求無的值;

(2)若同=6,且3=2而，求己的坐標(biāo).

試卷第3頁，共4頁

16.(本小題15分)如圖，正四面體A8CD(所有棱長均相等)的棱長為1,E,F,G,〃分別

是正四面體48cz＞中各棱的中點，設(shè)與二，刀=g，AD^c.

(1)用。，ac表示麗，并求￡尸的長；

⑵求而與麗夾角的大小.

17.(本小題15分)已知甲、乙兩袋中各裝有4個質(zhì)地和大小完全相同的小球，甲袋中有紅

球2個、白球1個、藍(lán)球1個，乙袋中有紅球1個、白球1個、藍(lán)球2個.

(1)從兩袋中隨機(jī)各取一球，求取到的兩球顏色相同的概率；

(2)從甲袋中隨機(jī)取兩球，從乙袋中隨機(jī)取一球，求取到至少一個紅球的概率.

18.(本小題17分)在四棱錐尸中，底面是邊長為2的正方形，PC工PD,

PC=PD,。為CD的中點，二面角N-CZXP為直二面角.

P

(1)求證：PB1PD；

⑵求直線PC與平面PAB所成角的正弦值；

(3)求平面POB與平面PAB夾角的余弦值.

19.(本小題17分)甲和乙進(jìn)行多輪答題比賽，每輪由甲和乙各回答一個問題，已知甲每輪

32

答對的概率為:，乙每輪答對的概率為不在每輪比賽中，甲和乙答對與否互不影響，各輪

結(jié)果也互不影響.

⑴求兩人在兩輪比賽中都答對的概率；

(2)求兩人在兩輪比賽中至少答對3道題的概率；

(3)求兩人在三輪比賽中，甲和乙各自答對題目的個數(shù)相等且至少為2的概率.

試卷第4頁，共4頁

試卷第5頁，共4頁

高二數(shù)學(xué)參考答案

1.【答案】A

【詳解】因為羽=。,2,3),ABHa,

所以(1,2,3)?(2-6)=0,即2+2/+18=0,解得f=TO.

故選：A.

2.【答案】D

【解析】；G是&48c的重心，OA=a,OB=b,OC=c,

:.OG=OC+W>CG=^CD,

cb=^CA+CB'),CA=OA-OC，CB^OB-OC-

：.OG=OC+--X-(CA+CB\=-OC+-OB+-OA,

32、>333

—■1-1-1-

OG=-a+-b+-c.

333

故選：D.

3.A

【詳解】向量Z=(2,-l,2),否=(-4,2,向且

則一;=<=—,解得x=-4,所以彼=(-4,2,-4),

-42xv7

所以)+5=(-2,1,-2),

所以卜+B卜^/(-2)2+12+(-2)2=3.

故選：A.

4.【答案】C

【詳解】:P(B)=1-P?P(5)=|,

?.?事件A,B是互斥事件，/.P(AuB)=P(A)+P()11=1.故選：C

S=6+32

5.B

【詳解】由42,C,。四點共面，可知尤+2廣1=1,即x+2y=2,

由x>0,y>0,^Z=-+-=-(x+2y)(-+M=1(5+工汩

xyyx2v\^yxJ21^yx)

答案第1頁，共12頁

T"2欄當(dāng)且僅當(dāng)BY,即“，|時等號成立，

故選：B

6.D解：因為1=(2,—1,3),3=(—1,4,—2),

所以5與B不共線，又a,b>/三向量不能構(gòu)成空間向量的一組基底,

所以b,d三向量共面,

2x-j=7

所以存在唯一的實數(shù)對(xj),使己=x1+yB,即<—x+4y=5,

3x-2y=2

解得力=?.故選：D

7.【詳解】法一：如圖所示，取的中點G,連接尸G,EG,

因為點E為四邊形的中心，所以EG//CF,S.EG=CF,

所以四邊形CFGE為平行四邊形，所以尸G//CE,

所以4BFG或其補(bǔ)角就是異面直線BF與CE所成的角.

設(shè)該三棱柱的底面邊長為2,正三棱柱/BC-44G的側(cè)面積是底面積的6g倍，

則3、2714=2*旦22'6后，

14

所以441=6.連接3G,

貝1BG=A/62+12=歷，BF=A/22+32=岳，F(xiàn)G=q32=273.

_J_n』八rm，曰/j-，cBF~+FG~—BG~13+12—37J39匚匚z0P

在ABFG中，由余弦定理得cosNBFG=-----------------------=——產(chǎn)——尸=-----,所以異面777

2BFxFG2xJ13x2V313

答案第2頁，共12頁

直線BF與CE所成角的余弦值為叵，

13

法二：設(shè)/C=2,貝U由題得3x2CG=2x乎x22x6g,所以Cq=6.

以N為坐標(biāo)原點，AC,/4所在直線分別為乃z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則8（百,1,0）,C（0,2,0）,E^-,-,3,尸（0,2,3）,所以麗=卜收1,3）,CE=^-,--,3

\7\

,’…門13

故四亞如工4^

所以異面直線8尸與CE所成角的余弦值為畫.

13

法三：設(shè)/C=2,貝U由題得3x2Cq=2x乎X2?X65

所以cq=6.

設(shè)C4=〃,CB=b>CCj=c,則a_Lc,B_Lc，a，B的夾角為百，

―?1—1—?1—?]-171―

CE=-CA+-CB+-CC=-a-\--b+—c

222}222

4+4+36+2X2X2X1=4A/3,

a+b+c\=^a\b\c\2a-b=

-1一171一1-21-一1一2

—CL---bH---C—c——a-b——b

BF-CE222

所以cos（而，演”[r4二422

卜1一一1一17一1一V13X2A/3

BF-c-b—a+—Z?H——c

2222

9-2-1_^39

一而x2逐一13

答案第3頁，共12頁

所以異面直線2尸與CE所成角的余弦值為典.

13

故選：B.

8.【答案】D

【詳解】依題意依次拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，基本事件總數(shù)為6x6=36個；

其中事件/="x+>=7”包含的樣本點有：

（1,6）,（2,5）,（3,4）,（4,3）,（5,2）,（6,1）共6個;

事件B="肛=2左-l,eN*）”，包含的樣本點有：

（1,1）,（3,3）,（5,5）,（1,3）,（1,5）,（3,1）,（3,5）,（5,1）,（5,3）共9個,

事件C=“xW3”，包含的樣本點有：（1,1）,（1,2）,（1,3）,（1,4）,（1,5）,（1,6）,

（2,1）,（2,2）,（2,3）,（2,4）,（2,5）,（2,6）,

（3,1）,（3,2）,（3,3）,（3,4）,（3,5）,（3,6）共18個,

所以A與B不能同時發(fā)生，但是能同時不發(fā)生，故不是對立事件，故B錯誤；

因為A與3不能同時發(fā)生，所以A與B是互斥事件，則P（A8）=0,

又尸,「網(wǎng)焉］，所以尸（“8戶尸（⑷尸（8），

所以A與B不相互獨立，故A錯誤；

事件3C包含的樣本點有:（1,1）,（3,3）,（1,3）,（1,5）,（3,1）,（3,5）共6個,

因為P（3C）=：w尸（8）尸（C）,所以B與C不相互獨立，故C錯誤.

又事件/C包含的樣本點有;（1,6）,（2,5）,（3,4）共3個，

11Q1

所以尸（c）=不，P（A）P（C）=-，貝I］尸（40=芯=不=//）尸（C），

2123012

所以A與C相互獨立，故D正確；

故選：D

9.ACD

【詳解】對于A:從中任取100件，可能有10件，A錯誤；

對于B:10000次的界定沒有科學(xué)依據(jù)，“不一定很準(zhǔn)確”的表達(dá)正確，試驗次數(shù)越多，頻率越

穩(wěn)定在概率值附近，但并非試驗次數(shù)越多，頻率就等于概率，B正確.

答案第4頁，共12頁

對于C:多次重復(fù)試驗中事件發(fā)生的頻率在某一常數(shù)附近，此常數(shù)為概率，與描述不符，C

錯誤；

3

對于D:做7次拋硬幣的試驗，結(jié)果3次出現(xiàn)正面，因此，拋一枚硬幣出現(xiàn)正面的頻率是

3

不是概率為D錯誤；

故選:ACD.

10.AC

【詳解】???空間兩個單位向量方=(%〃,0),礪=(o,〃,p)與向量詼=0,1,1)的夾角都等于

7T

1

:.ZAOC=ZBOC=^,|OC|=V3,

娓

?,-04-dC=|d3|.|oc|-cosZAOC=

V6

又OA-OC=m+nfm+n=—

2

又04為單位向量?.冽2+〃2=],

V6

m+n

聯(lián)立~T

m2+n2=1

vOA=,OB=,

2土若

/.cosZAOB=n2=

4

故選：AC.

11.ABD

【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則4(1,0,1),^(1,1,1),尸(1,1g

G(0,1,1),7i(i,o,o).

答案第5頁，共12頁

44=(o,i,o).

設(shè)〃i=4片=(0,1,0),所以4?%=—§,

所以點4到直線BXE的距離為商一(晨斤=1=q,故A正確.

因為左=51,0,￡|,月所以五g〃百，

所以ZE〃片C,所以點尸到直線AE的距離即為直線FG到直線AE的距離.

設(shè)電=NE=(01,gj,所以％.[=(■,

所以直線FG到直線/E的距離為,3-(好]=叵,故B正確.

Vl10J5

設(shè)平面481E的一個法向量為=(xj,z),

n?AB=>+z=0,

又福=(0,1,1),Zg=f-l,0,1L所以<X

一一?1

n,AE——xH—z—0.

2

取z=2,貝ljy=—2,尤=1,所以萬=(1,—2,2),

所以"~。=同n七(1’一§2

—?_____I—?—>12

又4/=(0,0,1),所以點4到平面N3也的距離為故C錯誤.

因為尸G〃/E,尸GU平面』8也，所以尸G〃平面/片石，

答案第6頁，共12頁

所以尸G到平面ABXE的距離即為點F到平面ABXE的距離.

又平面母的單位法向量％=(；,_找),函=(0,0,3,

所以直線尸G到平面AB.E的距離為|麗?瓦卜；，故D正確.

故選：ABD

12.0.52

【詳解】由題意可得反面朝上次數(shù)為100-48=52,

52

所以設(shè)反面朝上為事件/,則事件/出現(xiàn)的頻率為尸(N)=W=0.52.

故答案為：0.52.

13【答案】2亞

【詳解】因為四邊形/BPE、CDEB都是邊長為2的正方形，則/E_LEF,DE1EF,

又平面48FE與平面CDEP夾角為60°,BPZAED=60°，則(或，麗)=60°,

因為麗=詼+或+方=成一刀+刀，由圖易知方_L應(yīng)，ABYED^

所以方EA-ED+AB

/---2-------->2---------2------------------

=7EA+ED+AB-2EA-ED+2EA-AB-2ED-AB

=A/4+4+4-2X2X2XCOS600+0-0=242

即3,。兩點間的距離是2VL

故答案為：2VL

14.【答案】O

【解析】如圖，以。為原點建立空間直角坐標(biāo)系，

則4(3,0,0),8(3,3,0),。(0,0,3),

設(shè)M(x,3,y)(x,ye[0,3]),

則為7=(x-3,34),麗=(-3-3,3),

因為，

所以西?西=(x_3,3,y)?(-3-3,3)=一3,-3)-9+3y=0,

答案第7頁，共12頁

所以V=x,則M(x,3,x),

因為48平面BCC'B'>

所以乙4Ms即為AM與平面BCC'B'所成角，即。=/4初5,

AB33

則fn血=產(chǎn)后

所以當(dāng)尤=5時，tan。取得最大值VL

故答案為：V2.

,1

15.⑴k=M

(2)1=(4,2,-4)或萬=(-4,-2,4)

【詳解】(1)因為/(2,0,-2),8(1,-1,一2),43,0,-4),a=AB,b=AC,

所以)=(-1,—1,0)3=(1,0,—2),a+kb=(k-l,-l,-2k),...........................3

又，+而)_LB,所以,+布)/=左一1+4左=0,得至IJ4=g..................................6

(2)因為日=2前=(2九2,-24),又同=6,所以"力+儲+4分=6,..................10

解得2=2或-2,.........................12

所以E的坐標(biāo)為1=(4,2,-4)或3=(-4,-2,4).........................................13

16.(1)EF=—a—bH—c,—

―2222

(2)90°

【詳解】（1）因為￡,尸分別為棱BC，的中點，且次與，AC=b，AD^c-

答案第8頁，共12頁

可得定=礪+豆+/=；屈_方=/)—方

1―、1—?1—?1-1-1-

=——AB——AC+—AD=——a——b+—c,.............................4

222222

因為正四面體45CQ的棱長為1,則同=忖=同=1，且73=7工=g=；,

=(--d--b+-c]=5+為+*萬_號?—13g

1112221444222

1111111111

=—+—+—+—x-----x--------x—=—,........................................9

4442222222

即|而卜字，所以￡尸的長為孝.........................10

(2)由題意得麗=0+詬+而=_|■萬+25+g皮=_g萬+詬+g國一珂

即而_L曲，即而與麗的夾角為90。.........15

【詳解】(1)設(shè)甲袋中的紅球為外外，白球為w,籃球為6,

乙袋中的紅球為五,白球沙，籃球為片,當(dāng)，

則從兩袋中各取一球，所有基本事件如下：

｛%&｝,｛%用｝，｛大旦b阮坊｝，｛叱夫｝,｛叱啊,｛“用用叱與｝，

｛々身在,外在再｝此,$｝,｛6,",｛“?。?｛6再｝，抄也｝,

故基本事件的總數(shù)為16.........................................3

設(shè)A為“取到的兩球顏色相同”，則A含有的基本事件如下：

｛07?｝,｛4，火｝,｛叱少｝,抄，4｝,｛瓦5｝，...........................................5

共5個基本事件，則尸(/)=1=之...............................7

''4x416

(2)如(1)中所設(shè)，從甲袋中隨機(jī)取兩球，從乙袋中隨機(jī)取一球，總的基本事件如下:

答案第9頁，共12頁

｛斗，2，尺｝,｛耳，2，叼,｛4,々81｝,｛斗弓,32｝，｛大叫及｝,｛大*少｝，｛大枚可｝，｛大校也｝，

｛大瓦7?｝,｛06"｝,｛小仇巴卜白力也｝，｛r2,b,R｝,｛r2,b,W｝,｛r2,b,Bt｝,｛r2,b,B2｝,

｛2,叫號,｛々,iv"｝,｛2,明巴「上明功｝，｛瓦叱R｝,｛4嗎?。?｛瓦叱4｝,｛瓦憶與｝，

基本事件的總數(shù)為24,...............10

設(shè)8為“取到至少一個紅球”，其對立事件設(shè)為C,則C為“沒有取到紅球”，

C含有的基本事件如下：抄，叫叫，抄，墳用｝,抄,叱不｝,共有3個，.......13

3117

故尸（°）=五=鼠，故尸（2）=1一P（C）=l-￡=&.............15

ZH-ooo

18.（1）證明見解析

⑵平

（3）1

【詳解】（1）因為尸C=PD,。為CD的中點，

所以PO_LCD.......................1

又因為平面尸CD_L平面/5CD,平面尸CDCl平面/BCD=CD,POu平面尸CD,

所以PO_L平面NBCD............2

因為8=2,PC1PD,PC=PD,所以PO=1.

取/B的中點E,連接OE,則OELCD,

以點O為坐標(biāo)原點，OD,OE,。尸所在直線分別為x,修z軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系

則。(0,0,0),￡>(1,0,0),C(-l,0,0),5(-1,2,0),P(0,0,l),"(1,2,0).

麗=(-P5=(l,0,-l),

因為麗?麗=-1+0+1=0，.............5

答案第10頁，共12頁

所以.

（2）設(shè)平面的一個法向量為布=O，y,z）,

m--ABP=0O,即,(-X--2yx+=z0=0

...................................7

解得x=0,令了=1,貝!]z=2,貝而=（0,1,2）...................................9

設(shè)直線PC與平面PAB所成的角為6,

又定=（-1,0,-1）,

囿sm。一los偏定-M?定|（。，1，2》（-1，。，-1）|卜21一9

則sm0-|cos^,pq-嗣同-戶"'

所以直線PC與平面PAB所成的角的正弦值為巫........10

5

（3）設(shè)平面尸05的一個法向量為五二（見仇。），

n-OP=0[c=0

則即彳712

nOB=0[-〃+2b=0

解得c=0,令6=1,則a=2,故為=(2,1,0).14

設(shè)平面P