江蘇省如東縣2025屆高三上學(xué)期開學(xué)期初測試數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江蘇省如東縣2025屆高三上學(xué)期開學(xué)期初測試數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本大題共8小題，每題5分，共40分．在每小題提供的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.若，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】解出和，再求交集得到.故選：C.2.已知，則“”的充要條件是（）A.a，b都不為1 B.a，b不都為1 C.a，b不都為0 D.【答案】A【解析】且，即都不為1，故選：A3.函數(shù)的值域是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，先求定義域，即且，即.函數(shù)式子兩邊平方，即.當(dāng)，由二次函數(shù)性質(zhì)知道的值域為.則的范圍為.開方得的值域為.故選：D.4.已知函數(shù)是上的增函數(shù)，則a的取值范圍是是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】是R上的增函數(shù)，則要滿足：，解得.故選：B.5.已知，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為，所以，所以，所以，故選：D.6.已知是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，且，則的最小值是（）A.2 B. C.4 D.【答案】B【解析】①,,為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，②，①+②得，①-②得，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，的最小值為，故選：B.7.已知直角的面積是10，CD是其斜邊AB上的高．將沿CD折起，使得二面角是直二面角，則三棱錐的外接球的表面積的最小值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】記，則，得，又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，由直角三角形性質(zhì)可知，在圖2中，因為，二面角是直二面角，所以，所以可將三棱錐補形成長方體，記外接球半徑為，則因為函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，取得最小值，所以三棱錐的外接球的表面積的最小值.故選：B8.已知函數(shù)在區(qū)間上的值域為，若，則k的最小值是（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】C【解析】當(dāng)時，在區(qū)間上的值域為；當(dāng)時，在區(qū)間上的值域為；則.當(dāng)時，在區(qū)間上的值域為；則.當(dāng)時，在區(qū)間上的值域為；則，則，則k的最小值是4.故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知，則（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】對于A，因為，所以，所以所以A正確；對于B，因為，所以B正確；對于C，因為,不妨取,所以C錯誤；對于D，令，則，所以在R上單調(diào)遞增，因為，所以，即，所以，D正確.故選：ABD.10.六氟化硫，化學(xué)式為，在常壓下是一種無色、無臭、無毒、不燃的穩(wěn)定氣體，有良好的絕緣性，在電器工業(yè)方面具有廣泛用途．六氟化硫結(jié)構(gòu)為正八面體結(jié)構(gòu)，如圖所示，硫原子位于正八面體的中心，6個氟原子分別位于正八面體的6個頂點，若相鄰兩個氟原子之間的距離為m，則（）A.該正八面體結(jié)構(gòu)的表面積為 B.該正八面體結(jié)構(gòu)的體積為C.該正八面體結(jié)構(gòu)的外接球表面積為 D.該正八面體結(jié)構(gòu)的內(nèi)切球表面積為【答案】ACD【解析】對A：由題知，各側(cè)面均為邊長為的正三角形，故該正八面體結(jié)構(gòu)的表面積，故A正確；對B：連接，則，底面，故該正八面體結(jié)構(gòu)的體積，故B錯誤；對C：底面中心到各頂點的距離相等，故為外接球球心，外接球半徑，故該正八面體結(jié)構(gòu)的外接球表面積，故C正確；對D：該正八面體結(jié)構(gòu)的內(nèi)切球半徑，故內(nèi)切球的表面積，故D正確；故選：ACD．11.已知函數(shù)的定義域為，且，若，則（）A. B.C.是奇函數(shù) D.【答案】ABD【解析】選項A：令，得，因為，所以，所以選項A正確；令，得，因為，所以；令，得，所以，選項B：所以，故選項B正確；選項C：，顯然不為奇函數(shù)，故選項C錯誤；選項D：因為，顯然單調(diào)遞增，要證明，即證，而；構(gòu)造函數(shù)，得，顯然當(dāng)時，f'x<0，所以，即，即選項D正確.故選：ABD.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在答題卡相應(yīng)位置上．12.若存在滿足，則a取值范圍是__________．【答案】【解析】由題意得，令，因為與在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以函數(shù)fx在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，所以，所以的取值范圍為.13.對于實數(shù)a，b，定義新運算：設(shè)函數(shù)，當(dāng)時，函數(shù)的值域為______．【答案】0,2【解析】當(dāng)時,,則，令,，則,對稱軸為，開口向下，所以在上單調(diào)遞減，此時所以，此時當(dāng)時,,則，令，則,對稱軸為，開口向上，所以在上單調(diào)遞增，此時，所以,此時；終上所述，.故答案為：0,2.14.已知，，記集合，，若，則實數(shù)a的取值范圍為__________．【答案】【解析】如圖，作出函數(shù)的簡圖.由可得，因，解得，即，由可得，即,因，結(jié)合圖象，可得：，消去可得，，因，即得，，解得.四、解答題：本大題共5小題，共77分．請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答．解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知，函數(shù)．（1）若是奇函數(shù)，求a的值；（2）若函數(shù)的圖象過點，且與x軸負(fù)半軸有兩個不同交點，求c的取值范圍．解：（1）因為的定義域為，且為奇函數(shù)，所以，即．此時，的定義域為，且，為奇函數(shù)，所以．（2）因為的圖象過點，則，解得．令，得．因為函數(shù)與x軸負(fù)半軸有兩個不同交點，所以方程有兩個不相等的負(fù)根，所以，解得．所以，所以的取值范圍為．16.在直四棱柱中，，，，，．（1）求證：平面；（2）若為直角三角形，求四棱柱的體積．（1）證明：因為，平面，平面，故平面．在四棱柱中，，又因為平面，平面，所以平面．因為，平面，故平面平面，平面，所以平面．（2）解：設(shè)四棱柱的高為h，在直四棱柱中，平面，平面，所以，同理可得，．因為，，，，，所以，．因為，所以，．在直四棱柱中，，，所以四邊形ABCD是平行四邊形，所以．因為，為直角三角形，所以或，解得．因為四棱柱的底面積為，所以四棱柱的體積為．17.某研究小組經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患病者的某項醫(yī)學(xué)指標(biāo)有明顯差異，經(jīng)過大量調(diào)查，得到如下的患病者和未患病者該指標(biāo)的頻率分布直方圖：利用該指標(biāo)制定一個檢測標(biāo)準(zhǔn)，需要確定臨界值c，將該指標(biāo)大于c的人判定為陽性，小于或等于c的人判定為陰性.此檢測標(biāo)準(zhǔn)的漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記為；誤診率是將未患病者判定為陽性的概率，記為.假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率．（1）當(dāng)時，比較與的大小；（2）當(dāng)時，求；（3）函數(shù)，當(dāng)時，求的解析式，并求在區(qū)間上的值域．解：（1）當(dāng)時，，，所以．（2）依題可知，右邊圖形最后一個小矩形的面積為，所以．當(dāng)時，，解得．此時．（3）當(dāng)時，．當(dāng)時，．因為，所以在區(qū)間的最小值為0.02．又因為，，所以在區(qū)間上的值域是．18.如圖，已知多面體，，，均垂直于平面ABC，，，，．（1）證明：；（2）求直線與平面所成的角的正弦值．（1）證明：因為平面ABC，平面ABC，所以．因為，，，所以，又因為，所以，所以．同理可得：．又，平面，平面，所以平面．因為平面，所以．（2）取AC中點O，過O作平面ABC垂線OD，交于D．因為，所以．因為，，所以，．以O(shè)為原點，以O(shè)B，OC，OD所在直線為坐標(biāo)軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，．設(shè)平面的法向量為n=x,y,z則，．令可得．．設(shè)直線與平面所成的角為，則．所以直線與平面所成的角的正弦值為．19.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)在處的切線方程；（2）若，求實數(shù)a的值；（3）若，證明：．（1）解：．因為，所以，所以．所以函數(shù)在處的切線方程為．