江蘇省兩校2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江蘇省兩校2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因?yàn)椋?，所?故選：B.2.命題“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】由全稱命題的否定知：原命題的否定為，.故選：D.3.十六世紀(jì)中葉，英國數(shù)學(xué)家雷科德在《礪智石》一書中首先把“＝”作為等號使用，后來英國數(shù)學(xué)家哈利奧特首次使用“＜”和“＞”符號，并逐漸被數(shù)學(xué)屆接受，不等號的引入對不等式的發(fā)展影響深遠(yuǎn)．若a，b，c∈R，則下列命題正確的是（）A.若a＜b，則 B.若a＞b＞0，則C.若a＞b，則 D.若，則a＞b【答案】D【解析】當(dāng)時(shí)，，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；，所以，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤；時(shí)，，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤；時(shí)，，所以選項(xiàng)D正確.故選：D.4.下列函數(shù)在定義域范圍內(nèi)既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】對于A，函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，故A錯(cuò)誤；對于B，函數(shù)是奇函數(shù)，在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，故B錯(cuò)誤；對于C，因?yàn)?，函?shù)為奇函數(shù)，函數(shù)在R上單調(diào)遞增，故C正確；對于D，函數(shù)在定義域內(nèi)不單調(diào)，故D錯(cuò)誤.故選：C.5.數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休，這就是數(shù)形結(jié)合的思想.在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和研究中，常利用函數(shù)的圖象來研究函數(shù)的性質(zhì)，也常利用函數(shù)的解析式來琢磨函數(shù)的圖象的特征，則函數(shù)的圖象大致是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由題可知，函數(shù)定義域?yàn)椋?，所以，所以奇函?shù)，排除選項(xiàng)A；當(dāng)時(shí)，，排除選項(xiàng)B；當(dāng)時(shí)，分母，分子，此時(shí)函數(shù)值小于零，排除選項(xiàng)C.故選：D.6.下列命題中的真命題是（）A.，B.若，則的最小值是C.“”的充要條件是“”D.“，”是“”的充分條件【答案】D【解析】A選項(xiàng)，因?yàn)椋?，即，，故A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，，因?yàn)?，所以，，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，所以的最大值是，無最小值，故B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，滿足，但不滿足，充分性不成立，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，由，，可以推出，所以“，”是“”的充分條件，故D正確.故選：D.7.已知不等式的解集是，則不等式的解集是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】依題意，是方程的二實(shí)根，且，于是，且，解得，不等式化為：，解得，所以所求不等式的解集為.故選：A.8.已知，，若時(shí)，關(guān)于x的不等式恒成立，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意，時(shí)，，時(shí)，，所以，，故，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立.故選：C．二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．9.下列命題為真命題的是（）A.方程有唯一解的充要條件是B.若p是q的必要不充分條件，p是r的充要條件，則q是r的充分不必要條件C.“的定義域是”的充要條件是“”D.若，，且，則的最大值為9【答案】BC【解析】對于A：當(dāng)時(shí)，，有唯一解，當(dāng)時(shí)，，解得，所以方程有唯一解的充要條件是或，該選項(xiàng)不符合題意；對于B：若p是q的必要不充分條件，p是r的充要條件，則，所以，則q是r的充分不必要條件，該選項(xiàng)符合題意；對于C：因?yàn)榈亩x域是，所以對，恒成立，則，解得，所以“的定義域是”的充要條件是“”，該選項(xiàng)符合題意；對于D：，，且，則，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，此時(shí)的最大值為81，該選項(xiàng)不符合題意.故選：BC.10.給定函數(shù)，，用表示，中較小者，記為對于函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.增區(qū)間為0,1B.值域?yàn)镃.，D.若有三解，則【答案】ABD【解析】作出函數(shù)，的圖像如圖：因?yàn)楸硎?，中較小者，所以當(dāng)時(shí)，即，即，當(dāng)時(shí)，即，即或，當(dāng)時(shí)，此時(shí)或，可得到的圖像如圖：由圖像可得增區(qū)間為0,1，值域?yàn)?，故選項(xiàng)A、B正確；，，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；若有三解，即與有三個(gè)交點(diǎn)，則，故選項(xiàng)D正確.故選：ABD.11.已知函數(shù)，是定義在上的函數(shù)，其中是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，且，若對于任意，都有，則實(shí)數(shù)可能的值為（）A. B.0 C. D.1【答案】ABC【解析】由題意得：為奇函數(shù)，；為偶函數(shù)，；將代入到得：，與原式聯(lián)立可得：，又因，等價(jià)于，整理得，令，則在為單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)為減函數(shù)加減函數(shù)，則在為單調(diào)遞減，則A正確；當(dāng)時(shí)，，則在為單調(diào)遞減，則B正確；當(dāng)時(shí)，為對勾函數(shù)，根據(jù)對勾函數(shù)的性質(zhì)可知，，即，所以在為單調(diào)遞減，C正確.當(dāng)時(shí)，為對勾函數(shù)，根據(jù)對勾函數(shù)的性質(zhì)可知，，即，在為單調(diào)遞增，D錯(cuò)誤.故選：ABC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知，將化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪形式，則__________.【答案】【解析】.13.如果冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，那么______．【答案】【解析】設(shè)，由已知，則，∴，．14.權(quán)方和不等式作為基本不等式的一個(gè)變化，在求二元變量最值時(shí)有很廣泛的應(yīng)用，其表述如下：設(shè)正數(shù)a，b，x，y，滿足，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，則函數(shù)的最小值為__________．【答案】49【解析】因?yàn)檎龜?shù)a，b，x，y，滿足，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號成立，此時(shí)的最小值為49.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知集合，.（1）若，求；（2）已知，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1），解得.因，所以，又因?yàn)?，所以．?）依題意，或，由于，所以，解得，所以的取值范圍為．16.已知函數(shù)（且）在上的最大值與最小值之和為20，記．（1）求a的值及函數(shù)的值域；（2）證明：為定值；并求的值．解：（1）由題意有，解得或（舍去），則，∵，∴，，，∴，函數(shù)的值域?yàn)?（2），.17.已知冪函數(shù)在上是減函數(shù)，.（1）求的解析式；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）由函數(shù)冪函數(shù)得，解得或，又函數(shù)在上是減函數(shù)，則，即，所以，.（2）由（1）得，所以不等式為，設(shè)函數(shù)，則函數(shù)的定義域?yàn)?，且函?shù)在上單調(diào)遞減，所以解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.18.新能源開發(fā)能夠有效地解決我國能源短缺和傳統(tǒng)能源使用帶來的環(huán)境污染問題，國家新能源政策的出臺，給新能源產(chǎn)業(yè)帶來了春天，已知江蘇某新能源企業(yè)，年固定成本萬，每生產(chǎn)臺設(shè)備，另需投入成本萬元，若年產(chǎn)量不足臺，則；若年產(chǎn)量不小于臺，則，每臺設(shè)備售價(jià)萬元，通過市場分析，該企業(yè)生產(chǎn)的設(shè)備能全部售完.（1）寫出年利潤（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量（臺）的關(guān)系式；（2）年產(chǎn)量為多少臺時(shí)，該企業(yè)所獲利潤最大？解：（1）依題意，若年產(chǎn)量不足臺，另外投本，固定投本萬，總收入萬元，故利潤；若年產(chǎn)量不小于臺，另外投本，固定投本萬，總收入萬元，故利潤.故.（2）當(dāng)，時(shí)，，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)，時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號成立，因?yàn)椋蕰r(shí)，利潤取得最大值，，綜上可知，當(dāng)年產(chǎn)量為臺時(shí)，該企業(yè)所獲利潤最大為萬元.19.已知函數(shù)，在區(qū)間上有最大值，最小值.（1）求實(shí)數(shù)，的值；（2）存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若，且，如果對任意都有，試求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）由題意，函數(shù)的對稱軸為，開口向上，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，解得，.（2