江西省景德鎮(zhèn)市2025屆高三第一次質(zhì)檢數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江西省景德鎮(zhèn)市2025屆高三第一次質(zhì)檢數(shù)學(xué)試題第I卷（選擇題）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)?，，所以．故選：D．2.已知（為虛數(shù)單位），則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第（）象限A.一 B.二 C.三 D.四【答案】D【解析】，∴對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為在第四象限.故選:D3.已知，，則的值為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】因?yàn)椋?，所以，則．故選：B．4.已知，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)?，所?故選：C.5.過點(diǎn)且與曲線相切的直線方程是（）A. B.C D.【答案】A【解析】，點(diǎn)不在曲線上，設(shè)切點(diǎn)為，則，解得：，得切點(diǎn)，則切線方程為：，故選：．6.函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】B【解析】令，則有，要求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，即求與圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，作出兩函數(shù)的圖象，如圖所示：由此可得函數(shù)與圖象有6個(gè)交點(diǎn)，所以函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為6.故選：B．7.函數(shù)的定義域?yàn)?，是奇函?shù)，當(dāng)時(shí)，則的解集是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】∵f2x+1∴，即關(guān)于1,0點(diǎn)對(duì)稱．又函數(shù)的定義域?yàn)?，故f1=0．當(dāng)時(shí)，令，即，解得．根據(jù)對(duì)稱性可知當(dāng)時(shí)，．綜上所述，的解集是．故選：B．8.甲烷是最簡(jiǎn)單的有機(jī)化合物，其分子式為，它是由四個(gè)氫原子和一個(gè)碳原子構(gòu)成，甲烷在自然界分布很廣，是天然氣、沼氣、煤礦坑道氣及可燃冰的主要成分之一.甲烷分子是正四面體空間構(gòu)型，如圖，四個(gè)氫原子分別位于正四面體的頂點(diǎn)處，碳原子位于正四面體的中心處.若正四面體的棱長(zhǎng)為1，則平面和平面位于正四面體內(nèi)部的交線長(zhǎng)度為（）A. B. C. D.1【答案】A【解析】如圖所示，分別取的中點(diǎn)，連結(jié)E，F(xiàn)，則由正四面體的性質(zhì)，EF過正四面體的中心O，所以平面即平面，平面即平面，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面和平面位于正四面體內(nèi)部的交線為線段，又因?yàn)檎拿骟w的棱長(zhǎng)為1，則由勾股定理可得，所以在等腰三角形FAB中：．故選：A．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列說法正確的是（）A.函數(shù)為偶函數(shù),且最小正周期為4B.若,,則往方向上的投影長(zhǎng)為C.是拋物線上一點(diǎn),,則的最小值為1D.已知兩直線與,則“”是“,互相平行”的充分不必要條件【答案】BC【解析】對(duì)于A,∵,定義域?yàn)?,顯然是奇函數(shù),故A錯(cuò)誤；對(duì)于B,往方向上的投影長(zhǎng)為,故B正確；對(duì)于C,設(shè)Px0,y∴,即的最小值為,故C正確；對(duì)于D,∵互相平行,∴,解得或,經(jīng)檢驗(yàn)時(shí)兩直線重合，∴“”為“互相平行”的充要條件,故D錯(cuò)誤．故選:BC．10.在高三一次大型聯(lián)考中，物理方向共有35萬人參加，其中男生有20萬人.現(xiàn)為了了解該次考試的數(shù)學(xué)成績(jī)，用分層隨機(jī)抽樣的方法從中抽取350人，其中名男生的數(shù)學(xué)平均成績(jī)?yōu)?7分，名女生的數(shù)學(xué)平均成績(jī)?yōu)?0分.已知35萬人的數(shù)學(xué)成績(jī)，近似為樣本均值，則下列正確的是（）參考數(shù)據(jù)：若，則，，A.B.總體是35萬人C.樣本均值73.5D.估計(jì)該次聯(lián)考中物理方向數(shù)學(xué)成績(jī)低于66分的約有7980人【答案】AD【解析】由分層隨機(jī)抽樣的特征可知：，故A正確；總體是35萬考生的數(shù)學(xué)成績(jī)，故B錯(cuò)誤；根據(jù)分層隨機(jī)抽樣的均值知樣本均值，故C錯(cuò)誤；∵，，，∴小于66分的人數(shù)約為人，故D正確．故選：AD．11.已知，分別為雙曲線的左、右頂點(diǎn)，離心率為，為雙曲線上位于第一象限內(nèi)任意一點(diǎn)，設(shè)，，的面積為，則下列說法正確的是（）A.的值隨著的增大而減小B.是定值C.D.若，則【答案】ABD【解析】雙曲線的左頂點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，漸近線為，在中，由正弦定理可知，顯然均為銳角且隨著的增大分別減小與增大，即隨著的增大分別減小與增大且均為正數(shù)，∴的值隨著的增大而減小，故A正確；因?yàn)?，由于，∴，∴為定值，故B正確；因?yàn)椋?，∴，故C錯(cuò)誤；因?yàn)?，，∴，又，∴，解得，則，又，∴，故D正確．故選：ABD．第II卷（非選擇題）三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知公比不為1的等比數(shù)列，且，，成等差，則________.【答案】【解析】由題知：∵成等差，∴，又是公比不為1的等比數(shù)列，∴，∴，．故答案為：．13.已知與，若存在實(shí)數(shù)的值使得兩圓僅有一條公切線，則的最小值為________.【答案】【解析】因?yàn)?，∴，半徑為，因?yàn)?，∴，半徑為，若兩圓僅有一條公切線，即兩圓相內(nèi)切，∴，由于，故，解得，即的最小值為，故答案為：.14.甲口袋裝有1個(gè)黑球和2個(gè)白球，乙口袋裝有2個(gè)黑球和1個(gè)白球，這些球除顏色外完全相同.第一步，從甲口袋中隨機(jī)取一個(gè)球放入乙口袋；第二步，從乙口袋中隨機(jī)取一個(gè)球放入甲口袋；第三步，從甲口袋中隨機(jī)取出一個(gè)球并記錄顏色.在第三步取出的是黑球的條件下，第一步從甲口袋中取的球是黑色的概率是________.【答案】【解析】第一次給出黑球且第二次給出黑球且第三次給出黑球的概率為，第一次給出黑球且第二次給出白球且第三次給出黑球的概率為，第一次給出白球且第二次給出黑球且第三次給出黑球的概率為，第一次給出白球且第二次給出白球且第三次給出黑球的概率為，∴在第三步取出的是黑球的條件下，第一步從甲口袋中取的球是黑色的概率．故答案為:．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間和對(duì)稱中心；（2）在中，角，，所對(duì)的邊分別是，，，若，且，求.解：（1），令，解得：，該函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為：，令，解得，∴函數(shù)的對(duì)稱中心坐標(biāo)為，其中；（2）∵，∴，∵，∴，故，∴，∵，且，，∴，解得：，由余弦定理可知，．16.如圖四棱錐，底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，平面平面，，.（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值.（1）證明：取中點(diǎn)，連接，∵，故．∵平面平面，平面，∴平面，而平面，∴．又∵，，平面．∴平面．（2）解：由（1）可知，又，，平面，∴平面．如圖以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸建立空間直角坐標(biāo)系．∴，,設(shè)平面的法向量n1=則，令，得．設(shè)平面的法向量n1=則，令，得n2=0,1,1∴∵二面角鈍角，∴二面角的余弦值為.17.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓，是上一點(diǎn)，離心率.（1）求的方程；（2）斜率為的直線交于，兩點(diǎn)，在以為直徑的圓上，求的最大值.解：（1）由題意，解得，∴橢圓的方程為．（2）設(shè)直線為，設(shè)Ax1,y1,Bx聯(lián)立，根據(jù)韋達(dá)定理可知，其中．∴，．∴，∴，令，∴，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取到，滿足∴，即的最大值為．18.已知函數(shù)，其中.（1）已知,若在定義域內(nèi)單調(diào)遞增,求的最小值；（2）求證：存在常數(shù)使得,并求出的值；（3）在（2）的條件下,若方程存在三個(gè)根,,,且,求的取值范圍.解：（1）的定義域?yàn)?依題意可知當(dāng)時(shí),恒成立，即,因?yàn)?當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)等號(hào)成立,故,解得,即的最小值為．（2），∵，∴，解得．所以存在常數(shù)使得，此時(shí)．（3）構(gòu)造函數(shù)，則方程存在三個(gè)根,即函數(shù)函數(shù)存在三個(gè)零點(diǎn)．∵,∴．令,得,于是為的一個(gè)零點(diǎn)．若存在零點(diǎn),且,由可知必存在相應(yīng)的零點(diǎn)，且．∴必在上存在唯一零點(diǎn)．若恒成立,即成立,解得，此時(shí)在上單調(diào)遞增，無零點(diǎn)；若,則,令,則,∴在上單調(diào)遞增,故在上存在零點(diǎn),當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減,當(dāng)x∈x0,+∞時(shí),,單調(diào)遞增．∵,即，解得，∴，即．綜上所述，的取值范圍是．19.第一組數(shù)據(jù)，其中，第二組數(shù)據(jù)，這個(gè)數(shù)互不相等，，分別為其中最大與第二大的數(shù).先從第二組數(shù)據(jù)中剔除一個(gè)數(shù)（剩余數(shù)相對(duì)位置保持不變）得到一組新數(shù)據(jù)，若將該組數(shù)據(jù)中相鄰兩數(shù)對(duì)換位置稱為一次對(duì)換，經(jīng)過至少次對(duì)換得到最終數(shù)據(jù)，簡(jiǎn)記.若用直線擬合點(diǎn)列，相關(guān)系數(shù).（1）第一組數(shù)據(jù)，第二組數(shù)據(jù)，若剔除10，經(jīng)過后得到擬合最佳；若剔除8，經(jīng)過得到最佳.求的值；（2）在一組互不相等的數(shù)的排列中，定義在的右邊比其小的數(shù)的個(gè)數(shù)稱為的逆序數(shù).已知，的逆序數(shù)分別為，，剩余各數(shù)按相對(duì)順序從大到小排列.若經(jīng)過后將這個(gè)數(shù)從小到大順序排列，求的所有可能取值；（3）若剔除后經(jīng)過至少次對(duì)換后得到擬合效果最佳，相關(guān)系數(shù)為.剔除后經(jīng)過至少次對(duì)換后得到擬合效果最佳，相關(guān)系數(shù)為.若，求證：為定值，并求出該定值.解：（1）第一次對(duì)換：，∴．第二次對(duì)換：，∴．故．（2）∵的逆序數(shù)為，∴必為這個(gè)數(shù)中的最大數(shù)．的逆序數(shù)為，則可能是這個(gè)數(shù)中第二大或者第三大的數(shù)．若是第二大的數(shù)，先將對(duì)換到末位需要次對(duì)換，再將對(duì)換到倒數(shù)第二位需要次對(duì)換，而后將其余各數(shù)對(duì)換到相應(yīng)位置分別需要次對(duì)換，則；若是第三大的數(shù)，則只能是第二大的數(shù)，同理需要對(duì)換次，需要對(duì)換次，需要對(duì)換次，…，∴．綜上所述，或．（3）先證明排序不等式，不妨假設(shè)，是的一個(gè)排列，，不妨假設(shè)，則，于是成立的充要條件為，于是經(jīng)過若干次對(duì)換后得：．假設(shè)經(jīng)過若干次對(duì)換后得到，其中，則．∵，其中與均為正常數(shù)，要使得擬合效果最佳，則．∵，不妨假設(shè)，則．設(shè)的所有逆序數(shù)之和為，