江蘇省鹽城市東臺(tái)市2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江蘇省鹽城市東臺(tái)市2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題：（本大題共8小題，每小題5分，計(jì)40分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的，請(qǐng)?jiān)诖痤}紙的指定位置填涂答案選項(xiàng).）1.下列各式中，正確的個(gè)數(shù)是（）①；②；③；④；⑤；⑥.A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】因?yàn)椋盛馘e(cuò)；因?yàn)?，故②?duì)；因?yàn)?，故③?duì)；因?yàn)榍?，故④錯(cuò)；因?yàn)?，故⑤錯(cuò)；因?yàn)椋智?，故⑥錯(cuò)；所以正確的個(gè)數(shù)為個(gè)，故B正確.故選：B.2.命題“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】B【解析】因?yàn)榇嬖诹吭~命題的否定是全稱量詞命題，所以命題“，”的否定是，.故選：B.3.函數(shù)，則（）A.0 B.1 C. D.2【答案】A【解析】因?yàn)楹瘮?shù)，所以，則.故選：A.4.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢. B.C. D.【答案】C【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，則，解得，故函數(shù)的定義域?yàn)?故選：C.5.設(shè)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】D【解析】當(dāng)時(shí)，則無(wú)意義；當(dāng)時(shí)，或，∴則“”是“”的既不充分也不必要條件.故選：D.6.已知函數(shù)，若，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)?，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；令，則由，得，由上述分析可得且，解得，即，所以且，解得.故選：D.7.已知，，，則的最小值為（）A. B. C.1 D.【答案】B【解析】，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，且，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為.故選：.8.設(shè)函數(shù)，若，時(shí)，有，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由得，即，變形為，因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以，解?故選：C.二、多項(xiàng)選擇題：（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)的得0分，請(qǐng)?jiān)诖痤}紙的指定位置填涂答案選項(xiàng).）9.下列命題是真命題的有（）A.， B.，C.， D.，【答案】AD【解析】對(duì)于A，B，當(dāng)時(shí)，，故A正確，B錯(cuò)誤；對(duì)于C：由，解得，所以不存在，使得，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：因?yàn)?，所以，所以，，故D正確.故選：AD.10.設(shè)正數(shù)，滿足，則有（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】因?yàn)檎龜?shù)，滿足，對(duì)于A，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故A正確；對(duì)于B，，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故B正確；對(duì)于C，由B知，，則，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)?，則，所以，令，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)，，故D正確.故選：ABD.11.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則下列正確的是（）A.當(dāng)時(shí)，B.C.不等式的解集為D.函數(shù)的圖象與軸有4個(gè)不同的交點(diǎn)，則【答案】ACD【解析】當(dāng)時(shí)，，由題意可知，A選項(xiàng)正確；由題意可知：，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；∵fx=32-x-1,x<00,x=01-令，則或；∴，即或，即或，C選項(xiàng)正確；令，即，函數(shù)的函數(shù)圖像如下：由圖像可知，當(dāng)和存在4個(gè)交點(diǎn)時(shí)，，D選項(xiàng)正確.故選：ACD.三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，計(jì)15分.不需寫出解答過(guò)程，請(qǐng)把答案寫在答題紙的指定位置上.）12.已知，，則______.（用數(shù)字作答）【答案】45【解析】由，可得，又，則.13.已知函數(shù)，滿足對(duì)任意的實(shí)數(shù)且，都有，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______.【答案】【解析】對(duì)任意的實(shí)數(shù)，都有，即異號(hào)，故是上的減函數(shù)；可得：，解得．14.用表示非空集合中元素的個(gè)數(shù)，定義，若，，若，則的所有可能取值構(gòu)成集合，則______.【答案】5【解析】解得或，即，∵，∴或，方程可整理為，①當(dāng)時(shí)，即方程組只有一個(gè)解，則，即，②當(dāng)時(shí)，即方程組只有三個(gè)解，顯然時(shí)不成立，∴，即方程有兩個(gè)不同的解，⑴當(dāng)方程只有一個(gè)實(shí)根時(shí)，，，⑵當(dāng)方程有二個(gè)不同實(shí)根時(shí)，Δ=2a2-4×6>0，或顯然不是的實(shí)根，則是方程其中一個(gè)實(shí)根，則，解得，綜上所述：，∴.四、解答題（本大題共5小題，計(jì)77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟，請(qǐng)把答案寫在答題紙的指定區(qū)域內(nèi).）15.（1）已知正數(shù)滿足，求下列各式值：①；②.（2）求值：.解：（1）因?yàn)檎龜?shù)滿足，所以①；②，又，所以.（2）.16.已知全集，集合，集合.（1）當(dāng)時(shí)，求，；（2）已知是的子集，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）由，得，解得，所以，當(dāng)時(shí)，，所以或，所以，或x>1=x|1<x<2（2）當(dāng)時(shí)，得，解得，當(dāng)時(shí)，由是的子集，則2a≤a+22a>-1a+2<2，解得，綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍為.17.某主播在直播平臺(tái)上銷售一款成本為每件24元的商品.經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該商品每天的銷售量（件）與銷售單價(jià)（元）之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，其圖象如圖所示.（1）求該商品每天的銷售量與銷售單價(jià)之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）若該主播按單價(jià)不低于成本價(jià)，且不高于50元銷售，則銷售單價(jià)定為多少元時(shí)利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？（3）若該主播要使銷售該商品每天獲得的利潤(rùn)不低于1280元，則每天的銷售量最少應(yīng)為多少件？解：（1）設(shè)，由圖可知，函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)，所以，解得，所以，由解得.所以每天的銷售量與銷售單價(jià)之間的函數(shù)關(guān)系式是.（2）若單價(jià)不低于成本價(jià)24元，且不高于50元銷售，則，則利潤(rùn)，其開口向下，對(duì)稱軸為，所以當(dāng)時(shí)，利潤(rùn)取得最大值為，所以當(dāng)單價(jià)為元時(shí)，取得最大利潤(rùn)為元.（3）由（2）得利潤(rùn)，又該商品每天獲得的利潤(rùn)不低于1280元，則，整理得，即，解得，銷售量是減函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，銷售量最小，且最小值為件.18.已知二次函數(shù)的圖象與直線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，且不等式的解集為.（1）求此二次函數(shù)的解析式；（2）關(guān)于的不等式的解集中恰有一個(gè)正整數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）對(duì)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）由不等式的解集為，得且是關(guān)于的方程的兩個(gè)根，因此，所以函數(shù)的圖象開口向上，其對(duì)稱軸為，而該圖象與直線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則圖象的頂點(diǎn)為，于是，解得，所以此二次函數(shù)的表達(dá)式為，即.（2）由（1）知不等式為，整理得，即，依題意，不等式的解集中恰有一個(gè)正整數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，解得，即不等式的解集為，此時(shí)解集中不含正整數(shù)，故舍去；當(dāng)時(shí)，解得，不等式的解集為，要使解集中恰有一個(gè)正整數(shù)，則，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.（3）對(duì)，不等式恒成立，即對(duì)，不等式恒成立，令，，則，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.19.若函數(shù)在上的最大值記為，最小值記為，且滿足，則稱函數(shù)是在上的“美好函數(shù)”.（1）函數(shù)是否是在上的“美好函數(shù)”，并說(shuō)明理由；（2）已知函數(shù)是在上的“美好函數(shù)”，求的值；（3）已知函數(shù)是在上的“美好函數(shù)”，求的值.解：（1）因?yàn)?，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，，，所以，，則，所以不是在上的“美好函數(shù)”.（2）因?yàn)?，，則在上單調(diào)遞減，所以，，因?yàn)楹瘮?shù)是在上的“美好函數(shù)”，所以，解得.（3）函數(shù)的定義域?yàn)?，，所以為奇函?shù)，根據(jù)對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，其中在上單調(diào)遞減的證明如下：設(shè)，則，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以函?shù)在上單調(diào)遞減.當(dāng)，即時(shí)在上單調(diào)遞減，則，，所以，解得或（舍去），所以，即在上為“美好函數(shù)”；當(dāng)時(shí)在上單調(diào)遞增，則，，所以，方程無(wú)解