湖北省武漢市常青聯(lián)合體2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖北省武漢市常青聯(lián)合體2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.若直線的斜率為，且，則直線的傾斜角為（）A.或 B.或 C.或 D.或【答案】B【解析】設(shè)直線的傾斜角為，則因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，即，則；當(dāng)時(shí)，即，則，所以直線的傾斜角為或.故選：B.2.已知，分別是平面的法向量，若，則（）A. B. C.1 D.7【答案】B【解析】因?yàn)?，分別是平面的法向量，且，所以，即，解得故選：B3.設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，且，，成等差數(shù)列，則（）A.7 B.12 C.15 D.31【答案】C【解析】設(shè)公比為，因?yàn)?，，成等差?shù)列，所以，則，解得：或0（舍去）.因?yàn)?，所以，?故選：C4.已知在空間四邊形中，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)椋蔊為CD的中點(diǎn)，如圖，由平行四邊形法則可得，所以.故選：A.5.已知直線：被圓截得的弦長為，則點(diǎn)與圓上點(diǎn)的距離最大值為（）A. B. C.2 D.4【答案】A【解析】由題可得，圓的半徑，圓心到直線的距離為，直線被圓截得的弦長為，解得或（舍去），則點(diǎn)的坐標(biāo)為，該點(diǎn)到圓心的距離為，所以點(diǎn)到圓上點(diǎn)距離最大值為，故選:A.6.加斯帕爾蒙日是世紀(jì)法國著名的幾何學(xué)家，他在研究圓錐曲線時(shí)發(fā)現(xiàn)：橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，其圓心是橢圓的中心，這個(gè)圓被稱為“蒙日?qǐng)A”（如圖所示）.當(dāng)橢圓方程為時(shí),蒙日?qǐng)A方程為.已知長方形的四邊均與橢圓相切，則下列說法錯(cuò)誤的是（）A.橢圓的離心率為B.若為正方形，則的邊長為C.橢圓的蒙日?qǐng)A方程為D.長方形的面積的最大值為【答案】B【解析】對(duì)于A，由橢圓方程知：，，則，橢圓的離心率，A正確；對(duì)于BC，由A知：橢圓對(duì)應(yīng)的蒙日?qǐng)A方程為：，正方形是圓的內(nèi)接正方形，正方形對(duì)角線長為圓的直徑，正方形的邊長為，B錯(cuò)誤，C正確；對(duì)于D，設(shè)長方形的長和寬分別為，長方形的對(duì)角線長為圓的直徑，，長方形的面積（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），即長方形的面積的最大值為，D正確.故選：B.7.數(shù)列的前n項(xiàng)和為，對(duì)一切正整數(shù)n，點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，（且）．則數(shù)列的前項(xiàng)和為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由題意得，當(dāng)時(shí)，，又滿足上式，，.，.故選：C.8.雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，，過的直線與雙曲線C的左右兩支分布交于兩點(diǎn)M，N，若，，則雙曲線的離心率為（）A.2 B. C.3 D.【答案】D【解析】根據(jù)雙曲線的定義：，，設(shè)，則，，，因?yàn)椋?，得?在△中，由余弦定理得，整理得，.故選：D.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列說法正確的是（）A.若直線經(jīng)過第一?二?四象限，則點(diǎn)在第三象限B.直線過定點(diǎn)C.過點(diǎn)且斜率為的直線的點(diǎn)斜式方程為D.斜率為，在軸上的截距為的直線的方程為【答案】BC【解析】因?yàn)橹本€經(jīng)過第一?二?四象限，所以直線的斜率，截距.故點(diǎn)在第二象限，所以A中說法錯(cuò)誤.由整理得.所以無論取何值，都滿足方程.所以B中說法正確.由點(diǎn)斜式方程可知，過點(diǎn)且斜率為的直線的方程為.所以C中說法正確.由斜截式方程可知，斜率為，在軸上的截距為的直線的方程為.所以D中說法錯(cuò)誤.故選：BC10.如圖，在棱長為2的正方體中，點(diǎn)M在線段（不包含端點(diǎn)）上，則下列結(jié)論正確的有（）A.點(diǎn)在平面的射影為的中心B.直線平面C.三棱錐的體積不為定值D.異面直線與BM所成角為【答案】ABD【解析】對(duì)于選項(xiàng)A:連接,由正方體中可得面，因?yàn)槊?所以,因?yàn)榈酌鏋檎叫?，所?因?yàn)槊?所以面.因?yàn)槊?，所?由正方體中可得面，因?yàn)槊?所以,因?yàn)閭?cè)面為正方形，所以,因?yàn)槊?所以面.因?yàn)槊?，所?又因?yàn)槊?，所以面，正方體中易得,故三棱錐為正三棱錐，故點(diǎn)在平面的射影為的中心，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B:連接,正方體中易得所以四邊形為平行四邊形，所以因?yàn)槠矫?，而平面，所以平?正方體中易得所以四邊形為平行四邊形，所以因平面，而平面，所以平面.又因?yàn)槊?所以面平面又因?yàn)槊?，所以直線平面，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C:設(shè)點(diǎn)到面的距離為,因?yàn)辄c(diǎn)M在線段，且平面，所以點(diǎn)到面的距離是定值.,所以三棱錐的體積為定值.故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D:因?yàn)槊?且面平面，所以面，面,所以.故異面直線與BM所成角為.故選項(xiàng)D正確.故選：ABD.11.如圖的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳析九章算法·商功》中，后人稱為“三角垛”：“三角垛”最上層有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球，第四層有10個(gè)球…設(shè)第n層有個(gè)球，從上往下n層球的總數(shù)為，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C.， D.【答案】BCD【解析】根據(jù)題意，，則有，當(dāng)時(shí)，，也滿足，所以.，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；，B選項(xiàng)正確；，，C選項(xiàng)正確；，，D選項(xiàng)正確.故選：BCD12.已知拋物線的焦點(diǎn)與橢圓的右焦點(diǎn)重合，拋物線的動(dòng)弦過點(diǎn)，過點(diǎn)且垂直于弦的直線交拋物線的準(zhǔn)線與點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為B.的最小值為2C.過兩點(diǎn)分別作，與準(zhǔn)線垂直，則為銳角三角形D.的面積不為定值【答案】ABD【解析】對(duì)于選項(xiàng)A：由橢圓的方程可知橢圓的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為，即拋物線的右焦點(diǎn)為，可得，即，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，易得，，此時(shí);當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為,聯(lián)立，可得，則所以，易知直線的方程為，聯(lián)立，可得，所以所以，綜上所述：的最小值為，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：由拋物線定義知：則，又因則，則,可知為直角三角形，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，易得，，此時(shí);當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，由選項(xiàng)B可得：,可得，顯然不為定值.故選項(xiàng)D正確；故選：ABD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，16題第一空2分，第二空3分，共20分．13.以橢圓長軸的端點(diǎn)為焦點(diǎn)，以橢圓的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的雙曲線方程為______．【答案】【解析】由可得其長軸的端點(diǎn)坐標(biāo)分別為、，又，故其焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為、，故該雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為、，且、為其頂點(diǎn)坐標(biāo)，又，故雙曲線方程為.故答案為：.14.已知等差數(shù)列，記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為______．【答案】【解析】，即，即，設(shè)數(shù)列的公差為，由，即有，可得，故.故答案為：.15.若兩條平行直線與之間的距離是，則______．【答案】10【解析】由題可得：，解的，此時(shí)方程為：；方程為：；則，即，解的或，又，所以；故.故答案為：.16.已知正四面體的棱長為3,底面所在平面上一動(dòng)點(diǎn)P滿足，則點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)軌跡的長度為_______________；直線與直線所成的角的取值范圍為______________.【答案】;【解析】設(shè)底面正的中心為，連接為正四面體，底面，又正四面體的棱長為3，在直角中，即點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)軌跡為以為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，因此運(yùn)動(dòng)軌跡長度為；以為原點(diǎn)，為x軸，為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)，且設(shè)直線與直線所成的角為，則，則又，，又，，即直線與直線所成的角的取值范圍為故答案為：，四、解答題：本題共6小題，共計(jì)70分．解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知直線和直線.（1）若，求實(shí)數(shù)的值；（2）若，求實(shí)數(shù)的值.解：（1）若，則，解得或2；（2）若，則，解得或1.時(shí)，，滿足，時(shí)，，此時(shí)與重合，所以.18.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的最大項(xiàng)是該數(shù)列的第幾項(xiàng)．解：（1）當(dāng)時(shí)，，不滿足上式，當(dāng)時(shí)，，故數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）由已知得，當(dāng)時(shí)，，則，即，得，即，所以當(dāng)，的最大項(xiàng)為第7項(xiàng)，又，所以數(shù)列的最大項(xiàng)是該數(shù)列的第項(xiàng).19.已知直線與拋物線恒有兩個(gè)交點(diǎn)A、B．（1）求p的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，直線l過拋物線C的焦點(diǎn)F，求此時(shí)線段的長度．解：（1）（法一）由題：，知恒過頂點(diǎn)，又與拋物線恒有兩個(gè)交點(diǎn)，將定點(diǎn)代入拋物線方程，故，解得，即的取值范圍為；（法二）將直線與拋物線方程聯(lián)立，得，得，又因?yàn)橹本€與拋物線恒有兩個(gè)交點(diǎn)，所以其判別式對(duì)恒成立，故須使方程的判別式，又，所以解得，即的取值范圍為．（2）由題，當(dāng)時(shí)，：，即，令得，由過焦點(diǎn)得；，所以拋物線：．將直線與拋物線方程聯(lián)立，并令，，得，由韋達(dá)定理得，又因經(jīng)過拋物線焦點(diǎn)，故．20.已知等比數(shù)列的公比，若，且分別是等差數(shù)列的第1，3，5項(xiàng)．（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）記，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．解：（1）由題意得，即，則，化簡(jiǎn)得：，解得（舍去）則，解得，所以．則，設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，所以．（2）由（1）可得：所以，故，兩式相減得：，化簡(jiǎn)可得：21.如圖，在四棱錐中，底平面為菱形且，為中點(diǎn)，．（1）求證：平面平面；（2）若平面平面，且，試問在線段上是否存在點(diǎn)，使二平面角的大小為，如存在，求的值，如不存在，說明理由．解：（1）連接，因?yàn)闉榱庑?，且，所以為等邊三角形，又為中點(diǎn)，所以，又，故，又，平面，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）由（1）知，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，即兩兩互相垂直，以為坐?biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，又，所以，則，所以，設(shè)，則，得到，易知平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面一個(gè)法向量為，又，，由，令，得，所以，又二平面角的大小為，所以，得到，整理得，又，解得，所以存在點(diǎn)使二平面角的大小為，且.22.已知橢圓的離心率為，左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P為橢圓C上任意一點(diǎn)，面積最大值為．（1）求橢圓C的方程；（2）過x軸上一點(diǎn)的直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，過A，B分別作直線的垂線，