江蘇省連云港市東?？h2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江蘇省連云港市東?？h2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.若，，，三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)的值為（）A.1 B.3 C.-1 D.-3【答案】B【解析】由題意可得，則，可得，解得.故選：B.2.已知兩條平行直線與間的距離為，則的值為（）A.或 B.或 C.或 D.或【答案】D【解析】由題意，根據(jù)平行線間的距離公式，，即，解得或.故選：D3.若雙曲線經(jīng)過點(diǎn)，兩條漸近線方程是，該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為，設(shè)該雙曲線的方程為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入雙曲線的方程可得，即雙曲線的方程為，化為標(biāo)準(zhǔn)式方程為.故選：A.4.圓：與圓：的位置關(guān)系是（）A.外離 B.外切 C.相交 D.內(nèi)切【答案】C【解析】圓：的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，圓：的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，所以兩圓圓心距為，所以，因此兩圓的位置關(guān)系為相交.故選：C.5.一動(dòng)圓與圓外切，與圓內(nèi)切，則該動(dòng)圓圓心的軌跡是（）A.圓 B.橢圓 C.雙曲線 D.拋物線【答案】B【解析】由可得，，圓心為，半徑；由可得，圓心為，半徑.設(shè)動(dòng)圓的圓心為，半徑為，由于動(dòng)圓和外切，根據(jù)兩圓外切的性質(zhì)，，由于動(dòng)圓和內(nèi)切，根據(jù)兩圓內(nèi)切的性質(zhì)，，于是，即動(dòng)點(diǎn)到的距離之和是，且大于兩定點(diǎn)間距離，根據(jù)橢圓的定義，動(dòng)圓圓心的軌跡是橢圓.故選：B6.若直線與直線交于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)是，則的斜率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設(shè)，由題意得，，又的中點(diǎn)是，則，故，又在上，則，故，又，故，于是，根據(jù)斜率公式，.故選：A7.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，點(diǎn)滿足到直線距離為1，且，則符合要求的點(diǎn)的個(gè)數(shù)有（）A.0個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)【答案】C【解析】由點(diǎn)滿足到直線的距離為1，得，即或，此時(shí)點(diǎn)在直線或上，由，得，則，此時(shí)點(diǎn)在以為圓心，2為半徑的圓上，點(diǎn)到直線距離為0，該直線與圓有2個(gè)公共點(diǎn)；點(diǎn)到直線的距離，該直線與圓有1個(gè)公共點(diǎn)，所以符合要求的點(diǎn)的個(gè)數(shù)有3個(gè).故選：C8.已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)為該拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，則的最大值為（）A. B. C. D.2【答案】B【解析】由拋物線，則焦點(diǎn)，準(zhǔn)線，作圖如下：由，垂足為，則，在中，，則，由圖可知當(dāng)與拋物線相切時(shí)，最小，設(shè)過與拋物線切線的切點(diǎn)為，則，即，由拋物線方程，可得，求導(dǎo)可得，切線斜率，可得切線方程為，將代入上式，可得，解得，由圖可知切線的方程為，則，此時(shí)取得最小值，則取得最大值2.故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.設(shè)直線過兩點(diǎn)和，則（）A.直線的斜率為 B.直線的傾斜角為C.直線在軸上的截距為 D.直線在軸上的截距為【答案】BC【解析】根據(jù)斜率公式，，故A錯(cuò)誤，設(shè)直線傾斜角為，由傾斜角的定義，，且，則，B正確，根據(jù)點(diǎn)斜式方程，直線的方程可寫作，即，令，則，令，則，故直線在軸上的截距為，在軸上的截距為，C正確，D錯(cuò)誤.故選：BC10.已知雙曲線的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，漸近線方程為，虛軸長(zhǎng)為4，則（）A.當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在軸上時(shí)，其實(shí)軸長(zhǎng)為2B.當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在軸上時(shí)，其共軛雙曲線為C.當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在軸上時(shí)，其離心率為D.雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離為2【答案】BD【解析】依題意，，當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，可設(shè)雙曲線方程為，則，解得，所以雙曲線方程為，對(duì)于A，由于，所以雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于C，由，得離心率為，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，可設(shè)雙曲線方程為，則，解得，所以雙曲線方程為，其共軛雙曲線中，所以雙曲線方程為，所以B正確，對(duì)于D，當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，由雙曲線的對(duì)稱性，不妨取焦點(diǎn)，則其到漸近線的距離為，當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，由雙曲線的對(duì)稱性，不妨取焦點(diǎn)，則其到漸近線的距離為，所以D正確，故選：BD11.已知曲線，則（）A.曲線關(guān)于直線對(duì)稱B.曲線的周長(zhǎng)為C.曲線所圍成圖形的面積為D曲線與直線有3個(gè)公共點(diǎn)【答案】ACD【解析】曲線上任意點(diǎn)有：，該點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，又，即由線上任意點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)仍在曲線上，所以曲線關(guān)于直線對(duì)稱，故A正確；因點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)，也都在曲線E上，則曲線E關(guān)于軸，軸對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，曲線的方程為，表示以點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓在直線上方的半圓（含端點(diǎn))，因此，曲線是四個(gè)頂點(diǎn)為，，2,0，0,2的正方形各邊為直徑向正方形外所作半圓圍成，如下圖所示，所以曲線圍成的圖形面積是，故C正確;曲線的周長(zhǎng)為，故B錯(cuò)誤；因?yàn)橹本€過點(diǎn)，，且經(jīng)過第一、二、四象限，又，當(dāng)時(shí)，曲線的方程為，曲線過點(diǎn)0,2，2,0，又圓心直線的距離，結(jié)合圖象可得，此時(shí)曲線與直線有個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，曲線的方程為，表示圓心為-1,1，半徑為的半圓（不包含端點(diǎn)），又-1,1到直線的距離，所以直線與圓相切，設(shè)過點(diǎn)-1,1且與直線垂直的直線方程為，則，解得，即為，由，解得，所以直線與有且只有一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，曲線方程為，表示圓心為，半徑為的半圓（包含端點(diǎn)），顯然與直線沒有公共點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，曲線的方程為，表示圓心為，半徑為的半圓（不包含端點(diǎn)），又點(diǎn)到直線的距離，則曲線：與直線沒有公共點(diǎn)；綜上可得：曲線與直線有個(gè)公共點(diǎn)，故D正確.故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知直線過原點(diǎn)，且到直線的距離等于4，則直線的斜率為________.【答案】【解析】由題意可知直線的斜率存在，設(shè)其為，則方程為，由題意可得，解得故答案為：.13.已知是橢圓上的一點(diǎn)，且以點(diǎn)及焦點(diǎn)，為頂點(diǎn)的三角形的面積等于1，則________.【答案】【解析】由橢圓，則，，所以，，設(shè)，由的面積為，則，解得，不妨設(shè)在第一象限，當(dāng)時(shí)，，解得，.故答案為：.14.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，過點(diǎn)的直線與雙曲線的左支交于、兩點(diǎn)，若，且，則雙曲線的離心率為________.【答案】【解析】由，令，則．由雙曲線的定義可知，．由，所以，即，得，解得．則有，，，．因?yàn)?，所以．由余弦定理可得，所以，得，所以雙曲線的離心率.故答案為：．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知直線，點(diǎn)，求：（1）經(jīng)過點(diǎn)且與直線垂直的直線方程；（2）點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn).解：（1）由直線，可得其斜率為2，所以可得與之垂直的直線的斜率為，所以過點(diǎn)與垂直的直線的方程為，即（2）設(shè)的坐標(biāo)為，則直線是線段的中垂線，所以解得所以的坐標(biāo)為16.已知圓經(jīng)過點(diǎn)，，.（1）求圓的方程；（2）求過點(diǎn)且與圓相切的直線方程.解：（1）設(shè)所求圓的方程為，因?yàn)辄c(diǎn)，，在所求的圓上，所以解得故所求圓的方程是.（2）當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，直線：與圓相切，滿足條件；當(dāng)直線不垂直于軸時(shí)，可設(shè)直線方程為即，所以圓心到直線的距離等于圓的半徑，從而，解得，因此，所求切線方程是或17.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，點(diǎn)滿足，記的軌跡為.（1）求的方程；（2）過點(diǎn)的直線與交于，兩點(diǎn)，且的面積為，求直線的方程.解：（1）因?yàn)?，由雙曲線定義可知的軌跡為雙曲線的右支，設(shè)實(shí)軸長(zhǎng)為，焦距為，虛軸長(zhǎng)為，，，所以的軌跡方程為；（2）設(shè)直線的方程為，，，由化簡(jiǎn)得，則，，，，，，，或.，，，，所以的方程為．18.設(shè)拋物線上的點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離為4，點(diǎn)到軸的距離為.（1）求拋物線的方程；（2）經(jīng)過焦點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，直線（為坐標(biāo)原點(diǎn)）交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)，求證：直線的斜率為定值.解：（1）設(shè)點(diǎn)，由已知，所以，又點(diǎn)到軸的距離為，即，即，由點(diǎn)在拋物線上，所以，解得或（舍去），故拋物線的方程為；（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則直線的方程為，①拋物線的準(zhǔn)線方程為，②聯(lián)立①②，可解得點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，由（1）知焦點(diǎn)，當(dāng)，即時(shí)，直線的方程為，聯(lián)立消去，可得，即，可得點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，與點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，于是直線的斜率為0，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，直線的方程為，與準(zhǔn)線的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，此時(shí)直線的斜率為0，當(dāng)時(shí)，同理可得直線的斜率為0，綜上，直線的斜率為定值0.19.已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，且過兩點(diǎn).（1）求的方程；（2）過點(diǎn)的兩直線交于，兩點(diǎn)，直線,與軸的交點(diǎn)分別為，，且，的中點(diǎn)為，證明