材料力學(xué)（第2版）課件：應(yīng)力狀態(tài)分析

應(yīng)力狀態(tài)分析StressTransformations應(yīng)力狀態(tài)分析StressTransformations6.1應(yīng)力狀態(tài)的概念6.2二向應(yīng)力狀態(tài)分析的解析法6.3二向應(yīng)力狀態(tài)分析的圖解法6.4三向應(yīng)力狀態(tài)與廣義胡克定律6.5復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的變形能密度6.1應(yīng)力狀態(tài)的概念6.1應(yīng)力狀態(tài)的概念問題的提出低碳鋼與鑄鐵的拉伸試驗(yàn)6.1應(yīng)力狀態(tài)的概念問題的提出低碳鋼與鑄鐵的扭轉(zhuǎn)試驗(yàn)6.1應(yīng)力狀態(tài)的概念應(yīng)力的點(diǎn)的概念考慮中性層上的點(diǎn)A正應(yīng)力等于0，切應(yīng)力最大考慮梁邊緣上的點(diǎn)B

同一面上不同點(diǎn)的應(yīng)力各不相同應(yīng)力的點(diǎn)的概念6.1應(yīng)力狀態(tài)的概念應(yīng)力的面的概念

即使同一點(diǎn)在不同方位截面上，它的應(yīng)力也是各不相同的，此即應(yīng)力的面的概念。6.1應(yīng)力狀態(tài)的概念應(yīng)力哪一個(gè)面上？

哪一點(diǎn)？哪一點(diǎn)？

哪個(gè)方向面？指明過一點(diǎn)不同方向面上應(yīng)力的集合，稱之為這一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。6.1應(yīng)力狀態(tài)的概念單元體

為了分析受力構(gòu)件內(nèi)一點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)，可圍繞該點(diǎn)截取各邊長均為無窮小的正六面體，稱為單元體。微元單元體(1)在它的每個(gè)面上，應(yīng)力都是均勻的(2)單元體相互平行的截面上，應(yīng)力都是相同的，且都等于通過所研究的點(diǎn)的平行面上的應(yīng)力。因此，單元體的應(yīng)力狀態(tài)就可以代表一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。6.1應(yīng)力狀態(tài)的概念主單元體、主應(yīng)力與主平面

主單元體各側(cè)面上切應(yīng)力均為零的單元體。

主平面切應(yīng)力為零的截面。

主應(yīng)力主平面上的正應(yīng)力。

主應(yīng)力排列規(guī)定：按代數(shù)值大小6.1應(yīng)力狀態(tài)的概念主單元體、主應(yīng)力與主平面主應(yīng)力排列規(guī)定：按代數(shù)值大小，若6.1應(yīng)力狀態(tài)的概念單向、二向(平面)、三向(空間)應(yīng)力狀態(tài)三個(gè)主應(yīng)力中僅有一個(gè)主應(yīng)力不為零

單向應(yīng)力狀態(tài)6.1應(yīng)力狀態(tài)的概念單向、二向(平面)、三向(空間)應(yīng)力狀態(tài)三個(gè)主應(yīng)力中僅有一個(gè)主應(yīng)力為零

二向（平面）應(yīng)力狀態(tài)純剪切應(yīng)力狀態(tài)6.1應(yīng)力狀態(tài)的概念單向、二向(平面)、三向(空間)應(yīng)力狀態(tài)三個(gè)主應(yīng)力均不為零

三向（空間）應(yīng)力狀態(tài)6.1應(yīng)力狀態(tài)的概念空間應(yīng)力狀態(tài)正應(yīng)力只有一個(gè)下標(biāo)，表示正應(yīng)力的方向，例如sx表示是作用在垂直于x的面上，沿著x

方向作用的正應(yīng)力。切應(yīng)力有兩個(gè)下標(biāo)，第一個(gè)下標(biāo)表示作用面垂直于哪個(gè)坐標(biāo)軸，第二個(gè)下標(biāo)表示作用方向沿著哪個(gè)坐標(biāo)軸。

例如txy是垂直于x

軸的面上而沿著y軸方向作用的切應(yīng)力。6.2二向應(yīng)力狀態(tài)分析的解析法6.2二向應(yīng)力狀態(tài)分析的解析法關(guān)于應(yīng)力的正負(fù)約定材料力學(xué)約定：(1)正應(yīng)力以拉應(yīng)力為正，壓應(yīng)力為負(fù)；(2)切應(yīng)力對(duì)單元體內(nèi)任一點(diǎn)取矩，順時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)檎?，反之為?fù)。6.2二向應(yīng)力狀態(tài)分析的解析法任意斜截面上的應(yīng)力通過截面外法線的方位定義截面的位置6.2二向應(yīng)力狀態(tài)分析的解析法任意斜截面上的應(yīng)力通過截面外法線的方位定義截面的位置6.2二向應(yīng)力狀態(tài)分析的解析法任意斜截面上的應(yīng)力根據(jù)切應(yīng)力互等,txy和tyx在數(shù)值上相等，化簡(jiǎn)得6.2二向應(yīng)力狀態(tài)分析的解析法主平面的方位及極值正應(yīng)力上式對(duì)a

求導(dǎo)若a

=a0時(shí)，導(dǎo)數(shù)為0

通過上式可以求出相差p/2的兩個(gè)角度a0，它們確定兩個(gè)相互垂直的面，其中一個(gè)是極大正應(yīng)力所在的平面，另一個(gè)是極小正應(yīng)力所在平面。6.2二向應(yīng)力狀態(tài)分析的解析法主平面的方位及極值正應(yīng)力結(jié)論:1)切應(yīng)力為

0

的平面上，正應(yīng)力為極大或極小值；2)切應(yīng)力為0的平面是主平面，主平面上的正應(yīng)力是主應(yīng)力，所以主應(yīng)力就是極大或者極小的正應(yīng)力。6.2二向應(yīng)力狀態(tài)分析的解析法主平面的方位及極值正應(yīng)力將a0代入sa的計(jì)算公式，計(jì)算得到極大和極小正應(yīng)力6.2二向應(yīng)力狀態(tài)分析的解析法極值切應(yīng)力采用同樣的方法對(duì)ta式求導(dǎo)若a

=a1時(shí)，則a1確定的斜截面上的切應(yīng)力是極值。代入計(jì)算公式，得到:6.2二向應(yīng)力狀態(tài)分析的解析法極值切應(yīng)力極值正應(yīng)力所在的平面:極值切應(yīng)力所在的平面:6.2二向應(yīng)力狀態(tài)分析的解析法例題6.1求如圖所示單元體斜截面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力(應(yīng)力單位MPa)6.2二向應(yīng)力狀態(tài)分析的解析法6.2二向應(yīng)力狀態(tài)分析的解析法求如圖所示單元體主應(yīng)力的大小和方向以及最大切應(yīng)力

(應(yīng)力單位MPa)例題6.26.2二向應(yīng)力狀態(tài)分析的解析法6.2二向應(yīng)力狀態(tài)分析的解析法由此確定主應(yīng)力主單元體方位如圖最大切應(yīng)力6.3二向應(yīng)力狀態(tài)分析的圖解法6.3二向應(yīng)力狀態(tài)分析的圖解法ChristianOttoMohr(1835-1918)Mohr1835年生于德國北海岸的Wesselburen，16歲入Hannover技術(shù)學(xué)院學(xué)習(xí)。他是19世紀(jì)歐洲最杰出的土木工程師之一。與此同時(shí)，Mohr也一直在進(jìn)行力學(xué)和材料強(qiáng)度方面的理論研究工作。

Mohr出版過一本教科書并發(fā)表了大量的結(jié)構(gòu)及強(qiáng)度材料理論方面的研究論文，其中相當(dāng)一部分是關(guān)于用圖解法求解一些特定問題的。他提出了用應(yīng)力圓表示一點(diǎn)應(yīng)力的方法（所以應(yīng)力圓也被成為Mohr圓），并將其擴(kuò)展到三維問題。Mohr對(duì)結(jié)構(gòu)理論也有重要的貢獻(xiàn)，如計(jì)算梁撓度的圖乘法、應(yīng)用虛位移原理計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)的位移等。6.3二向應(yīng)力狀態(tài)分析的圖解法兩式取平方和若以sa，ta

為變量，則為圓方程圓心:半徑:

圓周上的每一個(gè)點(diǎn)的橫縱座標(biāo)分別代表所研究的單元體某截面的正應(yīng)力和切應(yīng)力，故稱應(yīng)力圓，或摩爾圓。6.3二向應(yīng)力狀態(tài)分析的圖解法應(yīng)力圓的畫法1.確定點(diǎn)D(sx,txy)2.確定點(diǎn)D'(sy,tyx)tyx=－txy3.連接DD‘與s

軸交于點(diǎn)C4.以C為圓心，CD（CD'）為半徑畫圓。6.3二向應(yīng)力狀態(tài)分析的圖解法圓心:半徑:6.3二向應(yīng)力狀態(tài)分析的圖解法確定角a斜截面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力D點(diǎn)代表的是以x軸為斜面外法線的面上的應(yīng)力（2倍角關(guān)系）6.3二向應(yīng)力狀態(tài)分析的圖解法求主單元體（主應(yīng)力大小及方位）注意A1,A2兩點(diǎn)這兩點(diǎn)的切應(yīng)力為0

主應(yīng)力6.3二向應(yīng)力狀態(tài)分析的圖解法求主單元體（主應(yīng)力大小及方位）主應(yīng)力是按照代數(shù)值排序的，而不是按照絕對(duì)值排序。6.3二向應(yīng)力狀態(tài)分析的圖解法求主單元體（主應(yīng)力大小及方位）6.3二向應(yīng)力狀態(tài)分析的圖解法求最大切應(yīng)力注意G1,G2兩點(diǎn)這兩點(diǎn)的切應(yīng)力為極值在二向應(yīng)力狀態(tài)平面內(nèi)的單元體的切應(yīng)力最大值切應(yīng)力極值所在的方位和主應(yīng)力所在的方位成45°角6.3二向應(yīng)力狀態(tài)分析的圖解法特殊應(yīng)力圓單向應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)力圓:6.3二向應(yīng)力狀態(tài)分析的圖解法特殊應(yīng)力圓純剪切應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力圓:6.3二向應(yīng)力狀態(tài)分析的圖解法特殊應(yīng)力圓二向等拉（壓）應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)力圓6.3二向應(yīng)力狀態(tài)分析的圖解法例題6.3用圖解法求如圖所示單元體斜截面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力(應(yīng)力單位MPa)6.3二向應(yīng)力狀態(tài)分析的圖解法確定比例尺按比例尺量得6.3二向應(yīng)力狀態(tài)分析的圖解法例題6.4用圖解法求如圖所示單元體主應(yīng)力的大小和方向以及最大切應(yīng)力

(應(yīng)力單位MPa)6.3二向應(yīng)力狀態(tài)分析的圖解法比例尺6.3二向應(yīng)力狀態(tài)分析的圖解法例題6.5

圓軸扭轉(zhuǎn)如圖所示，用解析法和應(yīng)力圓法計(jì)算截面周邊點(diǎn)A的主應(yīng)力大小和方向。6.3二向應(yīng)力狀態(tài)分析的圖解法解析法橫截面邊緣切應(yīng)力:單元體如圖3個(gè)主應(yīng)力按照代數(shù)排序6.3二向應(yīng)力狀態(tài)分析的圖解法圖解法純剪切狀態(tài)，其應(yīng)力圓6.3二向應(yīng)力狀態(tài)分析的圖解法

圓截面鑄鐵試件扭轉(zhuǎn)時(shí)，表面各點(diǎn)smax所在平面聯(lián)成傾角為45°的螺旋面。由于鑄鐵抗拉強(qiáng)度較低，試件將沿這一螺旋面因拉伸而發(fā)生斷裂破壞。6.3二向應(yīng)力狀態(tài)分析的圖解法6.4三向應(yīng)力狀態(tài)與廣義胡克定律6.4三向應(yīng)力狀態(tài)和廣義胡克定律三組特殊截面的應(yīng)力狀態(tài)平行于s1的截面平行于s2的截面平行于s3的截面6.4三向應(yīng)力狀態(tài)和廣義胡克定律三向狀態(tài)的應(yīng)力圓及應(yīng)力極值(1)三組特殊截面上的應(yīng)力都落在相應(yīng)的應(yīng)力圓圓周上。(2)對(duì)于不平行于任一主應(yīng)力的任意截面，其截面上的應(yīng)力都落在三個(gè)應(yīng)力圓之間的部分(圖示綠色區(qū)域)6.4三向應(yīng)力狀態(tài)和廣義胡克定律最大切應(yīng)力對(duì)于平行于主應(yīng)力s1的截面對(duì)于平行于主應(yīng)力s3的截面可見，最大切應(yīng)力tmax作用面與s2平行對(duì)于平行于主應(yīng)力s2的截面6.4三向應(yīng)力狀態(tài)和廣義胡克定律例題6.6

用圖解法求圖示單元體的主應(yīng)力和最大切應(yīng)力（應(yīng)力單位為MPa）,并作三向應(yīng)力圓。易知，單元體z平面為主平面。－30MPa應(yīng)為三個(gè)主應(yīng)力之一。在s－

t坐標(biāo)系中可得到其點(diǎn)C?？紤]x-y平面D(120,-30)D'(40,30)畫出應(yīng)力圓得到三個(gè)主應(yīng)力和最大切應(yīng)力6.4三向應(yīng)力狀態(tài)和廣義胡克定律廣義胡克定律GeneralizedHooke'sLaw一般應(yīng)力狀態(tài)下的線應(yīng)變和切應(yīng)變單向拉壓,線彈性范圍內(nèi)的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系同時(shí)引起的橫向應(yīng)變:純剪切,線彈性情況下:6.4三向應(yīng)力狀態(tài)和廣義胡克定律廣義胡克定律GeneralizedHooke'sLaw最一般情況下，描述一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)需要九個(gè)應(yīng)力分量，如圖所示:根據(jù)切應(yīng)力互等定理數(shù)值上相等獨(dú)立的應(yīng)力分量只有六個(gè)6.4三向應(yīng)力狀態(tài)和廣義胡克定律對(duì)于各向同性材料:

小變形及線彈性范圍內(nèi)，線應(yīng)變只和正應(yīng)力有關(guān)，與切應(yīng)力無關(guān)；而切應(yīng)變只和切應(yīng)力有關(guān)，與正應(yīng)力無關(guān)。

利用疊加法可求得各方向上的線應(yīng)變。6.4三向應(yīng)力狀態(tài)和廣義胡克定律=++++廣義胡克定律GeneralizedHooke'sLaw6.4三向應(yīng)力狀態(tài)和廣義胡克定律廣義胡克定律GeneralizedHooke'sLaw

利用同樣的方法可以求得y和z方向上的線應(yīng)變。最后可得:切應(yīng)變和切應(yīng)力之間，

與正應(yīng)力無關(guān)，因此:以上被稱為一般應(yīng)力狀態(tài)下的廣義胡克定律。6.4三向應(yīng)力狀態(tài)和廣義胡克定律廣義胡克定律GeneralizedHooke'sLaw主應(yīng)力狀態(tài)下的線應(yīng)變

對(duì)于單元體的面皆為主平面的應(yīng)力狀態(tài)，三個(gè)主應(yīng)力方向上的線應(yīng)變?yōu)椋篹1、e2、e3為主應(yīng)變。主應(yīng)變和主應(yīng)力的方向是重合的。6.4三向應(yīng)力狀態(tài)和廣義胡克定律例題6.7

用電阻應(yīng)變儀測(cè)得圖示受扭的圓軸表面上任意兩個(gè)成45°角方向的應(yīng)變值:e‘=3.25×10-4，e’‘=-5.63×10-4。已知E=200GPa,n

=0.3,d=10cm,求外力矩M。6.4三向應(yīng)力狀態(tài)和廣義胡克定律純剪切問題，畫出其應(yīng)力圓:取一個(gè)任意角度的單元體:由圖可得:根據(jù)廣義胡克定律:6.4三向應(yīng)力狀態(tài)和廣義胡克定律根據(jù)題意：在應(yīng)力圓上標(biāo)出:6.5復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變能密度6.5復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變能密度

物體在外力作用下發(fā)生彈性變形，外力所作的功將使物體積蓄變形能，當(dāng)外力卸除后，此變形能釋放并對(duì)外做功。

這種以彈性變形形式積蓄的能量被稱為彈性變形能。

若外力作用方式是緩慢加載，變形在彈性范圍內(nèi)，則可忽略動(dòng)能和其他能量損耗，而以外力作功的大小來計(jì)算彈性變形能的大小。6.5復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變能密度

外力F作用是緩慢加載，F(xiàn)-DL關(guān)系符合胡克定律，呈線性關(guān)系當(dāng)加載至F，變形為DL時(shí)，外力作功為圖示的陰影部分面積。外力作功:變形能:將上式除以桿的體積Alv

應(yīng)變能密度（StrainEnergyDensity）6.5復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變能密度三向應(yīng)力狀態(tài)下：代入廣義胡克定律:6.5復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變能密度物體的變形可以分成兩個(gè)部分:1、體積改變2、形狀改變。將三向應(yīng)力狀態(tài)的主單元體分為兩組:=+6.5復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變能密度

第一組應(yīng)力sm為體積應(yīng)力，在它的作用下單元體沿各方向均勻變形，無形狀變化。由此引起的變形能密度，稱為體積改變變形能密度。

由廣義胡克定律解出em

代入變形能密度公式，并簡(jiǎn)化得6.5復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變能密度

第二組應(yīng)力下單元體體積的改變量為0（自行驗(yàn)證），而各邊的變形不同，故只有形狀改變。第二組應(yīng)力引起的變形能密度稱為形狀改變變形能密度。

根據(jù)已經(jīng)求得的vv和v，

形狀改變變形能密度和體積改變變形能密度的和是總的變形能密度。一篇趣文正應(yīng)力與剪應(yīng)力凄美愛情故事https:///a/198489453_354905

在大部分時(shí)候，正應(yīng)力和剪應(yīng)力是在一起。主應(yīng)力在前，剪應(yīng)力默默跟著。在摩爾圓上行走。剪應(yīng)力很早就知道，有一個(gè)地方，剪應(yīng)力會(huì)變?yōu)榱?，你千萬不要去；但是正應(yīng)力從小的理想，就是為了到一個(gè)地方，成為主應(yīng)力。但是，有件事剪應(yīng)力一