江蘇省南通市如皋市部分學(xué)校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期11月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江蘇省南通市如皋市部分學(xué)校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期11月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知為拋物線上一點(diǎn)，則拋物線的準(zhǔn)線方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)闉閽佄锞€上一點(diǎn)，所以，解得，所拋物線的方程為，所以準(zhǔn)線方程為.故選：C.2.已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前和為，，則（）A.85 B.62 C.32 D.31【答案】B【解析】根據(jù)題意設(shè)等比數(shù)列公比為，由可得，即；因此，解得，所以；可得.故選：B3.已知雙曲線一條漸近線斜率為2，則該雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由雙曲線可知：其中一條漸近線的斜率為，所以該雙曲線的離心率為.故選：A.4.過點(diǎn)與圓相切的兩條直線的夾角為，則點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最小值為（）A.1 B. C. D.【答案】B【解析】圓，設(shè)圓心，圓的半徑為，因?yàn)檫^點(diǎn)與圓相切的兩條直線的夾角為，則，所以，又因?yàn)?，所以，則，設(shè)點(diǎn)Px,y，可得，化簡可得，設(shè)，則點(diǎn)到原點(diǎn)距離，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到原點(diǎn)距離最小值為，故選：B.5.已知等差數(shù)列的前和為，，則（）A. B. C.3 D.【答案】A【解析】在中取得，故，所以.故選：A.6.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為．若為雙曲線上一點(diǎn)，為的角平分線，過右焦點(diǎn)的直線與直線垂直，垂足為，則（）A.1 B.2 C. D.【答案】B【解析】由雙曲線的對(duì)稱性不妨設(shè)點(diǎn)在雙曲線的右焦點(diǎn)，如圖，延長交于點(diǎn)，因?yàn)闉榈慕瞧椒志€，，所以為線段的中點(diǎn)，且，又為線段的中點(diǎn)，所以.故選：B.7.在平行六面體中，，，，則下列說法不正確的是().A.平面 B.平面C.直線與平面所成角為 D.的余弦值為【答案】ABD【解析】對(duì)于A選項(xiàng)：設(shè)，由題意可知且，所以四邊形為平行四邊形，因此，連接和，因?yàn)榍?，所以四邊形為平行四邊形，故，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，故A正確；對(duì)于B選項(xiàng)：設(shè)，因?yàn)槠叫辛骟w，所以，，則，，，，因?yàn)榍?，即垂直于平面?nèi)相交直線和，所以平面.故B正確；對(duì)于C選項(xiàng)：設(shè)，因?yàn)槠叫辛骟w，，則由對(duì)稱性知道在平面的投影一定在上，則為直線與平面所成角.又，兩邊平方，則，又因?yàn)?，所?故直線與平面所成角為，則，所以不是，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)：設(shè)，，所以，又因?yàn)?，點(diǎn)是中點(diǎn)，所以，由題可知，所以，故為二面角的平面角，因?yàn)?，則，則，因?yàn)椋?，則，由題可知，故則，故D正確.故選：ABD.8.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，離心率為，過上頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)的直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，且的面積為，則的周長為（）A.4 B. C. D.【答案】D【解析】如下圖所示：由已知，則，，所以，橢圓的方程為，易知點(diǎn)、，，所以，直線的方程為，聯(lián)立，解得或，即點(diǎn)，所以，，解得，所以，，則的周長為，故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知數(shù)列的首項(xiàng)為1，前和為，且，則（）A.數(shù)列是等比數(shù)列 B.是等比數(shù)列C. D.數(shù)列的前項(xiàng)和為【答案】BD【解析】因?yàn)棰?，所以，?dāng)時(shí)，②，由①②得，即，又，所以數(shù)列是從第二項(xiàng)開始，以為公比的等比數(shù)列，故A錯(cuò)誤；對(duì)于C；當(dāng)時(shí)，，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，符合上式所以，則，所以數(shù)列是等比數(shù)列，故B正確；對(duì)于D，由C選項(xiàng)知，所以數(shù)列的前項(xiàng)和為，故D正確.故選：BD.10.在正三棱臺(tái)中，為線段上一動(dòng)點(diǎn)，，則（）A.存在點(diǎn)，使得 B.存在點(diǎn)，使得C.當(dāng)平面時(shí)，為中點(diǎn) D.的最小值為【答案】BCD【解析】對(duì)于A，如圖1由正三棱臺(tái)的定義知，與必相交，故與平面必相交，而平面,故與不可能平行，即A錯(cuò)誤；對(duì)于B，設(shè)正三棱臺(tái)的上下底面中心分別為,連接，則平面，因平面，則；連接并延長交于，則，由正棱臺(tái)結(jié)構(gòu)性之可知與延長線交于一點(diǎn)，所以過與的平面有且只有一個(gè)記為平面，又平面，故平面，又平面，故，即當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，成立，故B正確；對(duì)于C，若平面，因平面,則，又平面，且為正三角形，故為的中點(diǎn)，即C正確；對(duì)于D，繞著邊翻折至與共面時(shí)，連接交于點(diǎn)(如圖2所示)，由圖可知當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)的值最小.如圖3，在梯形中，作于點(diǎn)，則，因，則，在中，由余弦定理，，同理,故，又，故的最小值為，即D正確.故選：BCD.11.已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左，右焦點(diǎn)分別為，上頂點(diǎn)，且°．為橢圓上任意一點(diǎn)（異于左，右頂點(diǎn)），直線分別與橢圓交于A.橢圓的離心率為B.內(nèi)切圓的半徑為C.△的外接圓方程為D.△與△內(nèi)切圓半徑之和的最大值為【答案】ABD【解析】A選項(xiàng)，由題意，是等腰直角三角形，因此，，離心率為，A正確；B選項(xiàng)，由上知，，直線的方程為，橢圓方程為，由，解得或，∴，，，而，則，即為直角三角形，∴△內(nèi)切圓的半徑為，B正確；C選項(xiàng)，由題意設(shè)△的外接圓圓心坐標(biāo)為，則，解得，即圓心坐標(biāo)為，半徑為，圓方程為，C錯(cuò)；D選項(xiàng)，設(shè)，的內(nèi)切圓在三邊上的切點(diǎn)分別為，如圖，一方面，，另一方面，記的內(nèi)切圓半徑為，，所以，，事實(shí)上，不論點(diǎn)在軸上方還是下方，都有與同號(hào)，所以，從而，則的內(nèi)切圓半徑為，內(nèi)切圓半徑為，△與△內(nèi)切圓半徑之和為，設(shè)直線方程為，由得，，，所以當(dāng)，即時(shí)，取得最大值，D正確，故選：ABD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.在正四面體中，為的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為_______．【答案】【解析】取的中點(diǎn)，連接如圖所示：因?yàn)辄c(diǎn)分別是的中點(diǎn)，所以，即與所成的角為異面直線與所成角，設(shè)正四面體的棱長為，則，在中，，所以異面直線與所成角的余弦值為，故答案為：.13.已知，則數(shù)列前11項(xiàng)之和為_______．【答案】249【解析】由題意：，，所以前11項(xiàng)之和為，故答案為：24914.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，為雙曲線上一點(diǎn)，分別為雙曲線的左，右頂點(diǎn)，且直線與直線的斜率之積為，則______.【答案】30【解析】由題意，，，為雙曲線上一點(diǎn)，則，解得，又點(diǎn)在雙曲線上，則，解得，，，則，，所以.故答案為：30.四、解答題：本題共5小題，共計(jì)77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，為拋物線上兩點(diǎn)，且直線與直線斜率之和為0．（1）求拋物線的方程；（2）若為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，直線，且，求到直線距離的最小值．解：（1）拋物線的焦點(diǎn)因?yàn)橹本€與直線斜率之和為0，所以點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱點(diǎn)與三點(diǎn)在同一直線上，設(shè)直線的方程為，與拋物線聯(lián)立可得，消去得，由是方程的兩根，所以，解得，所以拋物線的方程為；（2）因?yàn)樵趻佄锞€上，所以，所以，所以，又，所以，又且直線，所以的方程為，設(shè)，所以點(diǎn)到直線距離；當(dāng)時(shí)，到直線距離取最小值，最小值為.16.已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．（1）求；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．解：（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，由題意，得，解得，∴或（2）∵，由（1）知，，，令①則②得即所以.17.如圖，在三棱柱中，側(cè)棱底面，底面是直角三角形，，點(diǎn)分別在上，且．（1）證明：平面；（2）若平面，求．解：（1）因?yàn)閭?cè)棱底面，底面，所以，又，，平面，所以平面；（2）因?yàn)?，所以確定唯一平面，設(shè)平面，連接，因?yàn)槠矫?，所以，又因?yàn)?，底面，底面，所以底面，又平面，平面底面，所以，所以，所以，又因?yàn)?，，所以四邊形是平行四邊形，所以，所以，所?18.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且．（1）求；（2）若從數(shù)列中刪除中的項(xiàng)，余下的數(shù)組成數(shù)列．①求數(shù)列的前項(xiàng)和；②若成等比數(shù)列，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：．解：（1）∵，∴當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，，整理得，即，∴當(dāng)時(shí)，，滿足此式，∴.（2）①由（1）得，，∴，，∴數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列.當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，為偶數(shù)，為的整數(shù)倍，是數(shù)列中的項(xiàng)，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，為奇數(shù)，不是數(shù)列中的項(xiàng)，∴數(shù)列中的項(xiàng)為數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)，且，∴數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，∴，∴，，∴.②由①得，，∴，∵成等比數(shù)列，∴，即，∴，∴，∴.19.已知圓與雙曲線只有兩個(gè)交點(diǎn)，過圓上一點(diǎn)的切線與雙曲線交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．當(dāng)與重合時(shí)，．（1）求雙曲線的方程；（2）若直線的斜率為，求；（3）當(dāng)時(shí)，求的最小值．解：（1）由圓與雙曲線只有兩個(gè)交點(diǎn)可知：，又根據(jù)題意，雙曲線過點(diǎn)，所以，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.（2）如圖：