湖北省新洲區(qū)部分學(xué)校2024屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖北省新洲區(qū)部分學(xué)校2024屆高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題第I卷（選擇題）一、選擇題1.設(shè)全集，集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，，故，故選：D2.若，則（）A.0 B.1 C. D.【答案】C【解析】由，得，則，所以．故選：C．3.已知平面向量，，若，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】平面向量，，則，由，則，解得.故選：D.4.已知，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)椋裕蔬x：B5.北京時(shí)間2023年2月10日0時(shí)16分，經(jīng)過(guò)約7小時(shí)的出艙活動(dòng)，神舟十五號(hào)航天員費(fèi)俊龍、鄧清明、張陸密切協(xié)同，圓滿完成出艙活動(dòng)全部既定任務(wù)，出艙活動(dòng)取得圓滿成功．載人飛船進(jìn)入太空需要搭載運(yùn)載火箭，火箭在發(fā)射時(shí)會(huì)產(chǎn)生巨大的噪聲，已知聲音的聲強(qiáng)級(jí)（單位：dB）與聲強(qiáng)x（單位：）滿足關(guān)系式：．若某人交談時(shí)的聲強(qiáng)級(jí)約為，且火箭發(fā)射時(shí)的聲強(qiáng)與此人交談時(shí)的聲強(qiáng)的比值約為，則火箭發(fā)射時(shí)的聲強(qiáng)級(jí)約為（）A.138dB B.132dB C.128dB D.122dB【答案】C【解析】設(shè)此人交談時(shí)的聲強(qiáng)為，火箭發(fā)射時(shí)的聲強(qiáng)為，則由題意得，解得，故，所以dB，故選：C.6.已知一次函數(shù)在坐標(biāo)軸上的截距相等且不為零，其圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，令，，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，當(dāng)時(shí)，n的值等于（）A.19 B.20 C.21 D.22【答案】B【解析】由一次函數(shù)在坐標(biāo)軸上的截距相等且不為零，可設(shè)，又因?yàn)槠鋱D象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則，解得，所以，即.可得，則，則，，解得.故選：B.7.函數(shù)的圖象大致是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，令，則，因此為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，AB錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，則，，則，于是，C錯(cuò)誤，D滿足.故選：D8.設(shè)函數(shù)在R上的導(dǎo)函數(shù)為，在上，且，有，則（）．A. B.C. D.【答案】A【解析】由，可得．設(shè)，則，所以是R上的奇函數(shù)，又在上，即，所以在上單調(diào)遞減，又是R上的奇函數(shù)，所以在上單調(diào)遞減，所以，即，因此，故，故A正確；所以，即，因此，故B不正確；所以，即，則，所以與的大小不能確定，故C不正確；所以，即，則，所以與的大小不確定，故D不正確.故選：A.二、選擇題:9.若、、，則下列命題正確的是（）A.若且，則B.若，則C.若且，則D.【答案】BD【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，若且，取，，則，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，若，則，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，若且，則，則，故，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故，D對(duì).故選：BD.10.如圖，已知二面角的棱上有A，B兩點(diǎn)，，，，，且，則（）A.當(dāng)時(shí)，直線與平面所成角的正弦值為B.當(dāng)二面角的大小為時(shí)，直線與所成角為C.若，則三棱錐的外接球體積的為D.若，則二面角的余弦值為【答案】ABD【解析】對(duì)A選項(xiàng)：當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋?，所以，所以直線與平面所成角為，又因?yàn)?，所以，因?yàn)?，，所以，所以，故A正確；對(duì)B選項(xiàng)：如圖，過(guò)A作，且，連接，，

則四邊形為正方形，所以，所以即為直線與所成角，因?yàn)?，四邊形為正方形，有，所以，又因?yàn)椋约礊槎娼堑钠矫娼?，即，由、、且、平面，所以平面，又四邊形為正方形，所以，所以平面，又平面，所以由且四邊形為正方形，，所以，所以，即，即直線與所成角為，故B正確；對(duì)于D，如圖，作，且，則二面角的平面角為，不妨取，由，在中，易得，在中，由余弦定理得，，過(guò)C點(diǎn)作交線段的延長(zhǎng)線于點(diǎn)O，則平面，過(guò)O點(diǎn)作，交線段的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，連接，則為二面角的平面角，易得，，，所以，故D正確.對(duì)C選項(xiàng)：同選項(xiàng)D可知，如圖，分別取線段，的中點(diǎn)G，M，連接，過(guò)G點(diǎn)作平面的垂線，

則球心O必在該垂線上，設(shè)球的半徑為R，則，又的外接圓半徑，則，所以四面體的外接球的體積為，故C錯(cuò)誤．故選：ABD.11.已知是定義在上的不恒為零的函數(shù)，且，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若對(duì)任意，，總有，則是奇函數(shù)B.若對(duì)任意，，總有，則是偶函數(shù)C若對(duì)任意，，總有，則D.若對(duì)任意，，總有，則【答案】ACD【解析】因?yàn)閷?duì)任意，，總有，所以令，得，令，得，所以，令，得，所以，令，得，又，所以，所以函數(shù)是奇函數(shù)，故A正確；因?yàn)閷?duì)任意，，總有，所以令，得，所以，令，得，即，所以，所以函數(shù)是奇函數(shù)，故B不正確；對(duì)于C選項(xiàng)，令，，得，由A選項(xiàng)得，又，所以解得，故C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，令，，則，解得，令，，則，解得，由B選項(xiàng)得是奇函數(shù)，所以，故D正確．故選：ACD．12.已知雙曲線的一條漸近線方程為，圓上任意一點(diǎn)處的切線交雙曲線于兩點(diǎn)M、N（）A.或2B.若與雙曲線左、右兩支相交，則的斜率的取值范圍是C.滿足的直線有且僅有一條D.為定值，且定值為2【答案】BD【解析】若焦點(diǎn)在軸上，則漸近線方程為，所以，解得，當(dāng)焦點(diǎn)在軸上，則漸近線方程為，所以,無(wú)解，故A錯(cuò)誤，故雙曲線方程為，設(shè)切線方程為，則，聯(lián)立，要使與雙曲線左、右兩支相交，則需要，化簡(jiǎn)可得，故，解得，故B正確，當(dāng)直線有斜率時(shí)，設(shè),則，且，則解得，當(dāng)直線無(wú)斜率時(shí)，，代入雙曲線中可得，此時(shí)，故滿足的直線有2條，故C錯(cuò)誤，代入以及可得所以，故選：BD.第II卷（非選擇題）三、填空題13.若命題“，”是假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________．【答案】【解析】若命題“，”是真命題，可得即可；易知在上單調(diào)遞增，所以，可得；又因?yàn)樵撁}是假命題，所以可得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：14.若直線和直線與圓四個(gè)交點(diǎn)構(gòu)成正方形，則_________．【答案】7【解析】圓的圓心為，半徑為，由題意直線和直線平行，且與圓的四個(gè)交點(diǎn)構(gòu)成正方形，則正方形的對(duì)角線為圓的直徑2，故正方形的邊長(zhǎng)為，則可知圓心到兩直線的距離相等且為，圓心到的距離為：，解得同理可得，又，不妨設(shè)所以，故答案為：715.如圖，桌面上的無(wú)蓋正方體容器內(nèi)裝有高度為的水，．現(xiàn)將容器繞著棱所在直線順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)容器中溢出的水剛好裝滿一個(gè)半徑為的半球形玻璃瓶時(shí)，容器內(nèi)水面交棱于，且．若不考慮容器厚度及其他因素影響，則______．【答案】【解析】由題意可知當(dāng)旋轉(zhuǎn)且水溢出后，剩余的水在正方體容器中形成一個(gè)三棱柱，故由長(zhǎng)方體、棱柱與球的體積公式可知，解得．故答案為：16.已知，分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過(guò)的直線與雙曲線左支交于A，B兩點(diǎn)，且，以為圓心，為半徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則的離心率為_(kāi)_____．【答案】【解析】法一、設(shè)點(diǎn)在第二象限．如圖，連接，．因?yàn)橐詾閳A心，為半徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以．不妨設(shè)，則．由雙曲線的定義可得，．在中，由勾股定理得，即，整理得．①在中，由勾股定理得，即，整理得．②聯(lián)立①②解得，則雙曲線的離心率．法二、設(shè)點(diǎn)在第二象限．如圖，連接，．因?yàn)橐詾閳A心，為半徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以．不妨設(shè)，則．由雙曲線的定義可得，，所以，即，整理得．①在中，；中，由余弦定理可得．因?yàn)?，所以，整理得．②?lián)立①②可得，則雙曲線的離心率．故答案為：四、解答題17.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且（1）求m，n的值；（2）求使成立的實(shí)數(shù)a的取值范圍．解：（1）解法一：因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以，得，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，時(shí)，是定義在上的奇函數(shù)．法二：是定義在上的奇函數(shù)，則在上恒成立，即在上恒成立，則，所以，又因?yàn)椋?，所以，．?）由（1）知，．因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，所以由，得，設(shè)，且，則，∵，∴，，，∴，∴，∴在上是增函數(shù)．所以，即，解得．故實(shí)數(shù)a的取值范圍是．18.某在建小區(qū)為了提高綠化率，創(chuàng)造更美好的生活環(huán)境，計(jì)劃再建一個(gè)四邊形花壇（四邊形）．已知米，．（1）若，米，求邊的長(zhǎng)；（2）若，求花壇面積的最大值．解：（1）如圖，連接．因?yàn)?，，所以是等邊三角形，所以，．又，所以在中，，，由余弦定理得，所以米．?）如圖，連接，由（1）知是等邊三角形，．在中，設(shè)，由正弦定理得，即，所以．所以．因?yàn)?，，所以?dāng)，即時(shí)，四邊形面積取得最大值，最大值為平方米，即花壇面積的最大值為平方米．19.如圖①所示，在中，，，，垂直平分．現(xiàn)將沿折起，使得二面角的大小為，得到如圖②所示的四棱錐．（1）求證：平面平面；（2）若Q為上一動(dòng)點(diǎn)，且，當(dāng)銳二面角的余弦值為時(shí)，求四棱錐的體積．（1）證明：因?yàn)榇怪逼椒?，則，，即，，且，，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以平面平面．?）解：由（1）可知：，，則為二面角的平面角，即．又因?yàn)椋詾榈冗吶切危谥?，因?yàn)?，，，可得，則，所以．連接，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以為等邊三角形．取的中點(diǎn)，連接，，則，，又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，則平面，且平面，所以．故以為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，可得，設(shè)，，則，解得，故，所以，．設(shè)平面的法向量為，則，令，則，則．設(shè)平面（即平面）的一個(gè)法向量為，則，令，則，可得，由題意可得，整理得，解得或（舍），所以．故，所以四棱錐體積為．20.已知函數(shù)，.（1）若的極大值為1，求實(shí)數(shù)a的值；（2）若，求證：.（1）解：的定義域?yàn)椋?當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，函數(shù)無(wú)極值；當(dāng)時(shí)，令，得，令，得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，取得極大值，極大值為，解得.經(jīng)驗(yàn)證符合題意，故實(shí)數(shù)a的值為.（2）證明：當(dāng)時(shí)，，故要證，即證.令，則，.令，，則，所以在上單調(diào)遞增，又因?yàn)椋?，所以，使得，即，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以.又因?yàn)?，即，所以，所以，即，故得證.21.已知正項(xiàng)遞增等比數(shù)列滿足是方程的兩根．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）數(shù)列依次為，規(guī)律是在和中間插入k項(xiàng)，所有插入的項(xiàng)構(gòu)成以3為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，求數(shù)列的前60項(xiàng)的和．（1）解：設(shè)的公比為，因?yàn)槭欠匠虄筛?，解方程得或，又因?yàn)闉檫f增等比數(shù)列，所以，則，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為．（2）解：因?yàn)樗胁迦氲捻?xiàng)構(gòu)成以3為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，又因?yàn)?，，所以?shù)列的前60項(xiàng)中含有的前10項(xiàng)，含有的前50項(xiàng)，所以數(shù)列的前60項(xiàng)和為．22.已知橢圓的離心率為，左、右頂點(diǎn)分別為，圓與軸正半軸交于點(diǎn)，圓在點(diǎn)處的切線被橢圓截得的弦長(zhǎng)為.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)橢圓上兩點(diǎn)滿足直線與在軸上的截距之比