湖北省武漢市部分重點(diǎn)中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期11月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖北省武漢市部分重點(diǎn)中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期11月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題注意事項：1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼貼在答題卡上的指定位置．2，選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．3．非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)．寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．4．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并上交．一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題所給的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.直線在軸上的截距為（）A. B.2 C. D.【答案】A【解析】令則直線在軸上的截距為-2，故選：A.2.已知直線繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)，得到直線，則不過第（）象限．A.四 B.三 C.二 D.一【答案】D【解析】對于直線（為斜率），直線，其斜率，設(shè)其傾斜角為，根據(jù)，可得，又因為傾斜角，所以.直線繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)，則直線的傾斜角.直線的斜率.因為直線過點(diǎn)，根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程（為直線上一點(diǎn)，為斜率），可得直線的方程為，即.直線的斜率為負(fù)，截距為負(fù)，所以直線不過第一象限.故選：D.3.已知某種設(shè)備在一年內(nèi)需要維修的概率為0.2．用計算器進(jìn)行模擬實(shí)驗產(chǎn)生1~5之間的隨機(jī)數(shù)，當(dāng)出現(xiàn)隨機(jī)數(shù)1時，表示一年內(nèi)需要維修，其概率為0.2，由于有3臺設(shè)備，所以每3個隨機(jī)數(shù)為一組，代表3臺設(shè)備一年內(nèi)需要維修的情況，現(xiàn)產(chǎn)生20組隨機(jī)數(shù)如下：412451312531224344151254424142435414135432123233314232353442據(jù)此估計一年內(nèi)這3臺設(shè)備都不需要維修的概率為（）A.0.4 B.0.45 C.0.5 D.0.55【答案】C【解析】由題意可知，代表事件“一年沒有1臺設(shè)備需要維修”的數(shù)組有：224，344，254，424，435，432，233，232，353，442，共10組，則由古典概型概率公式計算，知道估計一年內(nèi)這3臺設(shè)備都不需要維修的概率為故選：C.4.已知事件A，B互斥，它們都不發(fā)生的概率為，且，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為事件A，B互斥，所以它們都不發(fā)生的概率為，所以又因為，所以所以故選：D.5.現(xiàn)有一段底面周長為厘米和高為15厘米圓柱形水管，AB是圓柱的母線，兩只螞蟻分別在水管內(nèi)壁爬行，一只從A點(diǎn)沿上底部圓弧順時針方向爬行厘米后再向下爬行5厘米到達(dá)P點(diǎn)，另一只從B沿下底部圓弧逆時針方向爬行厘米后再向上爬行4厘米爬行到達(dá)Q點(diǎn)，則此時線段PQ長（單位：厘米）為（）A. B.12 C. D.【答案】B【解析】應(yīng)用圓柱的特征取上下底面的圓心連線為軸，BO所在直線為y軸，再過作的垂線為軸，如圖建系，過向圓作垂線垂足為，，設(shè)圓半徑為，所以，設(shè)，所以圓弧的長度為：，，則，同理，過向圓O作垂線垂足為，則，所以故選：B.6.概率論起源于博弈游戲17世紀(jì)，曾有一個“賭金分配”的問題：博弈水平相當(dāng)?shù)募住⒁覂扇诉M(jìn)行博弈游戲，每局比賽都能分出勝負(fù)，沒有平局．雙方約定：各出賭金210枚金幣，先贏3局者可獲得全部贖金．但比賽中途因故終止了，此時甲贏了2局，乙贏了1局，問這420枚金幣的賭金該如何分配？數(shù)學(xué)家費(fèi)馬和帕斯卡都用了現(xiàn)在稱之為“概率”的知識，合理地給出了賭金分配方案．該分配方案是（）A.甲315枚，乙105枚 B.甲280枚，乙140枚C.甲210枚，乙210枚 D.甲336枚，乙84枚【答案】A【解析】由題可知，對單獨(dú)每一局游戲，甲乙獲勝的概率均為，若游戲繼續(xù)進(jìn)行，最多再進(jìn)行2局即可分出勝負(fù)，①第四局甲贏，比賽結(jié)束，甲勝出，概率為；②第四局乙贏，第五局甲贏，比賽結(jié)束，甲勝出，概率為；③第四局乙贏，第五局乙贏，比賽結(jié)束，乙勝出，概率為；所以甲勝出的概率為，甲應(yīng)該分得賭金的，即甲分得賭金枚，乙分得賭金枚.故選：A.7.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，圓，點(diǎn)為軸上一動點(diǎn).現(xiàn)由點(diǎn)向點(diǎn)發(fā)射一道粗細(xì)不計的光線，光線經(jīng)軸反射后與圓有交點(diǎn)，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】方法一：作點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，則直線與圓有交點(diǎn)．又，所以直線的方程為，即．由題知圓的圓心為，半徑為1，直線與圓有交點(diǎn)，即圓心到直線的距離小于等于1，所以，解得．方法二：作點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，則直線與圓有交點(diǎn)，臨界情況為直線與圓相切．設(shè)切點(diǎn)為，令，易得，所以．因為直線的斜率為，所以直線的斜率．易得直線的方程為．所以．故選：A8.如圖所示，四面體的體積為，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)分別為線段的三等分點(diǎn)，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，過點(diǎn)的平面與棱分別交于，設(shè)四面體的體積為，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】連接，由題意知：；令，則，，四點(diǎn)共面，（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），；設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則點(diǎn)到平面的距離為，又，，，即最小值為.故選：C.二、多項選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分）9.給出下列命題，其中是真命題的是（）A.已知是空間的一個基底，若，則也是空間的一個基底B.平面經(jīng)過三點(diǎn)，，，向量是平面的法向量，則C.若，則是銳角D.若對空間中任意一點(diǎn)，有，則M，A，B，C四點(diǎn)不共面【答案】AB【解析】若不是空間的一個基底，則共面，所以存在實(shí)數(shù)，使得，所以，，這是不可能的，A正確；，向量是平面的法向量，則，，.故選項B正確，當(dāng)夾角為時，故選項C錯誤,若，則，即，所以，，所以共面，所以四點(diǎn)共面，D錯；故選：AD．10.下列命題正確的是（）A.設(shè)A，B是兩個隨機(jī)事件，且，，若，則A，B是相互獨(dú)立事件B.若，，則事件A，B相互獨(dú)立與A，B互斥有可能同時成立C.若三個事件A，B，C兩兩相互獨(dú)立，則滿足D.若事件A，B相互獨(dú)立，，，則【答案】AD【解析】對于A選項，已知，，，而，即，所以、是相互獨(dú)立事件，A選項正確.對于B選項，若、互斥，則，.若、相互獨(dú)立，則（因為，）.所以事件，相互獨(dú)立與，互斥不可能同時成立，B選項錯誤.對于C選項，設(shè)樣本空間，每個樣本點(diǎn)的概率為.定義，；，；，.，.，.，，所以A、B、C兩兩相互獨(dú)立.而，，，此時.C選項錯誤.對于D選項，因為、相互獨(dú)立，則與，與也相互獨(dú)立...所以，D選項正確.故選：AD.11.平面內(nèi)到兩個定點(diǎn)A，B的距離比值為一定值的點(diǎn)的軌跡是一個圓，此圓被稱為阿波羅尼斯圓，俗稱“阿氏圓”．已知平面內(nèi)點(diǎn)，,動點(diǎn)滿足，記點(diǎn)的軌跡為，則下列命題正確的是（）A.點(diǎn)的軌跡的方程是B.過點(diǎn)的直線被點(diǎn)的軌跡所截得的弦的長度的最小值是1C.直線與點(diǎn)的軌跡相離D.已知點(diǎn)，點(diǎn)是直線上的動點(diǎn)，過點(diǎn)作點(diǎn)的軌跡的兩條切線，切點(diǎn)為C，D，則四邊形面積的最小值是3【答案】ACD【解析】對于A,設(shè)，已知，，且.根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式，.則.兩邊平方可得.展開整理得，配方可得，所以A選項正確.對于B,點(diǎn)到圓心距離為.圓的半徑.根據(jù)弦長公式，當(dāng)最大弦長最小，最大為圓心到點(diǎn)的距離.所以弦長最小值為，所以B選項錯誤.對于C,圓心到直線的距離.因為（圓的半徑），所以直線與圓相離，C選項正確.對于D,四邊形的面積，因為.要使面積最小，則最小，即圓心到直線的距離與半徑的關(guān)系.圓心到直線的距離..所以四邊形面積最小值，D選項正確.故選：ACD.三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12.拋擲兩個質(zhì)地均勻骰子，則“拋擲的兩個骰子的點(diǎn)數(shù)之和是6”的概率為______．【答案】【解析】拋擲兩個質(zhì)地均勻的骰子出現(xiàn)的所有情況有：1234561╳╳╳╳√╳2╳╳╳√╳╳3╳╳√╳╳╳4╳√╳╳╳╳5√╳╳╳╳╳6╳╳╳╳╳╳共36種情況，其中“拋擲的兩個骰子的點(diǎn)數(shù)之和是6”的有5種，所以所求概率為.故答案為：.13.已知曲線與直線有兩個相異的交點(diǎn)，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是__________．【答案】【解析】由題意，，直線是與平行的直線，如圖所示：當(dāng)直線與曲線相切時，(負(fù)舍)當(dāng)時，，結(jié)合圖形分析得的取值范圍是.故答案為：.14.在空間直角坐標(biāo)系中，，，，，，P為所確定的平面內(nèi)一點(diǎn)，設(shè)的最大值是以為自變量的函數(shù)，記作．若，則的最小值為__________．【答案】【解析】如圖所示，由已知可得，，，則，，即，，又，，平面，則平面，①當(dāng)，兩點(diǎn)在平面同側(cè)或一點(diǎn)在平面上時，，當(dāng)且僅當(dāng)，有一點(diǎn)在平面上時取等號；即；②當(dāng)，兩點(diǎn)在平面異側(cè)時：設(shè)平面與直線交于點(diǎn)，將延拓，如圖所示，則，由，，，平面，則平面，即，抽象出平面如圖所示，則，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最小值，由，且，，，則，即，，則，，又，則，即，所以，所以，符合故答案為：.四、解答題（本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）15.“體育強(qiáng)則中國強(qiáng)，國運(yùn)興則體育興”．為備戰(zhàn)2025年杭州舉辦的國際射聯(lián)射擊世界杯，某射擊訓(xùn)練隊制訂了如下考核方案：每一次射擊中10環(huán)、中8環(huán)或9環(huán)、中6環(huán)或7環(huán)、其他情況，分別評定為A，B，C，D四個等級，各等級依次獎勵6分、4分、2分、0分．假設(shè)評定為等級A，B，C的概率分別是，，．（1）若某射擊選手射擊一次，求其得分低于4分的概率；（2）若某射擊選手射擊兩次，且兩次射擊互不影響，求這兩次射擊得分之和為8分的概率．解：（1）設(shè)事件A，B，C，D分別表示“被評定為等級A，B，C，D”．由題意得，事件A，B，C，D兩兩互斥，所以．所以．因此其得分低于4分的概率為；（2）設(shè)事件，，，表示“”第i次被評定為等級A，B，C，D，．則“兩次射擊得分之和為8分”為事件，且事件，，互斥，，，所以兩次射擊得分之和為8分的概率.16.已知的頂點(diǎn)，邊AB上的中線CD所在直線方程為，邊AC上的高線BE所在直線方程為．（1）求邊BC所在直線的方程；（2）求的面積．解：（1）因為，所以設(shè)直線AC的方程為：，將代入得，所以直線AC的方程為：，聯(lián)立AC，CD所在直線方程：，解得，設(shè)，因為為AB的中點(diǎn)，所以，因為在直線BE上，在CD上，所以，，解得，，所以，，所以BC所在直線的方程為：，即．（2）由（1）知點(diǎn)到直線BC的距離為：，又，所以．17.如圖所示，已知斜三棱柱中，，，，在上和BC上分別有一點(diǎn)和且，，其中．（1）求證：，，共面；（2）若，且，設(shè)為側(cè)棱上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，求直線與平面所成角的正弦值．解：（1）因為，，所以．由共面向量定理可知，，，共面．（2）取BC的中點(diǎn)為，在中，，，由余弦定理可得，所以，依題意，均為正三角形，所以，，又，平面，平面，所以平面，因為平面，所以平面平面，所以在平面內(nèi)作，則平面，以O(shè)A，OC，Oz所在直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示：則，，，，，，設(shè)是平面的一個法向量，，，則，即，取得，依題意可知，則．設(shè)直線與平面所成角為，則．故直線與平面所成角的正弦值為．18.已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，，，平面內(nèi)動點(diǎn)P滿足（1）求點(diǎn)P的軌跡方程；（2）點(diǎn)P軌跡記為曲線C，若曲線C與x軸的交點(diǎn)為M，N兩點(diǎn)，Q為直線l：上的動點(diǎn)，直線MQ，NQ與曲線C的另一個交點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，直線EF與x軸交點(diǎn)為K，求的最小值．解：（1）設(shè)動點(diǎn)坐標(biāo)，因為動點(diǎn)P滿足，且，，所以，化簡可得，，即，所以點(diǎn)P的軌跡方程為.（2）曲線C：中，令，可得，解得或，可知,當(dāng)直線為斜率為0時，即為直徑，長度為8，當(dāng)直線為斜率不為0時，設(shè)的直線方程為，聯(lián)立消去可得：，化簡可得；由韋達(dá)定理可得，因為，所以，的斜率為，又點(diǎn)在曲線C上，所以,可得，所以，所以，方程為，，令可得，化簡可得；，又在直線上，可得，，所以，化簡可得；，又，代入可得，化簡可得，，，所以或，當(dāng)時為，必過，不合題意，當(dāng)時為，必過，又即為圓的弦長，所以當(dāng)直徑時弦長最小，此時半徑圓心到直線的距離為綜上，的最小值.19.對于三維向量，定義“F變換”：，其中,,,.記，．（1）若，求及；（2）證明：對于任意，必存在，使得經(jīng)過次F變換后，有；（3）已知，，將再經(jīng)過次F變換后，最小，求的最小值．解：（1）因為，，，所以，，（2