湖南省婁底市名校聯(lián)考2025屆高三上學期11月月考數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1湖南省婁底市名校聯(lián)考2025屆高三上學期11月月考數(shù)學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若復數(shù)滿足，則在復平面內(nèi)對應的點位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】由，對應點為在第一象限.故選：A2.設集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，即，則，解得，所以，，所以，從而.故選：D.3.已知向量與是非零向量，且滿足在上的投影向量為，，則與的夾角為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設與的夾角為，在上的投影向量為所以，所以，所以鈍角，且.故選：A4.最早的測雨器記載見于南宋數(shù)學家秦九韶所著的《數(shù)書九章》（1247年）.該書第二章為“天時類”，收錄了有關降水量計算的四個例子，分別是“天池測雨”、“圓罌測雨”、“峻積驗雪”和“竹器驗雪”.如圖“竹器驗雪”法是下雪時用一個圓臺形的器皿收集雪量（平地降雪厚度器皿中積雪體積除以器皿口面積），已知數(shù)據(jù)如圖（注意：單位），則平地降雪厚度的近似值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如題圖所示，可求得器皿中雪表面的半徑為，所以平地降雪厚度的近似值為.故選：C.5.定義：滿足為常數(shù)，）的數(shù)列稱為二階等比數(shù)列，為二階公比.已知二階等比數(shù)列的二階公比為，則使得成立的最小正整數(shù)為（）A.7 B.8 C.9 D.10【答案】B【解析】由題意知二階等比數(shù)列的二階公比為，則，故，將以上各式累乘得：，故，令，由于，故，即，又的值隨n的增大而增大，且，當時，，當時，，故n的最小值為8，故選：B6.已知函數(shù)，若滿足，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為函數(shù)定義域為關于原點對稱，且，所以是定義在上的偶函數(shù)，又，當時，，則，所以在單調(diào)遞增，又，則，且，則不等式可化為，即，且是定義在上的偶函數(shù)，在單調(diào)遞增，則，即，即，所以，即實數(shù)的取值范圍是.故選：A7.在中，角所對的邊分別為，，若表示的面積，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為，由正弦定理得，所以，由余弦定理得，所以，令，則，當且僅當，即時取等號，所以，故選：D.8.已知函數(shù)在區(qū)間上的最小值恰為，則所有滿足條件的的積屬于區(qū)間（）A. B. C. D.【答案】C【解析】當時，因為此時的最小值為，所以，即.若，此時能取到最小值，即，代入可得，滿足要求；若取不到最小值，則需滿足，即，在上單調(diào)遞減，所以存在唯一符合題意；所以或者，所以所有滿足條件的的積屬于區(qū)間，故選：C二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，有選錯的得0分，部分選對的得部分分.9.下列結論正確的是（）A.若，則B.若，則的最小值為2C.若，則的最大值為2D.若，則【答案】AD【解析】因為，所以，因為，所以，所以，故A正確；因為的等號成立條件不成立，所以B錯誤；因為，所以，故C錯誤；因為，當且僅當，即時，等號成立，所以D正確.故選：AD10.已知定義域在R上的函數(shù)滿足：是奇函數(shù)，且，當，，則下列結論正確的是（）A.的周期 B.C.在上單調(diào)遞增 D.是偶函數(shù)【答案】BC【解析】由于是奇函數(shù)，所以，則又，則，所以，所以的周期為8，A錯誤，，，故B正確，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)結合，，作出函數(shù)圖象為：由圖象可知：在上單調(diào)遞增，C正確，由于的圖象不關于對稱，所以不是偶函數(shù)，D錯誤故選：BC11.在四棱錐中，底面ABCD是矩形，，，平面平面ABCD，點M在線段PC上運動（不含端點），則（）A.存在點M使得B.四棱錐外接球的表面積為C.直線PC與直線AD所成角為D.當動點M到直線BD的距離最小時，過點A，D，M作截面交PB于點N，則四棱錐的體積是【答案】BCD【解析】如圖1，取AD的中點G，連接GC，PG，BD，,則，因為平面平面ABCD，平面平面，平面，所以平面ABCD，平面，則．又因為，所以，又，平面，所以平面PGC．因為平面PGC，平面PGC，所以不成立，A錯誤．因為△APD為等腰直角三角形，將四棱錐的側面APD作為底面一部分，補成棱長為1的正方體．如圖2，則四棱錐的外接球即為正方體的外接球，其半徑，即四棱錐外接球的表面積為，B正確．如圖2，直線PC與直線AD所成角即為直線PC與直線BC所成角，為，C正確．如圖1，因為平面PGC，當動點M到直線BD距離最小時，由上推導知，，，，，，，因此M為PC的中點．如圖3，由M為PC的中點，即為中點,平面即平面與的交點也即為與的交點,可知N為QA的中點，故，D正確．故選：BCD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知數(shù)列滿足，則數(shù)列的通項公式為__________．【答案】【解析】數(shù)列中，，，顯然，則有，即，而，因此數(shù)列是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以，即．13.已知函數(shù)，若的最小值為，則________．【答案】【解析】，，所以，或，，所以．14.已知函數(shù)，若函數(shù)的圖象在點和點處的兩條切線相互平行且分別交軸于、兩點，則的取值范圍為______.【答案】【解析】當時，，，則，當時，，，則，因為函數(shù)的圖象在點和點處的兩條切線相互平行，則，即，則，，，所以，，令，其中，則，當時，，此時函數(shù)在0,1上單調(diào)遞減，當時，，此時函數(shù)在1,+∞上單調(diào)遞增，所以，，因此，的取值范圍是.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.15.在中，內(nèi)角、、的對邊分別為、、，已知．（1）若，，求的面積；（2）求的最小值，并求出此時的大?。猓海?）由題意得，因為，所以，故，又，所以．因為、是的內(nèi)角，所以為鈍角，所以，所以，所以是等腰三角形，則，所以．（2）由（1）可知，中，，即為鈍角，則，因為，，所以，設，則，由，故，當且僅當，即，結合鈍角，即當時等號成立，所以的最小值是5，此時．16.如圖，在正三棱錐中，有一半徑為1半球，其底面圓O與正三棱錐的底面貼合，正三棱錐的三個側面都和半球相切．設點D為BC的中點，．（1）用分別表示線段BC和PD長度；（2）當時，求三棱錐的側面積S的最小值．解：（1）連接OP，由題意O為的中心，且面ABC，又面ABC，所以，所以為直角三角形．設半球與面PBC的切點為E，則且．在中，，所以．在中，．（2）由題知，，化簡得，，令，則上述函數(shù)變形為，，所以，令，得．當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，所以當時，三棱錐的側面積S的最小值為．17.已知函數(shù).（1）若函數(shù)在處的切線與直線垂直，求實數(shù)的值.（2）若函數(shù)存在兩個極值點，求實數(shù)的取值范圍.解：（1），，則，解得.（2），由題設可知有兩個不同的零點，且在零點的附近的符號發(fā)生變化.令，則，若，則，則為0,+∞上為增函數(shù)，在0,+∞上至多有一個零點.當時，若，則，故在上為增函數(shù)，若，則，故在上為減函數(shù)，故，故.又且，故在上存在一個零點；下證當時，總有.令，則，當時，，故為上的減函數(shù)，故，故成立.令，則，故當時，有，取，則當時，有，故，故在上，存在實數(shù)，使得，由零點存在定理及的單調(diào)性可知可得在上存在一個零點.綜上可知，實數(shù)的取值范圍是.18.已知數(shù)列滿足，記數(shù)列的前項和為．（1）求；（2）已知且，若數(shù)列是等比數(shù)列，記的前項和為，求使得成立的的取值范圍．解：（1）①②②-①得，，得．當時，①式為，得，也滿足上式．，數(shù)列an是等差數(shù)列，所以．（2），則數(shù)列是以1為首項，3為公比的等比數(shù)列，，又，得，得．令，即，即．當時，經(jīng)驗證，（*）式滿足要求．令，則，所以當時，，即當時，式不成立．使得成立的的取值范圍是．19.牛頓法(Newton'smethod)是牛頓在17世紀提出的一種用導數(shù)求方程近似解的方法，其過程如下：如圖，設r是的根，選取x．作為r的初始近似值，過點作曲線的切線L，L的方程為.如果，則L與x軸的交點的橫坐標記為，稱為r的一階近似值．再過點作曲線的切線，并求出切線與x軸的交點橫坐標記為，稱為r的二階近似值．重復以上過程，得r的近似值序列：，根據(jù)已有精確度，當時，給出近似解．對于函數(shù)，已知.（1）若給定，求r的二階近似值；（2）設①試探求函數(shù)h(x)的最小值m與r的關系；②證明：