實(shí)數(shù)知識歸納與題型訓(xùn)練（7題型清單）（解析版）-2024浙教版七年級數(shù)學(xué)上冊

實(shí)數(shù)知識歸納與題型訓(xùn)練（7題型清單）

01思維導(dǎo)圖

平方根的定義）

（平方根Y平方根的性質(zhì)）~（平方根的化簡）

Y算術(shù)平方根）

無理數(shù)的定義

從有理數(shù)到實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)的定義

實(shí)數(shù)

實(shí)數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系

實(shí)數(shù)

N［立方根的定義，

立方根平方根與立方根的關(guān)系

（立方根的性質(zhì)

立方根的化簡）

r實(shí)數(shù)的運(yùn)算順鼠）

一［實(shí)數(shù)的運(yùn)算）實(shí)數(shù)的運(yùn)算實(shí)數(shù)的估算

'實(shí)數(shù)內(nèi)的新定義與規(guī)律題計(jì)算：

02知識速記

一、平方根

平方根的定義:如果一個(gè)數(shù)的平方等于a,那么這個(gè)數(shù)叫作a的平方根,也叫作a的二次方根,記作土4a；

平方根的性質(zhì)：一個(gè)正數(shù)有正、負(fù)兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)；零的平方根是零；負(fù)數(shù)沒有平方根；

算術(shù)平方根：正數(shù)的正平方根稱為算術(shù)平方根，記作后；0的算術(shù)平方根是0.

當(dāng)a>0時(shí)，a的平方根為土直，且五'+（-&）=（）；

當(dāng)a20時(shí)，。的算術(shù)平方根為短,且&20；

要點(diǎn)詮釋：

（1）開平方：求一個(gè)數(shù)的平方根的運(yùn)算；

（2）開平方是平方運(yùn)算的逆運(yùn)算，因此，可以運(yùn)用平方運(yùn)算求一個(gè)數(shù)的平方根;

(3)當(dāng)卜/+@+7^+^=0時(shí)，則a+6=0且c+d=0.

二、從有理數(shù)到實(shí)數(shù)

無理數(shù)：無線不循環(huán)小數(shù)叫作無理數(shù).

實(shí)數(shù)：有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱實(shí)數(shù)

"正有理數(shù)'

有理數(shù)零有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)

實(shí)數(shù)負(fù)有理數(shù)

'正無理數(shù)'

無理數(shù)無限不循環(huán)小數(shù)

負(fù)無理數(shù)

實(shí)數(shù)和數(shù)軸的關(guān)系:

1、實(shí)數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)一一對應(yīng)；

2、在數(shù)軸上表示的兩個(gè)實(shí)數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大

要點(diǎn)詮釋：

無理數(shù)常見的3種形式：

(1)開方開不盡的數(shù)，如百、-2、、笈+1；

2

77

(2)萬及含乃的數(shù)，如心-2心一；

3

(3)直接展示的無限不循環(huán)小數(shù)的形式，如0.1010010001…(兩個(gè)“1”之間依次多一個(gè)“0”)；

三、立方根

立方根的定義：一個(gè)數(shù)的立方等于a,這個(gè)數(shù)就叫作a的立方根，也叫作a的三次方根，記作現(xiàn)廣

立方根的性質(zhì)：一個(gè)正數(shù)有一個(gè)正的立方根；一個(gè)負(fù)數(shù)有一個(gè)負(fù)的立方根；零的立方根是零。

要點(diǎn)詮釋：

(1)開立方：求一個(gè)數(shù)的立方根的運(yùn)算；

(2)開立方是立方運(yùn)算的逆運(yùn)算，因此，可以運(yùn)用立方運(yùn)算求一個(gè)數(shù)的立方根；

(3)立方根的化簡：3廠行(3廠Y

Na'=a；a)=a

四、實(shí)數(shù)的運(yùn)算

實(shí)數(shù)的運(yùn)算順序：先算乘方和開方，再算乘除，最后算加減。若遇到括號，則先進(jìn)行括號里的運(yùn)算。

要點(diǎn)詮釋：

(1)有理數(shù)中的各種概念，如相反數(shù)、絕對值、倒數(shù)等，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)同樣適用;

(2)有理數(shù)的各種簡便運(yùn)算律在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)同樣適用；

⑶實(shí)數(shù)的化簡常用知識儲備：叵X；百；；遙

1.414a1.732/X2.2362.449

03題型歸納

題型一平方根與算術(shù)平方根

例題：

1.（2024春?云夢縣期末）64的平方根是（）

A.+4B.4C.±8D.8

【分析】±8的平方都等于64,可得64的平方根是±8.

【解答】解：：±8的平方都等于64；

二64的平方根是±8.

故選：C.

2.（2023秋?德清縣期末）下列說法正確的是（）

A.J五的平方根是±4

B.（-3）2的算術(shù)平方根是-3

C.負(fù)數(shù)沒有立方根

D.五是2的算術(shù)平方根

【分析】根據(jù)平方根、算術(shù)平方根和立方根的概念判斷各選項(xiàng)即可.

【解答】解：A、J正=4的平方根是±2,故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B、（-3）2的算術(shù)平方根是3,故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C、負(fù)數(shù)有立方根，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D、如是2的算術(shù)平方根，故。選項(xiàng)正確.

故選：D.

3.（2023秋?堇B州區(qū)月考）平方根是土工的數(shù)是（）

3

A.AB.-1c.AD.土工

3699

【分析】根據(jù)平方根的定義即可求解.

【解答】解：：（+1）2=工，

一39

.?.平方根是±a的數(shù)是!，

39

故選：C.

4.(2023秋?湖州期末)(1)觀察發(fā)現(xiàn):

a（。＞0）???0.00010.01110010000

???

0.01X1y100

表格中x=0.1，y=10；

(2)歸納總結(jié)：

被開方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)每向右移動2位，相應(yīng)的算術(shù)平方根的小數(shù)點(diǎn)就向右移動1位;

(3)規(guī)律運(yùn)用：

①已知我=2.24，則病3022.4；

②已知4比7,07,V5000?70.7-則上=50.

【分析】(1)直接計(jì)算即可；

(2)觀察(1)中表格數(shù)據(jù)，找出規(guī)律；

(3)利用(2)中找出的規(guī)律求解.

【解答】解：(1)x=Vo.01=0.1-v=VIoo=1C.

故答案為：0.1,10；

(2)被開方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)每向右移動2位，相應(yīng)的算術(shù)平方根的小數(shù)點(diǎn)就向右移動1位.

故答案為：右，1;

(3)①已知\療~2.24,則標(biāo)5比22.4，

②已知^^7.07,A/5000?70.7-貝U〃z=50,

故答案為：22450.

鞏固訓(xùn)練

5.(2023秋?嘉興期末)4的平方根是+2.

【分析】根據(jù)平方根的知識得出結(jié)論即可.

【解答】解：4的平方根是±2.

故答案為：±2.

6.(2024?寧波模擬)設(shè)一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根是a-1和a+3,則這個(gè)正數(shù)為4.

【分析】首先根據(jù)一個(gè)正數(shù)的平方根互為相反數(shù)得1+。+3=0,由此解出a,進(jìn)而再求出這個(gè)正數(shù)的兩

個(gè)平方根，然后再根據(jù)平方根的定義即可求出這個(gè)正數(shù).

【解答】解：???一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根是a-1和a+3,

a-1+〃+3=0,

解得：a=-1,

'.a-1=-2,〃+3=2,

（-2）2=4,22=4,

這個(gè)正數(shù)為4.

故答案為：4.

7.（2023秋?紹興期中）的算術(shù)平方根是2.

【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的定義即可求得答案.

【解答】解：阮=4,則其算術(shù)平方根為2,

故答案為：2.

8.（2023秋?慈溪市校級期中）有一個(gè)數(shù)值轉(zhuǎn)換器，原理如圖，當(dāng)輸入的x為81時(shí)，輸出的y是（）

輸入A?取算術(shù)平方根三：理數(shù)-輸出

是有理數(shù)

A.9B.3C.±3D.弧

【分析】將81代入得9,9是有理數(shù)，再將9代入得3,3是有理數(shù)，再將3代入得F，?是無理數(shù),

故尸A

【解答】解：：屈=9,9是有理數(shù)，

二把9輸入,V9=3,3是有理數(shù),

???把3輸入，3的算術(shù)平方根為點(diǎn)，百為無理數(shù),

二

故選：D.

9.（2023秋州區(qū)月考）求乂-的平方根，用式子來表示正確的是（）

二5

【分析】根據(jù)平方根的定義進(jìn)行計(jì)算即可.

【解答】解：根據(jù)平方根的定義可知,

a的平方根為

25

故選：C.

題型二絕對值與算術(shù)平方根的非負(fù)性

例題：

1.（2023秋?富陽區(qū)校級期中）若Ja+2+Ib+3卜0,則（b-a）2023的值是（

A.-1B.1C.52023D.2024

【分析】根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)列出方程求出未知數(shù)的值，再代入所求代數(shù)式計(jì)算即可.

【解答】解：v+Ib+3I=0-

??.。+2=0,Z?+3=O,

.\a=-2,b=-3,

(b-a)2023=-1,

故選：A.

2.(2023秋?西湖區(qū)校級期中)|x+2|WTi+(2y-8)2=0，則尤+y+z的值為()

A.0B.1C.2D.3

【分析】直接利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得出x,y,z的值，進(jìn)而得出答案.

【解答】解：???|X+2|+GJ+(2=8)2=0,

.*.x+2=0,z-1=0,2y-8=0,

解得：x=-2,z=l,y=4,

...x+y+z=-2+l+4=3.

故選：D.

3.(2023秋?義烏市期中)若實(shí)數(shù)x、y、z滿足J菽+(y-3)2+|z+6|=0,則孫z的算術(shù)平方根是()

A.36B.±6C.6D.土加

【分析】根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)列方程求出x、y、z的值，然后代入代數(shù)式進(jìn)行計(jì)算，再根據(jù)算術(shù)平方根的

定義解答.

【解答】解：由題意得，x+2=0,y-3=0,z+6=0,

確車得x=-2,y=3,z=-6,

所以，xyz=(-2)X3X(-6)=36,

所以，町z的算術(shù)平方根是6.

故選：C.

鞏固訓(xùn)練

4.(2023秋?江干區(qū)校級期中)以下4個(gè)等式：①a+b=0；②浦=0；③八避=C；?cr+\b-1|=0,a—

定是零的等式序號為③④.

【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)、絕對值和算術(shù)平方根的非負(fù)性，對等式進(jìn)行分析即可得出答案.

【解答】解：①在。+6=0中，。與6互為相反數(shù)，...a不一定為零，不符合題意；

②在出?=0中，當(dāng)Z?=0,時(shí)，等式ab=O仍成立，不一定為零，不符合題意；

③在中，三0，Vb^O,.?.a=0,b=0,符合題意；

④在d+步-1|=。中,?/口。,.T|20,.\a=0,b=\,符合題意，

綜上所述，〃一定是零的等式序號為③④.

故答案為：③④.

5.（2023春?衢州期末）當(dāng)*=1時(shí),的值最小.

【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的非負(fù)性，得出當(dāng)尤-1=0時(shí)的值最小.

【解答】解：二INO,

；.\/x-1的最小值是0,

*/>/o=o,即x-l=0,

??x—1,

故答案為：1.

6.（2023秋?蕭山區(qū)期中）（1）已知某正數(shù)的平方根為〃+3和2。-9,求這個(gè)數(shù)是多少？

（2）已知機(jī)，〃是實(shí)數(shù)，且J2m+1+l3n-2I=G求川+層的平方根.

【分析】（1）根據(jù)一個(gè)正數(shù)的平方根互為相反數(shù)，可得答案；

（2）根據(jù)算術(shù)平方根與絕對值的和為0可得算術(shù)平方根與絕對值同時(shí)為0,可得答案.

【解答】解：（1）:一個(gè)正數(shù)的平方根是。+3與2a-9,

（〃+3）+（2〃-9）=0,

解得〃=2,

〃+3=5,

???這個(gè)數(shù)是25；

（2）由題意得:

2加+1=0,3n-2=0,

"2+/=（一工）2+（2）2=工生=

349

...加2+層的平方根是土g

6

題型三無理數(shù)與實(shí)數(shù)

例題:

1.（2023秋?東陽市月考）在實(shí)數(shù)3.14159,遙，-4,it,出中，無理數(shù)有（）

7

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【分析】根據(jù)無理數(shù)的定義即可解答.

【解答】解：《和it是無理數(shù)，共2個(gè).

故選：B.

2.（2023秋?富陽區(qū)校級期中）下列說法：①無理數(shù)的倒數(shù)還是無理數(shù)；②若a,b互為相反數(shù)，則的=-1；

a

③若。為任意有理數(shù)，則a-|a|W0；④兩個(gè)有理數(shù)比較，絕對值大的反而小.其中正確的有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【分析】根據(jù)無理數(shù)的定義和倒數(shù)的定義可判斷①；根據(jù)相反數(shù)的定義和0不能做分母可判斷②；根據(jù)

絕對值的性質(zhì)可判斷③；根據(jù)有理數(shù)的大小比較方法可判斷④.

【解答】解：①無理數(shù)的倒數(shù)還是無理數(shù)，正確；

②當(dāng)。=6=0時(shí)，上無意義，故若a,b互為相反數(shù)，則上＞一=_］說法錯(cuò)誤；

aa

③若。為任意有理數(shù)，則。T〃|W0,正確；

④兩個(gè)負(fù)數(shù)比較，絕對值大的反而小，故原說法錯(cuò)誤.

綜上可知正確的有①③共兩個(gè).

故選：B.

3.（2023秋?安吉縣期中）把下列各數(shù)的序號填在相應(yīng)的橫線上：

①-2,②m③」，④-3,⑤22,@-0.3,⑦灰，⑧0,?1.1010010001-（每兩個(gè)1之間依次多

37

一個(gè)0）.

整數(shù)①④⑧；

負(fù)分?jǐn)?shù)③⑥；

無理數(shù)②⑦⑨.

【分析】根據(jù)實(shí)數(shù)的分類及定義即可求得答案.

【解答】解：整數(shù)：①④⑧；

負(fù)分?jǐn)?shù)：③⑥；

無理數(shù)：②⑦⑨；

故答案為：①④⑧；③⑥；②⑦⑨.

鞏固訓(xùn)練

4.（2023秋?瑞安市月考）下列各數(shù)中，無理數(shù)是（）

.兀

A.0.匚B.

-2

C.絲D.3.121121121112

3

【分析】有理數(shù)能寫成有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)，而無理數(shù)只能寫成無限不循環(huán)小數(shù)，據(jù)此判斷.

【解答】解：A.Q_g是循環(huán)小數(shù)，屬于有理數(shù)，故本選項(xiàng)不合題意；

TT

B.——是無理數(shù)，故本選項(xiàng)符合題意；

2

C.駕是分?jǐn)?shù)，屬于有理數(shù)，故本選項(xiàng)不合題意；

3

D.3.12H2n2n12是有限小數(shù)，屬于有理數(shù)，故本選項(xiàng)不合題意.

故選：B.

5.（2023?鄲州區(qū)模擬）兩個(gè)無理數(shù)，它們的和為1,這兩個(gè)無理數(shù)可以是m1-it（答案不唯一）（只

要寫出兩個(gè)就行）

【分析】根據(jù)無理數(shù)的意義，可得答案.

【解答】解：TT+（1-11）=1,

故答案為：71,1-TI（答案不唯一）.

6.（2023秋?義烏市期中）寫出一個(gè)同時(shí)符合下列條件的數(shù)：_/2_.

（1）它是一個(gè)無理數(shù)；（2）在數(shù)軸上表示它的點(diǎn)在原點(diǎn)的左側(cè)；（3）它的絕對值比2小.

【分析】根據(jù)無理數(shù)的定義求解即可.

【解答】解：寫出一個(gè)同時(shí)符合下列條件的數(shù)

故答案為：

7.（2023秋?新昌縣校級期中）下列判斷正確的是（）

A.無限小數(shù)一定是無理數(shù)

B.實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)---對應(yīng)

C.實(shí)數(shù)包括有理數(shù)，0,無理數(shù)

D.實(shí)數(shù)的絕對值都是正數(shù)

【分析】本題考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系，絕對值，無理數(shù)的定義等知識.對知識的熟練掌握是解題的關(guān)

鍵.根據(jù)實(shí)數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系，絕對值，無理數(shù)的定義，進(jìn)行判斷作答即可.

【解答】解：由題意知，無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，A錯(cuò)誤，故不符合要求；

實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對應(yīng)，2正確，故符合要求；

實(shí)數(shù)包括有理數(shù)，無理數(shù)，C錯(cuò)誤，故不符合要求；

實(shí)數(shù)的絕對值都是非負(fù)數(shù)，。錯(cuò)誤，故不符合要求；

故選：B.

8.（2023秋?西湖區(qū)校級月考）把下列各數(shù)填在相應(yīng)的表示集合的大括號內(nèi)（填序號）：

①-2,②m③」，@-|-3|,⑤駕，@-0.3,⑦⑧⑨0,⑩1.1010010001…（每兩個(gè)1

37

之間依次多一個(gè)0）.

正數(shù)：｛②⑤⑧⑩…）;

整數(shù)：｛①④⑦⑨…）;

分?jǐn)?shù)：｛③⑤⑥???）;

非負(fù)有理數(shù)：｛@@?-?）:

無理數(shù)：｛②⑧⑩…｝;

負(fù)實(shí)數(shù)：｛①③④⑥⑦…1.

【分析】根據(jù)實(shí)數(shù)的分類，逐一判斷即可解答.

【解答】解：正數(shù)：｛②⑤⑧⑩…｝;

整數(shù)：｛①④⑦⑨…｝;

分?jǐn)?shù)：｛③⑤⑥…｝;

非負(fù)有理數(shù)：｛⑤⑨…｝;

無理數(shù)：｛②⑧⑩…｝;

負(fù)實(shí)數(shù)：｛①③④⑥⑦…｝;

故答案為：②⑤⑧⑩；

①④⑦⑨；

③⑤⑥；

⑤⑨；

②⑧⑩；

①③④⑥⑦.

題型四立方根與平方根

例題：

1.（2023?浙江）-8的立方根是（）

A.-2B.2C.±2D.不存在

【分析】根據(jù)立方根的定義求出值的值，即可得出答案.

【解答】解：-8的立方根是0=a-2）3=-2,

故選：A.

2.（2023?江北區(qū)開學(xué)）下列計(jì)算正確的是（）

A.?=±3B.匕=-2C.Jj3）2=-3D.&+?=《

【分析】根據(jù)平方根與立方根的定義即可求出答案.

【解答】解：（A）原式=3,故A錯(cuò)誤；

（B）原式=-2,故3正確；

（C）原式=J§=-3,故C錯(cuò)誤；

（D）后與丁口不是同類二次根式，故。錯(cuò)誤；

故選：B.

3.（2023秋?竦州市期中）立方根是它本身的數(shù)有（）個(gè).

A.0B.1C.2D.3

【分析】根據(jù)立方根的定義即可解答.

【解答】解：立方根是它本身的數(shù)有-1,0,1,

所以有3個(gè)，

故選：D.

4.（2023秋?鹿城區(qū)校級期中）如圖，是一塊體積為216立方厘米的立方體鐵塊.

（1）求出這個(gè)鐵塊的棱長.

（2）現(xiàn)在工廠要將這個(gè)鐵塊融化，重新鍛造成兩個(gè)棱長為2厘米的小立方體鐵塊和一個(gè)底面為正方形的

長方體鐵塊，若長方體鐵塊的高為8厘米，求長方體鐵塊的底面正方形的邊長.

【分析】（1）根據(jù)正方體的體積公式和立方根的定義進(jìn)行解答；

（2）根據(jù)題意列出式子再進(jìn)行計(jì)算即可.

【解答】解：（1）由題可知，鐵塊的棱長為=我元=6（厘米）;

（2）由題可知，設(shè)長方體鐵塊底面正方形的邊長為。厘米,

3

2X2+aXflX8=216,

16+8/=216,

解得a=5.

答：長方體鐵塊底面正方形的邊長為5厘米.

鞏固訓(xùn)練

5.（2023秋?拱墅區(qū)校級期中）如圖，二階魔方為2X2X2的正方體結(jié)構(gòu)，本身只有8個(gè)方塊，沒有其他結(jié)

構(gòu)的方塊，己知二階魔方的體積約為72c/（方塊之間的縫隙忽略不計(jì)），那么每個(gè)方塊的邊長為（）

A.3B.料C,D.我

【分析】根據(jù)題意求得每個(gè)方塊的體積，再利用立方根的定義求得每個(gè)方塊的邊長即可.

【解答】解：由題意可得每個(gè)方塊的體積為72+8=9

則其邊長為輔cm,

故選：D.

6.（2023秋?西湖區(qū)校級期中）下列說法正確的是（）

A.JR的立方根是2

B.-3是27負(fù)的立方根

C.磔■的立方根是土工

D.（-1）2的立方根是-1

【分析】根據(jù)立方根的定義進(jìn)行判斷即可.

【解答】解：互的立方根，就是8的立方根，8的立方根是2,因此選項(xiàng)A符合題意;

A27的立方根是3,-27的立方根是-3,因此選項(xiàng)8不符合題意；

C.里的立方根是5,因此選項(xiàng)C不符合題意；

2166

D.（-1）2的立方根，即1的立方根是1,因此選項(xiàng)。不符合題意；

故選：A.

7.(2023秋?安吉縣期中)正數(shù)x的兩個(gè)平方根分別為3和2a+7.

(1)求。的值；

(2)求36-x的立方根.

【分析】(1)根據(jù)平方根的性質(zhì)可得3+2a+7=0,解得。的值即可；

(2)根據(jù)平方根的定義求得x的值，然后求得36-x的值，最后根據(jù)立方根的定義求得答案即可.

【解答】解：(1)???正數(shù)x的兩個(gè)平方根分別為3和2a+7,

3+2a+7=0,

解得：a=-5；

(2)???正數(shù)x的兩個(gè)平方根分別為3和2a+7,

.\X=32=9,

，36-x=36-9=27,

則36-%的立方根為3.

8.(2023秋?紹興期中)已知⑷=5,廿=4,c3=-8.

(1)若a<b,求〃+/?的值；

(2)若abc>0,求。-3b-2c的值.

【分析】(1)利用絕對值的定義求出〃的值，利用平方根的定義求出匕的值，利用立方根的定義求。的

值，代入即可求出的值；

(2)根據(jù)就小于0,得到必異號，求出〃與b的值，代入所求式子中計(jì)算即可求出值.

【解答】解：(1):|〃|=5,廿=4,(?=-8.

.\a=±5,b=±2,c=-2,

*：,

.\a=-5,b=±2,

a+b=-5+2=-3或a+b=-5-2=-7,

即a+b的值為-3或-7；

(2)9：abc>0.c=-2,

ab<0,

.*.(2=5,b=-2或a=-5,b=2,

???當(dāng)〃=5,b=-2,。=一2時(shí)，a-3b-2c=5-3X(-2)-2X(-2)=15,

當(dāng)a=-5,b=2,c=-2時(shí)，a-3b-2c=-5-3X2-2X(-2)=-7,

.9.a-3b-2c=15或-7.

題型五實(shí)數(shù)的性質(zhì)與估算

例題：

1.（2023春?利川市期末）化簡：lx/?-21=2-/2.

【分析】根據(jù)絕對值的概念計(jì)算即可.

【解答】解：因?yàn)?＜近＜2,

所以J5-2C0.

所以I函-2|=2-

故答案為：2-42

2.（2023春?玉環(huán)市期末）實(shí)數(shù)詆在哪兩個(gè)相鄰的整數(shù)之間（）

A.0和1之間B.1和2之間C.2和3之間D.3和4之間

【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的定義，估算無理數(shù)疾的大小即可.

【解答】解：V4＜5＜9,

伍＜加

即2＜遍＜3,

故選：C.

3.（2023秋?西湖區(qū)校級期中）解答下列問題：

（1）已知。，6互為倒數(shù)，c是最小的正整數(shù)，d是絕對值最小的數(shù)，優(yōu)+2|=0,求3ab-x2+2c+d的值;

x

（2）已知la-1的平方根是±3,a+3b-1的算術(shù)平方根是4,求ab+5的平方根.

【分析】（1）根據(jù)a，b互為倒數(shù)，。是最小的正整數(shù)，d是絕對值最小的數(shù)，|x+2|=0,即可求出"、c、

d、x的值，然后代入要求的式子計(jì)算即可；

（2）根據(jù)9的平方根是±3得出2a-1=9,即可求出a的值，根據(jù)16的算術(shù)平方根是4得出a+3b-1

=16,即可求出b的值，然后根據(jù)平方根的定義求出M+5的平方根即可.

【解答】解：⑴:a,6互為倒數(shù)，

??ab==1,

,?Z是最小的正整數(shù)，

，c=l,

???d是絕對值最小的數(shù)，

?"=0,

??,|x+2|=0,

.?.x+2=0,

?.x=-2,

=3X1-（-2）2+2X^+0

-z

=3-4-1

=-2；

（2）,：2a-1的平方根是±3,

2a-1=9,

??〃=5,

'：a+3b-1的算術(shù)平方根是4,

a+3b-1=16,

，Z?=4,

.*.^+5=5X4+5=25,

V25的平方根是±5,

「?次?+5的平方根土5.

鞏固訓(xùn)練

4.（2023秋?江北區(qū)月考）5的相反數(shù)為-5,\/=2,4.

【分析】根據(jù)相反數(shù)的定義，平方根的意義、立方根的意義即可得出答案.

【解答】解：根據(jù)相反數(shù)的定義可知：5的相反數(shù)是-5,

根據(jù)平方根的意義得：其=2,

根據(jù)立方根的意義得：恫=4.

故答案為：-5；2；4.

5.（2023秋?瑞安市期中）估算0%+2的值是在（）

A.3和4之間B.4和5之間C.5和6之間D.6和7之間

【分析】先估算出J五的范圍，再求出g+2的范圍，即可得出選項(xiàng).

【解答】解：：3<g<4,

?""5<>/14+2<6,

即百N+2在5和6之間，

故選：C.

6.（2023秋?西湖區(qū)校級期中）材料：：4<6<9,〈遍〈遍，即2<&<3,；.、,后的整數(shù)部分是

2,小數(shù)部分為JE-Z

問題：已知5°+2的立方根是3,3a+b-1的算術(shù)平方根是4,c是，記的整數(shù)部分.

（1）求百石的小數(shù)部分；

（2）求3a-6+c的平方根.

【分析】（1）估算出任的范圍，即可得到后的小數(shù)部分；

（2）根據(jù)5a+2的立方根是3,3a+6-1的算術(shù)平方根是4,c是4記的整數(shù)部分求出mb,c的值，然

后求出3a_b+c的值，再求它的平方根.

【解答】解：（1）V9<15<16,

???3<<715<4,

.?.任的整數(shù)部分是3,小數(shù)部分是任-3；

（2）；5a+2的立方根是3,3a+6-1的算術(shù)平方根是4,c是的整數(shù)部分，

.?.5〃+2=3^=27,3a+b-1=42=16,c=3,

??〃=5,Z?=2,c=3,

???3〃-Z?+c=15-2+3=16,

.*.3（2-b+c的平方根是±4.

題型六實(shí)數(shù)與數(shù)軸、實(shí)數(shù)的大小比較

例題：

1.（2023秋?義烏市期中）如圖所示的數(shù)軸被墨跡污染了，則下列選項(xiàng)中可能被覆蓋住的數(shù)是（）

_j__?__?__?__

-3-2-1012

A.MB.V5C.V6D.V7

【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的定義估算無理數(shù)JC、疾、五、J彳的大小即可.

【解答】解：數(shù)軸被墨跡污染的數(shù)介在1與2之間，

Vl2=l,22=4,32=9,

2<V5<3,2<V6<3,2<77<3,

故選：A.

2.（2023秋?鎮(zhèn)海區(qū)校級期中）長方形ABC。在數(shù)軸上的位置如圖所示，點(diǎn)8、C對應(yīng)的數(shù)分別為-2和-1,

CD=3.若長方形A8CD繞著點(diǎn)C順時(shí)針方向在數(shù)軸上翻轉(zhuǎn)，翻轉(zhuǎn)1次后，點(diǎn)。所對應(yīng)的數(shù)為2；繞點(diǎn)

。翻轉(zhuǎn)第2次；繼續(xù)翻轉(zhuǎn)，則翻轉(zhuǎn)2023次后，落在數(shù)軸上的兩點(diǎn)所對應(yīng)的數(shù)中較大的是4046.

A|~\D

，1，，_C，，1，???-

-6-5-4-3-2-10123456

【分析】由題意知，每4次翻轉(zhuǎn)為一個(gè)循環(huán)組依次循環(huán)，且矩形周長為8,計(jì)算2023被4除的余數(shù)即可

求得答案.

【解答】解：由題意得：

第一次翻轉(zhuǎn)，右邊的點(diǎn)移動3個(gè)單位，

第二次翻轉(zhuǎn)，右邊的點(diǎn)移動1個(gè)單位，

第三次翻轉(zhuǎn)，右邊的點(diǎn)移動3個(gè)單位，

第四次翻轉(zhuǎn)，右邊的點(diǎn)移動1個(gè)單位，

；?翻轉(zhuǎn)4次，為一個(gè)周期，

一個(gè)周期，右邊的點(diǎn)移動8個(gè)單位，

V20234-4=505-3,

右邊的點(diǎn)移動505X8+7=4047,

-1+4047=4046,

故答案為：4046.

3.（2023秋?平湖市校級期中）把下列各數(shù)在數(shù)軸上表示出來，并用把它們連接起來.

0,3.5,-4,M，

-S-4—2—1012245

【分析】利用S實(shí)數(shù)大小的比較方法：1、在數(shù)軸上表示的兩個(gè)數(shù)，右邊的總比左邊的數(shù)大.2、正數(shù)都

大于零，負(fù)數(shù)都小于零，正數(shù)大于負(fù)數(shù).3、兩個(gè)正數(shù)比較大小，絕對值大的數(shù)大；兩個(gè)負(fù)數(shù)比較大小,

絕對值大的數(shù)反而小.按照從小到大的順序排列找出結(jié)論即可.

【解答】解：?；-21=-q=-2.J

|-4|=4,1-2.31=2.3-

4>2.J-,

在數(shù)軸上表示為:

-4~2~0JT3.5

-4---1-——?k-------——I?Ia

一4一3-2-101234

?■--4<-2y<0<V2<3.5-

o

鞏固訓(xùn)練

4.（2023秋?婺城區(qū)校級期中）如圖，實(shí)數(shù)一、歷+1在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)可能是（）

ABCD

I?I?1?I——L-?-l-------

-2-101234

A.A點(diǎn)B.B點(diǎn)、C.C點(diǎn)、D.D點(diǎn)

【分析】根據(jù)無理數(shù)估算方法估算-亞+1的大小，即可判斷.

【解答】解：Vl<2<4,

.-.1<V2<2,

-2<-V2<7

，T<.-V2+1<0,

，實(shí)數(shù)+1在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)可能是8點(diǎn)，

故選：B.

5.（2023秋?柯城區(qū)校級期中）圖1是由8個(gè)同樣大小的立方體組成的魔方，體積為64,圖中陰影部分是

一個(gè)正方形A8CD,現(xiàn)把正方形ABC。放到數(shù)軸上（如圖2）,使得A與-1重合，那么D在數(shù)軸上表示

的數(shù)為-1-%[?..

圖2

圖1

【分析】首先根據(jù)正方體的體積公式可求這個(gè)魔方的棱長，再根據(jù)魔方的棱長為4,得出小立方體的棱

長為2,得到正方形A2CD的面積，開平方即可求出邊長，最后根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式可得D在數(shù)軸上

表示的數(shù).

【解答】解::知瓦=4，

這個(gè)魔方的棱長為4,

小立方體的棱長為2,

正方形ABCD的面積為：-lx2X2X4=8,

2

；?邊長為

二。在數(shù)軸上表示的數(shù)為-1-2A歷.

故答案為：-1-

6.(2023秋?拱墅區(qū)校級期中)已知實(shí)數(shù)a,b,c在數(shù)軸上所對應(yīng)的點(diǎn)分別為A,B,C,其中6是最小的正

整數(shù)，且a,b,c滿足(c-6)2+|a+2Z?|=0兩點(diǎn)之間的距離可用這兩點(diǎn)對應(yīng)的字母表示，如：點(diǎn)A與點(diǎn)

8之間的距離可表示為A8.

(1)a--2,b=1,c—6；

(2)點(diǎn)A,B,C開始在數(shù)軸上運(yùn)動，若點(diǎn)A以每秒2個(gè)單位長度的速度向左運(yùn)動，同時(shí)，點(diǎn)8以每秒

2個(gè)單位長度的速度向右運(yùn)動，點(diǎn)C以每秒6個(gè)單位長度的速度向右運(yùn)動，假設(shè)運(yùn)動時(shí)間為f秒，試探

究A8和8C之間的數(shù)量關(guān)系；

(3)若A,C兩點(diǎn)的運(yùn)動和(2)中保持不變，點(diǎn)B變?yōu)橐悦棵敫?相＞0)個(gè)單位長度的速度向右運(yùn)動，

當(dāng)t=2時(shí)，AC=2BC,求m的值.

A?B?-------C-------A

【分析】(1)根據(jù)b是最小的正整數(shù)，即可確定6的值，然后根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和是0,

則每個(gè)數(shù)是0,即可求得a,6,c的值；

(2)根據(jù)題意得：r秒后，A表示的數(shù)為-2-2,8表示的數(shù)為2f+l,C表示的數(shù)為6什6,然后分別表

示出線段長度作差即可求解；

(3)分別求出當(dāng)t=2時(shí)，A、B、C表示的數(shù)，得至IJAC和BC,根據(jù)AC=2BC列出方長，解之即可.

【解答】解：(1)(1)(c-6)2+|°+2bl=0,。是最小的正整數(shù)，

Ac-6=0,a+2Z?=0,Z?=l,

??〃=-2,Z7=l,c=6,

故答案為：-2,1,6；

(2):點(diǎn)A以每秒2個(gè)單位長度的速度向左運(yùn)動，同時(shí)，點(diǎn)8和點(diǎn)C分別以每秒2個(gè)單位長度和6個(gè)

單位長度的速度向右運(yùn)動，

秒后，A表示的數(shù)為-2「2,8表示的數(shù)為2/+1,C表示的數(shù)為&+6,

BC—6t+6~(2,+1)=4什5,~(-21-2)=4/+3,

：.BC-AB=4t+5-(4什3)=2,

：.BC-AB=2；

(3)當(dāng)f=2時(shí)，點(diǎn)A表示-4-2=-6,點(diǎn)B表示l+2〃z,點(diǎn)C表示6+6義2=18,

.*.AC=18-(-6)=24,BC=|18-1-2m|=|17-2m\,

VAC=2BC,

則24=2|17-2m\,

則24=2(17-2m),或24=2(2m-17),

解得：加=5或29?

萬~

題型七實(shí)數(shù)的運(yùn)算

例題：

1.(2023秋?濱江區(qū)校級期中)下列說法正確的是()

A.絕對值是本身的數(shù)是0

B.正有理數(shù)和負(fù)有理數(shù)統(tǒng)稱有理數(shù)

C.兩個(gè)無理數(shù)的和一定是無理數(shù)

D.當(dāng)a<0時(shí)，\a\=-a成立

【分析】根據(jù)絕對值的意義，實(shí)數(shù)的運(yùn)算，有理數(shù)的分類，逐一判斷即可解答.

【解答】解：4、絕對值是本身的數(shù)是正數(shù)和0,故A不符合題意；

8、正有理數(shù)，負(fù)有理數(shù)和0統(tǒng)稱有理數(shù)，故8不符合題意；

C、兩個(gè)無理數(shù)的和可能是有理數(shù)，也可能是無理數(shù)，故C不符合題意；

D、當(dāng)aWO時(shí)，|a|=-a成立，故￡)符合題意；

故選：D.

2.(2023春?玉環(huán)市期末)下列各式中運(yùn)算正確的是()