遼寧省鞍山市普通高中2025屆高三上學(xué)期第一次質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題(解析版)_第1頁(yè)
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高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1遼寧省鞍山市普通高中2025屆高三上學(xué)期第一次質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題一?單項(xiàng)選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合,集合,則()A. B. C. D.【答案】D【解析】由解得或,所以;由,得,即,解得或,所以,所以故選:D2.已知復(fù)數(shù)滿足,則()A. B. C. D.【答案】B【解析】由復(fù)數(shù)滿足,可得.故選:B.3.已知向量滿足,則()A. B. C.2 D.【答案】D【解析】由兩邊平方得,化簡(jiǎn)得,所以.故選:D4.在二項(xiàng)式的展開式中,常數(shù)項(xiàng)為()A.180 B.270 C.360 D.540【答案】A【解析】二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)公式為,令,解得,所以常數(shù)項(xiàng)為.故選:A5.已知函數(shù)為奇函數(shù),則實(shí)數(shù)的值為()A.-2 B.2 C.-1 D.1【答案】B【解析】的定義域是,由于是奇函數(shù),所以,即,解得,當(dāng)時(shí),,,符合題意,所以的值為.故選:B6.若為隨機(jī)事件,且,則()A.若為互斥事件,則B.若為互斥事件,C.若為相互獨(dú)立事件,D.若,則【答案】D【解析】A選項(xiàng),若為互斥事件,則,A選項(xiàng)錯(cuò)誤.B選項(xiàng),若為互斥事件,,B選項(xiàng)錯(cuò)誤.C選項(xiàng),若為相互獨(dú)立事件,,所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤.D選項(xiàng),,即,解得,所以D選項(xiàng)正確.故選:D7.已知雙曲線在雙曲線上,且,若恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍為()A. B. C. D.【答案】A【解析】由于,所以直線的斜率存在,設(shè)直線的方程為,由消去并化簡(jiǎn)得,,,整理得①,則不同時(shí)為.,,則,則,依題意,即,則恒成立,即恒成立,由①得,則,所以恒成立,所以,解得,所以的取值范圍是.故選:A8.已知定義在上的函數(shù),若,則取得最小值時(shí)的值為()A.4 B. C. D.【答案】C【解析】依題意,,,令,所以在1,+∞上單調(diào)遞增,所以在1,+∞上單調(diào)遞增,由于,所以,,所以,設(shè),,令解得,則在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增,所以當(dāng)時(shí),取得最小值,也即取得最小值.故選:C.二?多項(xiàng)選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分,部分選對(duì)的得部分分,有選錯(cuò)的得0分.9.已知函數(shù),定義域均為,則下列說(shuō)法正確的是()A.函數(shù)與有相同的最小正周期B.函數(shù)與的圖象有相同的對(duì)稱軸C.的圖象可以由函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位得到D.函數(shù)的圖象與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱【答案】ACD【解析】,和的最小正周期都是,所以A選項(xiàng)正確.由解得,所以的對(duì)稱軸是;由解得,所以的對(duì)稱軸是,所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤.向右平移個(gè)單位得到,所以C選項(xiàng)正確.,所以函數(shù)的圖象與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱,D選項(xiàng)正確.故選:ACD10.已知直線,圓為圓上任意一點(diǎn),則下列說(shuō)法正確的是()A.的最大值為5B.的最大值為C.直線與圓相切時(shí),D.圓心到直線的距離最大為4【答案】BC【解析】圓的方程可化為,所以圓的圓心為,半徑.,Px0所以的最大值為,A選項(xiàng)錯(cuò)誤.如圖所示,當(dāng)直線的斜率大于零且與圓相切時(shí),最大,此時(shí),且,B選項(xiàng)正確.直線,即,過(guò)定點(diǎn),若直線與圓相切,則圓心到直線的距離為,即,解得,所以C選項(xiàng)正確.圓心到直線的距離,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選:BC11.已知函數(shù)滿足對(duì)任意x∈R,都有,且為奇函數(shù),,下列說(shuō)法正確的是()A.函數(shù)的一個(gè)周期是8B.函數(shù)為偶函數(shù)CD.【答案】ACD【解析】由于為奇函數(shù),圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,所以圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,由于,所以的圖象關(guān)于直線對(duì)稱.所以,所以是周期為的周期函數(shù),A選項(xiàng)正確.對(duì)于B選項(xiàng),由上述分析可知,,所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤.依題意,,則,,,,,所以,根據(jù)周期性可知,所以C選項(xiàng)正確.由上述分析可知,所以,,,依此類推,可得:,所以D選項(xiàng)正確.故選:ACD三?填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.12.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,且有,則__________.【答案】12【解析】依題意,,令,得;令,;令,.故答案為:13.已知,則__________.【答案】【解析】,所以,由于,所以,所以.故答案為:14.已知四棱錐中,底面為正方形,,則__________,該四棱錐的高為__________.【答案】或或【解析】如圖所示,連接,因?yàn)樗倪呅螢檎叫吻遥傻?,設(shè),在中,可得,即,整理得,解得或,即或,因?yàn)?,可得,過(guò)點(diǎn)作平面,垂直為,由,可得點(diǎn)為的外心,設(shè)外接圓的半徑為,且,設(shè)點(diǎn)到底面的距離為,當(dāng)時(shí),可得,所以,所以,且,所以,由,即,解得,即四棱錐的高為;當(dāng)時(shí),可得,所以,所以,且,所以,由,即,解得,即四棱錐的高為,綜上可得:四棱錐的高為或.四?解答題:本題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.15.如圖,四棱錐中,底面是邊長(zhǎng)為2的正方形,為等邊三角形,且平面平面.(1)求四棱錐的體積;(2)求二面角的余弦值.解:(1)取中點(diǎn),連接,因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?,平面,在等邊中,,所以平面,由題設(shè),所以四棱錐的體積為.(2)取中點(diǎn),連接,則,以為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以的方向?yàn)檩S的正方向,則,,設(shè)n1=x1,令,得,取為平面的法向量,則由圖可知,二面角的大小為鈍角,故二面角的余弦值為.16.2024年6月25日14時(shí)07分,嫦娥六號(hào)返回器準(zhǔn)確著陸于內(nèi)蒙古自治區(qū)四子王旗預(yù)定區(qū)域,工作正常,標(biāo)志著探月工程嫦娥六號(hào)任務(wù)取得圓滿成功,實(shí)現(xiàn)了世界首次月球背面采樣返回.某學(xué)校為了了解學(xué)生對(duì)探月工程的關(guān)注情況,隨機(jī)從該校學(xué)生中抽取了一個(gè)容量為90的樣本進(jìn)行調(diào)查,調(diào)查結(jié)果如下表:關(guān)注不關(guān)注合計(jì)男生5560女生合計(jì)75(1)完成上述列聯(lián)表,依據(jù)該統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù),能否有的把握認(rèn)為該校學(xué)生對(duì)探月工程的關(guān)注與性別有關(guān)?(2)為了激發(fā)同學(xué)們對(duì)探月工程的關(guān)注,該校舉辦了一次探月知識(shí)闖關(guān)比賽,比賽有兩個(gè)答題方案可供選擇:方案一:回答4個(gè)問題,至少答對(duì)3個(gè)問題才能晉級(jí);方案二:在4個(gè)問題中隨機(jī)選擇2個(gè)問題作答,都答對(duì)才能晉級(jí).已知振華同學(xué)答對(duì)這4個(gè)問題的概率分別為,振華同學(xué)回答這4個(gè)問題正確與否相互獨(dú)立,則振華選擇哪種方案晉級(jí)的可能性更大?附:0.10.050.0250.010.0012.7063.8415.0246.63510.828解:(1)列聯(lián)表如下:關(guān)注不關(guān)注合計(jì)男生55560女生201030合計(jì)751590,能有的把握認(rèn)為該校學(xué)生對(duì)探月工程的關(guān)注與性別有關(guān).(2)記這4個(gè)問題為,記振華答對(duì)的事件分別記為,分別記按方案一?二晉級(jí)的概率為,則,,因?yàn)?,振華選擇方案一晉級(jí)的可能性更大.17.已知橢圓,右焦點(diǎn)為且離心率為,直線,橢圓的左右頂點(diǎn)分別為為上任意一點(diǎn),且不在軸上,與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為與橢圓C的另一個(gè)交點(diǎn)為.(1)直線和直線的斜率分別記為,求證:為定值;(2)求證:直線過(guò)定點(diǎn).(1)解:由題意,可得,所以橢圓,且設(shè),則,即,可得,所以為定值.(2)證明:解法一:設(shè),則,可得,設(shè)直線,,聯(lián)立方程,消去x可得,則,解得,且,則,整理可得,則,因?yàn)?,則,解得,所以直線過(guò)定點(diǎn)解法二:設(shè),則,直線,可知與橢圓必相交,聯(lián)立方程,消去y可得,則,解得,同理,直線的斜率存在時(shí),,則,令,;當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r(shí),則,解得;綜上所述:直線過(guò)定點(diǎn).18.已知函數(shù),且定義域?yàn)?(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)若有2個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍;(3)若恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.解:(1),,①時(shí),f'x<0恒成立,所以在上遞減;②時(shí),恒成立,所以在上遞增;③時(shí),令得,單調(diào)遞減,單調(diào)遞增,綜上:時(shí),在上單調(diào)遞減,時(shí),在上遞增,時(shí),在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.(2)因?yàn)椴皇菃握{(diào)函數(shù),由(1)知,,且在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,要使得有2個(gè)零點(diǎn),則必有,所以,,又當(dāng)時(shí),,先證:,令,令,令在0,2上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,所以,,所以成立,所以,,即:成立,取則有,且,所以時(shí),有2個(gè)零點(diǎn).綜上:.(3)令,則恒成立,且,,①時(shí),,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,時(shí),恒成立,所以,F(xiàn)x在上遞增,所以,,符合題意.②時(shí),,與題意不符,舍去.③時(shí),時(shí),,由得,,所以,存在,使,且可使,F(xiàn)x單調(diào)遞減,x∈0,x0綜上:19.若數(shù)列滿足如下兩個(gè)條件:①和恰有一個(gè)成立;②.就稱數(shù)列為“中項(xiàng)隨機(jī)變動(dòng)數(shù)列”.已知數(shù)列為“中項(xiàng)隨機(jī)變動(dòng)數(shù)列”,(1)若,求的可能取值;(2)已知的解集為,求證:成等比數(shù)列;(3)若數(shù)列前3項(xiàng)均為正項(xiàng),且的解集為,設(shè)的最大值為,求的最大值.解:(1)因?yàn)椋曰?,所以?,當(dāng)時(shí),符合題意,當(dāng)時(shí),且,不符合題意,所以.(2)因?yàn)椋溆囗?xiàng)均為正項(xiàng),所以或,若時(shí),對(duì)于,

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