材料力學(xué)（第2版）課件：桿件的應(yīng)力分析

桿件的應(yīng)力分析桿件的應(yīng)力分析(A)StressPARTA桿件的應(yīng)力分析（A）Stress（PARTA）3.1應(yīng)力、應(yīng)變及其相互關(guān)系3.2直桿軸向拉伸或壓縮時的應(yīng)力3.3圓截面軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上的切應(yīng)力3.4矩形截面桿扭轉(zhuǎn)時橫截面上的切應(yīng)力問題的提出內(nèi)力相同，但是常識告訴我們，直徑細的拉桿更容易破壞。課堂思考：(1)內(nèi)力顯然不是決定拉桿破壞的唯一因素。(2)決定拉桿是否發(fā)生破壞的因素有哪些？3.1應(yīng)力、應(yīng)變及其相互關(guān)系3.1應(yīng)力、應(yīng)變及其相互關(guān)系△A上的內(nèi)力平均集度為:

當(dāng)△A趨于零時，pm的大小和方向都將趨于某一極限值。

p稱為該點的應(yīng)力(Stress)，它反映內(nèi)力系在該點的強弱程度，p是一個矢量。3.1應(yīng)力、應(yīng)變及其相互關(guān)系

p

一般來說既不與截面垂直，也不與截面相切，對其進行分解垂直于截面的應(yīng)力分量:s相切于截面的應(yīng)力分量:tσ

正應(yīng)力τ

切應(yīng)力應(yīng)力單位:牛頓/米2帕斯卡（Pa）1kPa=103Pa1MPa=103kPa=106Pa1GPa=103MPa=106kPa=109Pa3.1應(yīng)力、應(yīng)變及其相互關(guān)系變形(Deformation)構(gòu)件在外力作用下尺寸和形狀的改變位移(Displacement)構(gòu)件在其變形的同時，其上的點、面相對于初始位置的變化在構(gòu)件中取一個各邊邊長為無限小的正六面體(單元體)，考察構(gòu)件變形后，單元體棱邊的長度和兩棱邊之間的夾角變化。所有的變形后的單元體組合起來就是變形后的構(gòu)件形狀，反映出構(gòu)件的宏觀變形。3.1應(yīng)力、應(yīng)變及其相互關(guān)系

變形前

變形后正應(yīng)變線應(yīng)變NormalStrain切應(yīng)變角應(yīng)變AngularStrain

正應(yīng)變和切應(yīng)變的量綱均為1

切應(yīng)變的單位是rad應(yīng)變Strain3.1應(yīng)力、應(yīng)變及其相互關(guān)系胡克定律試驗表明，對于工程中常用材料制成的桿件，在彈性范圍內(nèi)加載時（構(gòu)件只發(fā)生彈性變形），若所取單元體只承受單方向正應(yīng)力或只承受切應(yīng)力，則正應(yīng)力與線應(yīng)變以及切應(yīng)力與切應(yīng)變之間存在線性關(guān)系。τγOσxεxOE-材料的楊氏彈性模量G-材料的切變模量RobertHooke

3.2直桿軸向拉伸或壓縮時的應(yīng)力3.2直桿軸向拉伸或壓縮時的應(yīng)力1拉壓桿橫截面上的應(yīng)力平面假設(shè):變形前原為平面的橫截面，變形后仍然保持為平面且仍垂直于桿軸線。(參考圣維南原理)假設(shè)：橫截面上各點處僅有正應(yīng)力s，并沿截面均勻分布。3.2直桿軸向拉伸或壓縮時的應(yīng)力1拉壓桿橫截面上的應(yīng)力設(shè)橫截面的面積為A，由靜力學(xué)關(guān)系：

正應(yīng)力，拉應(yīng)力為“+”，壓應(yīng)力為“－”FN

軸力A

橫截面面積桿件橫面尺寸沿軸線緩慢變化的變截面直桿：多個軸向載荷作用的等截面直桿：最大軸力所在的截面稱為危險截面危險截面上的正應(yīng)力稱為最大工作應(yīng)力3.2直桿軸向拉伸或壓縮時的應(yīng)力【例3.1】

起吊三角架如圖所示，已知桿AB由兩根橫截面面積為A的角鋼制成，設(shè)A=10.86cm2,F=130kN,

a=30°。求桿AB橫截面上的應(yīng)力。3.2直桿軸向拉伸或壓縮時的應(yīng)力2)計算sAB以節(jié)點A為研究對象，列平衡方程拉3.2直桿軸向拉伸或壓縮時的應(yīng)力拉壓桿斜截面上的應(yīng)力

不同材料的實驗表明，拉壓桿的破壞并不總是沿橫截面發(fā)生，有時沿斜截面發(fā)生。3.2直桿軸向拉伸或壓縮時的應(yīng)力

橫截面上的應(yīng)力分布均勻，由此推斷，斜截面m-m上的應(yīng)力pa也為均勻分布。

設(shè)橫截面面積As

橫截面上的正應(yīng)力3.2直桿軸向拉伸或壓縮時的應(yīng)力

將應(yīng)力pa沿截面法向和切向進行分解：a

=0：

a

=45°：a=90°：

拉壓桿的最大切應(yīng)力發(fā)生在與桿軸線成45°的斜截面上縱向纖維之間無擠壓，無剪切3.2直桿軸向拉伸或壓縮時的應(yīng)力【例3.2】

已知階梯形直桿受力如圖所示，桿各段的橫截面面積分別為A1=A2=2500mm2，A3=1000mm2，桿各段的長度如圖。求(1)桿AB、BC、CD段橫截面上的正應(yīng)力(2)桿AB段上與桿軸線夾45°角(逆時針方向)斜截面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力。3.2直桿軸向拉伸或壓縮時的應(yīng)力(1)計算各桿段橫截面上的正應(yīng)力利用截面法求出各段軸力(步驟略)AB段BC段CD段3.2直桿軸向拉伸或壓縮時的應(yīng)力(2)計算桿AB斜截面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力3.2直桿軸向拉伸或壓縮時的應(yīng)力平面假設(shè):變形前原為平面的橫截面，變形后仍然保持為平面且仍垂直于桿軸線。思考：平面假設(shè)什么場合下是成立的？當(dāng)桿端承受集中載荷或其他非均勻分布載荷時，桿件并非所有橫截面都能保持平面，從而產(chǎn)生均勻的軸向變形。這種情況下，正應(yīng)力公式并不是對桿件上所有橫截面都適用3.2直桿軸向拉伸或壓縮時的應(yīng)力圣維南原理：BarrédeSaint-Venant“如果作用在彈性體一小塊表面上的力被作用于同一塊表面上的靜力等效力系替代，這種替換僅使局部表面產(chǎn)生顯著的應(yīng)力變化，而在比應(yīng)力變化表面的線性尺寸更遠的地方，其影響可忽略不計?！盉.Saint-Venant,Mém.savantsétrangers,vol.14,1855.有限元分析的圣維南原理3.2直桿軸向拉伸或壓縮時的應(yīng)力應(yīng)力集中

由圣維南原理知，等直桿受軸向拉伸或壓縮時，在離開外力作用處較遠的橫截面上的正應(yīng)力是均勻分布的。但是，如果桿截面尺寸有突然變化，比如桿上有孔洞、溝槽或者制成階梯時，截面突變處局部區(qū)域的應(yīng)力將急劇增大，這種現(xiàn)象稱為應(yīng)力集中。3.2直桿軸向拉伸或壓縮時的應(yīng)力應(yīng)力集中應(yīng)力集中因數(shù)截面尺寸改變越急劇，孔越小，圓角越小，應(yīng)力集中的程度就越嚴(yán)重。應(yīng)力集中對脆性材料的影響嚴(yán)重，應(yīng)特別注意3.2直桿軸向拉伸或壓縮時的應(yīng)力3.2直桿軸向拉伸或壓縮時的應(yīng)力思考：下圖所表示的應(yīng)力分布說明什么問題？3.3圓截面軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上的切應(yīng)力3.3圓截面軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上的切應(yīng)力純剪切問題圓筒發(fā)生扭轉(zhuǎn)后，方格由矩形薄壁圓筒壁厚遠小于其平均直徑d≤r/10

平行四邊形切應(yīng)變

正應(yīng)變?yōu)?無正應(yīng)力圓筒沿軸線及周線的長度無變化3.3圓截面軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上的切應(yīng)力因為圓筒壁厚很小，可近似認為沿筒壁厚度切應(yīng)力不變。橫截面上所有切應(yīng)力t

組成力系的合力為該橫截面的扭矩T3.3圓截面軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上的切應(yīng)力切應(yīng)力互等定理

用相鄰的兩個橫截面和兩個縱向面，從圓筒中取出邊長為dx，dy和dz的單元體圓筒平衡單元體平衡

上下兩個側(cè)面必有切應(yīng)力

上下兩個側(cè)面切應(yīng)力大小相等，方向相反3.3圓截面軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上的切應(yīng)力切應(yīng)力互等定理

在相互垂直的一對平面上，切應(yīng)力同時存在，數(shù)值相等，且都垂直于兩個平面的交線，方向共同指向或共同背離這一交線。3.3圓截面軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上的切應(yīng)力剪切胡克定律

單元體上下左右四個側(cè)面上只有切應(yīng)力而無正應(yīng)力

純剪切純剪切試驗結(jié)果表明，當(dāng)切應(yīng)力不超過材料的剪切比例極限時，有剪切胡克定律G

切變模量，量綱與切應(yīng)力相同E,n，G三者關(guān)系*3.3圓截面軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上的切應(yīng)力圓截面軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上的切應(yīng)力的計算公式推導(dǎo)綜合研究幾何、物理、靜力學(xué)幾方面的關(guān)系。平面假設(shè):變形后，橫截面仍保持平面，其形狀、大小與橫截面間的距離均不改變，且半徑仍為直線。圓軸扭轉(zhuǎn)時，各橫截面如同剛性圓片，僅繞軸線作相對旋轉(zhuǎn)。3.3圓截面軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上的切應(yīng)力其中表示扭轉(zhuǎn)角沿軸線長度方向的變化率，而稱為相對扭轉(zhuǎn)角。同一截面上為常數(shù)，因此與成正比幾何方面3.3圓截面軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上的切應(yīng)力物理方面在剪切比例極限內(nèi)由于發(fā)生在垂直于半徑的平面內(nèi)，所以

也應(yīng)與半徑垂直。3.3圓截面軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上的切應(yīng)力靜力學(xué)方面微剪力trdA其對圓心的力矩

(trdA)r橫截面上，所有微力矩之和等于扭矩3.3圓截面軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上的切應(yīng)力3.靜力學(xué)方面代入物理方程極慣性矩PolarMomentofInertia3.3圓截面軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上的切應(yīng)力圓截面軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上的切應(yīng)力計算公式適應(yīng)條件等直圓（環(huán)）截面桿；橫截面上的最大切應(yīng)力小于剪切比例極限T：扭矩Ip：橫截面的極慣性矩r：所求切應(yīng)力點到圓心的距離3.3圓截面軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上的切應(yīng)力最大切應(yīng)力圓心處r

=0

t=0外表面r

=r

max

t

=t

max取Wp∶扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)，單位mm3m33.3圓截面軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上的切應(yīng)力圓截面軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上的切應(yīng)力分布規(guī)律3.3圓截面軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上的切應(yīng)力極慣性矩和扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)的計算3.3圓截面軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上的切應(yīng)力空心圓截面:極慣性矩和扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)的計算3.3圓截面軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上的切應(yīng)力【例3.3】

實心圓軸和空心圓軸通過牙嵌式離合器相聯(lián)，并傳遞功率，如圖所示。已知軸的轉(zhuǎn)速n=100r/min，傳遞的功率

P=7.5kW。若兩傳動軸橫截面上的最大切應(yīng)力均等于40MPa，并且已知空心軸的內(nèi)外徑之比a=0.5，試確定實心軸的直徑與空心軸的外徑。3.3圓截面軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上的切應(yīng)力(1)計算扭矩(2)根據(jù)應(yīng)力條件計算直徑實心軸3.3圓截面軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上的切應(yīng)力空心軸實心和空心軸的橫截面面積之比軸長度相同，承受扭矩相同，則在最大切應(yīng)力相同的情況下，實心軸要使用更多的材料。3.4矩形截面桿扭轉(zhuǎn)時橫截面上的切應(yīng)力3.4矩形截面桿扭轉(zhuǎn)時橫截面上的切應(yīng)力非圓截面桿扭轉(zhuǎn)的概念試驗表明，非圓截面桿受扭轉(zhuǎn)時橫截面將成為曲面，產(chǎn)生所謂的翹曲現(xiàn)象平面假設(shè)不再成立，根據(jù)平面假設(shè)所建立的扭轉(zhuǎn)應(yīng)力公式也不再適用。非圓截面桿的扭轉(zhuǎn)問題只能用彈性力學(xué)的方法去研究3.4矩形截面桿扭轉(zhuǎn)時橫截面上的切應(yīng)力非圓截面桿扭轉(zhuǎn)的概念非圓截面桿的扭轉(zhuǎn)分為自由扭轉(zhuǎn)（純扭轉(zhuǎn)）和約束扭轉(zhuǎn)兩種。等截面直桿受力偶作用發(fā)生扭轉(zhuǎn)時，若各橫截面可以自由翹曲，翹曲程度相同，此時桿的橫截面上只有切應(yīng)力而無正應(yīng)力，這種扭轉(zhuǎn)稱為自由扭轉(zhuǎn)。若橫截面的翹曲受到某些限制，引起橫截面的翹曲程度不同，這種情況將在橫截面上引起正應(yīng)力，即橫截面上既有切應(yīng)力，又有正應(yīng)力，這種扭轉(zhuǎn)稱為約束扭轉(zhuǎn)。3.4矩形截面桿扭轉(zhuǎn)時橫截面上的切應(yīng)力矩形截面軸的自由扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力分布特點：1)沿邊走2)角點為03)長邊中點最大4)短邊中點較大3.4矩形截面桿扭轉(zhuǎn)時橫截面上的切應(yīng)力矩形截面軸的自由扭轉(zhuǎn)狹長矩形截面壓桿穩(wěn)定Columns3.6橫力彎曲梁橫截面上的正應(yīng)力3.6橫力彎曲橫截面上的正應(yīng)力

工程中實際的梁大多發(fā)生橫力彎曲，橫截面由于切應(yīng)力的存在而發(fā)生翹曲。此外，橫向力還使各縱向線之間發(fā)生擠壓。平面假設(shè)和縱向線之間無擠壓的假設(shè)實際上都不成立。

彈性力學(xué)的分析結(jié)果表明，受滿布荷載的矩形截面簡支梁，當(dāng)其跨長與截面高度之比l/h大于5時，梁的跨中橫截面上按純彎曲理論算得的最大正應(yīng)力其誤差不超過1%。3.6橫力彎曲橫截面上的正應(yīng)力對于細長梁，工程應(yīng)用中就將純彎曲時的正應(yīng)力計算公式用于橫力彎曲情況

對于變截面梁，最大彎曲正應(yīng)力并不一定出現(xiàn)在彎矩最大的橫截面上，其大小應(yīng)為:

彎矩最大的截面并不一定是危險截面。

梁的最大正應(yīng)力不僅和彎矩M

有關(guān)，而且和截面的形狀尺寸(幾何性質(zhì))有關(guān)。3.6橫力彎曲橫截面上的正應(yīng)力【例3.4】如圖所示簡支梁由56a號工字鋼制成，其截面簡化后尺寸如圖，F(xiàn)=150kN。求梁危險截面上的最大正應(yīng)力smax和同一截面上翼緣與腹板交界處點a的正應(yīng)力sa。3.6橫力彎曲橫截面上的正應(yīng)力(1)作梁的彎矩圖F=150kN(2)截面幾何性質(zhì)查型鋼表

56a工字鋼:3.6橫力彎曲橫截面上的正應(yīng)力(3)危險截面最大正應(yīng)力(4)危險截面處點a的正應(yīng)力3.6橫力彎曲橫截面上的正應(yīng)力

點a處的正應(yīng)力sa亦可根據(jù)直梁橫截面上的正應(yīng)力在與中性軸z垂直的方向按直線變化的規(guī)律，利用已求得的該橫截面上的smax=160MPa來計算：3.6橫力彎曲橫截面上的正應(yīng)力顯然，梁的自重引起的最大正應(yīng)力僅為

而危險截面上的最大正應(yīng)力變?yōu)檫h小于外加荷載F所引起的最大正應(yīng)力。

如果考慮梁的自重(q=1.041kN/m)則危險截面未變，但相應(yīng)的最大彎矩值變?yōu)?.6橫力彎曲橫截面上的正應(yīng)力【例3.5】

如圖所示圓軸AD，在BC段受均布載荷作用。已知q=1kN/m，AB段直徑d1=280mm，BC段直徑d2=320mm，軸的許用應(yīng)力[s

]=140MPa，試校核該軸的強度。3.6橫力彎曲橫截面上的正應(yīng)力(1)計算簡圖(2)求約束力并畫彎矩圖(略)3.6橫力彎曲橫截面上的正應(yīng)力(3)跨中危險截面3.6橫力彎曲橫截面上的正應(yīng)力(4)

AB段橫截面上的正應(yīng)力AB段最大彎矩發(fā)生在截面B3.6橫力彎曲橫截面上的正應(yīng)力【例3.6】

如圖所示一槽型截面鑄鐵梁的載荷和截面尺寸，已知F1=32kN，F(xiàn)2=12kN。試求該梁橫截面上的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力。3.6橫力彎曲橫截面上的正應(yīng)力【例3.6】

對鑄鐵這樣的抗壓和抗拉強度不一樣的材料，截面中性軸又不在對稱軸上，同一截面的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力不相等，計算最大應(yīng)力時不能單一考慮彎矩最大的截面。3.6橫力彎曲橫截面上的正應(yīng)力(1)計算約束力，畫彎矩圖F1=32kN，F(xiàn)2=12kN3.6橫力彎曲橫截面上的正應(yīng)力(2)計算截面幾何性質(zhì)求形心C

的位置（負面積法）橫截面的慣性矩(注意平行移軸公式)3.6橫力彎曲橫截面上的正應(yīng)力(3)對截面B彎矩負值，上側(cè)受拉3.6橫力彎曲橫截面上的正應(yīng)力(4)對截面C彎矩正值，下側(cè)受拉3.6橫力彎曲橫截面上的正應(yīng)力全梁的最大拉應(yīng)力位于截面C

下邊緣全梁的最大壓應(yīng)力位于截面B

下邊緣3.6橫力彎曲橫截面上的正應(yīng)力3.7橫力彎曲梁橫截面上的切應(yīng)力3.7橫力彎曲橫截面上的切應(yīng)力矩形截面梁儒拉夫斯基假設(shè)1）截面上任意一點的切應(yīng)力

t的方向和該截面上的剪力FS的方向平行。2）切應(yīng)力沿寬度均勻分布，即t的大小只與距離中性軸的距離有關(guān)。3.7橫力彎曲橫截面上的切應(yīng)力取簡支梁中dx的微段進行受力分析若所切微段上無橫向外力作用，則兩截面的剪力相等。彎矩不同，兩側(cè)截面上的正應(yīng)力也不相同

按照儒拉夫斯基假設(shè)，切應(yīng)力和剪力平行。

為了研究橫截面上距離中性層y處的切應(yīng)力t的數(shù)值，可在該處用一個平行于中性層的縱截面pp1，將微段的下半部分截出。矩形截面梁研究x方向的平衡

距中性軸為y處的橫線以下部分面積A1對中性軸的靜矩。同理可得矩形截面梁頂邊分布的切應(yīng)力的合力dF的大小由3.7橫力彎曲橫截面上的切應(yīng)力整個橫截面上的剪力整個截面對中性軸的慣性矩梁橫截面上距中性軸為y的橫線以外部分的面積對中性軸的靜矩的絕對值所求切應(yīng)力點的位置的梁截面寬度。3.7橫力彎曲橫截面上的切應(yīng)力對于矩形截面梁，取公式改寫為在截面的兩端，y=±h/2在中性層，y=03.7橫力彎曲橫截面上的切應(yīng)力工字形組合截面梁工字形截面由翼緣和腹板組成上翼緣下翼緣腹板

由于腹板截面是狹長矩形，因此儒拉夫斯基假設(shè)仍然適用，若要計算腹板上距中性軸y處的切應(yīng)力，Sz*是圖中黃色部分面積對中性軸的靜矩。翼緣上的平行于y軸的切應(yīng)力分量很小，通常不進行計算。熱軋工字鋼，其查附錄3.7橫力彎曲橫截面上的切應(yīng)力【例3.7】如圖所示矩形截面懸臂梁，承受集度為q的均布載荷作用，求梁內(nèi)最大正應(yīng)力和最大切應(yīng)力之比。3.7橫力彎曲橫截面上的切應(yīng)力

由內(nèi)力分析，梁的最大剪力和最大彎矩位于固定端截面梁最大彎曲正應(yīng)力3.7橫力彎曲橫截面上的切應(yīng)力梁最大彎曲切應(yīng)力梁內(nèi)最大正應(yīng)力和最大切應(yīng)力之比

由此可見，當(dāng)梁的跨度l遠大于其截面高度h時，梁的最大彎曲正應(yīng)力遠大于最大彎曲切應(yīng)力。3.7橫力彎曲橫截面上的切應(yīng)力

一般細長非薄壁截面梁中，最大彎曲正應(yīng)力與最大彎曲切應(yīng)力之比都很大，因此，對一般細長梁的控制因素通常是彎曲正應(yīng)力。

以下情況要考慮梁的切應(yīng)力：