（寒假）人教A版高二數(shù)學寒假培優(yōu)講義+隨堂檢測+課后練習 第04講 空間向量（教師版）

資料整理【淘寶店鋪：向陽百分百】第第頁資料整理【淘寶店鋪：向陽百分百】第04講空間向量空間角空間角的概念及范圍空間角解題思路夾角范圍線線角設兩異面直線l1，l2所成的角為θ，其方向向量分別為則線面角l為平面α的斜線，為l的方向向量，為平面α的法向量，φ為l與α所成的角，則eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))二面角平面α的法向量為，平面β的法向量為，〈，〉＝θ，設二面角大小為φ，則一．異面直線所成的角1.幾何法:平移法求異面直線所成的角(1)作：根據(jù)定義作平行線，作出異面直線所成的角；（2）證：證明作出的角是異面直線所成的角；（3）求：解三角形，求出所作的角．如果求出的角是銳角或直角，則它就是要求的角；如果求出的角是鈍角，則它的補角才是要求的角．2.向量法(1)建立空間直角坐標系；(2)用坐標表示兩異面直線的方向向量；(3)利用向量的夾角公式求出向量夾角的余弦值；(4)注意兩異面直線所成角的范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，即兩異面直線所成角的余弦值等于兩向量夾角的余弦值的絕對值.二．直線與平面所成角1.幾何法一作(找)角，二證明，三計算，其中作(找)角是關鍵，先找出斜線在平面上的射影，關鍵是作垂線，找垂足，然后把線面角轉化到三角形中求解.2.向量法（1）斜線的方向向量（2）平面的法向量（3）斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角（或鈍角的補角），取其余角就是斜線和平面所成的角.三．二面角1.幾何法方法一：定義法：找出二面角的平面角方法二：垂面法，即在一個半平面內(nèi)找一點作另一個半平面的垂線，再過垂足作二面角的棱的垂線，兩條垂線確定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角.2.向量法（1）找法向量：分別求出二面角的兩個半平面所在平面的法向量，然后通過兩個平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結合實際圖形判斷所求角的大??；（2）找與棱垂直的方向向量：分別在二面角的兩個半平面內(nèi)找到與棱垂直且以垂足為起點的兩個向量，則這兩個向量的夾角的大小就是二面角的大小.空間距離一．點到線的距離1.概念：過一點作垂直于已知平面的直線，則該點與垂足間的線段，叫做這個點到該平面的垂線段，垂線段的長度叫做這個點到該平面的距離；設AP＝，直線l的一個單位方向向量為，則向量AP在直線l上的投影向量AQ＝，在Rt△APQ中，由勾股定理，得PQ＝|AP|2-|AQ二．兩異面直線間的距離：即兩條異面直線公垂線段的長度.三．點到平面的距離：已知平面α的法向量為，A是平面α內(nèi)的定點，P是平面α外一點.過點P作平面α的垂線l，交平面α于點Q，則是直線l的方向向量，且點P到平面α的距離就是AP在直線l上的投影向量QP的長度.因此四．直線到平面的距離：一條直線與一個平面平行時，這條直線上任意一點到這個平面的距離，叫做這條直線到這個平面的距離；五．兩個平面間的距離：如果兩個平面平行，那么其中一個平面內(nèi)的任意一點到另一個平面的距離都相等，我們把它叫做這兩個平行平面間的距離.一．求點面距常見方法方法一：作點到面的垂線，點到垂足的距離即為點到平面的距離方法二：等體積法方法三：向量法二.向量法求兩異面直線的距離分別以這兩條異面直線上任意兩點為起點和終點的向量為，與這兩條異面直線都垂直的法向量為，則兩條異面直線間的距離就是在方向上的正射影向量的模，設為d，從而由公式求解.考法一線線角【例1-1】如圖四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，且各棱長均相等，E是PB的中點，則異面直線AE與PC所成角的余弦值為（

）

A． B． C． D．【答案】A【解析】連接與交于點，連接，由題意得，，且平面，以點為原點，建立如圖所示空間直角坐標系，

設四棱錐各棱長均為2，則，，可得，則，設異面直線與所成角為，則．故選：A．【一隅三反】1．在長方體中，，，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】連接，

，，四邊形為平行四邊形，，異面直線與所成角即為直線與所成角，即（或其補角）；，，，，即異面直線與所成角的余弦值為.故選：C.考法二線面角【例2-1】如圖，在底面為菱形的四棱錐中，，．

(1)求證：平面平面ABCD；(2)已知，求直線BN與平面ACN所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析；(2)【解析】（1）證明：取AD的中點為O，連結OM，OB，因為四邊形ABCD是為菱形，且，所以為正三角形，所以，且．因為，所以，所以，又因為，所以，所以，因為，平面ABCD，平面ABCD，所以平面ABCD，又因為平面MAD，所以平面平面ABCD．（2）由（1）知，OA，OB，OM兩兩垂直，故以O為坐標原點，分別以，，為x，y，z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系．

則，，，，，所以，，，設平面ACN的一個法向量為，則，即，取，則．因為，則，所以直線BN與平面ACN所成角的正弦值為．【一隅三反】1．如圖，在三棱柱中，底面，，，分別為，的中點．

(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明詳見解析；(2)【解析】（1）連接，由于分別為，的中點，所以，由于平面，平面,所以平面.（2）由于底面，，所以底面底面，所以，由于，所以兩兩相互垂直，以為原點，建立如圖所示空間直角坐標系，，，設平面，即平面的法向量為，則，故可設.設直線與平面所成角為，則.

2．如圖，為圓錐的頂點，A，為底面圓上兩點，，為中點，點在線段上，且.

(1)證明：平面平面；(2)若，求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析；(2)【解析】（1）設圓O的半徑為r，在中，，，，故，又，故，在中，由余弦定理得，所以，即；圓錐中，底面，底面，故，又，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）以為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，不妨設，則，，則，，，，，，，，設平面的一個法向量為，有，即，解得，設直線與平面所成角為，則.

考法三二面角【例3-1】如圖，在多面體ABCDE中，平面BCD，平面平面BCD，其中是邊長為2的正三角形，是以為直角的等腰三角形，.

(1)證明：平面BCD.(2)求平面ACE與平面BDE的夾角的余弦值.【答案】(1)證明見解析；(2)【解析】（1）取CD的中點F，連接EF，BF.因為是邊長為2的正三角形，所以，且.因為平面平面BCD，且平面平面，平面ECD，所以平面BCD.因為平面BCD，所以.因為，所以四邊形ABFE為平行四邊形，所以.因為平面BCD，平面BCD，所以平面BCD.（2）過點B作，以B為坐標原點，分別以，，的方向為x，y，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，，，，，故，，，.設平面ACE的法向量為，則，令，得.設平面BDE的法向量為，則，令，得.設平面ACE與平面BDE的夾角為，則.【一隅三反】1．在直三棱柱中，側面為正方形，，E，F(xiàn)分別為AC和的中點，.

(1)證明：.(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析；(2)【解析】（1）證明：因為側面為正方形，所以，因為，，平面，所以平面，因為平面，所以，所以，所以在直三棱柱中，,所以，因為，側面為正方形，所以，，因為E，F(xiàn)分別為AC和的中點，所以，所以，所以，因為，所以∽，所以，因為，所以，所以，所以，因為，為的中點，所以,因為平面，平面，所以，因為，平面，所以平面，因為平面，所以，因為，平面，所以平面，因為平面，所以，（2）解：由（1）可知兩兩垂直，所以以為原點，所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標系，則，因為E，F(xiàn)分別為AC和的中點，所以，所以，因為平面，所以平面的一個法向量為，設平面的法向量為，則，令，則，設二面角的平面角為，由圖可知為銳角，則，所以二面角的余弦值為.

3．如圖，在三棱柱中，已知平面，且.

(1)求的長；(2)若為線段的中點，求二面角的余弦值.【答案】(1)2；(2)【解析】（1）連接，因為平面，平面，則，又因為，平面，所以平面，且平面，可得，因為為平行四邊形，且，則為矩形，所以正方形，可得.（2）根據(jù)題意將三棱柱轉化為正四棱柱，取的中點，連接，則三點共線，且//，因為//，可得//，所以平面即為平面，同理平面即為平面，因為//，平面，則平面，且平面，則，所以二面角的平面角為，可得，在中，則，所以二面角的余弦值為.

.考法四動點問題求角【例4】如圖，已知直角梯形與，，，，AD⊥AB，，G是線段上一點.(1)平面⊥平面ABF(2)若平面⊥平面，設平面與平面所成角為，是否存在點G，使得，若存在確定G點位置；若不存在，請說明理由.【答案】(1)證明見解析；(2)存在，點G為BF中點【解析】（1）因為，，，AF、AB平面ABF，所以AD⊥平面ABF，又AD平面ABCD，所以平面⊥平面ABF.（2）由面⊥面，，面面，面，所以平面，AB在面ABCD內(nèi)，則，結合已知建立如下空間直角坐標系，則，設，得，平面的法向量為，又，設平面的法向量為，則，取，則，故=，解得=，（舍），所以點G的坐標為，故存在點G為BF中點時使得.【一隅三反】1．已知四棱錐，底面為菱形平面，為上一點.(1)平面平面，證明：；(2)當二面角的余弦值為時，試確定點的位置.【答案】(1)證明見解析；(2)點為棱中點【解析】（1）證明：因為平面平面，所以平面，又因為平面平面，所以.（2）取中點，則，以為坐標原點，所在直線分別為軸、軸、軸建立如圖所示空間直角坐標系.所以，設，所以，設平面的法向量，則有，即令，則.平面的一個法向量為，所以.解得，即當點為棱中點時滿足條件.2．如圖1，在平面圖形中，，，，，沿將折起，使點到的位置，且，，如圖2.

(1)求證：平面平面.(2)線段上是否存在點，使得平面與平面所成角的余弦值為?若存在，求出的長；若不存在，請說明理由.【答案】(1)證明見解析；(2)線段FG上存在點M，【解析】（1）證明：因為，所以，又因為，所以，因為，且，所以四邊形為等腰梯形，又因為，所以，所以，所以，即，因為，，平面AEG，所以平面，又因為平面，所以平面平面.（2）解：由，，且，平面，所以平面，因為，可得，所以平面，又由（1）知，，所以兩兩互相垂直，以為原點，所在的直線分別為軸、軸和軸正方向，建立空間直角坐標系，如圖所示，

因為，四邊形是矩形，所以，則，，.假設線段上存在點滿足題意，令,則，可得，.設平面的一個法向量為，則，取，可得，所以，由平面，則平面的一個法向量為，設平面與平面所成角為，則，其中，所以，解得，即，所以線段上存在點，使得平面與平面所成角的余弦值為，且.考法五點線距【例1】在空間直角坐標系中，直線的方程為，空間一點，則點到直線的距離為（

）A． B．1 C． D．【答案】D【解析】根據(jù)題意，直線的方程為，即，則直線的方向向量為，又因為過點，，，則，故在上的射影為：，故點到直線的距離為：.故選：D.【一隅三反】1．菱形的邊長為4，，E為AB的中點（如圖1），將沿直線DE翻折至處（如圖2），連接，，若四棱錐的體積為，點F為的中點，則F到直線BC的距離為（

）

A． B． C． D．【答案】A【解析】連接，因為四邊形為菱形，且，所以為等邊三角形，因為E為AB的中點，所以，所以，因為，平面，所以平面，因為菱形的邊長為4，所以，所以直角梯形的面積為，設四棱錐的高為，則，得，所以，所以平面，所以以為原點，所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標系，則，所以，所以所以，所以F到直線BC的距離為，故選：A

考點六線線距【例1】長方體中，，，為的中點，則異面直線與之間的距離是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，，，設與的公垂線的一個方向向量為，則，取，得，，即，又，所以異面直線與之間的距離為．故選：D．【一隅三反】1．定義：兩條異面直線之間的距離是指其中一條直線上任意一點到另一條直線距離的最小值.在長方體中，，，，則異面直線與之間的距離是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖，以D為坐標原點建立空間直角坐標系，則，則，，設和的公垂線的方向向量，則，即，令，則，，.故選：D.考點七點面距【例1】如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，側面是邊長為的正三角形，平面平面，．

(1)求證：平行四邊形為矩形；(2)若為側棱的中點，且平面與平面所成角的余弦值為，求點到平面的距離．【答案】(1)證明見解析；(2)【解析】（1）取中點，連接，為正三角形，則，面面，面面，面，則面，

面，故，又，面，，所以面，面，故，則平行四邊形為矩形.（2）如下圖，以為原點，為軸，為軸建立坐標系，設，則，，，，，所以，，

設面的法向量為，則，令，則，設面的法向量為，則，令，則，由，解得，則面的法向量為，，點到平面的距離.【一隅三反】1.在如圖所示的圓錐中，已知為圓錐的頂點，為底面的圓心，其母線長為6，邊長為的等邊內(nèi)接于圓錐底面，且.

(1)證明：平面平面；(2)若為中點，射線與底面圓周交于點，當二面角的余弦值為時，求點到平面的距離.【答案】(1)證明見解析；(2)【解析】（1）因為為圓錐的頂點，為底面的圓心，所以面.又因為面，所以，即.因為為外接圓圓心，且為正三角形，所以.又因為且，面，所以面，因為面，所以面面.（2）作交于，取中點為.因為，，所以.因為面，，面，所以，.如圖，以點為坐標原點，，，所在的直線分別為，，軸建立空間直角坐標系.因為，，所以，，所以，，，，.由，得，，，，.設面的法向量為，則，取，則，，所以.設面的法向量為，則,取，則，，所以.由，且，解得，所以，.又因為，所以，所以到面的距離.

考點八面面距【例1】如圖，在四棱錐中，底面是邊長為的正方形，底面，，、、分別是、、的中點．求：(1)直線與平面的距離；(2)平面與平面的距離．【答案】(1)；(2)【解析】1）解：因為平面，四邊形為正方形，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，則、、、、、，因為、分別為、的中點，則，平面，平面，平面，因為且，、分別為、的中點，則且，所以，四邊形為平行四邊形，，平面，平面，平面，，、平面，平面平面，平面，平面，設平面的法向量為，，，則，取，可得，，所以，直線與平面的距離為.（2）解：因為平面平面，則平面與平面的距離為.【一隅三反】1.如圖，已知正方體的棱長為2，E，F(xiàn)，G分別為AB，BC，的中點．(1)求證：平面平面EFG；(2)求平面與平面EFG間的距離．【答案】(1)證明見詳解；(2)﹒【解析】（1）∵E是AB中點，F(xiàn)是BC中點，∴連接AC得，EF∥AC，∵是平行四邊形，∴，又平面平面，∥平面，同理，連接可得，可得EG∥平面，與平面EFG，∴平面∥平面EFG﹒（2）如圖：以D為原點，DA、DC、分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系Oxyz﹒則∴，設平面的法向量為，則，取，則平面與平面EFG間的距離為﹒空間向量課后練習1.已知直平行六面體中，，，則直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．0【答案】A【分析】以為一組基底，利用向量法求解.【詳解】解：如圖所示：

以為一組基底，則，，則，，，，，，以,故選：A2.如圖，已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為2，點P為線段BC1上的動點，則點P到直線AC的距離的最小值為（）

A．1 B． C． D．【答案】C【分析】以D為坐標原點，DA、DC、所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法求異面直線距離可得.【詳解】解：正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為2，點P為線段BC1上的動點，以D為坐標原點，DA、DC、所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，則A（2，0，0），C（0，2，0），B（2，2，0），設P（2﹣t，2，t），（0≤t≤2），，設異面直線的公共法向量為，則，取x＝1，得，∴點P到直線AC的距離為：，點P到直線AC的距離的最小值為.故選：C.

3．如圖，在三棱柱中，側面底面，側面是菱形，，，.(1)若為的中點，求證：；(2)求二面角的正弦值.【答案】(1)見解析；(2)【分析】(1)結合已知條件和平面幾何關系知，然后利用面面垂直性質(zhì)和線面垂直性質(zhì)可知，最后利用線面垂直判定和性質(zhì)即可證明；(2)取的中點，然后利用面面垂直性質(zhì)證明底面，再建立空間直角坐標系，分別求出平面和平面的法向量，最后利用二面角的向量公式即可求解.【詳解】（1）∵側面是菱形，∴，∵為的中點，∴，∵側面底面，側面底面，，底面，∴側面，∵側面，∴，∵，∴平面，∵平面，∴.（2）取中點，連接，從而，又由，則，∵側面底面，側面底面，∴底面，以為坐標原點，以，，為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，如下圖：由已知條件和上圖可知，，，，，由題意可知，為平面的一個法向量，不妨設平面的一個法向量，因為，，從而，令，則，，即，設二面角為，由圖可知為鈍角，從而，即，故二面角的正弦值為.4.如圖所示，在四棱錐中，平面平面，，且，設平面與平面的交線為．(1)作出交線（寫出作圖步驟），并證明平面；(2)記與平面的交點為，點S在交線上，且，當二面角的余弦值為，求的值．【答案】(1)直線即為所求作的直線，證明見解析 ；(2)【分析】（1）延長AB、DC交于Q點，即可得到交線，通過證明，即可證明線面垂直；（2）建立適當?shù)目臻g直角坐標系，利用空間向量得出，解方程即可.【詳解】（1）延長，交于點，連結，則直線即為所求作的直線：

因為，所以又因為，所以，分別為，中點，且為正三角形，所以，

又，平面平面且交線為，且平面，所以平面，且面PAB，所以，

又，且平面，平面,所以平面，即平面：

（2）取的中點，連結，則，又平面平面且交線為，且平面，所以平面，

以為原點，，所在直線為，軸建立如圖空間直角坐標系，則，，，，，，由，得，所以，，

顯然平面的一個法向量為，

設平面的法向量為，則，即取，則，，所以平面的一個法向量為，

所以，解得所以當二面角的余弦值為時，5．如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的菱形，，為等邊三角形，為線段的中點，且平面平面，是線段上的點.(1)求證：；(2)若直線與平面的夾角的正弦值為，求四棱錐的體積.【答案】(1)證明見解析；(2)【分析】（1）先證明，再證明，得出平面，從而證明；（2）建立坐標系，利用線面角確定的位置，然后利用體積公式可求結果.【詳解】（1）因為為等邊三角形，為線段的中點，所以；因為平面平面，所以平面；又平面，所以；在中，，由余弦定理可得，因為，所以；因為，所以，所以平面；因為平面，所以.（2）由（1）得兩兩垂直，以為坐標原點，建系如圖，則；；設，則；設平面的一個法向量為，則，，令，則.因為直線與平面的夾角的正弦值為，所以，即，解得或（舍），即有，是靠近的三等分點，所以四棱錐的高等于的.四棱錐的體積為.空間向量隨堂檢測1.如圖所示，在正方體中，，分別是，的中點，則異面直線