江蘇省南通市海安市2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期1月期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江蘇省南通市海安市2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期1月期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意集合是奇數(shù)集合，所以.故選：A.2.命題：“”的否定是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】命題：“”為存在量詞命題，它的否定是.故選：C.3.若的終邊與的終邊垂直，且，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為的終邊與的終邊垂直，且，所以，則.故選：B.4.已知某種放射性元素在一升液體中的放射量（單位：）與時間（單位：年）近似滿足關(guān)系式且.已知當(dāng)時，；當(dāng)時，，則據(jù)此估計，這種放射性元素在一升液體中的放射量為10時，大約為（）（參考數(shù)據(jù)：）A.50 B.52 C.54 D.56【答案】B【解析】由題知，，解得，所以，由，得.故選：B.5.函數(shù)的最小值為（）A.0 B.1 C. D.2【答案】B【解析】，由于在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，又，即分段處端點值相等，故在處取得最小值，最小值為.故選：B.6.已知函數(shù)在上的圖象不間斷，則“”是“在上是增函數(shù)”的（）A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】若，顯然滿足，，但在上不是增函數(shù)；若在上是增函數(shù)，則，，所以，是在上是增函數(shù)的必要不充分條件.故選：C.7.已知，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因為在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以，，，所以.故選：D.8.已知函數(shù)為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，則（）A. B. C. D.3【答案】A【解析】由函數(shù)為偶函數(shù)，得，則，由函數(shù)為奇函數(shù)，得，因此，所以.故選：A.二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.函數(shù)的零點所在的區(qū)間為（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】求函數(shù)零點，令，即，分別畫出函數(shù)與函數(shù)的圖像，得到兩圖像有兩個公共點，由圖像可知，有兩個零點，分別在區(qū)間和區(qū)間上；區(qū)間上的零點顯而易見，令，，所以，，，所以，所以，根據(jù)零點存在性定理，在存在零點.故選：AC.10.已知，則（）A.的最大值為1 B.的最大值為1C.的最小值為2 D.的最小值為3【答案】ABD【解析】對于A，令，由二次函數(shù)性質(zhì)得當(dāng)時，取得最大值，此時，故A正確；對于B，原式可化為，而，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故的最大值1，即B正確；對于C，令，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，但此時不為實數(shù)，故無法取等號，即無法取到最小值2，故C錯誤；對于D，易知，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故D正確.故選：ABD.11.將函數(shù)的圖象沿軸向右平移個單位長度，再向上平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，則（）A.函數(shù)的最小正周期為B.在上單調(diào)遞增C.的圖象關(guān)于直線對稱D.的圖象關(guān)于點中心對稱【答案】ACD【解析】由題意可得，則函數(shù)的最小正周期為，A正確；當(dāng)時，，由于在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，即在上不單調(diào)，故在上不單調(diào)，B錯誤；當(dāng)時，，即函數(shù)取到最小值，故的圖象關(guān)于直線對稱，C正確；將代入中，即的圖象關(guān)于點對稱，將的圖象向上平移個單位，即得到的圖象，故的圖象關(guān)于點中心對稱，D正確.故選：ACD.12.設(shè)定義在上的函數(shù)滿足：①當(dāng)時，；②，則（）A. B.為減函數(shù)C. D.【答案】ACD【解析】對于A，在中，令得，，解得，故A正確；對于B，令，則，此時有，即，即為增函數(shù)，故B錯誤；對于C，令得，，故C正確；對于D，由基本不等式得，等號成立當(dāng)且僅當(dāng)，由B選項分析可知為增函數(shù)，所以，所以，即，故D正確.故選：ACD.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，13.已知扇形的圓心角為，且弧長為，則該扇形的面積為__________.【答案】【解析】由題意設(shè)圓心角、弧長、半徑分別為，則，解得，所以該扇形的面積為.故答案為：.14.試寫出一個實數(shù)________，使得函數(shù)在上恰有一個零點.【答案】1（答案不唯一）【解析】不妨取，則，則，即得，又圖象的對稱軸為，則在上單調(diào)遞增，故在上恰有一個零點.故答案：1.15.設(shè)函數(shù)與在區(qū)間上的圖象交于點，過點作軸的垂線，垂足為，直線與函數(shù)的圖象交于點，則線段的長為__________.【答案】【解析】設(shè)，令，解得，即點Q縱坐標(biāo)為，所以線段的長為.故答案為：.16.已知正數(shù)滿足，則__________.【答案】2【解析】因為正數(shù)滿足，其中恒成立，故，變形得到，令，，任取，且，則，即，故在上單調(diào)遞增，故，故.故答案為：2.四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知.（1）化簡：；（2）若，求的值.解：（1）原式，因為，所以，所以原式（2）因為，所以，即，所以，所以，因為，所以，所以，所以，所以.18.設(shè)，集合關(guān)于的方程無實根，.（1）若，求；（2）若“”是“”的充分條件，求實數(shù)的取值范圍.解：（1）因為無實根，所以，解得，故，當(dāng)時，，即，解得或，故或，所以.（2）由（1）知，，因為是的充分條件，所以，所以對任意的恒成立，即對任意的，因為，當(dāng)且僅當(dāng)即時，取“，所以.19.已知函數(shù)的最小正周期為是的圖象上的一個最低點.（1）求；（2）若，求的值.解：（1）依題意，，解得，由點是曲線上的一個最低點，得，此時有，則，即，又，解得，所以，，.（2）由（1）知，，由，得，顯然，于是，所以.20.汽車駕駛員發(fā)現(xiàn)前方有障礙物時會緊急剎車，這一過程中，由于人的反應(yīng)需要時間，在汽車的慣性作用下會有一個停車距離.記駕駛員的停車距離為（單位：），駕駛員反應(yīng)時間內(nèi)汽車所行距離為（單位），剎車距離為（單位），則，其中與剎車時的車速單位，滿足與剎車時的車速的部分關(guān)系見下表：1530601051.2552061.25（1）在坐標(biāo)平面內(nèi)畫出的散點圖，從①；②③中選擇最恰當(dāng)?shù)囊粋€函數(shù)模型擬合與之間的關(guān)系，并求出其解析式；（2）在限速的高速公路上，駕駛員遇障礙物緊急剎車，已知駕駛員的停車距離為，請根據(jù)（1）中所求的解析式，判斷駕駛員是否超速行駛.解：（1）散點圖如下圖，最恰當(dāng)?shù)囊粋€函數(shù)模型為②，將點代入，得，解得，所以，經(jīng)檢驗，表中其余三點的坐標(biāo)均滿足，所以最恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型為②.（2）由（1）知，為的增函數(shù)，法1：當(dāng)時，，因為，所以該車不超速.法2：當(dāng)時，，即，所以，又，所以，因為，所以該車未超速行駛.21.已知函數(shù)，其中.（1）若恒成立，求；（2）若，試