（寒假）人教A版高二數(shù)學(xué)寒假培優(yōu)講義+隨堂檢測+課后練習(xí) 第06講 圓錐曲線中的中點弦問題（原卷版）

第頁第06講圓錐曲線中的中點弦問題知識講解橢圓中點弦斜率公式

(1)若Mx0,y0為橢圓x2a2+y2b2=1(a>b雙曲線的中點弦斜率公式

(1)若Mx0,y0為雙曲線x2a2?y2b2=1弦AB(AB不平行y軸)的中點,則3.拋物線的中點弦斜率公式

(1)若Mx0,y0為拋物線y2=2px弦AB(AB不平行y軸)的中點,則kAB=py04.中點弦斜率拓展在橢圓x2a2+y2b2=1中,以Px0,y0為中點的弦所在直線的斜率k=?b5.橢圓其他斜率形式拓展橢圓的方程為（a＞b＞0），為橢圓的長軸頂點，P點是橢圓上異于長軸頂點的任一點，則有橢圓的方程為（a＞b＞0），為橢圓的短軸頂點，P點是橢圓上異于短軸頂點的任一點，則有橢圓的方程為（a＞b＞0），過原點的直線交橢圓于兩點，P點是橢圓上異于兩點的任一點，則有點差法妙解中點弦問題

若設(shè)直線與圓錐曲線的交點(弦的端點)坐標為Ax將這兩點代入圓錐曲線的方程并對所得兩式作差,得到一個與弦AB的中點和斜率有關(guān)的式子,可以大大減少運算量。我們稱這種代點作差的方法為“點差法”。

（1）設(shè)點:若Ax1,y1,Bx2,y2是橢圓x2a2+y2b2=1a>化簡可得y1+y2【例1】已知橢圓＋＝1(a>b>0)的右焦點為F(3,0)，過點F的直線交橢圓于A、B兩點．若AB的中點坐標為(1，－1)，則E的方程為A．＋＝1 B．＋＝1C．＋＝1 D．＋＝1【例2】已知直線l與橢圓在第一象限交于A，B兩點，l與x軸，y軸分別交于M，N兩點，且，則l的方程為．【變式1】已知直線過橢圓C；的一個焦點，與C交于A，B兩點，與平行的直線與C交于M，N兩點，若AB的中點為P，MN的中點為Q，且PQ的斜率為，則C的方程為（）A．B．C．D．【變式2】已知橢圓的上頂點為B，斜率為的直線l交橢圓于M，N兩點，若△BMN的重心恰好為橢圓的右焦點F，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．考點二、雙曲線中的中點弦問題【例1】已知雙曲線的中心為原點，是的焦點，過F的直線與相交于A，B兩點，且AB的中點為,則的方程式為A． B． C． D．【例2】已知橢圓的離心率為，點在上（1）求的方程（2）直線不過原點且不平行于坐標軸，與有兩個交點，線段的中點為.證明：直線的斜率與直線的斜率的乘積為定值.【變式1】已知雙曲線中心在原點且一個焦點為，直線與其相交于，兩點，中點橫坐標為，則此雙曲線的方程是.【變式2】不與軸重合的直線經(jīng)過點，雙曲線：上存在兩點A，B關(guān)于對稱，AB中點M的橫坐標為，若，則的值為.【變式3】已知雙曲線的右焦點為，虛軸的上端點為，點，為上兩點，點為弦的中點，且，記雙曲線的離心率為，則．考點三、拋物線中的中點弦問題【例1】已知拋物線上存在關(guān)于直線對稱的相異兩點、，則等于（）A．3 B．4 C． D．【變式1】過拋物線的焦點F的直線l與拋物線交于A，B兩點，若l的傾斜角為，則線段AB的中點到x軸的距離是．【變式2】已知拋物線上兩點A，B關(guān)于點對稱，則直線AB的斜率為.【變式3】已知拋物線，過點的直線l交C于M，N兩點．(1)當點A平分線段時，求直線l的方程；(2)已知點，過點的直線交C于P，Q兩點，證明：．【能力提升】1.已知橢圓四個頂點構(gòu)成的四邊形的面積為，直線與橢圓C交于A，B兩點，且線段的中點為，則橢圓C的方程是（

）A．B．C．D．2.已知直線與橢圓交于兩點，若點恰為弦的中點，則橢圓的離心率是（

）A． B． C． D．3.已知m，n，s，t為正數(shù)，，，其中m，n是常數(shù)，且s＋t的最小值是，點M(m,n)是曲線的一條弦AB的中點，則弦AB所在直線方程為（）A．x－4y＋6=0 B．4x－y－6=0C．4x＋y－10=0 D．4.已知雙曲線C的中心在坐標原點，焦點在x軸上，離心率等于，點在雙曲線C上，橢圓E的焦點與雙曲線C的焦點相同，斜率為的直線與橢圓E交于A、B兩點．若線段AB的中點坐標為，則橢圓E的方程為（

）A．B．C．D．5.已知橢圓C：，圓O：，直線l與圓O相切于第一象限的點A，與橢圓C交于P，Q兩點，與x軸正半軸交于點B．若，則直線l的方程為．6.已知橢圓方程為，且橢圓內(nèi)有一條以點為中點的弦，則弦所在的直線的方程是.7.已知雙曲線的左，右焦點分別為，直線l過且與雙曲線交于A，B兩點，若直線l不與x軸垂直，且，則直線l的斜率為（

）A． B． C． D．8.已知雙曲線的離心率為，直線與交于兩點，為線段的中點，為坐標原點，則與的斜率的乘積為（

）A． B． C． D．9.已知雙曲線，直線l交雙曲線兩條漸近線于點A、B，M為線段的中點，設(shè)直線l、的斜率分別為，若，則漸近線方程為．10.如圖，已知過原點的直線與雙曲線相交于兩點，雙曲線的右支上一點滿足，若直線的斜率為-3，則雙曲線的離心率為.11.已知為拋物線上的兩點，，若，則直線的方程為.11.已知拋物線，點在E上.(1)求E的方程；(2)設(shè)動直線l交E于A，B兩點，點P，Q在E上，且，若直線l始終平分弦PQ，求點P的坐標.課后鞏固練習(xí)1.（多選）已知橢圓的右焦點為，過點的直線交橢圓于兩點．若的中點坐標為，則（

）A．直線的方程為 B．C．橢圓的標準方程為 D．橢圓的離心率為2.設(shè)A，B為雙曲線上兩點，下列四個點中，可為線段AB中點的是（

）A． B． C． D．3.過雙曲線：（，）的焦點且斜率不為0的直線交于A，兩點，為中點，若，則的離心率為（

）A． B．2 C． D．4.已知拋物線頂點在原點，焦點為，過作直線交拋物線于、兩點，若線段的中點橫坐標為2，則線段的長為5.已知橢圓的離心率為，斜率為正的直線l與橢圓C交于A，B兩點，與x軸、y軸分別交于P，Q兩點，且，則直線l的斜率為．圓錐曲線中的中點弦問題隨堂檢測1.已知橢圓()的右焦點為，離心率為，過點的直線交橢圓于，兩點，若的中點為，則直線的斜率為（

）A． B． C． D．12.已知雙曲線的中心在原點且一個焦點為，直線與其相交于，兩點，若中點的橫坐標為，則此雙曲線的方程是A． B．3.已知雙曲線C的中心在坐標原點，其中一個焦點為，過F的直線l與雙曲線C交于A、B兩點，且AB的中點為，則C的離心率為(

)A． B． C． D．4.已知拋物線，過其焦點且斜率為1的直線交拋物線于兩點，若線段的中點的縱坐標為2，則該拋物線的準線方程為A． B．C． D．5.已知橢圓的右焦點為，過點且斜率為1的直線交橢圓于兩點.若的中點坐標為，則的方程為（

）A． B．C． D．6.若拋物線C：存在以點為中點的弦，請寫出一個滿足條件的拋物線方程為.7.直線與圓相交于兩點，，弦的中點為，則直線的方程為．8.已知為坐標原點，雙曲線：（，）的左，右焦點分別為，，過左焦點作斜率為的直