湖南省邵陽市新邵縣2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖南省邵陽市新邵縣2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題考生注意：1．本試卷分試題卷和答題卡兩部分，本試卷共22題，滿分150分，考試時量120分鐘.2．答題前，先將自己的姓名，準(zhǔn)考證號填寫在試題卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.3．選擇題的做題：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域無效.4．非選擇題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)無效.一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.已知，則直線AB的傾斜角為（）A.0° B.90° C.180° D.不存在【答案】B【解析】∵直線經(jīng)過A（0，1），B（0，﹣1）兩點，∴直線AB的斜率不存在，∴直線AB的傾斜角90°．故選B．2.如圖，在四面體OABC中，M在棱OA上，滿足，N，P分別是BC，MN的中點，設(shè)，，，用，，表示，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】根據(jù)空間向量可知，，故選：C3.已知橢圓的一個焦點坐標(biāo)為，則的值為（）A.1 B.3 C.7 D.9【答案】B【解析】由題意，，∴，，故選：B．4.設(shè),記不超過的最大整數(shù)為，如，，令，則，，，三個數(shù)構(gòu)成的數(shù)列（）A.是等比數(shù)列但不是等差數(shù)列B.是等差數(shù)列但不是等比數(shù)列C.既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列D.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列【答案】A【解析】=-1=,=1,故三個數(shù)成等比,選A．5.雙曲線的一個焦點與拋物線的焦點重合，則雙曲線離心率為（）A. B. C.2 D.3【答案】C【解析】拋物線的焦點為，即為雙曲線的一個焦點坐標(biāo)，所以離心率為，故選：C．6.設(shè)等差數(shù)列的前項和為，若，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)可知，、、、成等差數(shù)列，且該數(shù)列的公差為，則，所以，，因此，.故選：D.7.已知，，是圓：上的動點，則外接圓的周長的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】中點橫坐標(biāo)為，所以外接圓的圓心在上，設(shè)圓心為，則半徑為，圓心距，圓，又因為在圓上，所以圓與圓有公共點，所以，顯然成立，兩邊同時平方可得，，所以，所以所以當(dāng)且僅當(dāng)解得時取得等號，所以周長的最小值為，故選:C.8.意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子繁殖問題時,發(fā)現(xiàn)有這樣一列數(shù)：，從第三項起，每個數(shù)都等于它前面兩個數(shù)的和，即，后來人們把這樣的一列數(shù)組成的數(shù)列稱為“斐波那契數(shù)列”.設(shè)數(shù)列的前項和為，記，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因，所以①，②，由①+②，得，又，即，所以.故選：C.二、選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分）9.已知a，b，c為非零實數(shù)，則下列說法正確的是（）A.是a，b，c成等差數(shù)列的充要條件B.是a，b，c成等比數(shù)列的充要條件C.若a，b，c成等比數(shù)列，則，，成等比數(shù)列D.若a，b，c成等差數(shù)列，則，，成等差數(shù)列【答案】AC【解析】對于選項A：根據(jù)等差中項即可得出是a，b，c成等差數(shù)列的充要條件，故A正確；對于選項B：，即，又a，b，c為非零實數(shù)，所以根據(jù)等比中項即可證明a，b，c成等比數(shù)列，a，b，c成等比數(shù)列，只能證明，即是a，b，c成等比數(shù)列的充分不必要條件，故B錯誤；對于選項C：若a，b，c成等比數(shù)列，則，則，則，，成等比數(shù)列，故C正確；對于選項D：若a，b，c成等差數(shù)列，則，無法得到，故D錯誤；故選：AC.10.已知方程，則下列說法中正確的有（）A.方程可表示圓B.當(dāng)時，方程表示焦點在軸上的橢圓C.當(dāng)時，方程表示焦點在軸上的雙曲線D.當(dāng)方程表示橢圓或雙曲線時，焦距均為10【答案】BCD【解析】對于A，當(dāng)方程可表示圓時，，無解，故A錯誤.對于B，當(dāng)時，，，表示焦點在軸上的橢圓，故B正確.對于C，當(dāng)時.，，，表示焦點在軸上的雙曲線，故C正確.對于D，當(dāng)方程表示雙曲線時，；當(dāng)方程表示橢圓時，，所以焦距均為10，故D正確.故選：BCD11.已知直線與橢圓C）交于A，B兩點，線段AB的中點為，則C的離心率可能是（）A. B. C. D.【答案】BD【解析】設(shè)，，則，從而，故，由題意可得，故，又因為，則，從而，因為，所以，橢圓C的離心率，所以橢圓離心率范圍為，故與滿足要求.故選：BD12.如圖，在直三棱柱中，，，點D，E分別是線段，上的動點（不含端點），且.則下列說法正確的是（）A.平面B.該三棱柱的外接球的表面積為C.異面直線與所成角的正切值為D.二面角的余弦值為【答案】ABD【解析】對于A項，因為，所以.根據(jù)直三棱柱的性質(zhì)可知，，所以，.因為平面，平面，所以，平面.故A項正確；對于B項，如圖，分別取的中點為，連接，則中點即為三棱柱的外接球的球心.又根據(jù)三棱柱的性質(zhì)可知，點也是的中點.由已知可得，，，，所以，.所以，，即外接球的直徑為，半徑為，表面積為.故B項正確；對于C項，因為，所以與所成的角即等于異面直線與所成角.在中，有.故C錯誤；對于D項，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，，，.設(shè)是平面的一個法向量，則，取，則.設(shè)為平面的一個法向量，則，取，則.所以，.又由圖可知，二面角為銳角，所以，二面角的余弦值為.故D正確.故選：ABD.三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.曲線在點處的切線方程為___________．【答案】【解析】所以，所以，曲線在點處的切線方程為，即．14.已知點是圓的動點，直線上存在兩點，使得能成立，則線段長度的最小值是_________．【答案】【解析】由圓得圓心,半徑.因為直線上存在兩點，使得恒成立，則以為直徑的圓包含圓，當(dāng)長度最小時，兩圓內(nèi)切，設(shè)中點為，則此時,所以.故答案為：15.已知數(shù)列滿足：，，，則______．【答案】1或8【解析】①若為偶數(shù)，則由可得，若為偶數(shù)，則由可得，進(jìn)而或者，均滿足要求，若為奇數(shù)，則由可得，不符合要求，舍去，②若為奇數(shù)，則由可得，不符合要求，舍去，綜上或，故答案為：1或816.已知橢圓的右焦點為，上頂點為，直線上上存在一點滿足，則橢圓的離心率的取值范圍為_________．【答案】【解析】取的中點Q，連接，如圖所示，

則，所以，所以，所以為等腰三角形，即，且，所以，又因為點在右準(zhǔn)線上，所以，即，所以，即，解得或，又，所以，故答案為：.四、解答題（本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.已知等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，數(shù)列的前項和為，求．解：（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，因為，，所以，即，解得或（舍去），所以．（2）因為，所以．18.已知以點為圓心的圓與直線相切．過點的直線與圓相交于兩點．（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）當(dāng)時，求直線的方程．解：（1）設(shè)圓A的半徑為r，由題意知，圓心到直線l的距離為，即，所以圓A的方程為；（2）當(dāng)直線與x軸垂直時，直線方程為，即，點A到直線的距離為1，此時，符合題意；當(dāng)直線與x軸不垂直時，設(shè)，即，取的中點Q，連接，則，因為，所以，又點A到直線的距離為，所以，解得，所以直線方程為．綜上，直線的方程為或．19.如圖，四棱錐中，，且，（1）求證：平面平面；（2）若是等邊三角形，底面是邊長為3的正方形，是中點，求直線與平面所成角的正弦值.解：（1）∵，∴，，又，∴，∵，面，∴面，平面ABCD,平面平面（2）∵平面平面，交AD于點F，平面，平面平面，∴平面，以為原點，，的方向分別為軸，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，求得法向量為，由，所以直線與平面所成角的正弦值為.20.已知數(shù)列的首項，且滿足．（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）若，數(shù)列前項的和為，求．解：（1）由，得，即，即，所以數(shù)列為等比數(shù)列，首項，公比（2）由（1）得，①②①-②，得21.已知函數(shù).（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）若，求函數(shù)的極值.解：（1），，，當(dāng)時，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)時，取，解得（舍去負(fù)值），當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減；綜上所述：當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）當(dāng)時，，取，解得（舍去負(fù)值），當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以有極大值為，無極小值.22.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點、，點的軌跡為.（1）求的方程；（2）設(shè)點在直線上，過的兩條直線分別交于、兩點和，兩點，且，求直線的斜率與直線的斜率之和.解：（1）因為，所以，軌跡是以點、為左、右焦點的雙曲線的右支，設(shè)軌跡的方程為，則，可得，，所以，軌跡的方程為.（2）[方法一]【最優(yōu)解】：直線方程與雙曲線方程聯(lián)立如圖所示，設(shè),設(shè)直線的方程為．聯(lián)立,化簡得，，則．故．則．設(shè)的方程為，同理．因為，所以，化簡得，所以，即．因為，所以．[方法二]：參數(shù)方程法設(shè)．設(shè)直線的傾斜角為，則其參數(shù)