（寒假）人教A版高二數(shù)學(xué)寒假培優(yōu)講義+隨堂檢測(cè)+課后練習(xí) 第03講 數(shù)列求和方法（原卷版）

第第頁(yè)第03講數(shù)列求和方法一．公式法：直接利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求和．1.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式Sn＝eq\f(n（a1＋an）,2)＝na1＋eq\f(n（n－1）,2)d．2.等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式Sn＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(na1，q＝1，,\f(a1（1－qn）,1－q)＝\f(a1－anq,1－q)，q≠1.))二．裂項(xiàng)相消法1.通項(xiàng)特征（1）分式：分為可拆成偶數(shù)個(gè)同類因式相乘（2）根式：利用平方差公式進(jìn)行有理化2.解題思路三．錯(cuò)位相減法1.通項(xiàng)特征或2.解題思路四．分組轉(zhuǎn)化求和法1.通項(xiàng)特征(1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}為等差或等比數(shù)列，可采用分組求和法求{an}的前n項(xiàng)和．(2)若an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(bn，n為奇數(shù)，,cn，n為偶數(shù)，))且數(shù)列{bn}，{cn}是等比數(shù)列或等差數(shù)列，可采用分組求和法求和．2.解題思路五．并項(xiàng)求和法：一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項(xiàng)求和1.通項(xiàng)特征形如an＝(－1)nf(n)類型，可采用兩項(xiàng)合并求解．2.解題思路五．倒序相加法如果一個(gè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)中，與首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等，那么求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用倒序相加法求解1．并項(xiàng)求和時(shí)不能準(zhǔn)確分組；2．用錯(cuò)位相減法求和時(shí)易出現(xiàn)符號(hào)錯(cuò)誤，不能準(zhǔn)確“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”；3．在應(yīng)用裂項(xiàng)相消法求和時(shí)，要注意消項(xiàng)的規(guī)律具有對(duì)稱性，即前面剩多少項(xiàng)，后面就剩多少項(xiàng)，且前后對(duì)應(yīng)項(xiàng)的符號(hào)相反．考法一裂項(xiàng)相消求和【例1-1】已知等差數(shù)列的公差為正數(shù)，且，若分別是等比數(shù)列的前三項(xiàng)．(1)分別求數(shù)列、的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)之和．【例1-2】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【一隅三反】1．定義：對(duì)于任意一個(gè)有窮數(shù)列，第一次在其每相鄰的兩項(xiàng)間都插人這兩項(xiàng)的和，得到的新數(shù)列稱之為一階和數(shù)列，如果在一階和數(shù)列的基礎(chǔ)上再在其相鄰的兩項(xiàng)間插入這兩項(xiàng)的和稱之為二階和數(shù)列，以此類推可以得到n階和數(shù)列，如的一階和數(shù)列是，設(shè)它的n階和數(shù)列各項(xiàng)和為．(1)試求的二階和數(shù)列各項(xiàng)和與三階和數(shù)列各項(xiàng)和，并猜想的通項(xiàng)公式（無(wú)需證明）；(2)若，求的前n項(xiàng)和，并證明：．2．已知數(shù)列滿足．(1)證明為等差數(shù)列，并的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．3.設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，且滿足．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，當(dāng)時(shí)，．若對(duì)于任意，有，求取值范圍．考法二錯(cuò)位相減求和【例2】已知數(shù)列滿足，（）.記(1)求證：是等比數(shù)列；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【一隅三反】1．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.2.記正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，且，數(shù)列滿足，．(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．考法三分組轉(zhuǎn)化求和【例3-1】已知等差數(shù)列滿足，．(1)求；(2)數(shù)列滿足，為數(shù)列的前項(xiàng)和，求．【一隅三反】1．設(shè)為公差不為0的等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若成等比數(shù)列，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.2．已知是等差數(shù)列，，，且，，成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)令，記，求.考法四并項(xiàng)求和【例4-1】在數(shù)列中，，當(dāng)時(shí)，(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求【例4-2】已知數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，，且成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前2023項(xiàng)和.【一隅三反】1．已知數(shù)列的前項(xiàng)和，其中，且.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前2023項(xiàng)和.2．記為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，且滿足.(1)證明：數(shù)列為等差數(shù)列；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.考法五倒序相加求和【例5】高斯（Gauss）被認(rèn)為是歷史上最重要的數(shù)學(xué)家之一，并享有“數(shù)學(xué)王子”之稱．小學(xué)進(jìn)行的求和運(yùn)算時(shí)，他這樣算的：，，…，，共有50組，所以，這就是著名的高斯算法，課本上推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的方法正是借助了高斯算法．已知正數(shù)數(shù)列是公比不等于1的等比數(shù)列，且，試根據(jù)以上提示探求：若，則（

）A．2023 B．4046 C．2022 D．4044【一隅三反】1．已知函數(shù)為奇函數(shù)，且，若，則數(shù)列的前2022項(xiàng)和為（

）A．2023 B．2022 C．2021 D．20202．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，設(shè)函數(shù)，則______．?dāng)?shù)列章節(jié)檢測(cè)一、單選題1．設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則（

）A．44 B．48 C．55 D．722．設(shè)是公差大于零的等差數(shù)列，為數(shù)列的前項(xiàng)和，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．在等比數(shù)列中，公比，且，則（

）A．3 B．12 C．18 D．244．已知數(shù)列各項(xiàng)為正數(shù)，滿足，，則（

）A．是等差數(shù)列 B．是等比數(shù)列C．是等差數(shù)列 D．是等比數(shù)列5．已知正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，則（

）A．B．C．D．6．已知函數(shù)，數(shù)列滿足，，，則（

）A．0 B．1 C．675 D．2023二、多選題7．對(duì)于數(shù)列，若，，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列C．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列 D．8．已知數(shù)列滿足為的前項(xiàng)和．則下列說(shuō)法正確的是（

）A．取最大值時(shí)， B．當(dāng)取最小值時(shí)，C．當(dāng)取最大值時(shí)， D．的最大值為三、填空題9.已知數(shù)列滿足，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則.10．已知各項(xiàng)都不為0的數(shù)列的前項(xiàng)和滿足，其中，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若對(duì)一切，恒有成立，則能取到的最大整數(shù)是.四、解答題11．在①為等差數(shù)列，；②；③是等差數(shù)列，，，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并加以解答.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，__________.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.12．已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，記的前項(xiàng)和為，證明：．13．已知數(shù)列中，，，（），，，，成等差數(shù)列．(1)求k的值和的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．?dāng)?shù)列求和隨堂檢測(cè)1.已知等差數(shù)列與等差數(shù)列的前項(xiàng)和分別為和，且，那么的值為（

）A． B． C． D．2.在數(shù)列中，，數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，設(shè)為的前n項(xiàng)和，則（

）A．B．C．?dāng)?shù)列為遞減數(shù)列D．3.已知數(shù)列滿足，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為．4.已知數(shù)列是等差數(shù)列，，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．5.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，．(1)證明：是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)積．5.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，．(1)