2020-2021大連理工大學(xué)附屬中學(xué)高中必修二數(shù)學(xué)下期中第一次模擬試卷(帶答案)

2020-2021大連理工大學(xué)附屬中學(xué)高中必修二數(shù)學(xué)下期中第一次模擬試卷(帶答案)一、選擇題1．水平放置的的斜二測直觀圖如圖所示，若，的面積為，則的長為（）A． B． C．2 D．82．已知三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的求面上，是邊長為的正三角形，為球的直徑，且，則此棱錐的體積為（）A． B． C． D．3．如圖為某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為()A． B．C． D．4．對(duì)于平面、、和直線、、、,下列命題中真命題是()A．若,則B．若,則C．若則D．若,則5．已知一個(gè)三棱錐的三視圖如圖所示，其中俯視圖是等腰直角三角形，則該三棱錐的外接球表面積為（）A． B． C． D．6．若某幾何體的三視圖（單位：cm）如圖所示，則該幾何體的體積等于（）A． B． C． D．7．如圖，在下列四個(gè)正方體中，A，B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，M，N，Q為所在棱的中點(diǎn)，則在這四個(gè)正方體中，直線AB與平面MNQ不平行的是()A． B．C． D．8．在長方體中，，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)異面直線與所成的角最大時(shí)，則三棱錐的體積為（）A． B． C． D．9．已知直三棱柱的所有棱長都相等，為的中點(diǎn)，則與所成角的余弦值為()A． B． C． D．10．如圖，在正方體中，，分別是，的中點(diǎn)，則下列說法錯(cuò)誤的是()A．與垂直 B．與垂直C．與平行 D．與平行11．若圓的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），則直線與圓的位置關(guān)系是（）A．相交且過圓心 B．相交但不過圓心 C．相切 D．相離12．已知平面且，是平面內(nèi)一點(diǎn)，，是異于且不重合的兩條直線，則下列說法中錯(cuò)誤的是（）.A．若且，則 B．若且，則C．若且，則 D．若且，則二、填空題13．如圖，在圓柱O1O2內(nèi)有一個(gè)球O，該球與圓柱的上、下底面及母線均相切．記圓柱O1O2的體積為V1,球O的體積為V2，則的值是_____14．過點(diǎn)且與直線垂直的直線方程為____________．15．在平面直角坐標(biāo)系中,設(shè)將橢圓繞它的左焦點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周所覆蓋的區(qū)域?yàn)?，為區(qū)域內(nèi)的任一點(diǎn)，射線上的點(diǎn)為，若的最小值為，則實(shí)數(shù)的取值為_____．16．若圓：與圓：關(guān)于直線對(duì)稱，則______.17．已知為直線，為空間的兩個(gè)平面，給出下列命題：①；②；③；④．其中的正確命題為_________________．18．圓上的點(diǎn)到直線的距離的最小值是．19．底面邊長為2的正三棱柱被不平行于底面的平面所截，其中，，，則多面體體積為________20．如圖，已知圓錐的高是底面半徑的倍，側(cè)面積為，若正方形內(nèi)接于底面圓，則四棱錐側(cè)面積為__________．三、解答題21．已知的三個(gè)頂點(diǎn)、、.（1）求邊所在直線的方程；（2）邊上中線的方程為，且，求點(diǎn)的坐標(biāo).22．如圖，已知三棱錐中，，，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，且為正三角形.（1）求證：平面；（2）求證：平面；（3）若，，求三棱錐的體積.23．已知圓（1）若，過點(diǎn)作圓的切線，求該切線的方程；（2）當(dāng)圓與圓相外切時(shí)，從點(diǎn)射出一道光線，經(jīng)過軸反射，照到圓上的一點(diǎn)，求光線從點(diǎn)經(jīng)反射后走到點(diǎn)所走過路線的最小值.24．如圖，三棱柱中，平面平面,平面平面，,點(diǎn)、分別為棱、的中點(diǎn)，過點(diǎn)、的平面交棱于點(diǎn),使得∥平面.（1）求證：平面;（2）若四棱錐的體積為，求的正弦值.25．若圓的方程為，△中，已知，，點(diǎn)為圓上的動(dòng)點(diǎn)．（1）求中點(diǎn)的軌跡方程；（2）求△面積的最小值．26．如圖，在梯形中，，，，四邊形為矩形，平面平面，.(1)證明：平面；(2)設(shè)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，平面與平面所成銳二面角為，求的取值范圍.【參考答案】***試卷處理標(biāo)記，請(qǐng)不要?jiǎng)h除一、選擇題1．B解析：B【解析】【分析】依題意由的面積為，解得，所以，，根據(jù)勾股定理即可求．【詳解】依題意，因?yàn)榈拿娣e為，所以，解得，所以，，又因?yàn)?，由勾股定理得：．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查直觀圖還原幾何圖形，屬于簡單題.利用斜二測畫法作直觀圖，主要注意兩點(diǎn)：一是與x軸平行的線段仍然與軸平行且相等；二是與y軸平行的線段仍然與軸平行且長度減半.2．A解析：A【解析】【分析】【詳解】根據(jù)題意作出圖形：設(shè)球心為O，過ABC三點(diǎn)的小圓的圓心為O1，則OO1⊥平面ABC，延長CO1交球于點(diǎn)D，則SD⊥平面ABC．∵CO1=，∴，∴高SD=2OO1=，∵△ABC是邊長為1的正三角形，∴S△ABC=，∴．考點(diǎn)：棱錐與外接球，體積．【名師點(diǎn)睛】本題考查棱錐與外接球問題，首先我們要熟記一些特殊的幾何體與外接球（內(nèi)切球）的關(guān)系，如正方體（長方體）的外接球（內(nèi)切球）球心是對(duì)角線的交點(diǎn)，正棱錐的外接球（內(nèi)切球）球心在棱錐的高上，對(duì)一般棱錐來講，外接球球心到名頂點(diǎn)距離相等，當(dāng)問題難以考慮時(shí)，可減少點(diǎn)的個(gè)數(shù)，如先考慮到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)是三角形的外心，球心一定在過此點(diǎn)與此平面垂直的直線上．如直角三角形斜邊中點(diǎn)到三頂點(diǎn)距離相等等等．3．B解析：B【解析】該幾何體是一個(gè)正方體與半圓柱的組合體，表面積為，故選B．4．C解析：C【解析】【分析】【詳解】若由線面垂直的判定定理知,只有當(dāng)和為相交線時(shí),才有

錯(cuò)誤；若此時(shí)由線面平行的判定定理可知,只有當(dāng)在平面

外時(shí),才有錯(cuò)誤；由面面平行的性質(zhì)定理:若兩平面平行,第三個(gè)平面與他們都相交,則交線平行,可判斷,若，，，則為真命題,正確；若此時(shí)由面面平行的判定定理可知,只有當(dāng)、為相交線時(shí),才有錯(cuò)誤.故選C.考點(diǎn)：考查直線與直線，直線與平面，平面與平面的位置關(guān)系.5．C解析：C【解析】【分析】由三視圖知幾何體是一個(gè)側(cè)棱與底面垂直的三棱錐，底面是斜邊上的高為的等腰直角三角形，與底面垂直的側(cè)面是個(gè)等腰三角形，底邊長為，高為，故三棱錐的外接球與以棱長為的正方體的外接球相同，由此可得結(jié)論【詳解】由三視圖知幾何體是一個(gè)側(cè)棱與底面垂直的三棱錐，底面是斜邊上的高為的等腰直角三角形，與底面垂直的側(cè)面是個(gè)等腰三角形，底邊長為，高為，故三棱錐的外接球與以棱長為的正方體的外接球相同，其直徑為，半徑為三棱錐的外接球體積為故選【點(diǎn)睛】本題主要考查了三視圖，幾何體的外接球的體積，考查了空間想象能力，計(jì)算能力，屬于中檔題．6．B解析：B【解析】【分析】【詳解】試題分析：.由三視圖知幾何體為三棱柱削去一個(gè)三棱錐如圖：棱柱的高為5；底面為直角三角形，直角三角形的直角邊長分別為3、4，∴幾何體的體積V＝×3×4×5﹣××3×4×5＝20（cm3）．考點(diǎn)：1.三視圖讀圖的能力；2.幾何體的體積公式.7．A解析：A【解析】【分析】利用線面平行判定定理可知B、C、D均不滿足題意，從而可得答案．【詳解】對(duì)于B項(xiàng)，如圖所示，連接CD，因?yàn)锳B∥CD，M，Q分別是所在棱的中點(diǎn)，所以MQ∥CD，所以AB∥MQ，又AB?平面MNQ，MQ?平面MNQ，所以AB∥平面MNQ，同理可證，C，D項(xiàng)中均有AB∥平面MNQ.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查空間中線面平行的判定定理，利用三角形中位線定理是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．8．B解析：B【解析】【分析】當(dāng)P與A重合時(shí)，異面直線CP與BA1所成的角最大，由此能求出當(dāng)異面直線CP與BA1所成的角最大時(shí)，三棱錐C﹣PA1D1的體積．【詳解】如圖，當(dāng)P與A重合時(shí)，異面直線CP與BA1所成的角最大，∴當(dāng)異面直線CP與BA1所成的角最大時(shí)，三棱錐C﹣PA1D1的體積：=====．故選:B．【點(diǎn)睛】求錐體的體積要充分利用多面體的截面和旋轉(zhuǎn)體的軸截面，將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題求解，注意求體積的一些特殊方法——分割法、補(bǔ)形法、等體積法.①割補(bǔ)法：求一些不規(guī)則幾何體的體積時(shí)，常用割補(bǔ)法轉(zhuǎn)化成已知體積公式的幾何體進(jìn)行解決．②等積法：等積法包括等面積法和等體積法．等積法的前提是幾何圖形(或幾何體)的面積(或體積)通過已知條件可以得到，利用等積法可以用來求解幾何圖形的高或幾何體的高，特別是在求三角形的高和三棱錐的高時(shí)，這一方法回避了通過具體作圖得到三角形(或三棱錐)的高，而通過直接計(jì)算得到高的數(shù)值．9．D解析：D【解析】【分析】取的中點(diǎn)，連接，則,所以異面直線與所成角就是直線與所成角，在中，利用余弦定理，即可求解．【詳解】由題意，取的中點(diǎn)，連接，則,所以異面直線與所成角就是直線與所成角，設(shè)正三棱柱的各棱長為,則，設(shè)直線與所成角為，在中，由余弦定理可得，即異面直線與所成角的余弦值為，故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了異面直線所成角的求解，其中解答中把異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為相交直線所成的角是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．10．D解析：D【解析】【分析】先利用三角形中位線定理證明，再利用線面垂直的判定定理定義證明與垂直，由異面直線所成的角的定義證明與垂直，即可得出結(jié)論.【詳解】如圖：連接，，在三角形中，，故C正確．平面，，與垂直，故A正確；，，與垂直，B正確；∵，與不可能平行，D錯(cuò)誤故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方體中的線面關(guān)系，線線平行與垂直的證明，異面直線所成的角及其位置關(guān)系，熟記正方體的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.11．B解析：B【解析】【分析】根據(jù)題意，將圓和直線的參數(shù)方程變形為普通方程，分析可得圓心不在直線上，再利用點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算可得圓心到直線的距離，得到直線與圓的位置關(guān)系為相交．【詳解】根據(jù)題意，圓的參數(shù)方程為（為參數(shù)），則圓的普通方程為，其圓心坐標(biāo)為，半徑為2.直線的方程為（為參數(shù)），則直線的普通方程為，即，圓心不在直線上.∴圓心到直線的距離為，即直線與圓相交.故選A.【點(diǎn)睛】本題考查直線、圓的參數(shù)方程，涉及直線與圓的位置關(guān)系，解答本題的關(guān)鍵是將直線與圓的參數(shù)方程變形為普通方程.12．D解析：D【解析】【分析】根據(jù)已知條件和線面位置關(guān)系一一進(jìn)行判斷即可.【詳解】選項(xiàng)A：一條直線平行于兩個(gè)相交平面，必平行于兩個(gè)面交線，故A正確；選項(xiàng)B：垂直于兩垂直面的兩條直線相互垂直，故B正確；選項(xiàng)C：且得且，故C正確；選項(xiàng)D：且不一定得到，所以可以異面，不一定得到.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查的是空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系的判定，掌握線面、線線之間的判定定理和性質(zhì)定理是解決本題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題.二、填空題13．【解析】設(shè)球半徑為則故答案為點(diǎn)睛:空間幾何體體積問題的常見類型及解題策略：①若給定的幾何體是可直接用公式求解的柱體錐體或臺(tái)體則可直接利用公式進(jìn)行求解；②若所給定的幾何體的體積不能直接利用公式得出則常解析：【解析】設(shè)球半徑為，則．故答案為．點(diǎn)睛:空間幾何體體積問題的常見類型及解題策略：①若給定的幾何體是可直接用公式求解的柱體、錐體或臺(tái)體，則可直接利用公式進(jìn)行求解；②若所給定的幾何體的體積不能直接利用公式得出，則常用轉(zhuǎn)換法、分割法、補(bǔ)形法等方法進(jìn)行求解．14．【解析】【分析】因?yàn)橹本€l與已知直線垂直根據(jù)兩直線垂直時(shí)斜率的乘積為-1由已知直線的斜率求出直線l的斜率然后根據(jù)（-12）和求出的斜率寫出直線l的方程即可【詳解】因?yàn)橹本€2x-3y+9=0的斜率為所解析：【解析】【分析】因?yàn)橹本€l與已知直線垂直，根據(jù)兩直線垂直時(shí)斜率的乘積為-1，由已知直線的斜率求出直線l的斜率，然后根據(jù)（-1，2）和求出的斜率寫出直線l的方程即可．【詳解】因?yàn)橹本€2x-3y+9=0的斜率為，所以直線l的斜率為，則直線l的方程為：，化簡得.即答案為．【點(diǎn)睛】本題考查學(xué)生掌握兩直線垂直時(shí)斜率的關(guān)系，會(huì)根據(jù)一點(diǎn)和斜率寫出直線的點(diǎn)斜式方程，是一道基礎(chǔ)題．15．【解析】【分析】先確定軌跡再根據(jù)射線上點(diǎn)與圓的位置關(guān)系求最值即得結(jié)果【詳解】所以為以為圓心為半徑的圓及其內(nèi)部設(shè)射線的端點(diǎn)為所以的最小值為故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查動(dòng)點(diǎn)軌跡以及點(diǎn)與圓位置關(guān)系考查數(shù)形結(jié)解析：【解析】【分析】先確定軌跡，再根據(jù)射線上點(diǎn)與圓的位置關(guān)系求最值，即得結(jié)果.【詳解】，所以為以為圓心，為半徑的圓及其內(nèi)部，設(shè)射線的端點(diǎn)為，所以的最小值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查動(dòng)點(diǎn)軌跡以及點(diǎn)與圓位置關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合思想以及基本分析求解能力，屬中檔題.16．【解析】【分析】兩圓關(guān)于直線對(duì)稱即圓心關(guān)于直線對(duì)稱則兩圓的圓心的連線與直線垂直且中點(diǎn)在直線上圓的半徑也為即可求出參數(shù)的值【詳解】解：因?yàn)閳A：即圓心半徑由題意得與關(guān)于直線對(duì)稱則解得圓的半徑解得故答案為解析：【解析】【分析】兩圓關(guān)于直線對(duì)稱即圓心關(guān)于直線對(duì)稱，則兩圓的圓心的連線與直線垂直且中點(diǎn)在直線上，圓的半徑也為，即可求出參數(shù)的值.【詳解】解：因?yàn)閳A：，即，圓心，半徑，由題意，得與關(guān)于直線對(duì)稱，則解得，，圓的半徑，解得.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查圓關(guān)于直線對(duì)稱求參數(shù)的值，屬于中檔題.17．③④【解析】關(guān)于①也會(huì)有的結(jié)論因此不正確；關(guān)于②也會(huì)有異面的可能的結(jié)論因此不正確；容易驗(yàn)證關(guān)于③④都是正確的故應(yīng)填答案③④解析：③④【解析】關(guān)于①,也會(huì)有的結(jié)論,因此不正確；關(guān)于②,也會(huì)有異面的可能的結(jié)論,因此不正確；容易驗(yàn)證關(guān)于③④都是正確的,故應(yīng)填答案③④.18．4【解析】試題分析：圓的圓心為圓心到直線的距離為所以點(diǎn)到直線的距離的最小值是5-1=4考點(diǎn)：直線和圓的位置關(guān)系解析：4【解析】試題分析：圓的圓心為，圓心到直線的距離為，所以點(diǎn)到直線的距離的最小值是5-1=4考點(diǎn)：直線和圓的位置關(guān)系19．【解析】【分析】將多面體分為四棱錐與三棱錐兩部分相加求和即可【詳解】如圖將多面體分為四棱錐與三棱錐兩部分其中四棱錐的高為為梯形則故多面體體積為故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了多面體體積的求解方法根據(jù)解析：【解析】【分析】將多面體分為四棱錐與三棱錐兩部分相加求和即可.【詳解】如圖,將多面體分為四棱錐與三棱錐兩部分.其中四棱錐的高為.為梯形.則..故多面體體積為故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了多面體體積的求解方法,根據(jù)多面體的特征分為兩個(gè)棱錐計(jì)算即可.屬于中檔題.20．【解析】分析：設(shè)圓錐底面半徑為則高為母線長為由圓錐側(cè)面積為可得結(jié)合利用三角形面積公式可得結(jié)果詳解：設(shè)圓錐底面半徑為則高為母線長為因?yàn)閳A錐側(cè)面積為設(shè)正方形邊長為則正四棱錐的斜高為正四棱錐的側(cè)面積為故答解析：.【解析】分析：設(shè)圓錐底面半徑為，則高為，母線長為，由圓錐側(cè)面積為，可得，結(jié)合，利用三角形面積公式可得結(jié)果.詳解：設(shè)圓錐底面半徑為，則高為，母線長為，因?yàn)閳A錐側(cè)面積為，，，設(shè)正方形邊長為，則，正四棱錐的斜高為，正四棱錐的側(cè)面積為，故答案為.點(diǎn)睛：本題主要考查圓錐的性質(zhì)、正四棱錐的性質(zhì)，以及圓錐的側(cè)面積、正四棱錐的側(cè)面積，屬于中檔題，解答本題的關(guān)鍵是求得正四棱錐底面棱長與圓錐底面半徑之間的關(guān)系.三、解答題21．（1）；（2）點(diǎn)坐標(biāo)為、【解析】【分析】（1）利用兩點(diǎn)式求得邊所在直線方程；（2）利用點(diǎn)到直線的距離公式求得到直線的距離，根據(jù)面積以及點(diǎn)在直線上列方程組，解方程組求得點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】（1）由、得邊所在直線方程為，即.（2），到邊所在直線的距離為，由于在直線上，故，即，解得或.【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用兩點(diǎn)式求直線方程，考查點(diǎn)到直線的距離公式，考查三角形面積公式，屬于基礎(chǔ)題.22．（1）見詳解；（2）見詳解；（3）.【解析】【分析】(1)先證，可證平面.(2)先證，得，結(jié)合可證得平面.(3)等積轉(zhuǎn)換，由，可求得體積.【詳解】(1)證明：因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，為的中點(diǎn)，所以是的中位線，.又，，所以.(2)證明：因?yàn)闉檎切?，為的中點(diǎn)，所以.又，所以.又因?yàn)?，，所?因?yàn)?，所?又因?yàn)椋?，所?(3)因?yàn)?，，所以，即是三棱錐的高.因?yàn)?，為的中點(diǎn)，為正三角形，所以.由，可得，在直角三角形中，由，可得.于是.所以.【點(diǎn)睛】本題考查空間線面平行與垂直的證明，體積的計(jì)算.空間中的平行與垂直的證明過程就是利用相關(guān)定義、判定定理和性質(zhì)定理實(shí)現(xiàn)線線平行(垂直)、線面平行(垂直)、面面平行(垂直)的轉(zhuǎn)換.求三棱錐的體積常采用等積轉(zhuǎn)換的方法，選擇易求的底面積和高來求體積.23．（1）或;（2）.【解析】【分析】（1）把代入圓的方程中，可得圓心坐標(biāo)和半徑，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，可得，此時(shí)和圓相切符合題意；當(dāng)直線斜率存在時(shí)，由點(diǎn)斜式設(shè)出直線方程，由圓心到直線的距離等于半徑可得，進(jìn)而可求出，則切線方程可求.（2）由兩圓外切可知圓心距為半徑之和，即可求出的值，從而可得，求出點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)為，求出的值，即可求出所求路線的最小值.【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，圓，即，當(dāng)切線斜率不存在時(shí)，直線，點(diǎn)到直線l距離為3，等于半徑，符合題意.當(dāng)切線斜率存在時(shí)，設(shè)直線，即，由題意點(diǎn)到直線l距離等于半徑，即，解得.，整理得.綜上：切線方程為或.（2）圓，則圓心為，半徑.圓，則圓心，半徑.圓M和圓N相外切，即，.此時(shí)圓，圓心，半徑.由點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)為，，所走路線的最小值為.【點(diǎn)睛】本題考查了直線與圓位置關(guān)系的應(yīng)用，考查了圓圓的位置關(guān)系的應(yīng)用.由直線和圓相切可得等量關(guān)系為，圓心到直線的距離等于半徑；由圓圓外切可得等量關(guān)系為，圓心距為兩圓的半徑之和.本題的易錯(cuò)點(diǎn)是，在求第一問的切線方程時(shí)，沒討論直線斜率不存在的情況.24．（1）見解析；（2）.【解析