材料力學（第2版）課件：應力狀態(tài)分析

應力狀態(tài)分析StressTransformations應力狀態(tài)分析StressTransformations6.1應力狀態(tài)的概念6.2二向應力狀態(tài)分析的解析法6.3二向應力狀態(tài)分析的圖解法6.4三向應力狀態(tài)與廣義胡克定律6.5復雜應力狀態(tài)下的變形能密度6.1應力狀態(tài)的概念6.1應力狀態(tài)的概念問題的提出低碳鋼與鑄鐵的拉伸試驗6.1應力狀態(tài)的概念問題的提出低碳鋼與鑄鐵的扭轉試驗6.1應力狀態(tài)的概念應力的點的概念考慮中性層上的點A正應力等于0，切應力最大考慮梁邊緣上的點B

同一面上不同點的應力各不相同應力的點的概念6.1應力狀態(tài)的概念應力的面的概念

即使同一點在不同方位截面上，它的應力也是各不相同的，此即應力的面的概念。6.1應力狀態(tài)的概念應力哪一個面上？

哪一點？哪一點？

哪個方向面？指明過一點不同方向面上應力的集合，稱之為這一點的應力狀態(tài)。6.1應力狀態(tài)的概念單元體

為了分析受力構件內一點處的應力狀態(tài)，可圍繞該點截取各邊長均為無窮小的正六面體，稱為單元體。微元單元體(1)在它的每個面上，應力都是均勻的(2)單元體相互平行的截面上，應力都是相同的，且都等于通過所研究的點的平行面上的應力。因此，單元體的應力狀態(tài)就可以代表一點的應力狀態(tài)。6.1應力狀態(tài)的概念主單元體、主應力與主平面

主單元體各側面上切應力均為零的單元體。

主平面切應力為零的截面。

主應力主平面上的正應力。

主應力排列規(guī)定：按代數值大小6.1應力狀態(tài)的概念主單元體、主應力與主平面主應力排列規(guī)定：按代數值大小，若6.1應力狀態(tài)的概念單向、二向(平面)、三向(空間)應力狀態(tài)三個主應力中僅有一個主應力不為零

單向應力狀態(tài)6.1應力狀態(tài)的概念單向、二向(平面)、三向(空間)應力狀態(tài)三個主應力中僅有一個主應力為零

二向（平面）應力狀態(tài)純剪切應力狀態(tài)6.1應力狀態(tài)的概念單向、二向(平面)、三向(空間)應力狀態(tài)三個主應力均不為零

三向（空間）應力狀態(tài)6.1應力狀態(tài)的概念空間應力狀態(tài)正應力只有一個下標，表示正應力的方向，例如sx表示是作用在垂直于x的面上，沿著x

方向作用的正應力。切應力有兩個下標，第一個下標表示作用面垂直于哪個坐標軸，第二個下標表示作用方向沿著哪個坐標軸。

例如txy是垂直于x

軸的面上而沿著y軸方向作用的切應力。6.2二向應力狀態(tài)分析的解析法6.2二向應力狀態(tài)分析的解析法關于應力的正負約定材料力學約定：(1)正應力以拉應力為正，壓應力為負；(2)切應力對單元體內任一點取矩，順時針轉向為正，反之為負。6.2二向應力狀態(tài)分析的解析法任意斜截面上的應力通過截面外法線的方位定義截面的位置6.2二向應力狀態(tài)分析的解析法任意斜截面上的應力通過截面外法線的方位定義截面的位置6.2二向應力狀態(tài)分析的解析法任意斜截面上的應力根據切應力互等,txy和tyx在數值上相等，化簡得6.2二向應力狀態(tài)分析的解析法主平面的方位及極值正應力上式對a

求導若a

=a0時，導數為0

通過上式可以求出相差p/2的兩個角度a0，它們確定兩個相互垂直的面，其中一個是極大正應力所在的平面，另一個是極小正應力所在平面。6.2二向應力狀態(tài)分析的解析法主平面的方位及極值正應力結論:1)切應力為

0

的平面上，正應力為極大或極小值；2)切應力為0的平面是主平面，主平面上的正應力是主應力，所以主應力就是極大或者極小的正應力。6.2二向應力狀態(tài)分析的解析法主平面的方位及極值正應力將a0代入sa的計算公式，計算得到極大和極小正應力6.2二向應力狀態(tài)分析的解析法極值切應力采用同樣的方法對ta式求導若a

=a1時，則a1確定的斜截面上的切應力是極值。代入計算公式，得到:6.2二向應力狀態(tài)分析的解析法極值切應力極值正應力所在的平面:極值切應力所在的平面:6.2二向應力狀態(tài)分析的解析法例題6.1求如圖所示單元體斜截面上的正應力和切應力(應力單位MPa)6.2二向應力狀態(tài)分析的解析法6.2二向應力狀態(tài)分析的解析法求如圖所示單元體主應力的大小和方向以及最大切應力

(應力單位MPa)例題6.26.2二向應力狀態(tài)分析的解析法6.2二向應力狀態(tài)分析的解析法由此確定主應力主單元體方位如圖最大切應力6.3二向應力狀態(tài)分析的圖解法6.3二向應力狀態(tài)分析的圖解法ChristianOttoMohr(1835-1918)Mohr1835年生于德國北海岸的Wesselburen，16歲入Hannover技術學院學習。他是19世紀歐洲最杰出的土木工程師之一。與此同時，Mohr也一直在進行力學和材料強度方面的理論研究工作。

Mohr出版過一本教科書并發(fā)表了大量的結構及強度材料理論方面的研究論文，其中相當一部分是關于用圖解法求解一些特定問題的。他提出了用應力圓表示一點應力的方法（所以應力圓也被成為Mohr圓），并將其擴展到三維問題。Mohr對結構理論也有重要的貢獻，如計算梁撓度的圖乘法、應用虛位移原理計算超靜定結構的位移等。6.3二向應力狀態(tài)分析的圖解法兩式取平方和若以sa，ta

為變量，則為圓方程圓心:半徑:

圓周上的每一個點的橫縱座標分別代表所研究的單元體某截面的正應力和切應力，故稱應力圓，或摩爾圓。6.3二向應力狀態(tài)分析的圖解法應力圓的畫法1.確定點D(sx,txy)2.確定點D'(sy,tyx)tyx=－txy3.連接DD‘與s

軸交于點C4.以C為圓心，CD（CD'）為半徑畫圓。6.3二向應力狀態(tài)分析的圖解法圓心:半徑:6.3二向應力狀態(tài)分析的圖解法確定角a斜截面上的正應力和切應力D點代表的是以x軸為斜面外法線的面上的應力（2倍角關系）6.3二向應力狀態(tài)分析的圖解法求主單元體（主應力大小及方位）注意A1,A2兩點這兩點的切應力為0

主應力6.3二向應力狀態(tài)分析的圖解法求主單元體（主應力大小及方位）主應力是按照代數值排序的，而不是按照絕對值排序。6.3二向應力狀態(tài)分析的圖解法求主單元體（主應力大小及方位）6.3二向應力狀態(tài)分析的圖解法求最大切應力注意G1,G2兩點這兩點的切應力為極值在二向應力狀態(tài)平面內的單元體的切應力最大值切應力極值所在的方位和主應力所在的方位成45°角6.3二向應力狀態(tài)分析的圖解法特殊應力圓單向應力狀態(tài)下的應力圓:6.3二向應力狀態(tài)分析的圖解法特殊應力圓純剪切應力狀態(tài)的應力圓:6.3二向應力狀態(tài)分析的圖解法特殊應力圓二向等拉（壓）應力狀態(tài)下的應力圓6.3二向應力狀態(tài)分析的圖解法例題6.3用圖解法求如圖所示單元體斜截面上的正應力和切應力(應力單位MPa)6.3二向應力狀態(tài)分析的圖解法確定比例尺按比例尺量得6.3二向應力狀態(tài)分析的圖解法例題6.4用圖解法求如圖所示單元體主應力的大小和方向以及最大切應力

(應力單位MPa)6.3二向應力狀態(tài)分析的圖解法比例尺6.3二向應力狀態(tài)分析的圖解法例題6.5

圓軸扭轉如圖所示，用解析法和應力圓法計算截面周邊點A的主應力大小和方向。6.3二向應力狀態(tài)分析的圖解法解析法橫截面邊緣切應力:單元體如圖3個主應力按照代數排序6.3二向應力狀態(tài)分析的圖解法圖解法純剪切狀態(tài)，其應力圓6.3二向應力狀態(tài)分析的圖解法

圓截面鑄鐵試件扭轉時，表面各點smax所在平面聯成傾角為45°的螺旋面。由于鑄鐵抗拉強度較低，試件將沿這一螺旋面因拉伸而發(fā)生斷裂破壞。6.3二向應力狀態(tài)分析的圖解法6.4三向應力狀態(tài)與廣義胡克定律6.4三向應力狀態(tài)和廣義胡克定律三組特殊截面的應力狀態(tài)平行于s1的截面平行于s2的截面平行于s3的截面6.4三向應力狀態(tài)和廣義胡克定律三向狀態(tài)的應力圓及應力極值(1)三組特殊截面上的應力都落在相應的應力圓圓周上。(2)對于不平行于任一主應力的任意截面，其截面上的應力都落在三個應力圓之間的部分(圖示綠色區(qū)域)6.4三向應力狀態(tài)和廣義胡克定律最大切應力對于平行于主應力s1的截面對于平行于主應力s3的截面可見，最大切應力tmax作用面與s2平行對于平行于主應力s2的截面6.4三向應力狀態(tài)和廣義胡克定律例題6.6

用圖解法求圖示單元體的主應力和最大切應力（應力單位為MPa）,并作三向應力圓。易知，單元體z平面為主平面。－30MPa應為三個主應力之一。在s－

t坐標系中可得到其點C。考慮x-y平面D(120,-30)D'(40,30)畫出應力圓得到三個主應力和最大切應力6.4三向應力狀態(tài)和廣義胡克定律廣義胡克定律GeneralizedHooke'sLaw一般應力狀態(tài)下的線應變和切應變單向拉壓,線彈性范圍內的應力應變關系同時引起的橫向應變:純剪切,線彈性情況下:6.4三向應力狀態(tài)和廣義胡克定律廣義胡克定律GeneralizedHooke'sLaw最一般情況下，描述一點的應力狀態(tài)需要九個應力分量，如圖所示:根據切應力互等定理數值上相等獨立的應力分量只有六個6.4三向應力狀態(tài)和廣義胡克定律對于各向同性材料:

小變形及線彈性范圍內，線應變只和正應力有關，與切應力無關；而切應變只和切應力有關，與正應力無關。

利用疊加法可求得各方向上的線應變。6.4三向應力狀態(tài)和廣義胡克定律=++++廣義胡克定律GeneralizedHooke'sLaw6.4三向應力狀態(tài)和廣義胡克定律廣義胡克定律GeneralizedHooke'sLaw

利用同樣的方法可以求得y和z方向上的線應變。最后可得:切應變和切應力之間，

與正應力無關，因此:以上被稱為一般應力狀態(tài)下的廣義胡克定律。6.4三向應力狀態(tài)和廣義胡克定律廣義胡克定律GeneralizedHooke'sLaw主應力狀態(tài)下的線應變

對于單元體的面皆為主平面的應力狀態(tài)，三個主應力方向上的線應變?yōu)椋篹1、e2、e3為主應變。主應變和主應力的方向是重合的。6.4三向應力狀態(tài)和廣義胡克定律例題6.7

用電阻應變儀測得圖示受扭的圓軸表面上任意兩個成45°角方向的應變值:e‘=3.25×10-4，e’‘=-5.63×10-4。已知E=200GPa,n

=0.3,d=10cm,求外力矩M。6.4三向應力狀態(tài)和廣義胡克定律純剪切問題，畫出其應力圓:取一個任意角度的單元體:由圖可得:根據廣義胡克定律:6.4三向應力狀態(tài)和廣義胡克定律根據題意：在應力圓上標出:6.5復雜應力狀態(tài)下的應變能密度6.5復雜應力狀態(tài)下的應變能密度

物體在外力作用下發(fā)生彈性變形，外力所作的功將使物體積蓄變形能，當外力卸除后，此變形能釋放并對外做功。

這種以彈性變形形式積蓄的能量被稱為彈性變形能。

若外力作用方式是緩慢加載，變形在彈性范圍內，則可忽略動能和其他能量損耗，而以外力作功的大小來計算彈性變形能的大小。6.5復雜應力狀態(tài)下的應變能密度

外力F作用是緩慢加載，F-DL關系符合胡克定律，呈線性關系當加載至F，變形為DL時，外力作功為圖示的陰影部分面積。外力作功:變形能:將上式除以桿的體積Alv

應變能密度（StrainEnergyDensity）6.5復雜應力狀態(tài)下的應變能密度三向應力狀態(tài)下：代入廣義胡克定律:6.5復雜應力狀態(tài)下的應變能密度物體的變形可以分成兩個部分:1、體積改變2、形狀改變。將三向應力狀態(tài)的主單元體分為兩組:=+6.5復雜應力狀態(tài)下的應變能密度

第一組應力sm為體積應力，在它的作用下單元體沿各方向均勻變形，無形狀變化。由此引起的變形能密度，稱為體積改變變形能密度。

由廣義胡克定律解出em

代入變形能密度公式，并簡化得6.5復雜應力狀態(tài)下的應變能密度

第二組應力下單元體體積的改變量為0（自行驗證），而各邊的變形不同，故只有形狀改變。第二組應力引起的變形能密度稱為形狀改變變形能密度。

根據已經求得的vv和v，

形狀改變變形能密度和體積改變變形能密度的和是總的變形能密度。一篇趣文正應力與剪應力凄美愛情故事https:///a/198489453_354905

在大部分時候，正應力和剪應力是在一起。主應力在前，剪應力默默跟著。在摩爾圓上行走。剪應力很早就知道，有一個地方，剪應力會變?yōu)榱?，你千萬不要去；但是正應力從小的理想，就是為了到一個地方，成為主應力。但是，有件事剪應力一