2024-2025學(xué)年湖北省武漢市高三上冊12月聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測試題（含解析）

2024-2025學(xué)年湖北省武漢市高三上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測試題一、單選題1．設(shè)全集，集合，集合，則集合（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求集合，求出，再與集合求并集.【詳解】由不等式，解得或，∴，∴，∴.故選：D.2．中文“函數(shù)”一詞，最早是由清代數(shù)學(xué)家李善蘭翻譯而得，之所以這么翻譯，他給出的原因是“凡此變數(shù)中函彼變數(shù)者，則此為彼之函數(shù)”，也即函數(shù)指一個量隨著另一個量的變化而變化，下列選項(xiàng)中是同一個函數(shù)的是（）A． B．C． D．和【答案】B【分析】先求函數(shù)的定義域，定義域不同則不是同一個函數(shù)，定義域相同再看對應(yīng)關(guān)系是否相同，對應(yīng)關(guān)系相同則是同一個函數(shù)，對應(yīng)關(guān)系不同則不是同一個函數(shù).【詳解】對于A，和定義域均為R，，故和定義域相同，對應(yīng)關(guān)系不同，和不是同一個函數(shù)，故A錯誤；對于B，和定義域均為R，，故和定義域相同，對應(yīng)關(guān)系相同，和是同一個函數(shù)，故B正確；對于C，定義域?yàn)槎x域?yàn)?，故和定義域不相同，和不是同一個函數(shù)，故C錯誤；對于D，定義域?yàn)槎x域?yàn)?故和定義域不相同，和不是同一個函數(shù)，故D錯誤；故選：B.3．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量分別是，則復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】寫出，利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則計(jì)算出，確定對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，得到答案.【詳解】由題意得，則，對應(yīng)的點(diǎn)為，位于第三象限.故選：C4．已知向量，滿足，，，則（

）A． B． C．3 D．2【答案】A【分析】將分別進(jìn)行平方，借助的值聯(lián)系起它們的關(guān)系，從而求解.【詳解】由題知，，則，，則.故選：A5．已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)與的大小關(guān)系比較即可【詳解】依題意得，，，，所以，故，故選：B.6．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)已知條件即可求得，代入即可求得.【詳解】由，則，化簡得，所以，由.故選：B7．已知雙曲線：的左?右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在的左支上，過點(diǎn)作的一條漸近線的垂線，垂足為，則當(dāng)取最小值10時，面積的最大值為（

）A．25 B． C． D．【答案】B【分析】先利用定義判斷，，三點(diǎn)共線時取最值計(jì)算得，再結(jié)合基本不等式求得的最大值，即得面積的最大值.【詳解】由題意得，故，如圖所示，則，當(dāng)且僅當(dāng)，，三點(diǎn)共線時取等號，∴的最小值為，∴，即，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，而到漸近線的距離，又，故，∴，即面積的最大值為.故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題關(guān)鍵在于利用雙曲線的定義將轉(zhuǎn)移到的最值，即可知三點(diǎn)共線時去最值得到關(guān)系，才能再借用基本不等式求的面積的最值.8．設(shè)函數(shù)，若，且的最小值為，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】作出的大致圖象，令，結(jié)合圖象得到的范圍，再將所求轉(zhuǎn)化為關(guān)于的表達(dá)式，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)即可得解.【詳解】因?yàn)?，作出的大致圖象，如圖，

令，由圖象可得，因?yàn)椋?，即，則，令，則，令，解得，當(dāng)，即時，，則，單調(diào)遞減，則，解得，符合；當(dāng)，即時，當(dāng)時，；當(dāng)時，；故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，則，解得，不符合；綜上，.故選：B.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查雙變量問題的函數(shù)與方程的應(yīng)用，解決這種題的常見方法是利用換元法將變量轉(zhuǎn)化為只有1個變量，注意利用數(shù)形結(jié)合考慮變量的取值范圍.二、多選題9．下列選項(xiàng)中正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】AD【分析】由不等式性質(zhì)判斷A，取特殊值判斷BC，利用作差法判斷D.【詳解】由不等式的性質(zhì)知，，則，故A正確；當(dāng)時，，但，故B錯誤；當(dāng)時，，但，故C錯誤；因?yàn)?，，所以，，所以，即，故D正確.故選：AD10．函數(shù)fx=?sinx2，gx=3sin?(ωx+πA.ω=116B.ω=2C..ω=ABC11．在邊長為6的菱形中，，現(xiàn)將沿折起到的位置，使得二面角是銳角，則三棱錐的外接球的表面積可以是（

）A． B．48π C．50π D．【答案】ACD【分析】作出二面角的平面角，利用球的性質(zhì)確定外接球球心位置，求出球的半徑，再由角的范圍得出半徑的范圍，即可求出外接球表面積的范圍.【詳解】如圖，由菱形邊長為6，，可知是邊長為6的正三角形，取的中點(diǎn)為，連接，則,所以是二面角的平面角，設(shè)，外接球球心為，取分別為靠近的三等分點(diǎn)，連接,則平面，平面，連接，因?yàn)椋栽谥?，，即，所以，由，可知，所以，故，所?結(jié)合選項(xiàng)可知，ACD符合，B不符合.故選：ACD三、填空題12．若直線與直線平行，則實(shí)數(shù).【答案】?2【分析】根據(jù)兩條直線平行的系數(shù)關(guān)系列方程組計(jì)算求參即可.【詳解】因?yàn)橹本€與直線平行，所以，所以，且且所以.故答案為：.13．已知等差數(shù)列（）中，，成等比數(shù)列，，則.【答案】25或13；【分析】設(shè)公差為，由已知條件求得后，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得結(jié)論．【詳解】設(shè)公差為，因?yàn)?，，成等比?shù)列，所以，即，所以或，若，則，，則，，，，故答案為：13或25.14．已知拋物線，過B的直線交W于M，N兩點(diǎn)，若四邊形AMCN為等腰梯形，則它的面積為．【答案】【分析】解法一：由幾何性質(zhì)可知：，設(shè)直線MN為，聯(lián)立方程結(jié)合韋達(dá)定理可得，即可得，進(jìn)而可求面積；解法二：根據(jù)題意結(jié)合二級結(jié)論可知，分析可知點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為1，，即可得結(jié)果.【詳解】易知M，N的位置交替不影響結(jié)論，不妨令圖像如圖所示以方便研究，解法一：由等腰梯形的性質(zhì)得：，相似比為，所以，設(shè)直線MN為，與拋物線方程聯(lián)立，得，所以，，解得，代入得，又因?yàn)椋晒垂啥ɡ砜纱_定，可得，所以AMCN為等腰梯形的面積為；解法二：（二級結(jié)論）由題可知，點(diǎn)A、B關(guān)于拋物線頂點(diǎn)對稱，且弦MN經(jīng)過點(diǎn)B，則，（二級結(jié)論）又因?yàn)锳MCN為等腰梯形，所以，則，故，即點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為1，又因?yàn)椋?，且，所以AMCN為等腰梯形的面積為；故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：在解決直線與圓錐曲線相交，所得弦端點(diǎn)的有關(guān)的比例問題時，一般需利用相應(yīng)的知識，將該關(guān)系轉(zhuǎn)化為端點(diǎn)坐標(biāo)滿足的數(shù)量關(guān)系，再將其用橫(縱)坐標(biāo)的方程表示，從而得到參數(shù)滿足的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而求解．四、解答題15．記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知.(1)求A；(2)若，，求的周長.【答案】(1)(2)6【分析】（1）由三角恒等變換得到，得到；（2）由正弦定理和，得到，由（1）知，，由余弦定理得到方程，求出，進(jìn)而，得到三角形周長.【詳解】（1）由得，，即，故，因?yàn)?，所以，即，因?yàn)锽∈0,π，所以，故，因?yàn)?，所以；?），由正弦定理得，因?yàn)?，所以，由?）知，，由余弦定理得，解得，故，所以，所以的周長為.16．如圖，四棱錐的底面為直角梯形，，，，，為等邊三角形，平面平面，，為的中點(diǎn)．(1)證明：平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)．【分析】（1）由等邊三角形三線合一得到，在直角梯形中通過已知邊和角求得長，由勾股定理得到長，再由勾股定理逆定理得到，結(jié)合面面垂直，得到平面，然后得到，然后得證平面；（2）由（1）得到三條兩兩垂直的直線，以這三條線建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)坐標(biāo)和向量坐標(biāo)，從而求得平面的法向量的坐標(biāo)，由軸⊥平面直接寫出平面法向量，由空間向量的關(guān)系求得面面角的余弦值.【詳解】（1）因?yàn)闉榈冗吶切?，為的中點(diǎn)，所以．過作，垂足為，因?yàn)榈酌鏋橹苯翘菪危?，，，，所以，則，由得，所以因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面平面，平面，所以平面．因?yàn)槠矫?，所以．又，平面，所以平面．?）由（1）可知，，，兩兩垂直，以為原點(diǎn)，過且平行于的直線為軸，，所在直線分別為軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，設(shè)平面的法向量為m=x,y,z則，令，則，由（1）可知，軸⊥平面，不妨取平面的法向量為，則，故平面與平面夾角的余弦值為．17．若橢圓過拋物線的焦點(diǎn)，且與雙曲線有相同的焦點(diǎn)．(1)求橢圓的方程；(2)不過原點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e為時，求直線的方程．【答案】(1)(2)或【分析】（1）根據(jù)拋物線和雙曲線的焦點(diǎn)，結(jié)合橢圓的幾何性質(zhì)即可求解，（2）聯(lián)立直線于橢圓方程，根據(jù)弦長公式以及點(diǎn)到直線的距離公式，即可由面積求解.【詳解】（1）拋物線的焦點(diǎn)為雙曲線的焦點(diǎn)為依題意可得，，則，所以橢圓的方程為；（2）根據(jù)題意，設(shè)，聯(lián)立直線與橢圓方程，可得，消去并整理可得，，則，，由弦長公式可得，，又點(diǎn)到直線的距離為，依題意，令，當(dāng)且僅當(dāng)，即或，此時均滿足，的面積取得最大值為,此時直線l的方程為或即或18．已知函數(shù)．(1)求證：；(2)過點(diǎn)作直線與函數(shù)的圖象均相切，求實(shí)數(shù)的值；(3)已知，若存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的最大值．【答案】(1)證明見解析；(2)；(3).【分析】（1）等價(jià)變形所證不等式，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出最大值即得.（2）設(shè)出直線與函數(shù)圖象相切的切點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)求出切線方程，再與聯(lián)立結(jié)合判別式求出值.（3）結(jié)合（1）的結(jié)論，按分類，借助導(dǎo)數(shù)討論得解.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋坏仁?，令，求?dǎo)得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，即，因此，所以.（2）依題意，，設(shè)直線與函數(shù)圖象相切的切點(diǎn)為，則切線的方程為：，又直線過點(diǎn)，于是，整理得，即，令，求導(dǎo)得，即在上單調(diào)增，又，因此，切線的方程為，由與函數(shù)的圖象相切，得，即，于是，解得，所以實(shí)數(shù)的值是.（3）①當(dāng)時，，則，使，符合題意；②當(dāng)時，，，則，又由（1）知，，因此，不合題意；③當(dāng)時，令，當(dāng)時，，則，當(dāng)時，，則，則，令，求導(dǎo)得，由，得時；由，得時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因此，即當(dāng)時，不合題意，所以的最大值為.19．已知等差數(shù)列，若存在有窮等比數(shù)列，滿足，其中，則稱數(shù)列為數(shù)列的長度為的“等比伴隨數(shù)列”．(1)數(shù)列的通項(xiàng)公式為，寫出數(shù)列的一個長度為的“等比伴隨數(shù)列”；(2)等差數(shù)列的公差為，若存在長度為的“等比伴隨數(shù)列”，其中，求的最大值；(3)數(shù)列的通項(xiàng)公式為，數(shù)列為數(shù)列的長度為的“等比伴隨數(shù)列”，其中，求的最大值．【答案】(1)（答案不唯一）(2)(3)【分析】（1）根據(jù)“等比伴隨數(shù)列”的定義選取等比數(shù)列驗(yàn)證即可；（2）根據(jù)“等比伴隨數(shù)列”的定義列出不等式組，兩兩聯(lián)立然后求解出的取值范圍，則最大值可確定；（3）先分析的情況，當(dāng)時，將問題轉(zhuǎn)化為“”，利用導(dǎo)數(shù)思想構(gòu)造函數(shù)分別求解出對應(yīng)最值，由此可確定出關(guān)于的不等式，再通過構(gòu)造關(guān)于的函數(shù)，分析其單調(diào)性和取值正負(fù)，從而確定出的最大值.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以?shù)列滿足要求，所以數(shù)列的一個長度為的“等比伴隨數(shù)列”為（答案不唯一）.（2）由題意可知，，所以，聯(lián)立，所以，即，聯(lián)立，所以，即，聯(lián)立，所以，即，由上可知，，當(dāng)時，取的前項(xiàng)為，經(jīng)驗(yàn)證可知滿足條件，綜上所述，.（3）設(shè)數(shù)列的公比為，由題意可知，對，當(dāng)時，恒成立，即對恒成立，即對恒成立，當(dāng)時，解得，當(dāng)時，解得，當(dāng)時，則有，所以